Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование электронно-образовательных ресурсов при изучении темы "Логарифмические уравнения"

Борисоглебск - 2017

Содержание

• Введение
• Глава 1. Теоретические основы изучения темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики
• 1.1 Цель, содержание темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики
• 1.2 Обзор содержания темы "Логарифмические уравнения" в школьных учебниках алгебры и начала анализа
• Глава 2. Методические основы изучения темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики
• 2.1 Возможности электронно-образовательных ресурсов при изучении темы "Логарифмические уравнения"
• 2.2 Методические рекомендации по изучению темы "Логарифмические уравнения"
• 2.3 Технологическая карта урока по теме "Логарифмические уравнения"
• 2.3.1 Основные методы решения логарифмических уравнений
• 2.3.2 Технологическая карта урока "Методы решений логарифмических уравнений"
• 2.3.3 Технологическая карта урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "Решение логарифмических уравнений"
• 2.3.4 Технологическая карта урока "Логарифмы. Логарифмические уравнения"
• Заключение
• Список использованной литературы
• Приложения


Введение

Математическое образование один из основных компонентов обучения в школе базовым дисциплинам. Сегодня, в период всесторонней математизации науки и техники место и предназначение значительных и фундаментальных математических знаний выпускников школы особенно значимы: от уровня школьного математического образования зависит научно-технический и оборонный принцип страны.

В связи с этим проблемы математического образования вызывают огромную заинтересованность повсеместно.

Сегодня в основном школьники получают материалы в электронной форме. Сформированность электронных образовательных компонентов позволяет открыть новые возможности и методы для эффективного проведения процессов воспитания, обучения и развития учащихся.

Занятия с применением электронно-образовательных компонентов - являются значимым результатом инновационной деятельности для обучения математики в образовательных учреждениях. Применение электронно-образовательных компонентов в ходе обучения математики дает возможность преподавателям средних школ разработать занятие так, чтобы отвечало сегодняшнему дню. Применение электронно-образовательных компонентов в ходе обучения математики воздействует на уровень профессиональной подготовки преподавателя математики, что позволяет значительно увеличить качество образования, что позволяет решить главные задачи образовательной политики.

Изучение логарифмических уравнений является важнейшей составляющей курса алгебры и начал анализа.

Логарифмы возникли в 16 веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Сам термин "Логарифм" предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число), которое означало "число отношений" [14].

Вопросам решения логарифмических уравнений в курсе математики средних общеобразовательных школ посвящено большое число диссертационных работ, а также других исследований.

Большая часть трудов ориентирована на формирование способов изучения логарифмических уравнений в курсе математики средних общеобразовательных школ уравнений - формированию основных дефиниций (в основной массе случаев на базе теоретико-множественных либо логических анализов), подбору способов и приемов решения определенных типов логарифмических уравнений, аргументированию выбора теорем о равносильности.

Применение электронно-образовательных компонентов при рассмотрении темы "Логарифмические уравнения" дает возможность не только сделать занятие интересным, нетрадиционным, но и формируют задатки для изучения способов деятельности. Так как наглядно-образные элементы мышления занимают важное место в жизнедеятельности человека, то применение их в рассмотрении темы "Логарифмические уравнения" позволяет повысить результативность обучения:

- графика и мультипликация способствуют решению сложных логарифмических уравнений;

- возможности, которые предоставляются школьникам изучать разнообразные объекты на экране монитора, корректировать коэффициенты логарифмических уравнений их решения, размер, цвет и т. д. дают возможность ученикам лучше запоминать и осмысливать учебный материал с наиболее полным изучением с помощью коммуникативных связей.



Глава 1. Теоретические основы изучения темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики

1.1 Цель, содержание темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики

Под образованием понимается организованный процесс постоянной передачи старшими поколениями знаний и опыта младшим. Данное понятие применяется как в науке (психология, философия, педагогика), так и на практике школьного обучения. Образование сегодня отличается ростом внимания к учащимся, к их необходимости саморазвиваться, получению новых знаний, направленность школьников к социуму и себе, к развитию способностей поиска своего предназначения.

