В настоящее время значительно углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество обучения, воспитания и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебно-воспитательного процесса, от формирования в нем теоретических систем понятий, обладающих более высоким познавательно-развивающим потенциалом по сравнению с отдельными понятиями. Поэтому математическая наука и школьное математическое образование делают акцент на формирование общих теоретических систем понятий. Формирование целостных систем понятий происходит в процессе активной учебно-познавательной деятельности учащихся. При существующей системе обучения математике решение этой задачи практически не достигается. Об этом свидетельствуют результаты, полученные в ходе нашего многолетнего педагогического эксперимента, в котором учувствовало свыше 4000 учащихся различных регионов (Великий Новгород, С.-Петербург, Уфа, Рязань, Саратов и др.).

В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания и их модельные представления. Вместе с тем не были преодолены многие недочеты в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в знаниях учащихся, в существующей системе формирования математических понятий.

До настоящего времени обращает на себя внимание низкое качество усвоения фундаментальных понятий: уравнения, неравенства, тождества, функции, первообразной, интеграла. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно: каждый вводимый математический факт изучается как совершенно новый и по форме и по содержанию. Поэтому требуется определенная перестройка процесса обучения математике, формирования у учащихся системы математических понятий. Важнейшими стимулами перестройки становятся: социальный заказ общества, тенденции развития методологии математической науки, теории познания, последние научные достижения в областях психологии, дидактики, акмеологии, психодидактики.

Важными направлениями совершенствования школьного математического образования, предмета математики могут стать: 1) структурирование учебного материала; 2) конструирование моделей содержания систем математических понятий.

Под структурированием учебного материала предмета математики мы понимаем процесс выявления понятийного содержания (математические понятия, их структура, системы понятий, математические утверждения и методы их доказательства), функций, которыми обладают теоретические знания, а также содержательных и процессуальных связей, существующих между ними. Понятийное содержание и связи, имеющие место в этом содержании, образуют определенную структуру учебного материала, которую целесообразно рассматривать как некоторую модель, характеризующую внутреннюю организацию материала, соответствующую поставленным целям его изучения и выделенным средствам: математическим (типы задач и методы их решения), дидактическим (приемы учебно-познавательной деятельности) и методическим (различные виды наглядности: опорные конспекты, учебные карты и др.).

Научная методология структурирования учебного содержания может быть представлена системно-деятельностным подходом, моделированием, методом графов и матриц [1, 2, 5, 6, 8, 14, 15, 18]. Структурирование учебного материала всего курса математики является глобальным, в то время как структурирование систем фундаментальных понятий локальным. Их локальный характер обусловлен некоторой замкнутостью в рамках определенных научных теорий, целостностью сущностного отражения в этих системах понятий определенных процессов реальной действительности и современного производства.

Проведенные нами теоретические и экспериментальные исследования позволили установить, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к определенной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, адекватной их содержанию [6, 8, 10-13, 16-18].

Важнейшими элементами содержания систем понятий выступают концептуальные блоки обобщенных знаний, их логико-математические и логико-структурные связи, в том числе, различные математические закономерности.

При выделении теоретических систем понятий мы исходили из основной проблемы, стоящей перед школой: формирование понятий на таком уровне обобщения, чтобы их можно было применять в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных [2-4, 9, 16].

Нами были выделены следующие системы понятий:

уравнения и неравенства;

уравнения и тождества;

функция, производная, интеграл.

Являясь теоретическими целостностями, представленные системы соответствуют основным областям научных знаний и имеют большое мировоззренческое, теоретическое и прикладное значение. Иерархическую структуру этих систем понятий сложно отнести полностью к линейным или концентрическим в дидактическом понимании таковых применительно к учебному материалу [5, 9]. Структуры таких систем понятий ближе к блочно-иерархическим. Логическая последовательность изучения отдельных элементов и связей внутри таких систем понятий также не имеет выраженного линейного характера, так как в них одно понятие выражается через другое, генетически связанное с ним. Это вносит в линейную схему их изучения разные ответвления, отражающие концентрический характер познания взаимосвязанных и взаимозависимых понятий.

