Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Обучение учащихся теме "Площади многоугольников" в курсе геометрии 7-9 классов

Обучение учащихся теме "Площади многоугольников" в курсе геометрии 7-9 классов

Особенности познавательной сферы подростков и их учет в обучении теме "Площади фигур". Логико-математический анализ содержания темы в учебниках "Геометрия 7-9", планируемые результаты ее изучения. Исследование фрагментов уроков и принципы их проведения.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 01.01.2018
Размер файла 261,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обучение учащихся теме «Площади многоугольников» в курсе геометрии 7-9 классов

Введение

геометрия урок математический

Внедрение Федеральных государственных образовательных стандартов основного общего образования (ФГОС ООО) предполагает пересмотр содержания, методов, форм и средств обучения каждому предмету, в том числе, математике. Согласно Концепции развития математического образования в Российской Федерации «изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин» [28]. Изучение математики вооружает учащихся конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, при изучении смежных дисциплин, способствует пониманию того, что математика, в частности - геометрия, является составляющей общечеловеческой культуры.

Теория площадей - один из важнейших разделов школьного курса геометрии, первые фундаментальные понятия которого достаточно сложны для пони - мания учащимися, так как обладают высокой степенью абстракции. Однако у учащихся есть опыт решения задач, который обогащается посредством использования богатых возможностей задачного материала, содержащегося в теме «Площади». Эти разнообразные задачи на непосредственное измерение площадей, на вычисление площадей с помощью формул, разрезание, на конструирование из бумаги, на равновеликие и равносоставленные фигуры могут использоваться в урочное время и в рамках внеурочной познавательной деятельности. Тема «Площади» имеет богатую историю, внутрипредметные и межпредметные связи, практическое применение. Эти особенности рассматриваемой темы должны найти отражение в методике обучения: основным её понятиям, доказательству теорем, решению задач в условиях реализации ФГОС ООО. Всё это обусловило актуальность темы выпускной квалификационной работы «Обучение учащихся теме «Площади многоугольников» в курсе геометрии 7 - 9 классов».

Объектом исследования является процесс обучения геометрии учащихся 7- 9 классов общеобразовательной школы, а предмет исследования - процесс обучения учащихся восьмых классов теме «Площади многоугольников».

Целью выпускной квалификационной работы является разработка методических рекомендаций для обучения теме «Площади многоугольников», направленных на реализацию ФГОС основного общего образования. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач.

1) Выявить математические основы теории измерения геометрических величин.

2) Установить психолого-педагогические и методические основы обучения учащихся теме «Площади многоугольников».

3) Отобрать и разработать средства обучения теме «Площади многоугольников».

4) Разработать уроки различных типов по теме «Площади многоугольников» и провести опытную проверку разработанных материалов при обучении учащихся восьмых классов.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по геометрии; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

Теоретико-методологические основы исследования:

нормативные документы, относящиеся к сфере модернизации школьного, в том числе, математического образования в Российской Федерации;

- системно-деятельностный подход в обучении (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн) и, основанная на нём, концепция формирования универсальных учебных действий (А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская, О.А. Карабанова, Н.Г. Салмина);

- педагогические технологии (А.В. Хуторской, И.Я. Лернер);

- труды в области математического образования, в том числе, теории и методики обучения геометрии А.Д. Александрова, Л.С. Атанасяна, Л.И. Боженковой, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, В.И. Мишина, В.А. Смирнова, И.М. Смирновой, Р.С. Черкасова, И.Ф. Шарыгина.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны:

1) учебные материалы для обучения теме «Площади многоугольников» в восьмом классе; 2) средства для проведения уроков по теме; 3) методические рекомендации учителю для проведения различных типов уроков с использованием разработанных средств.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.

Глава I посвящена историческим, математическим и психолого-педагогическим аспектам теории площадей в школьном курсе геометрии. Здесь даются аксиоматические подходы скалярных величин, в том числе геометрических. Рассматриваются несколько подходов к определению площади. Выявляются особенности познавательной сферы учащихся при изучении темы

«Площади фигур». Так же рассмотрены рекомендации к изучению темы

«Площади многоугольников» с учетом реализации ФГОС ООО на уроках в курсе геометрии восьмого класса.

В главе II представлены результаты логико-математического анализа УМК

«Геометрия 7 - 9», общие рекомендации для обучения теме «Площади много - угольников; фрагменты разных типов уроков по данной теме. Приводятся результаты педагогической опытной проверки.

Заключение содержит основные выводы и результаты проведенного исследования.

1. Теоретические основы изучения площадей плоских фигур в курсе геометрии 7-9 классов общеобразовательной школы

1.1 Элементы теории площадей в курсе математики

На основе анализа математической литературы, можно выделить следующие свойства геометрических величин:

1) Геометрическая величина принимает только неотрицательные значения (неотрицательность).

2) Если тело (или носитель величины) разбито на части, то сумма величин частей равна величине целого. Величины одного рода можно складывать (аддитивность).

3) Для двух величин одного рода существует отношение - привлеченное число, которое не зависит от способа измерения величин (нормируемость).

4) Если тела А и В равны (т.е. совмещаются), то и соответствующие им вели - чины равны (инвариантность).

Следует обратить внимание, что обратное неверно: из равенства площадей или объемов не вытекает равенство самих плоских фигур или тел.