Математическое образование - процесс и результат получения школьниками знаний по математическим дисциплинам, способностей и навыков познавательной деятельности, развитие мировоззрения, качеств личности, творческих умений [18].

К главным целям обучения математике относятся:

- получение качеств для формирования мышления и продуктивной деятельности, которые ярко выражены в математическом направлении, а также необходимые для развития каждого человека;

- формирование условий для появления заинтересованности в математике и формирования математических навыков одаренных учащихся.

На основе вышеперечисленных целей можно выделить уровни обучения математике:

1 - общекультурный;

2 - общеобразовательный;

3 - творческий.

Образовательная цель рассмотрения логарифмических уравнений в средних общеобразовательных школах основана на необходимости познакомить школьников с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения.

В учебниках по математике сегодня теме логарифмические уравнения уделяется разное место.

1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений - М.: "Просвещение". 2009 [1].

Так, в учебнике А.Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа, 10-11 класс. [1].

Глава 5. Показательная и логарифмическая функции.

§10. Показательная и логарифмическая функции.

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Основной отличительной чертой учебника является гармоничное комбинирование высочайшего научного уровня информации и разумного подбора методических приемов для его изложения. С использованием данного фактора учитель формирует математическое мышление старшеклассников и способствует точному осмыслению ими основных математических понятий.

Теоретический и практический материал учебника дает возможность осуществлять исследование рассмотренных тем на разном уровне: базовом и повышенном.

Концепция упражнений учебника позволяет сформировать дифференциацию на каждом этапе на уроке, поскольку она состоит из упражнения в зависимости от уровня сложности для каждого параграфа, к каждой главе и всему курсу. Кроме того, существуют задания, которые необходимы для самостоятельной проверки знаний, а также для подготовки к экзаменам в школе и вузе. Этот учебник удовлетворяет требования базового уровня стандарта математического образования.

В каждом пункте учебника приводятся образцы решения типичных задач, которые соответствуют обязательному уровню подготовки по этой теме, а также наиболее трудные задачи для школьников, на отличном уровне усвоившие данную тему. Также в конце каждой главы даны вопросы и задачи на повторение, они позволяют школьникам проверять и контролировать свои знания по данным темам главы, также их можно использовать учителям для проведения опроса по главе. В главе "Задачи на повторения" приводятся упражнения для повторения всего курса, а задачи повышенной трудности содержит заключительная глава. В учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения и неравенства" освещается в IV главе по названием "Показательная и логарифмическая функции" и содержит такие темы: обобщение понятия степени; корень n-й степени и его свойства; иррациональные уравнения; степень с рациональным показателем; показательная и логарифмическая функции; показательная функция; решение показательных уравнений и неравенств; логарифмы и их свойства; логарифмическая функция; решение логарифмических уравнений и неравенств; понятие об обратной функции; производная показательной и логарифмической функций; производная показательной функции. Число ; производная логарифмической функции; степенная функция; понятие о дифференциальных уравнениях; сведения из истории; вопросы и задачи на повторение. логарифмическое уравнение решение образовательный

Недостатки данного учебника в том, что не дается определения логарифмического уравнения, а сразу же показан пример такого уравнения, говорится о его свойствах на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что является его решением. После чего показаны примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

2. Учебник С.М. Никольского и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: "Просвещение" 2009 [3].

В учебнике С.М. Никольского тема "Логарифмические уравнения и неравенства" выделена двумя отдельными пунктами. Тема логарифмические уравнения приведена в 6 главе и содержит следующих тем.

§6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

6.1 Простейшие логарифмические уравнения.

6.2 Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

6.3 Простейшие логарифмические неравенства.

6.4 Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

Определение логарифмического уравнения приводится таким образом:

"Пусть - данное положительное, не равное 1 число, - данное действительное число. В таком случае уравнением называют простейшим логарифмическим уравнением". Затем показаны разнообразные примеры решения уравнений. В следующем параграфе рассматриваются уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного [3].

