Благодаря изучению математики студент не только приобретает математический инструментарий, но и овладевает интеллектуальной культурой [1]. К сожалению, большинство студентов и выпускников педагогических вузов, как правило, готовы только к воспроизведению полученных знаний даже если они изучают математику в достаточно большом объеме. Вопросы, требующие небольших, но творческих усилий, вызывают у них затруднения и знакомый ответ: «У нас этого нет в лекциях». Такое положение нельзя объяснить только возможным несовершенством учебных планов и программ. Необходимо изменить характер учебно-познавательной деятельности студента. Этим объясняется актуальность задачи формирования творческой активности студента, совершенствования когнитивных приемов его мышления [3, 4]. Решение указанной проблемы в научно-педагогической деятельности высшей школы следует искать в изменении индивидуально-личностного смысла обучения [2]. Обучение будет успешным лишь тогда, когда студент, как активный субъект учения, не только принимает учебную задачу, осуществляет целенаправленный поиск ее решения, но и проявляет интеллектуальную активность (Д.Б. Богоявленская). Она принимает форму интеллектуальной инициативы, когда мыслительная деятельность обучаемого продолжается за пределами, необходимыми для решения первоначально поставленной задачи. Она преломляется через его мотивационную структуру, проявляется в атмосфере самостоятельной постановки вопросов, позволяющих установить общий метод решения целого класса задач, оригинальных формулировок новых задач, утверждений и алгоритмов. Задачи могут быть разного уровня сложности. Необходимо постепенно вводить студентов в соответствующую творческую деятельность -- от аналогичной работы по образцу до использования усвоенной информации в новой, незнакомой или более общей ситуации. Именно уровень обобщенности и переноса приобретенных ими умений и навыков в новые ситуации и условия деятельности, их динамика и перевод на более высокий уровень являются главным средством и показателем развития обучаемых. Цель данной статьи заключается в раскрытии возможностей формирования приемов творческого мышления будущих учителей математики через серии и циклы целесообразно подобранных и взаимосвязанных математических задач, в основе которых лежит прием обобщения -- анализ математической генеалогии задачи.

Метод целесообразно подобранных и взаимосвязанных задач известен давно и связан в методике преподавания математики с именем С.И. Шохор-Троцкого. Однако он получил иное развитие в связи с работами Д. Пойа, обратившего особое внимание на четвертый этап в решении задачи: взгляд назад, изучение найденного решения. Он предполагает критический анализ ответа, его прикидку и проверку; поиск новых решений и путей рационализации решения; выявление существенного в решении, потенциально полезного при решении других задач [3]. Г.В. Дорофеев, развивая эту идею, ввел понятия «окрестности задачи» как определенного набора связанных с нею задач (по содержанию, результату или методам решения) и «букета окрестностей» -- совокупности различных окрестностей задачи, связанных с той или иной ее особенностью [5]. Заключительный этап работы над задачей состоит, таким образом, из критического анализа ответа и исследования задач, входящих в ее некоторую окрестность. При исследовании задачи воплощаются признаки творческого мышления (И.Я. Лернер): перенос знаний в новую ситуацию, видение новой проблемы в знакомой ситуации, видение новой функции объекта, альтернативное мышление. Между тем изучение состояния преподавания математики показывает, что в обычной школьной практике первым двум этапам процесса решения задачи (анализ условия и поиск идеи решения) не уделяют должного внимания, а четвертый этап, как правило, отсутствует, хотя именно на этом этапе в наибольшей степени развиваются творческие способности учащихся. Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности, формируются способы деятельности, лежащие в основе продуктивного мышления. Среди них, как заметил У. Сойер: «Обобщение - это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний» [6]. Он подчеркивает, что «воображение нуждается в пище, идеи не возникают из ничего». Анализ удачного метода в прошлом опыте требует отметить задачи, к которым он применим, обозначить суть данного метода, обобщить его для решения более простых задач указанного типа. Аналогично, влияние старых знаний ведет к попыткам обучаемого обобщить известное. Сталкиваясь с совершенно новым и неожиданным фактом, он иногда обнаруживает, что обобщение невозможно, старый способ уникален, своеобразен. Обобщение - один из важнейших процессов, ведущих к развитию математики, но он не только расширяет область математики, он помогает «увязать» материал. Часто незнакомый материал может рассматриваться как обобщение знакомого. Обобщение помогает осознать новый вывод и связать его с уже известными выводами («является как бы колышком, за который цепляются новые результаты»). Иногда обобщение не объясняет новые факты, и с его помощью не доказываются новые результаты. Но оно и в этом случае помогает нашему мозгу правильно воспринимать математические утверждения, то есть обобщение позволяет преодолеть трудности не логического, а мотивационного характера (студент или ученик прекрасно понимает каждый шаг рассуждения, доказательство логично, но он не понимает, в чем состоит новый результат, какова его ценность).