Однако существуют такие фигуры, для которых равенство величин при - водит к равенству самих фигур. Такие фигуры определяются одним параметром

– данной величиной. Для того чтобы измерить величину, нужно выбрать единицу измерения. Если под величиной, соответствующая какому-то определен - ному телу, будем принимать как эталон, то следует понимать, что единица измерения - это не сам эталон, а его величина. Всякая величина состоит из числа (положительного) и наименования. С помощью свойств 2 и 3 каждой величине приписывается определенное значение.

1.2 Отражение теории площадей в школьных учебниках геометрии

В школьных учебниках геометрии в основном понятие площади вводится аксиоматически, т.е. дается определение площади и перечисляются ее свойства, в не - которых учебниках свойства приводятся наглядно.

Приведем примеры определения и свойства площади, предложенные в школьных учебниках «Геометрия 7 - 9» авторских коллективов А.Д. Александрова и др. [2], Л.С. Атанасяна и др. [16], А.В. Погорелова[45], И.М. Смирновой и В.А. Смирнова [50], И.Ф. Шарыгина [60].

Во всех учебниках геометрии приводятся свойства инвариантности и аддитивности площади:

1° Равные многоугольники имеют равные площади.

2° Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Свойство нормированности площади, как отдельное свойство выделено в [45, 60]; в учебнике [16] площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник и свойство 3°: Площадь квадрата равна квадрату его стороны; в учебниках [2, 60] эти свойства представлены наглядно.

Вопрос об измерении площадей рассматривается в учебниках геометрии по-разному. В учебнике [50] для измерения площадей используется сетки на плоскости, составленная из единичных квадратов. Поэтому площадь определяется следующим образом: площадь фигуры - это число, получающееся в результате измерения и показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре.

В учебнике [16] процесс измерения площадей на примерах прямоугольника и трапеции, затем говорится, что на практике он неудобен, поэтому площадь вычисляют по определенным формулам.

В учебнике [60] подход к измерению площадей рассматривается без свойств; приводится пример, в котором показывается, что единичный квадрат не единственная фигура с площадью 1.

В учебнике [2] подробно рассмотрен процесс измерения площадей и единицы измерения площадей; доказывается лемма об отношении площадей квадратов.

1.3 Особенности познавательной сферы подростков и их учёт в обучении теме «Площади фигур»

Математика один из таких предметов школьного курса обучения, которые воспитывают у учащихся логику мышления, что является интеллектуальной базой всякого процесса обучения. На уроках математики воспитываются многие важные качествам личности: целеустремленность, способность преодоления трудностей, самостоятельность, умение радоваться за достигнутый правильный результат умственного труда и другие. Изучение математики, в том числе, геометрии, способствует умственному развитию, поэтому ребенок, хорошо успевающий по математике, как правило, успешен в изучении других предметов. Период изучения геометрии на основной ступени общего образования - 7 - 9 классы, соответствует подростковому возрасту учащихся (от 11 -12 до 15 лет), а тема «Площади многоугольников» изучается в 8-9 классах. Этот период времени относится к подростковому возрасту и является ключевым, в огромной степени решающим для формирования личности, т.к. происходит переход от детства к взрослости, охватывающий все стороны развития растущего человека как индивида, субъекта, личности, индивидуальности.

Подростковый возраст отличается активным поведением и глубокой перестройкой организма в познавательной сфере [30]. Учеба в школе занимает большое место в жизни подростка. Для подростка становятся привлекательными самостоятельные формы занятий. Подростку это импонирует, и он легче осваивает способы действия, когда учитель лишь помогает ему.

Большое значение в обучении имеет интерес к учебному предмету, под которым понимается «избирательное, эмоционально окрашенное отношение чело - века к действительности, одна из характеристик личности» [48, c. 82].

Большое значение имеет подача материала учителем, умение увлекательно и доходчиво объяснить материал, что активизирует интерес, усиливает мотивацию учения. Постепенно на основе познавательной потребности формируются устойчивые познавательные интересы, ведущие к позитивному отношению к учебным предметам в целом. В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознанием жизненной перспективы, своего места в будущем, профессиональных намерений, идеала.

Овладение учебным материалом требует от подростков более высокого уровня учебно-познавательной деятельности, им предстоит усвоить новые научные понятия, системы знаков. Новые требования к усвоению знаний способствует постепенному развитию теоретического мышления, интеллектуализации познавательной сферы. Новые требования учебный материал предъявляет и к процессам восприятия. Подростку необходимо не просто запомнить схему, какие-то изображения, а уметь в них разобраться, что является условием успешного усвоения учебного материала. Таким образом, происходит интеллектуализация процессов восприятия, развивается способность выделять главное, существенное. Подростковый возраст - это возраст развития доказывающего мышления - доказывающего как с точки зрения формальной правильности, так и с точки зрения истинности, соответствия данных положений действительности. В подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими и еще меньше создает их: в этом возрасте доказывание, скорее дело памяти. Учитель должен умело этим воспользоваться.

Усвоению материала подросткам может мешать установка только на механическое запоминание. Объем учебного материала велик, и воспроизвести его, пользуясь неоднократным повторением для запоминания, сложно. Эффективность запоминания обеспечивает анализ содержания материала, логики его построения, выделение существенного [41]. Этого можно достичь, если использовать познавательные действия.