Положительной чертой учебника является дифференцированная система упражнений. Она включает много нестандартных задач, которые позволяют сформировать математическое мышление учащихся, и упражнений, значительно уменьшающих традиционный разрыв между содержанием обучения в школе и требованиями при поступлении в вузы. Кроме того, существует раздел учебника, состоящий из ответов, рекомендаций и подробных решений.

3. В учебнике Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс. / Шабунин М.И., Прокофьев А.А. - М.: БИНОМ, 2007. 424 с. [5].

Тема логарифмические уравнения приведено в глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции и содержит следующих тем: логарифмические уравнения; показательные и логарифмические неравенства.

В учебнике М.И. Шабунина тема "Логарифмические уравнения" [5] изложена в отдельных параграфах.

Глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции.

§5. Логарифмические уравнения.

§6. Показательные и логарифмические неравенства.

Логарифмические уравнения излагаются следующим образом:

Простейшие логарифмические уравнения - уравнения двух видов:

,

где Уравнение имеет единственный корень

.

В общем случае:

,,

где . Уравнение при имеет единственный корень ; при имеет решением любое отличное от единицы положительное число; при решений не имеет.

4. В учебнике Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, Мордкович А.Г., - М.: "Мнемозина". 2013 [2].

В учебнике А.Г. Мордковича темы "Логарифмические уравнения" и "Логарифмические неравенства" выделены отдельными пунктами: показательная функция, ее свойства и график; показательные уравнения и неравенства; понятие логарифма; функция , ее свойства и график; свойства логарифмов; логарифмические уравнения; логарифмические неравенства; переход к новому основанию логарифма; дифференцирование показательной и логарифмической функций; В данном учебнике определение логарифмического уравнения приводится таким образом:

"Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

,

где -положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду".

Сформулирована теорема о равносильности.

"Пусть и , - решение системы неравенств

.

Тогда уравнение:

,

равносильно на множестве уравнению:

[3].

Дано три главных способа решения логарифмических уравнений:

1) Функционально-графический метод. Заключается в применении графических изображений или различных свойств функции (он был приведен ранее при рассмотрении свойств функции).

2) Метод потенцирования. Заключается в теореме, которая изложена в параграфе.

3) Метод ввода новой переменной [2].

Таким образом, сравнительная таблица учебников по изучению темы "Логарифмическое уравнение" имеют следующий вид:

Таблица 1.1. Сравнительная таблица учебников по изучению темы "Логарифмическое уравнение"

Понятие	Автор
	Колмогоров	Никольский	Шабулин	Мордакович
Логарифмы и их свойства	+	не изучаются	не изучаются	не изучаются
Логарифмическая функция	+	+	+	+
Решение логарифмических уравнений	+	+	+	+
Решение логарифмических неравенств	+	+	+	+
Простейшие логарифмические уравнения	+	+	+	+
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного	не изучаются	+	не изучаются	не изучаются
Простейшие логарифмические неравенства	+	+	+	+
Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного	не изучаются	+	не изучаются	не изучаются

Следовательно, в данных учебниках на представленную тему отводится необходимое для усвоения темы количество информации.

С помощью сравнительного анализа учебников школьного курса, нами был сделан вывод, что для углубленного изучения темы "логарифмическое уравнение" наиболее результативно использование учебник Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А.Н. Колмогорова. - 15 - е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 384 с. [1] и Алгебра и начала анализа (профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2013. - 375 с.. [2] для изучения математики на базовом уровне, что характерно для гуманитарных классов подходит учебник А.Н. Колмогорова, для общеобразовательных классов учебники таких авторов, как С.М. Никольский и М.И. Шабунин [5]. Таким образом, можно утверждать, что в учебнике Мордковича А.Г. материал представлен в более разумной форме, что будет способствовать лучшему усвоению материалов.