Эффективность обучения обобщениям в математике во многом зависит от отбора и конструирования системы математических упражнений и задач. Организация деятельности учащихся по исследованию математической задачи в плане обобщения является недостаточно разработанной в методическом отношении. Прием варьирования задачи на основе ее обобщения в школьной практике зачастую применяют лишь к узкому классу геометрических задач. При этом ошибочно считается, что обобщение может осуществляться в основном только через «обобщение вопроса задачи». Важнее обобщенный взгляд на ее решение, анализ условия и исследование всего комплекса вопросов, возникающих в ситуации, описываемой условием, через специально организованные циклы взаимосвязанных задач. Это и составляет содержание приема, который Г.В. Дорофеев рекомендует рассматривать как частный случай обобщения и называть «анализом математической генеалогии задачи», поиском закономерности, частным проявлением которой является исходная задача.

Обобщение само по себе является весьма абстрактной категорией, и далеко не всегда ясны направления, по которым следует обобщать утверждение задачи.

Предлагаемый термин «генеалогия» представляется нам более точным указанием на специфику проводимого обобщения. Помимо теоретических трудностей, возникающих при попытках систематизации приемов варьирования задач, составление конкретных циклов сталкивается с большими трудностями чисто практического характера, связанными, в частности, с тем, что:

· построенный цикл должен работать в основном на одну идею;

· заданиями цикла проверяется не только уровень усвоения обучаемым того или иного материала, но и уровень развития их специальных и общеинтеллектуальных способностей;

· в рамках цикла создаются условия, в которых обучаемый должен придумывать что-то свое (свой вопрос, другую задачу, новое утверждение, иной способ рассуждения, новый метод);

· цикл устроен так, что задания в нем корректируют самостоятельное творчество обучаемых, облекая его в строгие с математической точки зрения формы;

· должен учитываться разброс обучаемых по индивидуальным способностям и возможностям;

· учитель может овладеть соответствующим методом, если его специальная подготовка предполагает погружение в указанный метод.

Таким образом, теоретический аспект рассматриваемой проблемы состоит в описании методов конструирования таких циклов взаимосвязанных задач, в изучении окрестности задачи, построенной на основе приема обобщения - анализа математической генеалогии задачи.

Практическая значимость исследуемого вопроса заключается в подготовке соответствующих дидактических материалов, определяемых конкретной ситуацией преподавания. Мы считаем, что будущий учитель математики в ходе специальной подготовки обязательно должен быть включен в профессионально-ориентированную деятельность, связанную с решением таких циклов задач. Знакомство студентов со структурой цикла и решение соответствующих задач составляют базу как для их математического развития, так и для воспитания у будущих учителей методического умения проникать при решении конкретной задачи в ее математическую сущность. В этом случае работа с циклами позволяет устранить сложившееся противоречие между ролью, которую играет заключительный этап работы над задачей в формировании математической культуры обучаемых (студент или учащийся), и тем местом, которое занимает данный этап в обычной педагогической практике.

В процессе преподавания вузовского курса алгебры, помимо решения со студентами задач, носящих традиционный характер предписания: «Докажите, что …», «Вычислите …», мы выстраиваем циклы заданий учебно-исследовательского характера, позволяющих организовать описанную выше последовательную интеллектуальную деятельность. Они не выходят за рамки стандартного программного материала, хотя итогом выполнения некоторых из них может быть знакомство с новым понятием или важным математическим фактом. Некоторые из этих циклов завершаются задачами олимпиадного характера для школьников. Эти задания готовят будущего учителя математики к использованию разнообразных приемов мышления, формируют у студентов приемы творческого мышления и учат их:

· наблюдать, подмечать общие закономерности, формулировать возможные гипотезы, проверять их справедливость;

· выводить следствия из полученных утверждений;

· анализировать полученные рассуждения, находить в них существенное, значимое, формулировать и обосновывать более общие утверждения;

· формулировать обратное (противоположное) утверждение, исследовать взаимосвязь получаемых утверждений;

· использовать различные языковые средства для перевода задачи и полученных в ней результатов на другой язык;

· исследовать взаимосвязь различных понятий, проводить их классификацию;

· оценивать красивые утверждения, конструировать с помощью полученных утверждений новые задачи;

· методически проникать при решении конкретной задачи в ее математическую сущность и значимость.

