Вступ. Протягом останніх років вимоги до спеціалістів технічного профілю кардинально змінилися. Країні потрібні інженери, що мають високу ерудицію, нестандартне мислення, здатні швидко приймати рішення й нести за нього відповідальність, мають розвинуту просторову уяву. Без креативного, оригінального мислення неможливо здійснити модернізацію економіки країни, зробити її конкурентоздатною на світових ринках.

Нарисна геометрія входить до числа дисциплін, що складають основу інженерної освіти. Положення нарисної геометрії знаходять широке застосування в науці і техніці. Як свідчить досвід, саме вивчення цієї дисципліни найбільше сприяє розвитку в студентів просторової уяви та навичок логічного мислення. Складність викладання нарисної геометрії обумовлюється, з одного боку, невеликою кількістю годин, відведених на її вивчення, а з іншого - зростаючими вимогами до компетенцій, якими повинні володіти студенти.

Постановка проблеми. Реалізація на практиці теоретичних положень нарисної геометрії відбувається під час розв'язування задач. На відміну від інших дисциплін, розв'язування задач із нарисної геометрії неможливе без елементарної просторової уяви, оскільки спочатку задачу розв'язують подумки з використанням фігур, що входять в умову задачі. Лише після уявного розв'язку та складання плану студенти виконують побудови безпосередньо на епюрі. Як свідчить досвід, нестандартне мислення та просторову уяву можна розвинути під час розв'язування оригінальних задач [1-3], проте це здебільшого вимагає від студентів додаткових знань, отримання яких є проблематичним через дефіцит аудиторних годин, відведених на вивчення нарисної геометрії.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. У сучасній навчальній літературі для розв'язування задач із нарисної геометрії застосовуються переважно способи ортогонального проекціювання на основні та додаткові площини проекцій. Проте більшість позиційних задач простіше розв'язувати за допомогою способу косокутного проекціювання. Цей спосіб започатковано видатними вченими (С.М. Колотовим, М.Ф. Четверухіним, А.Т. Чалим та ін. [4-6]), але практично не висвітлено в сучасній навчальній літературі [7-12] та, на наш погляд, незаслужено забуто. Застосування під час розв'язування задач саме цього способу, оволодіння яким не є складним і ґрунтується на вивченому студентами матеріалі з ортогонального проекціювання, сприяє розвитку просторової уяви та спонукає студентів до нешаблонного мислення.

Мета статті. На нашу думку, реалізувати поставлену мету - розвинути нестандартне мислення та просторову уяву - можна, запропонувавши студентам розв'язання однієї і тієї ж задачі різними способами з подальшим аналізом отриманих результатів. Такий підхід до розв'язування задач учить студента обирати найбільш оптимальний варіант вирішення поставленої проблеми, що потребує найменших затрат та забезпечує належний ефект. Щодо нарисної геометрії, то це означає, що найбільш раціональним є такий варіант розв'язку задачі, який містить найменшу кількість графічних побудов і дає найбільш точний результат.

Виклад основного матеріалу. Розглянемо на конкретних прикладах застосування різних варіантів розв'язування однієї і тієї ж задачі з використанням традиційних способів ортогонального проекціювання та способу косокутного проекціювання. Виконаємо порівняльний аналіз різних методів із погляду їхньої універсальності, наочності, простоти, кількості побудов, необхідності вільного місця на робочому полі та якості креслення.

Подамо розв'язок двох основних позиційних задач різними способами.

На рис.1-3 наведено три варіанти

нарисна геометрія студент

Рис.1. Визначення точки перетину прямої з площиною за допомогою січної площини розв'язку першої основної задачі на визначення точки К перетину прямої загального положення DE з площиною, що задана трикутником АВС.

На рис.1 точку К визначено за допомогою січної горизонтально - проекціюючої площини ю, яку проведено через пряму DE, на рис.2 - способом заміни площин проекцій, а на рис.3 - способом косокутного проекціювання.

Рис.2. Визначення точки перетину прямої з площиною за допомогою способу заміни площин проекцій

Рис.3. Визначення точки перетину прямої з площиною за допомогою способу косокутного проекціювання

Більш детально зупинимося на останньому способі, суть якого полягає в заміні ортогонального напряму проекціювання косокутним. При цьому косокутна проекція виявляється схожою з проекцією, отриманою при проекціюючому положенні об'єкта, наприклад, із проекціюючим положенням трикутника АВС на площині п_{4 (}рис.2). Напрям проекціювання (позначається буквою s) обирають так, щоб отримати вироджену проекцію об'єкта, коли пряма вироджується в точку, а площина - в пряму лінію. Вироджену проекцію прямої можна отримати, вибравши напрям проекціювання, який паралельний самій прямій, а вироджену проекцію площини можна отримати, якщо напрям проекціювання буде паралельний площині, тобто якійсь прямій цієї площини. Косокутне проекціювання здійснюється на одну з площин проекцій лу п₂ або на другу бісекторну площину, яка забезпечує отримання двох проекцій точок простору на одній площині проекцій. Отримані в результаті косокутного проекціювання результати оберненим проекціюванням переносять на задані проекції об'єктів.

На рис.3 задача розв'язана косокутним проекціюванням на площину проекцій. Напрям проекціювання s вибрано паралельно стороні АВ трикутника. Площина трикутника спроекційована в пряму АоСо=Во, а пряма DE - в пряму D0E0. Оберненим проекціюванням отримано допоміжну проекцію Ко точки перетину, яку далі спроекційовано на горизонтальну та фронтальну проекції.