Понятие логарифма и логарифмической функции дается после изучения тем: показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства. На основе этого у учащихся более четко формируется понятие логарифма, ясно складывается представление о логарифмической функции. Мордкович А.Г. выделяет 4 способа решения логарифмических уравнений, подробно иллюстрирует их примерами, приводит решение.

Учебник Никольского С. М. также отличается своей структурированностью. Понятие логарифма вводится после изучения показательной функции. Пункты, которые ориентированы на изучение десятичного логарифма и степенной функции отводятся для углубленного изучения. Решения логарифмических уравнений представлены скуднее чем в Мордковича. В полной мере приводятся лишь два метода решения такого типа уравнений. В конце главы в исторических сведениях автор приводит таблицы десятичных логарифмов и говорит о логарифмической линейке, что имеет важное значение для обучающихся, а также позволяет расширить свой кругозор.

Изучение темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе заключается из нескольких функций: образовательная, воспитательная и развивающая, а также: информационная и эвристическая.

Таким образом, мы считаем, что для изучения темы "Логарифмические уравнения" в курсе алгебры и начал анализа 10-11 класс для общеобразовательных классов необходимо использовать учебники Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А.Н. Колмогорова. - 15 - е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 384 с. и Алгебра и начала анализа (профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 375 с., т.к. они содержат в себе больше как теоретического так практического материала, что позволит лучше усвоить материал.



1.2 Обзор содержания темы "Логарифмические уравнения" в школьных учебниках алгебры и начала анализа

В школьном курсе алгебры и начала анализа тема "Логарифмические уравнения и неравенства" изучается в 10-11 классах.

Из анализа учебной литературы следует, что не во всех учебниках дается теоретический материал изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств, в некоторых учебниках даются примеры разбираются без теоретического материала.

Так как специально созданные учебники по математике для каждого профиля на сегодняшний день еще широко не распространены, из-за этого при подготовке к занятиям педагог применяет несколько учебников, а также методические пособия. Применяя разнообразные учебники и методические пособия, преподаватель формирует план занятия, а также подбирает дидактические материалы.

Методы решения логарифмических уравнений в школьном курсе математики.

1.По определению логарифма

Для того чтобы решить логарифмического уравнение данным способом используются формулы:

1. ; 2. ; 3.

4. ; 5.

6. ; 7.

8. ; 9.

10. ; 11.

Пример 1. Решить уравнений:

.

Решение:

1.Находим область допустимых значений (ОДЗ):

.

2. Используя определение логарифма. Для решения данного уравнения, достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число как степень основания 2 логарифма, причем показатель степени равен 5.

; ;

; .

3.Проверим

Ответ:

Пример 2. Решить уравнений:

Решение:

Используя формулы (2) получаем:

.

.

3) На основе определение логарифма:

.

.

.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнений:

.

Решение:

1. Находим область определений:

.

.

2.Упростим уравнение и получим:

.

.

Таким образом:

.

.

.

.

3. Проверяем:

Значение не входят в область определение функции и по этому уравнение имеет единственный корен .

Ответ:

Пример 4. Определить сумму корней уравнение:

.

Решение. Применяя понятие логарифма трижды имеем:

1) ;

2) ;

3) ; ; .

Решая квадратное уравнение:

.

Сумма корней уравнение .

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

.

Решение: в связи:

.

.

имеем:

.

.

; .

; ..

Итак: .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение:

.

Решение: в связи с тем, что .

и .

данное уравнение равносильно с уравнением:

.

.

; .

; .

Получаем: .

Ответ: .

2. Метод потенцирования

Метод потенцирования - это освобождения от знака логарифмов или переход от уравнения (1) к уравнению вида:

.

Это уравнение при равноценно системе:

,

(1).

Данное уравнение равносильно системе:

1) 2)

И также уравнение вида:

(2)

равносильно с системой:

1) 2)

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение: Данное уравнение равносильно с системой:

;

,

,

.

Условия удовлетворяют только при .

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение: Данное уравнение равносильно с системой:

.