Возрастные изменения проявляются в познавательном интересе, который определяется новообразованием этого возраста - стремлением к взрослости, а вместе с ним, и стремлением к самостоятельности. Г.И. Щукина отмечает, что интерес носит поисковый характер, связанный с желанием проникать в более глубокие основы знаний [62]. Интерес к предмету тесно связан с ясным пониманием (восприятием) учебного материала. Так, тема «Площади фигур» при правильно организованном обучении может интересной для учащихся. Например, предложить учащимся подготовить рефераты, доклады, сообщения из истории зарождения теории площадей, о возникновении системы мер, о древних способах вычисления площадей различных плоских фигур, и выступить с докладами на уроке-конференции.

Основным фактором развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала. Пониманию материала способствует работа с учебной информацией, её систематизация, представление её в виде схем и др.

Проблема интересов является ключом ко всей проблеме психологического развития подростка, отмечено Л.С. Выготским [13]. Возникший в этом возрасте, он обогащается, сохраняется, углубляется, и в дальнейшем может повлиять на выбор основной, профессиональной деятельности. С изменением характера и форм учебной деятельности, познавательный интерес требует более высокой и организованной умственной деятельности.

С переходом в подростковый возраст связана существенная перестройка учебной деятельности школьников. В.А. Крутецкий отмечено, что подросток становится способным к восприятию предметов на более сложном аналитико-синтетическом уровне. Увеличивается объём восприятия, оно становится более последовательным, всесторонним; происходит перестройка мыслительной деятельности подростков [30].

В психологии мышление понимается как познавательная теоретическая деятельность, связанная с действием: «Первичный вид мышления - это мышление в действии и в действии выявляется» [47, с. 23].

Математическому, в частности геометрическому, образованию в процессах формирования мышления или умственного развития обучающихся отводится особое место. Это объясняется спецификой предмета геометрии, необходимостью выполнения логических рассуждений при решении задач и доказательстве теорем, с помощью познавательных логических УУД.

В этом плане изучение темы «Площади фигур» предоставляет обучающимся широкое поле деятельности, когда у обучающихся возникает вопрос о том, как вычислить площадь той или иной фигуры при наличии некоторых условий, рассмотреть различные способы вывода формул для вычисления площадей.

Изучение темы «Площади фигур» развивает дивергентное мышление, так как на большое количество теорем и задач по этой теме существует несколько одинаково правильных доказательств и решений. Изучая тему «Площади фигур», обучающиеся многие теоремы могут доказать самостоятельно, что способствует развитию осмысленного запоминания. Следует использовать и зрительную память ученика: использование схем, систематизирующих учебную информацию, структурированной записи решения задач, доказательства теорем способствует более прочному усвоению изучаемого материала.

Большое значение для развития мышления имеет применение знаний - решение задач, так именно здесь используются и развиваются приёмы умственной деятельности - познавательные логические УУД [11]. Необходимость формирования познавательных умений у учащихся обоснована результатами исследования психологов показывающих, что при спонтанном их формировании, многие учащиеся не достигают необходимого для данного возраста уровня интеллектуального развития. В частности, не владеют конкретными мыслительными операциями (анализ и синтез, установление причинно-следственных связей и т.д.), плохо запоминают учебную информацию и др. около 50%, 40%, 35% учеников седьмых, восьмых, девятых классов соответственно [43]. Такое положение объясняется несформированностью познавательных логических УУД.

Обучение должно опираться на активную, творческую работу школьника на уроке под руководством учителя, что обеспечивается системно-деятельностным подходом в обучении. Этому способствует самостоятельное открытие знаний, подготовка рефератов и их презентация и др. Эта работа должна вестись с учётом дифференциации: использование доступных и интересных задач и заданий соответствующего уровня сложности, подсказок с организацией контроля. Например, использование необязательных заданий для желающих с последующей проверкой результатов с помощью готовых решений, которые предлагаются в случае необходимости. Например, в 8 классе после изучения темы «Площадь многоугольника» учащимся предлагается необязательное задание на решение задач, а через определённое время выполняется разбор их решений.

1.4 Реализация идей ФГОС ООО при обучении теме «Площади фигур»

Основное содержание темы «Площади фигур» - математические задачи, теоремы, связанные с выводом площадей многоугольников, можно рассматривать как важнейшие задачи на доказательство. Значение решения задач для умственного развития ученика трудно переоценить. Решение задач не алгоритмического типа, а их большинство в школьном курсе геометрии, осуществляется с помощью познавательных логических УУД, главными из которых являются вы - ведение следствий из условия, выведение следствий из требования. Эти сложные познавательные УУД включают анализ, синтез, сравнение, обобщение [7].

При решении задач ученик рассуждает в соответствии с этапами решения любой математической задачи, которые он должен знать: 1) работа с текстом; 2) поиск решения и составление плана; 3) реализация плана; 4) «взгляд назад» [59]. Л.И. Боженковой разработана структура саморегуляции деятельности при решении задач, в соответствии с которой познавательные умения включаются в регуляторный процесс, и осуществляется формирование регулятивных УУД [7].

В нашем исследовании эта структура используется на двух уровнях, указанным в основной образовательной программе основного общего образования: «ученик научится» и «ученик получит возможность научиться», указанным в Основной образовательной программе основного общего образования [46].На первом этапе учащиеся осознают условие и требование задачи, раскрывают термины понятий, данных в условии задачи, вспоминают нужную информацию, соотносят с этой информацией условие и требование задачи (таблица 2).На втором этапе ученику нужно подвести задачу под известный тип, использовать различные познавательные логические и общеучебные действия (таблица 2). Здесь же выбираются методы решения, намечается план. На этапе реализации плана решения задачи ученик выполняет правильную пошаговую запись решения, используя утверждение и обоснование (таблица 2). На этом этапе развивается действовать в соответствии с планом. На этапе «Взгляд назад» проверяется решение, выполняются коррекция (при необходимости) и оценка (таблица 2).