Локальное структурирование систем фундаментальных математических понятий, имеющих иерархически сложные структуры, направлено на выделение инварианта (общей, неизменной части) этих обобщенных знаний в виде блоков, несущих наибольшую научно-информационную и учебно-познавательную нагрузку, и их связей, обеспечивающих функционирование теоретических знаний на различных уровнях и этапах их формирования [5, 9, 10, 13, 16].

Нахождение инвариантов теоретических знаний путем выделения основных блоков (подсистем) понятий, обеспечивающих системность, действенность, обобщенность и интегративность систем понятий, - главная цель локального структурирования.

Выполненные теоретические исследования [5, 6, 8, 14, 15] позволили нам выделить и представить задачи локального структурирования:

1) анализ содержания, связей и отношений совокупности математических понятий, включаемых в определенную систему;

2) объединение отдельных математических понятий в блоки (подсистемы), несущие основную содержательную, логическую и системообразующую нагрузку и обеспечивающие ведущие функции системы: обобщающую, систематизирующую, эвристическую, прогностическую. Установление иерархии понятий как в системе, так и в подсистемах;

3) установление условий функционирования данной системы понятий в обучении математике, ее внутрисистемных, внутрипредметных, межсистемных и межпредметных связей;

4) построение моделей инвариантного содержания систем понятий, которые отражают их структуру и являются определенными ориентирами для управления процессами формирования и дальнейшего развития систем понятий в обучении.

Локальное структурирование базируется на важнейших положениях теории познания и отражает следующие психолого-педагогические принципы: 1) системность, целостность, обобщенность, полифункциональность фундаментальных понятий школьного курса математики; 2) взаимосвязь многоаспектной природы фундаментальных математических понятий с их системно-деятельностной сущностью, что способствует формированию и последующему функционированию знаний в различных учебных ситуациях.

Объектами структурирования выступают фундаментальные понятия школьного курса математики, которые подробно представлены в нашей работе [10]. Эти понятия являются математическими моделями процессов действительности и современного производства: экономических, физических, химических. В качестве средств структурирования и построения моделей инвариантов рассматриваемых систем понятий нами использовались логико-математический, системно-структурный и системно-деятельностный подходы, а также концептуальные схемы математики, разработанные известными методологами науки А.А. Столяром и Л.М. Фридманом [7, 17].

Качественными критериями структурирования и конструирования моделей систем понятий являются:

1) научность (соответствие в определенной степени школьных понятий и их систем научным);

2) изоморфность (сохранение в модели основных компонентов и связей, присущих исходной системе понятий);

3) системность (отражение в модели ведущих функций системы);

4) наглядность (выделение и представление всей внутренней структуры рассматриваемой системы понятий).

В составе системы понятий выделяют объяснительную и прагматическую части: инвариантное ядро, сферу, периферию [9]. Поэтому при выделении инвариантов системы понятий мы исходили из:

1) уровневого и многоэтапного характера системы понятий;

2) деления содержания инварианта на теоретическое ядро, сферу и периферию.

Теоретическое ядро понятий отражает всеобщие признаки и отношения обобщаемых объектов, которые являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности знаний, составляющих систему. Сфера отражает специфические свойства и отношения объектов. Периферия отражает индивидуальные признаки понятий, обеспечивает конкретное проявление всеобщих и особенных свойств и отношений в их единстве, связь теоретических знаний с реальной действительностью.

Модели содержания систем фундаментальных математических понятий используются в процессе обучения математике в качестве

1) средства выделения сущностных и важных в теоретическом и
практическом отношении признаков и связей объектов;

2) формы связей содержательного и наглядно-образного компонентов в процессе формирования математических понятий;

3) основы для установления внутрисистемных, внутрипредметных, межсистемных и межпредметных связей;

4) основы для формирования творческого мышления учащихся;

5) базы для формирования таких видов деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему теоретических знаний и обеспечивают их применение в заранее установленных пределах (областях).

Обратимся к рассмотрению системы понятий «Уравнения и неравенства». Понятия уравнения и неравенства - это фундаментальные понятия в математической науке и в школьном курсе математики.

В математике в становлении и развитии этих понятий можно выделить три периода.