Решая систему, имеем:

.

.

В связи с тем что и удовлетворяют условию наш ответ .

Пример 3. Решить уравнение:

.

Решение: Данное уравнение равносильно с системой:

.

Решая систему, имеем:

.

.

.

Условия приемлемо только при .

Ответ: 6.

Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение: В связи с тем, что:

.

Данное уравнение можно записать в виде:

.

Данное уравнение равносильно с системой:

.

Решаем систему:

;

.

.

.

Условия приемлемо только при .

Ответ: -2

Пример 5. Решить уравнение:

.

Решение: Данное уравнение равносильно с системой:

.

Решаем данную систему:

.

.

Условия приемлемо только при .

Ответ: 1.

Пример 6. Решить уравнение:

.

Решение:

;

,

.

.

Условия - приемлемо только при .

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение:

.

Решение:

.

Решаю систему имеем:

.

.

Ответ: .

3. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебраическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение , где F(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки:

,

сводится к алгебраическому уравнению относительно .

Уравнение вида: .

Равносильно с уравнением:

, ,

Здесь - неизвестные корни уравнение .

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение. Упростим

.

Тогда данное уравнение имеет вид:

.

Обе части уравнение умножаем на 2 и получаем:

.

Используя замену:

,

получаем квадратное уравнение:

.

Решая квадратное уравнение, имеем:

.

Таким образом:

1) ,

.

.

2) ,

, .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнения:

,

Решение. ОДЗ уравнения есть множество x О (0;+Ґ). Обозначив (тогда , получим квадратное уравнение:

,

решения которого .

Следовательно,

,

откуда x₁ = 10 и x₂ = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: {10; 100}

Пример 3. Найти сумму корней уравнений:

.

Решение.

.

.

Обозначив:

,

имеем:

.

Решаем квадратное уравнение:

.

.

.

Следовательно,

1) ,

, .

2) ,

, .

Находим сумму корней:

.

Ответ:

Чаще всего замену (подстановку) выполняют после определенных изменений уравнения. Покажем на примере данный метод:

Обычно производят после нескольких преобразований данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение: Из

.

Имеем:

.

Умножаем обе стороны уравнение на 2, имеем:

.

Произведём замену:

.

.

Найдем корни уравнение:

.

Далее найдём:

1) , .

.

2) , , .

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение:

.

Решение: Обозначаем:

.

.

.

.

; .

.

Решая квадратное уравнение имеем:

.

1) , .

2) , , .

Ответ: {10}.

4. Метод приведения к одному основанию

Чаще всего условие примера дает понять, к какому основанию необходимо перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию "работает" с методом подстановки.

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой:

.

Воспользуемся формулой:

.

и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

.

, то обозначим:

,

тогда:

.

.

.

.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение:

Данное уравнение равносильно с системой:

.

Решаем систему:

.

Кубическое уравнение имеет корни:

.

Из этих трёх корней только удовлетворяют наше условие.

Ответ: .

Пример 3. Найти квадрат корней уравнения:

.

Решение:

Находим область определений:

.

.

.

.

.

Используя свойства логарифма, имеем:

.

.

.

Заменив:

.

получаем квадратное уравнение

.

.

.

.

.

.

Оба корня не входить в ОДЗ.

.

.

.

Значение входит в ОДЗ

Найдем квадрат данного числа

.

Ответ:.

5. Метод логарифмирования

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида:

.

Уравнения вида:

.

Уравнения вида:

,

.

Уравнения вида:

,

обычно решают методом логарифмирования.

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой

Проведем некоторые упрощения,

,

.

Поэтому уравнение примет вид:

.

Прологарифмируем обе части по основанию х:

.

=0.

Обозначим:

,

,

.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение. Обе части уравнения логарифмируем под основание 2

.

Используя основное свойств логарифма, получаем:

.

; .

Произведём замену: и найдем корни уравнения

.

, .

Далее найдём:

1) , , .

2) , , .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение:

.

