Формирование теоретических систем понятий у учащихся общеобразовательных школ

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Формирование научных понятий в процессе изучения основ наук - одна из кардинальных проблем, непосредственно связанная с повышением качества обучения, воспитания и развития учащихся. На современном этапе развития народного образования и реализации основных идей «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» ведутся поиски улучшения и рационализации обеспечения учебно-воспитательного процесса. Особая роль принадлежит фундаментальным понятиям основ наук, поскольку они - главный компонент содержания, основная единица знаний и форма мышления, важнейший объект учебной деятельности и фактор умственного развития учащихся. В «Концепции» предлагается предельно четко изложить понятия и ведущие идеи учебных дисциплин, обеспечить необходимое отражение в них новых достижений науки и практики.

В этих условиях необходим человек новой формации, способный к активному и творческому овладению знаниями, умеющий адекватно реагировать на меняющуюся ситуацию, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности, делать аргументированные выводы.

При изучении предметов естественно-научного цикла, и в первую очередь, при изучении предмета математики, учащимся постоянно приходится осуществлять деятельность по:

1) постановке учебной проблемы и целенаправленному поиску выхода из создавшейся проблемной ситуации;

2) выделению требуемого математического объекта из ряда других по наличию существенных признаков;

3) конструированию математических объектов с заданными свойствами;

4) применению теоретических знаний в различных учебных ситуациях: аналогичных, видоизмененных, нестандартных.

Для того чтобы учащиеся смогли на достаточно высоком уровне осуществить представленные виды деятельности, педагогическая наука и практика обучения делают ставку на общие теоретические системы понятий. Формирование теоретических систем понятий должно происходить в условиях активной и напряженной познавательной деятельности.

При существующей системе обучения решение этой задачи практически не достигается. Об этом свидетельствуют результаты, полученные в ходе нашего многолетнего педагогического эксперимента, в котором принимало участие около 4000 учащихся различных регионов (Великий Новгород, Саратов, Саратовская область, Нальчик, Рязань, Уфа, Алматы и др.).

В целях повышения идейно-теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Вместе с тем не были преодолены многие недочеты и противоречия в содержании предмета, в изучении математики, в знаниях учащихся, в существующей системе формирования фундаментальных математических понятий, т.е. таких понятий, которые изучаются на протяжении длительного периода времени; имеют широкую теоретическую и оптимизационно-прикладную направленность; способствуют формированию научного мировоззрения учащихся [9, 10].

До настоящего времени продолжает обращать на себя внимание низкое качество усвоения таких понятий, как «уравнение», «неравенство», «тождество», «функция», а также умений оперировать ими [8, 9].

Существующие до настоящего времени методики формирования понятий, и прежде всего, фундаментальных математических понятий, мало учитывают их истинную логико-познавательную природу, закономерности возникновения, развития и интеграции. При этом важно учитывать необходимость ретроспективного пересмотра понятий, с учетом взаимообратной связи, существующей между понятиями.

Важное требование к формированию понятий - не оставлять их в изоляции, а устанавливать между ними новые связи и отношения, вводить в теоретические подсистемы, а затем в теоретические системы. Интеграция строится на глубоком теоретическом обобщении на уровне ведущих идей и научных теорий и широким использованием внутрисистемных, внутрипредметных, межсистемных и межпредметных связей. Интеграция осуществляется с целью теоретического синтеза знаний, поиска общих закономерностей, присущих всем объединяемым понятиям, для усиления переноса знаний и использования их эвристических возможностей в измененных и нестандартных учебных ситуациях.

Формирование общих теоретических систем понятий, обеспечивающих высокий уровень интеллектуального развития личности - основная цель современного учебного познания и обучения. Поэтому именно в последние годы значительно возрос интерес математической науки, наук психолого-педагогического цикла (психологии, психодидактики) к образованию, дальнейшему развитию и интеграции систем понятий.

Выполненные нами теоретико-экспериментальные исследования [1, 2, 3, 4, 5, 6, 11] позволили установить, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к конкретной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, которая адекватна их содержанию. учебный математический понятие

Формирование систем математических понятий - это сложный и длительный процесс последовательного логического оформления в мышлении учащихся результатов обобщения сущностных знаний и нахождения адекватных им материализованных, вербальных, символико-графических или каких-то других знаковых форм выражения.