Каждое задание состоит из 10-15 взаимосвязанных задач. Первая задача, как правило, несложная, формулируется в стандартной форме. В серии следующих задач происходит развитие темы данной задачи в соответствии с указанными выше ориентирами.

Значительная часть предлагаемых нами задач связана с анализом доказательства того или иного утверждения. Внимание студентов постоянно обращается на то обстоятельство, что тщательное исследование доказательства какого-либо утверждения позволяет, как правило, получить значительно более общее утверждение, а для этого нужно уметь выделять узловые моменты рассуждения, главное, что в нем использовалось. Поиск и анализ нового доказательства полученного ранее утверждения позволяет студентам по-иному взглянуть на изучаемый круг явлений, включить объект в новые связи. Исключительно важным для студента является умение формулировать полученные математические результаты на разных языках (естественном, формульном, графическом). Поэтому практически в каждом задании встречаются упражнения, требующие переформулировки того или иного утверждения, «перевода» его на другие средства математического языка.

Одним из показателей успешного изучения математики является умение грамотно задавать вопросы. Студент обязан видеть, что вместе с каждым полученным утверждением возникает череда новых естественных вопросов. Одной из особенностей предлагаемых заданий является их направленность на формирование дивергентных способностей студентов. Поэтому некоторые задания допускают различные варианты правильных ответов, предполагают поиск примеров и контрпримеров.

Каждое задание, по возможности, начинается замечанием, ориентирующим студентов на итог. Это, по нашему мнению, позволяет не только мотивировать предстоящую им деятельность, но и целенаправленно ею управлять.

Особое внимание при составлении циклов мы уделяем тем разделам вузовского курса алгебры, которые напрямую связаны с соответствующими темами школьного курса математики. «Многочлены с одной переменной» -- пример такой темы. Остановимся более подробно на ее значении и некоторой роли обобщений в ней, так как иллюстрирующий пример цикла базируется на ее основах. С одной стороны, данная тема когда-то входила в содержание обязательного школьного курса математики на старшей ступени, а сейчас достаточно полно представлена в курсах углубленного изучения. С другой стороны, аппарат многочленов входит в «азбуку» таких, например, разделов курса высшей математики вузов, как интегрированное рациональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Он же востребован и в программе конкурсных (вступительных) экзаменов. Но главное, теория многочленов по своей математической сущности имеет большое значение с точки зрения преемственности математических курсов на разных ступенях школы и вуза. Как верно отмечает Г.В. Дорофеев, она «примыкает к теории делимости целых и натуральных чисел и, таким образом, может рассматриваться как продолжение соответствующей линии, начатой в более младших классах. В этом плане нельзя не отметить также, что теория многочленов является в определенном смысле прикладной по отношению к теории делимости целых чисел. Это соответствует и историческому процессу развития математики, где разложение многочленов на множители применялось к решению различных задач теории чисел» [7]. Данная тема позволяет создать в школьном курсе стройную и в определенном смысле вполне законченную линию целых алгебраических уравнений, обеспечивающую необходимый для математики и ее приложений аппарат. Теория многочленов с несколькими переменными и теория рациональных дробей представляют, с одной стороны, естественное обобщение многочленов с одной переменной, а с другой стороны, дают возможность по-новому взглянуть на традиционные тождественные преобразования целых выражений и рациональных дробей. В рамках данной статьи мы не останавливается на гуманитарном и методологическом аспектах значимости темы, о которых замечательно и основательно говорит в своих работах Г.В. Дорофеев. Подчеркнем лишь, что она -- источник возникновения и развития современных разделов современной математики.

Ниже приводится пример цикла, выполнение которого направлено на обоснование свойства многочлена степени меньшей : он может быть однозначно восстановлен, если известны его значения в точках. Упражнения 1-9 обосновывают существование многочлена с нужными свойствами. В заданиях 11-14 дается геометрическая иллюстрация обсуждаемого свойства многочленов. Выполнив задание 10, студент доказывает неочевидное утверждение: все функции, отображающие конечное поле в себя, являются многочленами. Наконец, в последних упражнениях студент вводится в некоторый круг олимпиадных задач, связанных с многочленами.

1. Пусть - бесконечная область целостности, , причем , и известно, что значения многочленов и совпадают на множестве, состоящем из элементов. Что можно утверждать о многочленах и и порождаемых ими функциях?

2. Дайте другую формулировку предыдущему утверждению, начав её словами: «Для любого натурального над бесконечной областью целостности существует не более одного многочлена, степень которого …».

3. Из предыдущих заданий следует, что над бесконечной областью целостности для любого натурального числа найдется не более одного многочлена, степень которого меньше и который принимает данные значения в точках, выбранных произвольным образом. Какой естественный вопрос теперь возникает?

