Размещено на http://www.allbest.ru/

Линии обобщений в алгебраической подготовке будущего учителя математики

Принято считать, что сущность процесса познания - это формирование абстракций и обобщений, которое идет от наблюдения частных случаев к выделению общих признаков, характерных для определенных классов вещей и явлений, составляющих содержание соответствующих понятий. Одной из главных задач современного научного знания является изучение целостных объектов, их становления и функционирования. Чтобы преодолеть проблемы эмпирического познания (мышления «отдельными элементами»), следствием, которого является отрывочность и раздробленность знаний, необходимо изучать каждую отдельную вещь и каждое понятие не как самостоятельные реальности, а обязательно через связи между ними. В этом случае «теоретическое понятие, в отличие от эмпирического, не только находит нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса, но и прослеживает взаимосвязи отдельных предметов внутри целого, внутри системы в ее становлении» [2, с. 314].

Наши наблюдения за поведением студентов и учащихся, столкнувшихся с нестандартной ситуацией, как раз подтверждают мысль С.Л. Рубинштейна: «знания, за которыми не стоит собственная аналитико-синтетическая, обобщающая работа мысли, - это формальные знания» [6, С. 201]. Главная трудность возможного решения скрыта в умении или способности испытуемого видеть проявление общей закономерности, в сформированности у него скрытых от прямого наблюдения внутренних психологических обобщенных когнитивных структур. В качестве примера рассмотрим следующую задачу, предлагаемую нами разным группам испытуемых (учащиеся, студенты, учителя): является ли число составным? Выделим в решении предложенной задачи следующие этапы:

· смысл задачи состоит в исследование возможности разложения данного числа в произведение двух натуральных множителей, больших 1;

· исходные числа настолько велики и между собой никак не связаны, что возникает предположение, что их значения не играют особой роли;

· заменив их переменными , мы получим алгебраическое выражение - многочлен от двух переменных и для решения исходной задачи необходимо выяснить, можно ли разложить этот многочлен в произведение многочленов меньшей степени;

· исследование однородного многочлена целесообразно свести к возможности разложения квадратного трехчлена , где , в произведение двух биномов;

· последняя задача является уже стандартной учебной задачей: , поскольку числа - корни этого квадратного трехчлена;

· вернувшись к заменам, можно последовательно ответить на все ранее поставленные вопросы, а именно:

и, следовательно, исходное число - составное, так как .

Обращение к структуре исследуемого целого - первая идея предложенного поиска, но проникновение в его сущность, как приобретенное особое отношение к объекту, невозможно без установления зависимости между понятиями, образования их системы и осознания собственной мыслительной деятельности. Используемые буквенные обозначения важны как средство выражения, фиксации внимания к целостной структуре исследуемой ситуации. Они удобны не только для организации преобразований над соответствующими выражениями, как средства выражения программы действий, но и как самостоятельные алгебраические объекты изучения.

Способность схватывать и обыгрывать структуры, «внутренние формы» сложных объектов формируется прежде всего в алгебраическом образовании. Последнее особенно актуально, в связи с тем, что современный уровень развития математики характеризуется все более возрастающей ее алгебраизацией. Она означает, во-первых, аксиоматизацию соответствующей области, во-вторых, используемую универсальность алгебраического метода в математике. Высокая концентрация обобщенного знания в алгебре как научной дисциплине, систематическое использование символьного языка, более высокий, чем в других областях математики уровень абстракций, ее прикладная направленность, особенно выявившаяся в XX веке, безусловно, находят отражение и в учебных алгебраических курсах. Во введении к книге [3, с. 11], отмечая абстрактный характер понятий, А.И. Кострикин пишет: «К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. В свою очередь, развитая теория давала импульс и средства к решению новых задач».