Приведём пример деятельности учащихся с задачей первого уровня сложности.

Задача. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ равна 11 см. Найти высоту, проведённую к стороне ВС.

На первом этапе - работа с текстом задачи, ученик, прочитав задачу, выделяет главные фигуры и понимает, что речь идёт о понятиях «треугольник», «высота», которые ему уже известны, выполняет первоначальный рисунок, записывает «Дано», «Найти». Здесь использовался приём «Построение чертежа».

Выполнив рисунок, записав данные и требование, он переходит на второй этап - поиск решения и составление плана.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Схема поиска решения задачи

Структура саморегуляции деятельности при решении задач

1) Постановка учебной цели в процессе решения задачи, выбор уровня достижения цели

Базовый (ученик научится)

Продвинутый уровень (ученик получит возможность научиться)

2) Выявление объективной учебной информации, необходимой для решения задач

3) Соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями; принятие решения об использовании помощи

4) План деятельности при решении задач выбранного уровня сложности

I. Работа с текстом задачи выполнить анализ текста задачи; выполнить при необходимости чертёж

раскрыть термины понятий, данных в условии;

записать: данные и требование: «Дано» («Найти», «Доказать»);

II. Поиск решения задачи вывести следствия из условия задачи

вывести следствия из требования задачи

вывести следствия из требования и условия (если необходимо) если поиск решения закончен, то составить план решения.

если поиск решения не закончен - выбрать способ помощи и уровень помощи

Ё вспомнить формулировки теорем, указанные в столбце «обоснования» данной таблицы;

Ё рассмотреть готовую схему поиска доказательства теоремы и указать номера соответствующих обоснований, актуализированных в предыдущем пункте;

Ё разобрать данное решение задачи и про - вести все рассуждения на аналогичной за - даче;

Ё воспользоваться данным перечнем обоснований, необходимых для решения задачи или готовой идеей метода решения

Ё заполнить пропуски в схеме поиска доказательства теоремы;

Ё если поиск решения задачи не закончен, то перейти на первый уровень самостоятельности

III. Реализация плана решения

Ё выбирает способ записи решения

?выполняет правильную запись решения задачи, используя карточку - информатор

Ё выполняет полную правильную запись решения задач своего уровня;

Ё использует сознательно способы неполной записи решения

IV. «Взгляд назад»

Ё составить для своего уровня сложности задачи: по готовому чертежу и требова - нию, аналогичные, обратные задачи и ре - шить их

Ё обобщить решение задач одного типа,

Ё найти другие способы и методы решения

5) контроль процесса решения задачи:

Ё объясняет решение задачи своего уровня сложности;

Ё использует приём контроля решения задачи

6) оценивание результатов выполненной деятельности:

Ё использует приём оценки собственной деятельности

7) самодиагностика и коррекция собственных учебных действий:

Ё использует приём коррекции собственной деятельности при решении задачи

1) Ученик выводит следствия из условия: т.к. известны сторона и высота, про - ведённая к ней, то можно найти площадь треугольника.

2) Ученик выводит следствие из требования: т.к. нужно найти другую высоту треугольника, то её можно найти из формулы площади треугольника, используя соответствующую сторону: нужно знать площадь и соответствующую высоте, сторону. Все эти величины есть.

Если описанный процесс рассуждений ученик не выполнил, то он использует помощь, например - берёт у учителя подсказку (рис. 4). После работы с рисунком, ученик составляет план решения (2 действия) и реализует его на третьем этапе. На четвёртом этапе он может составить обратную задачу. Для контроля целесообразно использовать парную работу, что способствует развитию коммуникативных УУД.

При подготовке к уроку решения задач учителю необходимо подготовить подсказки различного уровня: от указания на возможность использования определённого метода решения задачи, теоремы, которую нужно использовать, до предъявления пошаговой записи решения задачи, в которой не заполнены от - дельные компоненты [7].

В процессе обучения решению задач можно успешно формировать коммуникативные УУД, которые условно можно разделить на две взаимосвязанные группы: действия, с помощью которых осуществляется совместная деятельность (работа в группе); действия, с помощью которых осуществляется общение и взаимодействие, т.е. умение представлять и сообщать в устной и письменной фор - мах свои и другие мнения, взгляды; использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции [56].

Для формирования умений первой группы используется взаимообучение, взаимоконтроль, взаимооценка, взаимокоррекция, которые реализуются в групповой работе: парной, звеньевой, бригадной.

Для формирования умений второй группы используются обсуждение, дискуссии, выступления, доклады, презентации (устная речь): к письменной речи относится: написание математических текстов, связанных с учебным содержанием (доказательств теорем, решений задач и др.); поиск, чтение, отбор, изучение, информации для дальнейшего письменного представления её в виде тезисов, реферата и т.п. Для этого в тематическое планирование и в Карту изучения темы включены темы докладов, которые предлагаются ученикам и предусмотрены урок-конференция, урок-семинар (п. 3.2.3, п. 3.2.5).