4. Верно ли, что если - бесконечная область целостности, то для любого натурального числа в кольце найдется многочлен, степень которого меньше и который принимает данные значения в выбранных точках?

5. Найдите какое-либо условие, которому должна удовлетворять бесконечная область целостности для того, чтобы при любом натуральном в кольце существовал многочлен, степень которого меньше и который принимает данные значения в выбранных точках?

6. Сформулируйте результаты, полученные в заданиях 3 и 5, в виде одного утверждения.

7. Использовалось ли при доказательстве утверждения, полученного в задании 5, бесконечность области целостности ?

8. Пусть - поле, - попарно различные элементы из . Найдите многочлены над полем , степень которых меньше и такие, что для любого выполняется , а для любого верно . 9. Пусть - поле, - попарно различные элементы из , а - произвольные элементы . Постройте многочлен степени меньшей , такой, что для любого выполняется равенство .

10. Пусть - поле, состоящее из элементов. Тогда для того, чтобы задать функцию необходимо и достаточно задать образы всех элементов поля . Какой вывод Вы можете сделать, учитывая результаты, полученные ранее? (Какой вид имеют функции, отображающие в себя?)

11. Пусть , степень равна . Дайте геометрическую иллюстрацию утверждению «Многочлен степени над полем действительных чисел имеет не более корней». Обобщите полученное утверждение.

12. Для многочленов над полем действительных чисел дайте геометрическую интерпретацию утверждению, полученному при выполнении задания 6.

13. В школьном курсе алгебры подробно изучаются многочлены первой и второй степени. Специализируйте для этих случаев утверждение, полученное при выполнении задания 12.

14. Найдите какой-нибудь класс функций действительной переменной, которые обладают следующим свойством: графики двух произвольных функций из этого класса совпадают, если они совпадают на каком-либо числовом промежутке.

15. Доказать, что для произвольных попарно различных действительных чисел и произвольного действительного справедливо равенство: .

16. Укажите несколько тождеств, справедливость которых можно доказать рассуждениями, аналогичными тем, что использовали, решая предыдущую задачу.

17. (10-я Всесоюзная математическая олимпиада) По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз. Систематическое использование описанных учебно-исследовательских заданий заметно повышает качество образования, о чем свидетельствует ежегодная диагностика успешности усвоения курса. Результаты выполнения обзорного теста по дисциплине «Алгебра», показанные студентами экспериментальных групп, значительно выше, чем в контрольных. Обработка полученных данных с помощью критерия свидетельствует о том, что разница частот контрольного и экспериментального ряда является статистически достоверной (нулевая гипотеза опровергается на уровне значимости ). Другим положительным результатом нашей методики является заметный интерес студентов к методическим вопросам курса, повышение их творческой активности в процессе решения математических задач, профессионально значимой инициативы в постановке методических вопросов.

В то же время описание одного цикла, ситуационно полного в методическом отношении, представляет собой сложную проблему. Решение ее часто проводится на чисто интуитивном уровне и существенно зависит от опыта педагога, от уровня его математического образования и методической подготовки, от его задачной эрудиции. Не последнюю роль играет его интеллектуальная инициатива, желание найти хорошую задачу, которая «делает нас умнее» (Ю.И. Манин). Мы видим свою дальнейшую задачу в описании алгоритмов построения цикла, основанных на обобщении. Поэтому важной представляется систематизация разнообразных приемов варьирования задач. Как верно заметил Г.В. Дорофеев: «такая систематизация является необходимым средством обучения учителей (как настоящих, так и будущих) умению видеть взаимосвязи отдельных, внешне разрозненных задач, объединенных общими идеями». Ее актуальность и одновременная сложность как в теоретическом, так и практическом плане объясняется прежде всего оптимизационным характером методической проблемы. «Требуется найти наилучшее сочетание минимизирующего и максимизирующего факторов: теоретической обобщенности приемов, с одной стороны, и возможности практической конкретизации этих приемов, с другой стороны» [5].

творческий мышление учитель математика

Литература

1. Петров Ю.А. Культура мышления: Методические проблемы научно-педагогической работы. М.: МГУ, 1990.

2. Матросов В.Л. Тревоги и надежды высшей школы России //Педагогика, №3.

3. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1998.

4. Афанасьев В.В. Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач. Ярославль, ЯГПУ,1996.

5. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе, 1983, №6.

6. Сойер У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1965.

7. Дорофеев Г.В., Пчелинцев С.В. Многочлены с одной переменной. М., Просвещение, 2001.

Размещено на Allbest.ru