Исторический анализ развития алгебры свидетельствует о том, что удачные обобщения, как правило, изменяют содержание предмета. Основные свойства действий над числами, известные на ранних этапах развития математики, позволили уже в XVII-XVIII вв. понимать под алгеброй науку о буквенных вычислениях - тождественных преобразованиях буквенных формул. В математической энциклопедии [1, с. 115] отмечается, что «первоначальные попытки аксиоматического изучения алгебраических операций прослеживаются уже в “теории отношений» Евклида, однако они не получили развития из-за невозможности геометрически интерпретировать даже простейшие действия над числами как отношения длин или площадей». Дальнейший прогресс оказался возможным после углубления понятия числа и в результате появления примеров алгебраических операций другой природы. Выделение понятия алгебраической операции, сделанное в середине XIX в., и дальнейшее изучение свойств алгебраических операций - другой пример обобщенности знания. Более того, именно оно во многом определяет лицо современной алгебры. Например, понятие группы возникло в связи с исследованием разрешимости алгебраического уравнения в радикалах, и в работах Ж. Лагранжа, Н. Абеля и Э. Галуа речь идет, по существу, о группах подстановок. В XIX веке теоретико-групповые идеи активно развиваются в геометрии, где постепенно осознается, что в основу классификации различных геометрий следует положить понятие группы преобразований. Такие же идеи появляются и в теории чисел благодаря работам Л. Эйлера и К.Ф. Гаусса. В конце XIX века осознается принципиальное единство теоретико-групповых идей и С. Ли определяет понятие группы преобразований. В 1916 г. с выходом книги О.Ю. Шмидта группы начинают изучаться без каких бы то ни было предположений о природе элементов и операций над ними. Переход к этим общим идеям позволяет теории групп занять одно из основополагающих мест в алгебре. В понятии «группа» сконцентрированы такие идеи, которые позволяют находить многочисленные применения теории групп как в естествознании, так и в самой математике. Более того, теория групп становится инструментом научных исследований.

Развитие идеи числа как объекта алгебраических операций не только приводит к линии обобщений свойств алгебраических операций, но и к самостоятельному независимому изучению структуры алгебраических объектов, представляющих другую обобщенную линию: группа, кольцо, поле, алгебраическая система. Эти понятия чрезвычайно абстрактны, но их раннее введение формирует определенный язык, на котором строится дальнейшее изучение курса. Современные учебники для высшей школы предлагают различные варианты использования данной линии в организации теоретического развития изложения. Например, в учебнике Л.Я. Куликова [4] понятие «алгебраические системы», появляясь в начале курса, закладывает словарь учебной дисциплины, представление о них как математическом инструменте исследования алгебраических объектов. Грамотное использование основных свойств указанных объектов позволяет в дальнейшем изучать многие понятия путем содержательных обобщений. Введение основных алгебраических структур, несомненно, должно сопровождаться достаточным количеством «модельных» примеров групп, колец, полей. Анализируя в дальнейшем эти модели, обучаемые могут формулировать возможные гипотезы о строении общих объектов и даже намечать возможные доказательства прогнозируемых утверждений. Безусловно, основной алгебраической структурой, подлежащей изучению, является понятие группы. Раннее введение понятия группы обусловлено многими причинами. В первую очередь это связано с тем, что группа является той «клеточкой», которая лежит в основе дальнейшего изучения многих алгебраических понятий. Наличие групповой структуры на некотором множестве объектов позволяет «сжать» многие доказательства, уяснить их происхождение, осознать их естественность. Понятие группы в дальнейшем активно будет использоваться при изучении колец и полей, векторных пространств, линейных операторов и т.д.

Изучение свойств алгебраических операций немыслимо без использования символьного языка. Символьные преобразования занимают значительное место в различных разделах современной алгебры. Нельзя не согласиться с мнением выдающегося русского философа А.Ф. Лосева: «…всякий символ есть некоторого рода обобщение. Если символ вещи не есть ее обобщение, зовущее за пределы этой вещи и намечающее огромный ряд ее разнородных перевоплощений, словом, если в символе нет обобщения, создающего бесконечную смысловую перспективу, тогда не стоит говорить специально о символе …» [5, с. 258]. Считается, что символьный аппарат сложился в основном благодаря работам Ф. Виета - до этого в алгебре практически не было общих правил. Исследователи отмечают исключительное обилие примеров, потому даже элементарные учебники того времени трудны, в них даются десятки частных правил вместо одного общего. Но использование подходящей символики для формулирования общих утверждений - это только одна сторона дела. А.Ф.Лосев подчеркивает: «Символ вещи действительно есть ее смысл. Однако это такой смысл, который ее конструирует и модельно порождает... Символ вещи есть ее обобщение. Однако это обобщение не мертвое, не пустое, не абстрактное и не бесплодное, но такое, которое позволяет, а вернее даже повелевает вернуться к обобщаемым вещам, внося в них смысловую закономерность. Другими словами, та общность, которая имеется в символе, implicite уже содержит в себе все символизируемое, хотя бы оно и было бесконечно» [5, с. 272-273]. Удачный символ или их комбинация позволяет «свернуть» большой объем информации. Например, лаконичная запись означает не только краткую и легко запоминающуюся (в силу ее графической простоты) фразу «аддитивная группа всех действительных чисел изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел», но и глубокий математический факт. Непонимание студентами данной фразы означает не только незнание данного факта, но и неумение различать смысл каждого фрагмента символа. Эту же проблему мы видим в ошибке ученика, не различающего два уравнения: .