Структура групповой работы на уроках геометрии

Этапы учебно-познавательной групповой деятельности

Содержание коммуникативной деятельности учащихся

1) Постановка учебно-познавательной задачи, способствующей возникновению потребности в предстоящей деятельности;

определение необходимости своего участия в коммуникации, её цели;

2) создание проблемной ситуации, формулирование проблемы;

выдвижение гипотез по поводу формулировки проблемы;

3) постановка цели совместной учебно-познавательной деятельности (с помощью учителя);

обобщение и систематизация резуль - татов обсуждения;

4) планирование своей учебно-познавательной деятельности;

обобщение и систематизация резуль - татов обсуждения в единый резуль - тат;

5) поиск путей решения проблемы внутри группы на основе выполнения определённых заданий (ПУД, РУД);

подсказка и взаимопомощь коллегам по группе (ПУД, РУД);

6) реализация плана деятельности, усвоение основных элементов соответствующей части содержания геометрии (построение математической модели объектов и отношений между ними; преобразование полученной модели для выявления новых свойств) (ПУД, РУД);

распределение обязанностей для решения фрагментов задачи некоторыми учащимися; оформление результатов деятельности группы различными способами отдельными учащимися (ПУД, РУД);

1) обсуждение результатов выполнения заданий членами группы;

взаимооценка учебно-познавательной деятельности внутри группы;

8) выступления представителей групп с отчётами по результатам работы группы (ПУД, РУД);

оппонирование, рецензирование результатов деятельности коллег из других групп (ПУД, РУД);

9) самооценка достигнутых результатов учебно-познавательной деятельности с позиций своих личных критериев и притязаний, с позиций объективных критериев (РУД);

устный и письменный самоанализ собственной деятельности (РУД);

10) подведение итогов групповой работы

общая оценка деятельности групп

Большой вклад в решение задачи формирования коммуникативных УУД вносит использование элементов истории математики. Знакомясь с биографиями великих математиков, историческими задачами, математическими софизмами, с возникновением идей, понятий, теорий и методов математики, ученик приобщается к общепризнанным духовным ценностям [7].

Личностные УУД в обучении геометрии формируются опосредованно, являясь результатом целенаправленного взаимосвязанного формирования всех групп УУД [7]. Согласно учению Н.А. Менчинской, в процессе развития личности качественные изменения проявляются, прежде всего, в познавательной сфере, в процессе обучения. Усвоенные логические познавательные УУД, включаясь в структуру регуляторного процесса, как показано для решения задач, обеспечивает понимание и способствует развитию личности [7]. При этом развиваются волевые черты характера, способность добиваться поставленной цели, умение преодолевать препятствия, трудности.

Развитию личностных УУД способствует понимание смысла изучаемой информации, её значение и связь с ранее изученной. Так, в методике математики отмечается, что понятие величины является одним из основных понятий, применяемых не только в математике, но и в физике, химии и других научных дисциплинах на различных этапах обучения [37].

Развитию познавательных УУД будет способствовать использование аналогии, например, при изучении понятия «Площадь» в восьмом классе к вопросу его введения полезно провести аналогию с понятием длины и величины угла как величины, удовлетворяющей определённым требованиям. Для формирования познавательных логических УУД учащимся предлагается заполнить последнюю колонку таблицы 4.

В процессе обобщения выясняется, что изучаемое понятие удовлетворяет следующим требованиям.

1. Площадь - неотрицательная величина.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

3. Если фигура состоит из двух неперекрывающихся фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

Свойства геометрических величин

Длина отрезка

Величина угла

Площадь фигуры

Мера

Единичный отрезок

Угол в 1?

Определение

Положительное число, показывающее сколько раз единичный отрезок и его части укладывается в данном отрезке

Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в 1 и его части укладываются в этом угле

1°

Отрезок, имеющий длину, равную одной единице - единичный отрезок, принимается за единицу измерения отрезков (1 м, 1 см, 1 мм)

Угол, имеющий величину равную единице измерения углов (1?), принимается за единицу измерения углов

2°

Длина отрезка не зависит от его положения (равным от - резкам соответствуют равные длины)

Градусные величины равных углов - равны

3°

Если отрезок разбит на неперекрывающиеся части, то его длина равна сумме длин этих частей

Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин

До понимания учащихся следует довести, что из требований 2 и 3 следует, что площадь фигуры F1, целиком принадлежащей другой фигуре F2, не превосходит площадь этой другой фигуры S(F1) ? S(F2).

Остаются незаполненными первые две строки, поэтому, сначала вводится условие:

4. За единицу площади принимают площадь квадрата, длина стороны которого рана единице (единичный квадрат) [26].

Наибольшее затруднение у обучающихся вызывает площадь прямоугольника. Поэтому учитель организует изучение этой темы с помощью школьной лекций, активизируя деятельность учащихся (п. 2.2.2). С помощью свойств площадей выводится известная формула площади прямоугольника.

В школьном курсе геометрии проблема измерения площадей решается с помощью сетки квадратов, сторона которых принята за единицу. Использование данной сетки позволяет сделать не только доступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади, состоящую в подсчете числа квадратов, которые укладываются на этой фигуре. Развитию интереса, а, следовательно, развитию личностных УУД, будет способствовать использование при изучении этой темы миниатюры с сайта «Этюды». В миниатюре показано, что встречаются квадраты, частично находящиеся внутри фигуры и заключающие эту фигуру. Показана также процедура «измельчения» квадратов, в результате обсуждения которой, учащимся сообщается о существовании положительного действительного числа, которое и называют площадью данной фигуры, что доказывается в курсе высшей математики.