Формирование систем понятий начинается с их образования. Системы понятий образуются разными способами:

1) путем обобщения уже сформированных понятий, относящихся к одной области знаний и объясняемых едиными научными теориями (исследование свойств функций: с помощью аппарата уравнений и неравенств и с помощью аппарата дифференциального исчисления);

2) путем методологического анализа фундаментальных математических понятий, установления различных взаимосвязей между ними;

3) смешанным путем.

При образовании системы понятий внимание учащихся направляется на отношение понятий, входящих в состав системы, на выделение их существенных признаков, на установление взаимосвязей и зависимостей между ними.

В экспериментальном обучении мы стремились образовать системы на минимуме математических фактов (понятий, свойств понятий, признаков) путем их всестороннего методологического анализа, позволяющего получить максимум новой информации из имеющихся концентратов знаний, а также как можно полнее использовать их функции в процессе обучения и формирования творческого мышления учащихся.

В основе образования и последующего формирования систем понятий лежат обобщение и систематизация.

Ориентируясь на логику, психологию, психодидактику, методологию математики, нами выделены последовательно нарастающие уровни обобщения понятий:

1. Понятийно-фактологический (знание определений темы, умение выделить существенные признаки понятий и установить их связь).

2. Понятийно-родовидовой, связанный с включением частных уже сформированных понятий в более общие (умение применять понятия в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных).

3. Понятийно-теоретический, связанный с образованием теоретических систем (подсистем) понятий в рамках определенной научной теории.

4. Идейно-теоретический, связанный с обобщением частных теоретических систем понятий в более общие на основе ведущей идеи и нескольких генетически связанных теорий (теория уравнений и неравенств; теория функций и др.).

5. Уровень моделирования и абстрагирования - это высший уровень на основе внутри- и межпредметной интеграции понятий и их методологического осмысления.

При определении теоретических систем понятий мы исходили из основной проблемы, стоящей перед средней общеобразовательной школой: формирование высокоразвитой личности, способной к активному, творческому овладению знаниями, умеющей анализировать, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности.

Теоретический анализ содержания школьного математического образования (в основном, это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа) позволил выделить, а затем и сформировать у учащихся следующие системы понятий:

1. Уравнения и неравенства.

2. Уравнения, тождества, неравенства.

3. Функции и их исследование с помощью аппарата уравнений и неравенств.

4. Уравнения, неравенства, функции.

5. Функции, производная, интеграл.

Формирование теоретических обобщений, а следовательно, и формирование теоретических систем понятий при обучении математике можно проводить на разных основах: гносеологической, генетической, операционной.

Обратимся к рассмотрению системы понятий «Уравнения, тождества, неравенства», формирование которой осуществляется с 5 по 11-й классы включительно.

1. Общая характеристика системы.

Научно-теоретическими основаниями системы понятий служат теория уравнений, неравенств, тождественных преобразований, теория функций. Ведущей идеей преемственного формирования и генерализацией знаний является раскрытие сущности понятий: «уравнение (неравенство)», «тождество», «функция» на основе концептуального и системно-деятельностного подходов. Основанием для развертывания всей совокупности знаний этой системы служит генетически исходное отношение, существующее между понятиями «уравнение», «неравенство», «тождество», - это понятие аналитического выражения.

Структуру теоретического ядра данной системы понятий составляют: 1) методы решения уравнений и неравенств; 2) приемы выполнения тождественных преобразований различных выражений; 3) методы доказательства тождеств; 4) методы и приемы доказательства неравенств (алгебраических и тригонометрических); 5) исследование педагогически адаптированных процессов реальной действительности, математическими моделями которых являются уравнения и неравенства, а также их системы. Сфера данной системы понятий представлена теми свойствами функций, которые составляют математическую основу процесса решения уравнений и неравенств; доказательства тождеств и неравенств. Такими свойствами являются: область определения, область значений, свойство монотонности. Периферию системы понятий представляют: решение различных видов уравнений, неравенств и доказательство тождеств и неравенств (алгебраических и трансцендентных), которые изучаются с 5 по 11-й классы включительно.

Уровневая структура рассматриваемой системы понятий, представляет диалектическое единство всеобщего, особенного и единичного.

В зависимости от выбранных методических подходов, раскрытие содержания рассматриваемой системы понятий может идти от теоретического ядра к периферии и наоборот.

2. Теоретические блоки (подсистемы) системы понятий «Уравнения, тождества, неравенства».

Первый теоретический блок представляют: 1) тождественные преобразования выражений (алгебраических и трансцендентных); 2) методы и приемы решения различных видов уравнений и неравенств (иррациональных, показательных, логарифмических, с модулем и др.).

Второй теоретический блок - доказательство тождеств и неравенств (алгебраических и трансцендентных).