Таким образом, символьный аппарат, используемый в алгебре - это тоже отражение обобщенности алгебраического знания, другая линия обобщений. Выделим основные типы символов, употребляемые в алгебре: теоретико-множественные символы, знаки действий и отношений, имена классов объектов, схемы (формулы) вычислительных алгоритмов, алгебраические законы. Переход от привычных обозначений стандартных операций «сложение» и «умножение» и соответствующих знаков будет более доступным, если использовать сначала символы , потом более «нейтральные» символы типа или . Лишь постепенно студенты «перестают обращать внимание» на конкретное содержание, зависящее от природы алгебраических объектов, и поднимаются к настоящему смыслу символа - обозначению абстрактной алгебраической операции. Аналогично обстоит дело и со знаками отношений. Еще важнее пример алгебраических законов. Основные алгебраические законы - суть символы. Но эти символы несут в себе мощный источник преобразующей деятельности. Комбинация алгебраических законов отражает смысловую закономерность обобщаемых объектов. С символами можно оперировать самостоятельно. Поэтому когда на символическом языке получено некоторое утверждение, оно допускает конкретную реализацию в любой модели. Получаемые таким образом утверждения часто «внешне не похожи» на своих «родителей».

Анализируя дальнейшие линии обобщений, заметим, что развитие всего курса, как и отдельных тем, предполагает выделение разных уровней линий обобщения, каждому из которых «соответствуют своя специфическая система общности и отношения общих и частных понятий». Проиллюстрируем это положение на примере только некоторых тем, имеющих непосредственное приложение и особую значимость в школьном курсе математики. В рамках числовой линии в курсе алгебры мы сталкиваемся с идеей расширения понятия «число». Изучаемые еще в школе натуральные, потом целые, затем рациональные и действительные числа не просто приводят к цепочке расширений числовых областей , но и к обобщению понятия числа в новых понятиях «комплексное число», «поле комплексных чисел», принципиально иной общей идее - комплексное расширение поля. Столкновение модельного и формально-аксиоматического путей введения комплексных чисел позволяет уже первокурсникам правильно воспринимать обобщенные характеристики объектов, схватывая ядро свойств, которыми обладают новые (комплексные) числа.

Обобщение другого уровня и порядка происходит, когда от работы с числовыми выражениями, имеющими идентичную форму, мы приходим к изучению объектов новой природы - многочленов. С ними можно оперировать так же, как с числами. Появляются более общие понятия: многочлены от одной переменной, с несколькими переменными, кольцо многочленов.

Выстраивается цепочка обобщений

.

А далее мы наблюдаем отмеченный еще Гегелем «очерченный порядок все большего обогащения абстрактного и все большей его конкретизации, присущий не только развитию понятий, но и касающийся также и порядка познания вообще». Свойства делимости натуральных (целых) чисел, алгоритм деления с остатком - служат основой других линий обобщения: кольцо целых чисел - евклидово кольцо, кольцо целых чисел - факториальное кольцо. Две уже взаимосвязанные темы курса - «Кольца», «Многочлены» - дают простор для организации и развития обобщающей мыследеятельности, обобщающие процедуры здесь возникают повсеместно и непрерывно. Достаточно привести только один пример. Доказательство теоремы о факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом позволяет легко обобщить результат о факториальности кольца многочленов от нескольких переменных . Вопросы, естественным образом возникающие, связывают воедино познавательный процесс в его составляющих - специализации и обобщения, например, такие вопросы: как устроены простые или составные элементы колец ? Каковы достаточные признаки неприводимости многочленов над (полем рациональных чисел)? От этих вопросов можно перейти к серии вопросов, раскрывающих идеи расширения полей, разрешимости уравнений в радикалах, т.е. к проблематике, связанной со знаменитой теорией Галуа.