Продемонструємо переваги косокутного проекціювання порівняно з традиційними методами розв'язування задачі, наведеними на рис.1,2. Відомо, що простота розв'язування задач істотно залежить від розміщення фігур відносно площин проекцій. Спростити розв'язування задачі можна, змінивши задане незручне зображення на більш зручне. У сучасних підручниках із нарисної геометрії описано два способи зміни зображення: введенням нових площин проекцій відносно нерухомих об'єктів та розміщенням цих об'єктів, як правило, їх обертанням у зручне для розв'язування задачі положення відносно нерухомих площин проекцій. Застосування косокутного проекціювання дозволяє використовувати ще одну можливість змінити зображення завдяки вибору іншого напряму проекціювання. Це значно розширює апарат проекціювання нарисної геометрії. Переваги цього способу полягають у простоті та відносно невеликій кількості побудов, необхідних для отримання потрібного результату, а також у наочності й універсальності цього способу. Якщо задачі, розв'язані на рис.1 і 3, за кількістю побудов майже однакові, то за наочністю та простотою побудов задача, розв'язана на рис.3 способом косокутного проекціювання, має перевагу над тією ж задачею, що розв'язана на рис.1 традиційним способом. Розв'язування задачі на рис.1 виконується в декілька етапів, усвідомлення яких студентами можливе лише при ілюстрації цих етапів на наочному зображенні. Крім того визначення видимості прямої відносно трикутника на рис.1 здійснюється за допомогою конкуруючих точок косокутних проекцій трикутника та прямої на вісь х (для визначення видимості на фронтальній проекції) і від осі х (для визначення видимості на горизонтальній площині проекцій).

Рис.4. Визначення лінії перетину двох площин за допомогою січних площин N, 1 і 2,3.

Проте на рис. З видимість можна визначити простіше - прямокутним проекціюванням.

На рис.2 для визначення точки К уводиться додаткова площина проекцій п₄. При цьому кількість побудов збільшується, а самі побудови займають більше місця на кресленні.

Спосіб, запропонований на рис.1, неможливо застосувати без додаткових побудов, якщо пряма, що перетинає площину, буде паралельною ДО ПЛОЩИНИ проекцій 7Г₃. Проте спосіб косокутного проекціювання можна використовувати незалежно від розміщення прямої відносно площин проекцій. Це свідчить про універсальність цього способу. Крім того спосіб косокутного проекціювання завдяки вибору напряму проекціювання дозволяє розміщувати косокутні проекції об'єктів у потрібному місці креслення.

На рис.4-6 наведено три варіанти розв'язку другої основної задачі на визначення лінії перетину KL площини а, що задана слідами, з площиною, що задана трикутником АВС.

Рис.5. Визначення лінії перетину двох площин за допомогою способу заміни площин проекцій

Рис.6. Визначення лінії перетину двох площин за допомогою способу косокутного проекціювання

На рис.4 точки F і E, через які проходить лінія перетину площин, визначено за допомогою двох січних горизонтальних площин рівня ю і у, де KL - відрізок на лінії FE, по якому трикутник АВС перетинає площину а. На рис.5 лінію перетину визначено за допомогою способу заміни площин проекцій, а на рис.6 - за допомогою способу косокутного проекціювання. Переваги останнього способу є більш переконливими порівняно з рис.3 насамперед завдяки простоті побудов, їх наочності та універсальності. Зупинимося ще раз на універсальності цього способу, яка полягає в тому, що можна легко трансформувати в проекціююче положення не лише площину а, як це виконано на рис.6, але й трикутник, змінивши напрям проекціювання на паралельний будь - якій прямій площини трикутника. Крім того у випадку розміщення, наприклад, проекції А1В1 сторони трикутника (рис.5) перпендикулярно до осі хі або паралельно до сліду ho_a визначення К₁ можливе лише за умови виконання додаткових побудов. Проте при косокутному проекціюванні розміщення проекцій сторін трикутника, як і іншої фігури, відносно осей проекцій або слідів площини не впливає на характер побудов, оскільки завжди можна знайти той напрям проекціювання, який потрібний для розв'язування задачі.

Чим складнішими стають позиційні задачі, тим більш зручним є застосування способу косокутного проекціювання для їх розв'язування, а його переваги над традиційними способами розв'язування задач стають все більш переконливими.

Рис.7. Визначення лінії перетину поверхні піраміди з площиною за допомогою січних площин

Рис.8. Визначення лінії перетину поверхні піраміди з площиною за допомогою способу заміни площин проекцій

На рис.7-9 розглянуто різні варіанти розв'язування задачі з визначення лінії перетину поверхні піраміди з площиною а, заданою слідами. На рис.7 точки перетину ребер піраміди з площиною а визначено за допомогою трьох січних площин - в, ю і 5, які вибрані з багатьох можливих як такі, що полегшують розв'язок задачі з використанням мінімуму графічних побудов. Незважаючи на це, розв'язок задачі доволі громіздкий і вимагає від проекції ребра SC перпендикулярного розміщення до осі х. На рис.8 для розв'язування задачі використано спосіб заміни площин проекцій. Його застосування є більш зручним порівняно з рис.7, проте у випадку розміщення ребер піраміди паралельно до сліду h_0a, тобто перпендикулярно до осі х_ь розв'язування задачі значно ускладнюється.

Найбільш просто цю задачу розв'язано на рис.9 саме способом косокутного проекціювання, причому при застосуванні цього способу вдається уникнути неминучих труднощів, які виникають при використанні традиційних способів і для подолання яких необхідно здійснити низку додаткових побудов.

Рис.9. Визначення лінії перетину поверхні піраміди з площиною за допомогою способу косокутного проекціювання

Висновки