Размещено на http://www.allbest.ru/

Изучение уравнения Шредингера на факультативе в профильной школе

В.А. Делянов, НОУ "Школа естественных наук" г. Тулы,

кандидат педагогических наук

Введение

Что мы узнаем об уравнении Шредингера в школе? За неимением времени на изучение - не так много, и уж точно - не так строго, как требует современная физическая теория. Это потому только, что у преподавателей и учителей в большинстве укоренилось мнение: математика этого раздела физики - не для школьников. Но так ли трудна математика, связанная с понятием оператора и обращением с ним? Да, если вводить его так, как это делают, например, в ВУЗе, - традиционно в излишне строгой форме для тех, кто изучает отдельно физику от математики. Вот эту особенность и не хотят, по исторически сложившимся причинам, признавать "истинные преподаватели" математики. Преподаватели физики же ставятся перед фактом начинать изучение квантовой теории без, по крайней мере, повторения элементов математического анализа (это в силу рамок ВУЗовской программы). При этом считается, что всю необходимую для физики математику студенты уже прошли к тому времени, когда начинается изучение теоретической физики. И такая позиция, в плане изучения математики и физики, в неизменном виде переносится в школу, т.к. школа, преимущественно, ориентируется, в плане передового опыта преподавания, на ВУЗ.

Мы с этим не согласны и в этой статье попытаемся продемонстрировать так называемый "плавный" переход от пропедевтического подхода к строгой теории на основе тоже строгой, но уже доступной учащимся, математики квантовой механики.

1. Из истории происхождения уравнения Шредингера

Интерпретация Шредингера: "плотность вещества"

Наиболее естественной интерпретацией волны, связанной, согласно Шредингеру и де-Бройлю, с электроном, являлось утверждение Шредингера, что волновая функция характеризует "плотность вещества". При такой интерпретации считалось, что масса и заряд электрона не сконцентрированы в точке, а "размазаны" в пространстве пропорционально квадрату волновой функции.

Такую интерпретацию допускает именно , а не сама волновая функция, т.к. всегда больше нуля, в то время как может быть и отрицательной величиной.

Вероятностная интерпретация

Волна, связанная с электроном, ведет себя подобно любой другой волне. При переходе границы раздела двух сред - частично отражается и частично проходит. Это поведение волны заставило Макса Борна выдвинуть свою интерпретацию волновой функции: должна представлять плотность вероятности для электронов или других частиц.

В настоящее время вероятная интерпретация волновой функции, развитая Борном, является общепринятой. Квадрат волновой функции характеризует плотность вероятности. Из такой интерпретации вытекает требование, чтобы полная площадь под кривой зависимости от равнялась единице.

Вероятность нахождения частицы в интервале равна: .

Полная вероятность, поскольку мы считаем, что частица обязательно находится где-то в ограниченном объеме между стенками, должна равняться единице, т.е.

.

Уравнение Шредингера

Из всего сказанного можно сделать следующие выводы.

Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему энергию Е Речь о кинетической энергии, совпадающей с общей энергией., то амплитуда того (или вероятность того), что она будет обнаружена в любом заданном месте х, такова:

. (1)

Это уравнение выражает основной принцип квантовой механики. Так, для свободной частицы это выражение можно записать в таком виде:

- кинетическая энергия свободной частицы,

а учитывая, что

запишем:

или более общее выражение (считая, что у нас одномерный случай, т.е. одна переменная):

(2)

Если же на движение частицы накладываются условия потенциального поля U (x), то выражение (2) запишется так:

где

Используя последнюю формулу для , можно классическому выражению закона сохранения энергии

сопоставить т. н. операторы:

Так что

.

Тогда имеем следующую запись:

. (3)

Это и есть уравнение Шредингера - основное уравнение квантовой теории, определяющее вместе с дополнительными условиями волновую функцию ^, характеризующую вместе состояние и микроскопические свойства квантовой системы.

В случае, когда не интересует зависимость от времени, уравнение записывают в виде:

, где

называемом стационарным уравнением Шредингера. Его решением (в методическом аспекте, качественным) мы и будем заниматься в дальнейшем.

Основное уравнение Шредингера можно записать и в таком виде:

,

где - так называемый оператор Гамильтона:

или .

2. Некоторые сведения об операторах квантовой механики из математики и их соответствующая наглядная и физическая интерпретация

Для решения уравнения Шредингера нам потребуется некоторые знания из математики: понятие о математических операторах, собственных функциях и собственных значениях операторов.

Общее определение математического оператора совпадает с определением отображения или функции. Пусть X и У - два множества; оператором из множества X во множество У называется правило или, соответствие, которое каждому элементу из некоторого подмножества сопоставляет однозначно определенный элемент (х) ; множество Д называется областью определения оператора и обозначается (); множество { (x),x} называется областью значений оператора и обозначается Часто пишут х вместо (х).