Учащимся сообщается, что это число - площадь, не зависит от способа наложения сетки, что доказано знаменитым французским математиком Анри Лебегом. Учащимся предлагается подготовить небольшое выступление об этом и других учёных, сделавших вклад в теорию геометрических величин. Это будет способствовать формированию коммуникативных УУД.

Переходя теперь от непосредственного измерения площадей путем сравнения их с единицей измерения при помощи сетки к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо обратить внимание на то, что измерение площадей с помощью сетки на практике неудобно, а удобных приборов нет. Этот факт можно использовать для мотивации вывода формул для вычисления площадей конкретных фигур, в частности многоугольников, начиная с прямоугольников (п. 2.2.3). Здесь полезно обратить внимание учащихся на то, что задача отыскания площади фигуры является более сложной, чем измерение длины отрезка. Если неравным отрезкам соответствуют неравные длины, неравные фигуры могут иметь равные площади.

Основным методом отыскания площади многоугольника является метод разложения, который состоит в том, что устанавливается равновеликость данной фигуры фигуре, площадь которой известна, путем разложения обеих фигур на соответственно равные части. Производится перекраивание одного многоугольника в другой, из частей одного многоугольника составляется другой, ему равновеликий. Вводится для многоугольников, состоящих из соответственно равных частей, термин «равносоставленные». Основой этого метода служит положение, утверждающее, что равносоставленные многоугольники равновелики (имеют равные площади), и обратное положение о том, что всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Основными положениями для вывода формул площадей многоугольников являются формула для вычисления площади прямоугольника и равновеликость равносоставленных многоугольников [26]

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Иллюстрация способов вычисления площади параллелограмма

После решения вопроса о площади прямоугольника, рассмотрение вопроса о площади других многоугольников не вызывает затруднений.

Формулы для вычисления площадей треугольников и четырехугольников получаются обычно пристраиванием их в равновеликие прямоугольники или параллелограммы. При этом полезно соблюдать такой порядок: площади параллелограммов, затем треугольников, далее - трапеции.

Полезно в качестве упражнений предлагать учащимся самим искать раз - личные варианты перестроения. Анализ учебников показал, что в них в основном приводится вариант остроугольного треугольника и даётся один способ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Иллюстрация способов вычисления площади треугольника

Аналогичным образом получают формулу для вычисления площади трапеции.

Обобщением всей деятельности может быть рассмотрение утверждения

«Два равносоставленных многоугольника равновелики. Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены». Эта теорема доказана Ф. Бойяи в 1832 и П. Гервиным в 1833 году.

Для доказательства этой теоремы учащимся предлагается решить следующие три задачи:

1. Разрежьте произвольный треугольника на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

2. Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

3. Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.

Идея доказательства теоремы Бойяи - Гервина заключается в следующем. Во-первых, доказывается не самоутверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала разбивают каждый из многоугольников на треугольники, затем каждый треугольник преобразовывают в квадрат (задача 1 и 2), и в конце из большого количества маленьких квадратов складывают один большой (задача 3).

Для учащихся, желающих узнать больше, предлагается изучить и выступить на конференции с другим доказательством данной теоремы, используя теоремы [50]:

1. Две фигуры, равносоставленные с одной и той же фигурой, равносоставлены.

2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.

3. Любые два равновеликих треугольника равносоставлены.

4. Всяких многоугольник равносоставлен с некоторым треугольником.

Идея доказательства состоит в том, что для двух равновеликих много - угольников рассматриваются равносоставленные с ними треугольники. Полученные треугольники равновелики, значит равносоставлены.

Также следует обратить особое внимание на нетрадиционную для школьного курса теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произволения сторон, заключающих равные углы.

На этой теореме основано доказательство признаков подобия треугольников. Кроме того, эта теорема позволяет решить большое число задач без использования теории подобия и тригонометрических формул, связывающих стороны и углы треугольника.

При решении задач необходимо обратить внимание учащихся на то, что при вычислении площади прямоугольника нужно выразить длины сторон в одинаковых линейных единицах измерения. Кроме этого, минимум сведений о площадях многоугольников полезно расширить. В школьных учебниках выводятся некоторые другие формулы для вычисления площадей треугольников.

Итогом всей деятельности по выводу формулы может быть задание на заполнение пропущенных формул данной систематизационной таблицы для вычисления площадей многоугольников (таблица 5). Это способствует формированию познавательных УУД.

Особое место в школьном курсе геометрии занимает раздел - «геометрия на клетчатой бумаге». Учащимся следует рассказать о том, как можно вычислить площадь многоугольника на клетчатой бумаге. Для этого можно воспользоваться теоремой Пика, которая применима также для многоугольника, вершины которого лежат на узлах клетки.

При изучении темы «Площадь» следует обратить внимание учеников, что с площадями разных фигур они ежедневно сталкиваются в реальной жизни (например, площадь комнаты, дачного участка), в природе, в строительстве, а также в других изучаемых ими школьных дисциплинах, будь то география, физика и т.д. После этого школьники будут более сознательно воспринимать данную тему: знание, для чего изучаем, способствует пониманию того, что изучаем.

2. Методические рекомендации для обучения теме «Площадь многоугольников» в курсе геометрии восьмого класса

2.1 Планирование обучения теме «Площади многоугольников»

На главу «Площади многоугольников» согласно программе учебника [15] отведено 15 часов. Представлены следующие типы уроков: урок-школьная лекция, урок - открытие новых знаний, урок-семинар, урок-практикум и урок-конференция. Последний тип урока представлен по теме «Площадь многоугольника: история, теория, задачи».