Таким образом, алгебраическая подготовка «в один узел» связывает логику исторического развития алгебраического знания в содержании предмета с естественным путем развития психологических когнитивных структур - «путем многозвенной системной дифференциации исходного целого». Приведенный в начале статьи пример показывает, что обращение к структуре исследуемого целого, к его свойствам есть одновременно обращение к обобщенной постановке задачи, нередко позволяющей прояснить ситуацию. Внимание к обобщенной форме постановки задачи есть также обращение к целостности исследуемой ситуации. Способность схватывать и обыгрывать структуры, «внутренние формы» сложных объектов формируется прежде всего как способность к погружениям исследуемых ситуаций в рассмотрение с позиций «разумной общности», позволяющее прояснить, проявить эти «внутренние формы».

Формированию данной способности отвечают выделяемые нами в дальнейшем обобщающие процедуры. Они играют роль хорошо расчлененных когнитивных структур-матриц, сквозь которые обучаемые видят возможные связи в развитии системы алгебраических понятий со сложнослоистой дифференциацией ее составляющих. Обобщающие процедуры - своеобразные «первомеханизмы» развития математики, лежащие в ее деятельностных основаниях, ведущие не только к формированию общих понятий, но и к многообразным далеко идущим приложениям. Приобщение учащихся и студентов к таким процедурам приводит к изменению их способа мышления, к окультуриванию способов действий, к преображению математической деятельности.

В учебной практике имеется достаточное количество задач, которые, будучи должным образом акцентированными, начинают направленно работать на развитие отмеченной выше способности. В рамках данной статьи только предложим классификацию обобщающих процедур в процессе изучения курса алгебры:

1) процедуры, в которых дается корректное определение математических понятий, известных на интуитивном уровне из школьного курса математики;

2) процедуры, в которых вводятся понятия, являющиеся обобщениями известных из школьного курса понятий;

3) процедуры, с помощью которых решаются задачи, являющиеся обобщениями известных из школьного курса определенных классов задач и методов их решения;

4) процедуры, с помощью которых новое понятие вводится как обобщение известного в данном курсе, но в основу определения нового понятия кладутся не свойства, аналогичные определяющим свойствам старого понятия, а некоторые характеристические свойства старого;

5) процедуры, в которых определяющее свойство является модификацией заключения некоторой теоремы, справедливой для более узкого класса объектов и важной в том или ином отношении;

6) обобщающие процедуры алгоритмического характера;

7) процедуры обобщения (и специализации), которые можно назвать аксиоматическими.

Ограничимся примерами процедур шестого типа, так как это процедуры, в которых появляются алгоритмы, имеющие в дальнейшем многочисленные применения: приведение матрицы к ступенчатому виду, деление с остатком и алгоритм Евклида, схема Горнера, представление симметрического многочлена в виде многочлена от основных симметрических многочленов и др. Например, в линейной алгебре первый алгоритм непосредственно используется в решении систем линейных уравнений, вычислении ранга матрицы, обращении матрицы, вычислении определителей и т.п. Использование указанных процедур может существенно изменить стратегии обучения. Традиционная линейная схема предъявляет студенту организованную структуру учебного материала, в которой каждый блок информации следует за другим, прибавляясь к развивающейся структуре. Другая стратегия («паутинное обучение») направлена на представление основных узлов информации, выделение важнейших смысловых блоков, которые далее будут развиваться, их общий обзор и затем более детальное изучение конкретных структур.

Литература

математика учитель обобщение алгебра

1. Алгебра. Математическая энциклопедия. Т 1. - М.: Советская энциклопедия, 1977.

2. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. - М.: Педагогическое общество России, 2000.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физматлит, 2004.

4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.

5. Лосев А.Ф. Логика символа. - В кн.: Лосев А.Ф. Философия, мифология, культура. - М.: 1991.

6. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. Человек и мир. - СПБ: Питер, 2003.

7. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

Размещено на Allbest.ru