Второй теоретический блок практически не рассматривается в школьных учебниках математики. Но именно математические факты данного блока находят широкое применение: а) при исследовании свойств функций; б) при решении оптимизационно-прикладных задач.

При формировании теоретических знаний второго блока (подсистемы) нами был использован генетический (содержательный) уровень, включающий четыре этапа [8].

Первый этап - раскрытие внутренней структуры методов доказательства тождеств и неравенств. Представим методы доказательства неравенств:

1. По определению неравенства на аналитическом языке.

2. Синтетический метод (использование опорных неравенств).

3. Использование свойств транзитивности неравенств.

4. Переход от неравенства к равенству.

5. Возведение обеих частей неравенства в натуральную степень.

6. Метод полной индукции.

7. Метод математической индукции.

8. Метод от противного.

9. Геометрический метод.

10. Использование элементов дифференциального и интегрального исчислений.

Второй этап - этап теоретического обобщения. На данном этапе раскрываются содержательные и процессуальные, внутрипредметные и внутрисистемные связи одного понятия с целым рядом других понятий. Учащиеся с небольшой помощью учителя (или при полной самостоятельности) выполняют следующие типы математических задач.

Задание 1. Дано: .

Доказать: .

Задание 2. Дано: .

Доказать: .

Задание 3. Дано: А, В, С - углы треугольника. Доказать неравенство: .

Второй этап можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) с подробным обоснованием выделять всю последовательность выполняемых операций; 2) осуществлять аргументированные переходы от выполнения одних операций к другим; 3) объяснять, какой математический факт заложен в основу выполнения той или иной операции.

Третий этап - этап восхождения от абстрактного к конкретному.

Учащиеся при полной самостоятельности с подробным обоснованием выполняют типы математических задач.

Задание 1. Доказать неравенство. б, в, г - величины углов треугольника.

Доказать: .

Задание 2. Дано: .

Доказать: .

Данный этап можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) четко выделять условие и заключение доказываемого математического утверждения; 2) безошибочно выделять и представлять операционную структуру действий по доказательству неравенств; 3) делать окончательные аргументированные выводы.

Четвертый этап - этап восхождения от конкретного к абстрактному и наоборот. На данном этапе осуществляется: 1) исследование процессов действительности и современного производства: решение оптимизационно-прикладных задач; 2) конструирование прикладных задач по заданным математическим моделям и последующее исследование математической модели.

При решении оптимизационно-прикладных задач сначала осуществляется переход от заданной практической ситуации к построению и исследованию соответствующей математической модели, а затем осуществляется обратный переход - от абстрактной математической модели к практической ситуации.

Генетический уровень в формировании системы понятий «уравнения, тождества, неравенства» можно считать завершенным, если учащиеся будут обладать способностью к быстрому «свертыванию» и «развертыванию» процесса рассуждения при решении задач, переключению хода мысли с прямого на обратный и наоборот, широкому обобщению, моделированию и систематизации знаний.

Литература

1. Агафонов А.Ю. Человек как смысловая модель мира. Пролегомены к психологической теории смысла. - Самара: СГУ, 2000.

2. Амонашвили Ш.А. Воспитательная и образовательная функция оценки учения школьников. - М.: Педагогика, 1984.

3. Вахтомин Н.К. Генезис научного знания: факт, идея, теория. - М.: Наука, 1973.

4. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. Пер. с англ. /Под общ. ред. С.Ф. Горбова и В.П. Зинченко. - М.: Прогресс,1987.

5. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: Интор, 1996.

6. Рахимов А.З. Творческое мышление: Монография. - Уфа: Изд-во «Творчество», 2005.

7. Талызина Н.Ф. Научные основы обучения. - М.: МГУ, Изд-во «Вентана Граф», 1995.

8. Токарева Л.И. Тригонометрические неравенства: их роль, значение, применение (10 - 11е кл.) // Математика, 2003 - №№ 44,45,47.

9. Токарева Л.И. Этапы в деятельности учителя математики по формированию теоретических систем знаний школьников // Вестник Поморского университета. Серия «Физиологические и психолого-педагогические науки», 2004. - №2(6).

10. Токарева Л.И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении // Вестник Челябинского госуд. пед. университета. Серия 2: Педагогика. Психология. Методика преподавания, 2005. - №10.

11. Усова А.В. Проблемы теории и практики обучения в современной школе: Монография. - Челябинск: Изд-во ЧГПУ, 2000.

Размещено на Allbest.ru