Основная цель темы «Плащи многоугольников» - сформировать у школьников представление о понятии площади и ее измерений, научить находить площади основных многоугольников. В таблице 6 приведено поурочное тематическое планирование темы «Площадь» [15].

Таблица поурочного тематического планирования

№

Название темы урока

Формы организации УПД;

Тип (вид) урока

1

Планирование изучении темы и актуализации знаний

Коллективная

Урок целеполагания и актуализации знаний

2

Измерение площадей. Площадь прямоугольника.

Фронтальная, коллективная

Урок школьная лекция

3,4

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Групповая

Урок-открытие новых знаний

5,6

Решение задач на вычисление площадей параллелограмма, треугольника, трапеции

Фронтальная, коллективная

рок практикум

7

Решение задач на вычисление площадей многоугольников (С.Р.)

Фронтальная, индивидуальная

Урок-практикум

8

Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора

Фронтальная, коллективная, групповая

Урок-семинар

9

Решение задач по теме «Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора» (С.Р.)

Фронтальная, коллективная

Урок практикум

10

Решение задач по теме «Площади многоугольников»

Фронтальная, коллективная

Урок практикум

11

Контрольная работа по теме «Площади многоугольников»

Индивидуальная

Урок-практикум

12

Анализ контрольной работы

Фронтальная, коллективная

Урок практикум

13,

14

Площадь многоугольника: история, теория, задачи

Фронтальная, групповая, коллективная

Урок-конференция

15

Задачи на разрезание

Фронтальная, коллективная

Урок-практикум

2.2 Логико-дидактический анализ содержания темы в учебниках

«Геометрия 7 - 9». Существует много различных учебных пособий по геометрии для учащихся в школах. С целью сравнения содержания темы «Площади» в различных учебниках выполнен логико-математический анализ УМК «Гео - метрия 7 - 9», входящих в федеральный перечень учебников по новым стандартам на 2015/2016 учебный год, утвержденные Министерством образования Российской Федерации следующих авторских коллективов: 1) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик[2]; 2) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина[15]; 3) И.М. Сирнова, В.А. Смирнов. [50]; а также авторов: 4) А.В. Погорелов[45]; 5) И.Ф. Шарыгин [60].

Тема «Площади многоугольника» изучается во всех учебниках в разное время. В таких учебниках, как [15], [2] данная тема изучается в 8 классе, а в учебниках [45], [50], [60] - в 9 классе.

В учебниках [45], [50], [60] изучаются темы: «Площади многоугольников» и «Площадь круга».

При введении понятия в математике необходимо рассматривать жизненные примеры, связанные с данным понятием. Тема «Площади многоугольников» является одной из таких тем, которая напрямую связана с жизнью и наглядно демонстрирует применение математических знаний на практике. Во всех учебниках, кроме учебников [45], [50], предшествует данные сведения. Во всех учебниках вычисления площадей представлено достаточно полное изложение этого аспекта теории площадей. Естественно, у каждого учебника есть свои особенности, вызванные построением курса самих учебников. В учебнике [2] тема «Площади многоугольных фигур» начинается с понятий многоугольник и многоугольные фигуры, далее рассматриваются формулы для вычисления площадей прямоугольника и треугольника, затем впервые изучаются такие фигуры, как параллелограмм и трапеция, и сразу же рассматривают формулы для вычисления площадей данных фигур. Из-за особенности самого учебного пособия, соответствующие формулы для вычисления площадей того или иного многоугольника приводятся не все сразу, а только тогда, когда для их вывода подготовлена основа.

В учебнике [16] доказывается, что площадь квадрата со стороной a равна a, и данное утверждение относится к свойствам площади, так же доказывается теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Данная теорема является следствием теоремы о площади треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту) и играет значительную роль при изучении подобия треугольников. Затем доказывается с помощью свойств площадей теорема Пифагора, здесь же приводится историческая справка. Так же заостряется внимание на формуле Герона - она вынесена как отдельный параграф. Уже в 9 классе, когда дети ознакомились с элементами тригонометрии, доказывается формула для вычисления площади треугольника (по двум сторонам и углу между ними), приводятся формулы для вычисления площади правильного многоугольника, формулы для вычисления площади круга и кругового сектора (круговой сегмент не рассматривается). Учебник содержит интересные исторические справки, которые не только вызывают интерес школьников к изучаемому материалу, но и полезны для общего развития детей.

В учебнике [45] в параграф «Площадь» входят следующие темы: площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, формула Герона для площади треугольника, площадь трапеции, площади подобных фигур, площадь круга. В теории разобран ряд задач с решениями, таких как: вывод формулы Герона, формула для вычисления площади произвольного четырехугольника, формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольник. Такой порядок изложения материала обосновывается тем, что тема «Площади фигур» у А.В. Погорелова завершает курс 9 класса.

В учебнике [50] в теме «Площадь» также рассматриваются формулы для вычисления площадей различных четырехугольников, треугольников, круга, кругового сектора, площадь подобных фигур. Приводятся разные формулы для нахождения площади треугольника, в том числе через произведение двух сторон на синус угла между ними, а в качестве задач представлены формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной около треугольника окружности. Так же в данной тебе приводят формулу для вычисления произвольного много - угольника. Стоит отметить, что в данном учебнике есть такие дополнительные параграфы как изопериметрическая задача и равносоставленность и задачи на разрезание, что делает эту тему намного интереснее для школьников. В последнем параграфе приводится без названия доказательство теоремы Бойяи-Гервина.