Первый период (XV-XVI вв.) - трактовка уравнений и неравенств как числовых равенств и неравенств соответственно. В данном периоде в трактовках понятий, в методах их решениях можно выделить два аспекта: алгебраический и логический при ведущей роли алгебраического.

Второй период (XVII-XIX вв.) - функциональная (классическая) трактовка. В трактовках понятий уравнения (неравенства), в методах их решения, исследования и доказательства имели место три аспекта: алгебраический, логический, функциональный при ведущей роли функционального.

Третий период (с XX в. по настоящее время) - современная, или теоретико-множественная, трактовка уравнений и неравенств. В этой трактовке имеют место три аспекта: алгебраический, функциональный, логический при большей актуализации логического.

Периоды, имеющие место в математической науке находят определенное отражение в действующих и экспериментальных учебниках математики при ведущей роли алгебраического аспекта. Недооценивание функционального и логического аспектов приводит к тому, что у учащихся не происходит формирование целостных, системных знаний, а следовательно, и таких качеств, как гибкость, осознанность, широта, глубина, критичность мышления.

При образовании системы понятий «Уравнения и неравенства» и последующем ее развитии все три аспекта должны активно функционировать, так как отражают всеобщие признаки системы, а также являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности понятий, составляющих систему. Они представляют теоретическое ядро системы знаний. Сферу данной системы представляют виды уравнений и неравенств, ведущую основу процесса решения или доказательства которых составляют свойства функции: область определения, свойство монотонности. Периферию данной системы представляют конкретные виды уравнений и неравенств, которые являются математическими моделями процессов реальной действительности [10-12].

Научной основой образования системы понятий «Уравнения и неравенства» в школьном курсе является понятие функции (или аналитического выражения). Ведущей идеей данной системы является процесс решения и исследования различных видов уравнений, неравенств и доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных). В оформленном виде система представляет собой многоэтапную и иерархически организованную систему обобщенных знаний.

Содержание системы понятий «Уравнения и неравенства» составляют два взаимосвязанных и взаимозависимых блока (подсистемы). В первый блок (теоретическую подсистему) входят математические факты: понятия выражения с переменной, равенства с переменной, функции, ОДЗ функции, различные свойства функции (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.). Понятия функции и свойства функции составляют содержательную основу процесса решения следующих видов уравнений и неравенств: иррациональных, показательных, логарифмических, показательно-логарифмических, с модулем, с параметром, тригонометрических, а также доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных).

В экспериментальном обучении каждый из этапов процесса решения полностью раскрывался перед учащимися. Большое внимание уделялось доказательству тригонометрических неравенств, ибо этот вопрос имеет большое теоретическое и оптимизационно-прикладное значение [11, 12].

Во второй теоретический блок входят понятия логического следования и логической равносильности. Этим понятиям в школьном курсе уделяется очень мало внимания, что отрицательно сказывается на

1) умении логически мыслить;

2) выделении главного и второстепенного;

3) умении делать аргументированные выводы.

Взаимосвязи между представленными блоками выражают структуру теоретического ядра и являются одновременно исходным генетическим отношением для развертывания всей совокупности знаний методом восхождения от абстрактного к конкретному.

В экспериментальном обучении формированию представленных подсистем понятий у учащихся уделялось большое внимание, что способствовало установлению содержательных, процессуальных и функциональных связей между уравнениями, неравенствами, функциями, методами их решения, исследования и доказательства, а в целом способствовало формированию на достаточно высоком научно-теоретическом уровне системы понятий «Уравнения и неравенства».

Внутреннюю организацию системы понятий «Уравнения и неравенства» мы рассматриваем как инвариант системы, что, в свою очередь, позволило сконструировать модель содержания данной системы понятий (схема 1). Сконструированная модель представляет собой абстрактно-общий инвариант системы, включающий важнейшие содержательные компоненты и логико-структурные связи.

Проведенные нами теоретико-экспериментальные исследования показали, что реализация представленной модели в учебном процессе позволяет учитывать логико-познавательную природу и функции, закономерности формирования и интеграции математических понятий. Особенностью этой модели и аналогичных ей являются обобщенность, системность и прогностичность.

Схема 1. Модель содержания системы понятий «Уравнения и неравенства»