Примеры операторов:

1) оператор, сопоставляющий любому элементу элемент (нулевой оператор);

2) оператор, сопоставляющий любому элементу этот же элемент (единичный оператор в X, обозначается часто 1х);

3) пусть Х - векторное пространство функций на множестве (М) и f - функция на (М). Оператором в X, действующему по правилу , называется оператором умножения на функцию;

4) оператор в X, действующий по правилу , называется оператором дифференцирования;

5) суммой операторов и называется оператор, обозначаемый , действующий по правилу () x =x+x, если - операторы из X в У;

6) произведением оператора на число называется оператор, обозначаемый , действующий по правилу: () x = ( x);

7) произведение операторов определяется как композиция отображений: если - оператор из X в У, - оператор из X в У, то произведением и называется оператор , действующий по правилу: () x = ( x).

Введем еще важные определения

Собственные функции и собственное значение уравнения Шредингера определяются так: собственные функции ш - не равные тождественно нулю решения ш для уравнения вида:

.

Например, если оператор соответствует для названной функции виду , то его собственные значения при краевых условиях это числа вида , где n - натуральное число, т.к. уравнению

, (4)

с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции вида:

,

а если же ни при каком натуральном n, то уравнению (4) при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция .

3. Качественное решение уравнения Шредингера

Условно все решения уравнения Шредингера можно разделить на "свободные" и "связанные".

Рассмотрим качественно решение уравнения Шредингера вначале для свободных электронов, а затем для электронов под воздействием потенциального поля и ограничений граничных условий на концах рассматриваемого объема (или интервала)

"Свободные" решения уравнения Шредингера

Для свободной частицы, на которую не действуют силы, из уравнения Шредингера следуют результаты, которые ранее предположил де-Бройль. Решение возможно при любых положительных значениях энергии. Для нерелятивистского случая энергия и импульс связаны так:

Длина волны де - Бройля соответствует волне с импульсом р:

шредингер оператор квантовая механика

.

В отсутствие внешних сил импульс не изменяется, волна сохраняет свою форму и в этом смысле обладает свойством инерции.

На границе раздела двух сред или при прохождении около препятствия эти волны проявляют практически те же свойства, что и световые волны. Так, волна, имеющая длину л, проходя через отверстия в непрозрачном экране, дифрагирует, причем угловое положение первого максимума определяется из соотношения: d Sin 0=л, где d - характерный размер дифракционного экрана.

"Связанные" решения уравнения Шредингера

В случае связанной системы, т.е. когда движение частицы ограничено определенной областью пространства, оказываются возможными не любые уровни энергии. Причина этого тесно связана с тем объяснением, которое ранее дал де-Бройль: чтобы орбита была устойчивой, на ее длине должно укладываться целое число волн.

Рассмотрим случай, когда частица при движении в одном измерении ограничена стенками, которые не позволяют ей выйти наружу. Частица с массой m движется вдоль прямой линии между двумя стенками, расположенными на расстоянии l друг от друга.

В качестве решений уравнения Шредингера возможны лишь такие, в которых стоячая волна де-Бройля укладывается целое число раз между двумя стенками. Условие, что стенки удерживают частицу, на языке уравнения Шредингера равнозначно требованию, чтобы амплитуда волны на стенках равнялась нулю.

Чтобы стоячие волны могли существовать между стенками, должно укладываться целое число полуволн. Тогда наибольшая длина волны:

а следующая, после наибольшей, длина волны:

В общем случае:

С точки зрения уравнения Шредингера волновая функция этой системы состоит из решения, соответствующего частице с импульсом р, и решения соответствующего частице с импульсом - р. Обе эти частицы c равными по величине импульсами, а, следовательно, и одинаковыми длинами волн де-Бройля:

и одинаковыми энергиями:

Согласно принципу суперпозиции, сумма этих решений тоже является решением уравнения Шредингера с той же самой энергией. Решение составленное из ш_P и ш_-P и обращается в нуль на стенках, имеет вид:

.

Величина р определяется из условия существования стоячих волн.

Поскольку длина волны связана с величиной импульса, условиям, налагаемым на длину волны, будут соответствовать ограничения, определяющие возможные значения импульса частицы:

А так как импульс частицы связан с ее энергией, возможные значения энергии данной квантовой системы тоже ограничены:

Возможные значения энергии составляют дискретный набор, перекрывающий лишь небольшую часть значений энергии, разрешенных механикой Ньютона. Аналогичные результаты, несколько отличающиеся в количественном отношении, получается и в случае частицы, заключенной в объеме, стенки которого не являются абсолютно твердыми, и, наконец, в случае частицы, находящейся в потенциальной яме, характерной для водородного атома.

Заключение