В учебнике [60] традиционно рассматриваются формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции и несколько нестандартных формул для вычисления площади треугольника. Формула Герона рас - смотрена с двумя своими доказательствами, представлена формула для вычисления площади произвольного четырехугольника, доказывается теорема об от - ношении площадей подобных фигур, выводятся формулы площади круга, кругового сектора и сегмента. Этот учебник отличается полным, понятным и интересным изложением материала, здесь также приведены интересные исторические факты.

Метод площадей явно рассматривается только в учебнике [60]: рассматриваются задачи с его применением, приведены задачи для самостоятельного решения. В [16], например, с помощью метода площадей доказывается первый признак подобия треугольников, а в [2] с помощью этого метода доказывается теорема Пифагора.

В результате логико-математического анализа темы «Площади» в школьных учебниках геометрии, сделаны следующие выводы. 1) Представлены два основных свойства площади. 3) Вывод основной формулы площади базируется на площади квадрата или прямоугольника. 3) Формулы для вычисления площадей других многоугольников основаны на свойствах инвариантности и аддитивности площадей.

В результате анализа задач по теме «Площади многоугольников» сделаны следующие выводы: в учебнике [16] кроме основных задач, приводимых в конце каждого параграфа темы, предлагается дополнительные задачи по данной теме, кроме того, в конце учебника авторами предложены задачи повышен - ной трудности. В основном, большинство из этих задач - задачи на вычисление площадей, но помимо этих задач присутствуют задачи и на измерение площадей, и на метод площадей, а также различные задачи на равновеликость фигур и т.д. Учебник [45] содержит, в основном, задачи на вычисление площадей многоугольников, круга и его частей, нет разделения задач по уровням сложности. Учебники [50], [60], [2] кроме вышеуказанных задач содержат интересные за - дачи на разрезание и перекраивание, а также задачи на готовых чертежах. За - дачи разделены по уровням сложности. Во всех учебниках есть задачи практического содержания, что важно для реализации прикладной направленности обучения математике. Учащиеся видят применение изученных формул на практике, что способствует более глубокому изучению основ геометрии как математической науки. Отдельно хочется выделить большое разнообразие в разбиении задач в учебнике [2]: разбираемся в решении, дополняем теорию, рисуем, работаем с формулой, находим величину, доказываем, строим, занимательная геометрия, применяем геометрию, участвуем в олимпиаде и др.

2.3 Планируемые результаты изучения темы «Площади многоугольников»

На основе планируемых результатов изучения геометрии в познавательной и эмоционально-ценностной области, разработанных Л.И. Боженковой [8], составлены планируемые результаты изучения темы «Площади много - угольников» (таблица).

Планируемые результаты изучения темы «Площади многоугольников»

Учебные задачи для формирования умений, характеризующих достижение планируемых результатов на уровнях:

ученик научится

ученик получит возможность научиться

Формирование регулятивных УУД

В соответствии с картой темы ставить цели собственной деятельности и фиксировать их в индивидуальной таблице «Планирование изучения темы «Площади многоугольников»»

Формирование познавательных УУД

1) составлять план учебного текста; 2) выводить следствия из условия теоремы на по теме «Площади многоугольников»; 3) выводить следствия из заключения теоремы по теме «Площади многоугольников»; 4) составлять схему поиска доказательства теоремы по теме «Площади много - угольников»; 5) составлять план доказательства теорем по теме «Площади многоугольников»; 6) записывать пошаговое доказательство теорем о площади прямоугольников, прямой и обратной теорем Пифагора, формулу Герона; 7) анализировать данные решения задач;

8) выделять базис доказательства; 9) находить другие способы доказательства теорем; 10) доказывать формулу Герона

Для заданий своего уровня по теме «Площади многоугольников»

1) Давать словесную формулировку формул для вычисления площадей многоугольников; 2) вы - водить следствия из условия и требования задачи; 3) составлять схему поиска решения задач; 4) составлять план решения задачи; 5) записывать пошаговое решение задачи; 6) анализировать решение данных задач; 7) вносить коррективы в действие с учётом ошибок.

8) находить площадь много - угольников, используя все фор - мулы для вычисления площадей

Формирование коммуникативных УУД

На своём уровне освоения темы: а) работать в группе, выполнять взаимоконтроль, взаимопроверку; б) помогать товарищам; в) составлять КР, г) проверять решение этой КР товарищем; д) искать информацию для подготовки письменного и устного сообщения; е) выступать с сообщением; ж) участвовать в обсуждении

Формирование регулятивных УУД

а) формулировать цели УПД; б) делать самопроверку; в) оценивать свою УПД в соответствии с объективными критериями; г) делать выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях; д) планировать и осуществлять коррекцию УПД

2.4 Карта изучения темы и её использование

На основе таблицы планируемых результатов изучения темы «Площади многоугольников» разработана «Карта изучения темы «Площади многоугольников». Она обеспечивает учащимся до - ступ к учебной информации, являющейся основой для ученического целеполагания и планирования [8]. Опишем содержание «Карта изучения темы «Площади многоугольников». Первый блок «КИТ» включает последовательность уроков (15 уроков), в соответствии с тематическим планированием, согласно авторскому варианту учебника «Геометрия 7 - 9». Второй блок - «Актуализация знаний» включает краткий перечень знаний и умений, необходимых для успешного освоения новой темы. В третьем блоке кратко перечисляются предметные результаты, составленные для двух уровней в таблице планируемых результатов.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены