Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

К методике преподавания темы «Зонная теория твердых тел» в курсе общей физики

В программу курса общей физики для студентов инженерных специальностей входит тема «Зонная теория твердых тел». Изучение этой темы позволяет понять, почему одни вещества (металлы) являются хорошими проводниками, другие - являются диэлектриками, а третьи - полупроводниками. Элементная база современных устройств и приборов часто основывается на полупроводниках. Поэтому невозможно представить себе современного специалиста без знаний о природе собственной и примесной проводимости полупроводников, о p-n - переходе и его применениях и т.п.

Чтобы объяснить происхождение энергетических зон, рассматривают воображаемый процесс образования кристалла из атомов. Пусть имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Пока атомы находятся на больших расстояниях друг от друга, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней электронов. Заполнение электронами уровней в каждом атоме происходит независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах. При сближении атомов между ними возникает взаимодействие, атомные волновые функции электронов перекрываются, и, в соответствии с положениями квантовой механики, уровни, ранее N - кратно вырожденные, расщепляются, образуя зоны. Вместо одинакового для всех N атомов уровня возникает N очень близких, но не совпадающих уровней. Каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных подуровней, образующих зону.

Величина расщепления для разных уровней не одинакова. Сильнее возмущаются уровни, заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними электронами, возмущаются мало.

Ширина зон не зависит от размеров кристалла, а определяется взаимодействием соседних атомов. Таким образом, подуровни в зоне располагаются тем теснее, чем больше атомов содержит кристалл. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит атомов (примерно долю моля), то расстояние между соседними подуровнями в зоне составляет порядка эВ.

Конечно, времени, отводимого на изучение математического аппарата квантовой механики в курсе общей физики на инженерных факультетах, недостаточно, чтобы излагать вышеперечисленные методы расчета энергетического спектра электронов в периодическом поле кристаллической решетки. Кроме того, обоснование зонной структуры путем рассуждений о сближении атомов при образовании кристалла и соответствующем расщеплении атомных уровней электронных состояний выглядит качественным. У студентов создается впечатление, что расщепление вырожденных уровней при учете взаимодействия присуще только задачам квантовой механики.

В связи с вышесказанным предлагается на примере классических колебательных систем показать, что и в этом случае возникает расщепление частотного спектра. Причем в этом случае решение соответствующих задач доступно студентам инженерных факультетов, знакомых с основами теории дифференциальных уравнений. Надеемся, что рассмотрение такой задачи поможет студентам преодолеть психологический барьер, возникающий при изучении указанной темы.

Рассмотрим два одинаковых пружинных маятника одинаковой массы на невесомых пружинах с одинаковым коэффициентом упругости .

Как известно из механики, движение каждого из этих маятников в отсутствие их связи описывается вторым законом Ньютона

, (1)

где - смещение массы от положения равновесия, проекция силы упругости на ось (закон Гука), - ускорение (вторая производная по времени ).

Уравнение (1) является уравнением гармонических колебаний. Его решение в комплексной форме имеет вид

, (2)

- (3)

собственная циклическая частота колебаний маятника, А - амплитуда колебаний (в общем случае комплексная), которая определяется начальными условиями.

Таким образом, частоты колебаний этих двух одинаковых рассматриваемых маятников одинаковы. Используя квантово-механическую терминологию, можно сказать, что состояние системы из двух одинаковых пружинных маятников дважды вырождено.

Соединим теперь эти пружинные маятники невесомой пружиной с коэффициентом упругости . Будем считать, что в равновесном положении грузиков все пружины недеформированы. (рис.).

Система связанных маятников

Рассчитаем колебания этой системы связанных маятников.

Обозначим через смещение первого (левого) маятника от его положения равновесия, - смещение второго (правого) маятника от его положения равновесия.

На первый маятник действует сила упругости со стороны левой пружины , а также сила упругости со стороны средней пружины . Здесь - деформация средней пружины. Если , то сила совпадает по направлению с силой . На второй маятник действуют сила упругости со стороны правой пружины , а также сила упругости средней пружины .

Запишем уравнения движения маятников по второму закону Ньютона

(

Мы получили систему линейных однородных дифференциальных уравнений для функций и .

Преобразуем эту систему следующим образом: сначала сложим уравнения системы (4), а затем вычтем уравнения системы (4) почленно. При этом мы получим систему независимых уравнений для величин и .

(5)

Введем новые переменные

(6)

Система (5) при этом преобразуется к виду

(7)

Введя обозначения

(8)

, (9)

можем записать решение уравнений системы (7) в виде

, (10)

. (11)

Здесь , , , - произвольные постоянные. и - амплитуда колебаний и начальная фаза величины , соответственно и - соответствующие амплитуда и начальная фаза для величины .

Из формул (6) легко получить, что , .

Таким образом, получаем окончательный результат

; (12)

. (13)

Из выражений (12) и (13) следует, что система связанных маятников имеет собственные частоты и . При этом частота колебаний связанных маятников совпадает с частотой каждого из маятников в отдельности. Из формул (12) и (13) видно, что в этом случае амплитуды колебаний и начальные фазы колебаний обоих связанных маятников совпадают. А это означает, что средняя пружина не деформируется и поэтому не влияет на колебания связанных маятников.

Частота колебаний связанных маятников больше частоты колебаний отдельных маятников:

маятник пружина гармонический колебание

. (14)

При этом маятники колеблются с одинаковыми амплитудами , но с разностью фаз (об этом говорит знак «минус» в формуле (13)).

Напомним, что величины и называются нормальными координатами, а частоты и - нормальными частотами.

Таким образом, «взаимодействие» маятников, которое осуществляется через среднюю пружину , приводит к расщеплению частотного спектра и к снятию вырождения, что соответствует расщеплению электронных энергетических уровней в задаче о движении электронов в кристалле.

Величина расщепления

, (15)

как и в случае электронных уровней, зависит от «взаимодействия» связанных маятников (от силы их связи ): при имеем (, то есть имеет место вырождение частотного спектра).

В частном случае получим для известный результат [4]:

. (16)

Предлагается перед изучением зонной теории твердых тел рассмотреть приведенную выше задачу о нормальных колебаниях связанных маятников. Эта задача классической механики более наглядна, и поэтому можно ожидать, что студентам будет более понятно расщепление энергетических уровней электронов в кристаллических телах.

Перспектива дальнейшего развития в данном направлении - использование рассмотренной задачи при изучении темы «Теплоемкость твердых тел», в которой учитывается колебательный спектр атомов в кристалле.

Литература

Размещено на Allbest.ru