Решение: Обе части уравнения логарифмируем под основание 10:

.

Используя свойства логарифма, находим:

.

.

.

Произведём замену:

,

.

.

.

Корни уравнения .

Поставляя найденные значения, получаем:

1) , , .

2) , , .

Ответ: , ,

Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение: Используя свойства логарифма, находим:

.

.

.

Логарифмируем под основание 3

.

1) .

2) .

Ответ:.

Пример 5. Решить уравнение:

.

Решение: Логарифмируем под основание 10:

.

Используя свойства логарифма, получаем:

.

.

Произведём замену , тогда:

.

.

;

.

.

Поставляя найденные значения, получаем:

1) , , , .

2) , .

Ответ: ; .

6. Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

Алгоритм решения: в одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

Пример 1. Решите уравнения:

log₃ х = 12-х.

Так как функция у= log₃ х возрастающая, а функция

у =12-х

убывающая на (0; + ?) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у= log₃ х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

Пример 2. Решить графически уравнение:

.

Строим по точкам графики двух функций

и

Рис. 1.1. График функций и

Функция:

,

возрастает при , а функция убывает при всех значениях , в том числе и при , значит, уравнение:

,

имеет не более одного корня. Заметим, что при уравнение обращается в верное равенство, так как .

Ответ: 2.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. В одной системе координат рисуем графики функций и . Смотрим, пересекаются ли данные графики. В данном случае они пересекаются в одной единственной точке (1; 0). Решением данного уравнения будет .

Рис. 1.2. График функций и .



Глава 2. Методические основы изучения темы "Логарифмические уравнения" в базовом курсе математики

2.1 Возможности электронно-образовательных ресурсов при изучении темы "Логарифмические уравнения"

Электронные образовательные ресурсы - это наиболее общее понятие, которое объединяет компоненты обучения, созданные и осуществляемые на основе компьютерных технологий. Цифровые образовательные ресурсы - электронные образовательные ресурсы, образовательные элементы, разработанные и реализующиеся на основе цифровых технологий. Отличие в определениях является основной, потому как цифровые технологические процессы - является лишь методом обрабатывания и записи данных. До цифровой организации записи была аналоговая, на сегодняшний день динамично разрабатываются прочие концепции.

В процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы использование электронных образовательных ресурсов чаще всего характеризуют только как носитель данных [16]. Преимущество которого состоит лишь в числе объема данных на нем. Однако такого рода подход в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы абсолютно не реализовывает возможности нынешних информационных технологий, совсем не учитывает их специальные функции. Значимость электронных средств в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы изменяется из-за перспектив, предоставляющихся данными средствами. Обычно обучение основано на взаимной работе педагога и учащегося. Педагогика и методика образования имеют большое число разнообразных форм и методов обучения (приемов передачи знаний). Основной целью учителя в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы - отыскать такие методы обучения, способные осуществить значительные виды передачи знаний, развития компетенций на основе возрастных и психологических качеств и возможностей каждого школьника. Помимо этого, важное значение электронных пособий заключается в том, что учитель может быстро преобразовывать и корректировать текстовый или наглядный материал при появлении такой необходимости. Следовательно, электронное учебное пособие в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы несет в себе следующие преимущества: упрощает понимание изучаемых материалов, чем в печатной учебной пособии. Основываясь на вышесказанном, можно констатировать, что электронные ресурсы в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школе это перспективное развитие информатизации образования, и их роль в последующем будет прогрессировать. Использование электронных ресурсов в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школе позволит увеличить, развить профессионализм учителя, что благоприятно воздействует на уровень успеваемости и интереса школьников к данному предмету.

Широкое применение электронных ресурсов в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы характеризуется определенными факторами. Во-первых, внедрение электронных ресурсов в процесс обучения логарифмическим уравнениям в курс математики средней общеобразовательной школы значительно увеличивает передачу познаний и накопленного технологического и социального опыта общества не только от поколения к поколению, но и от одного человека другому. Во-вторых, современные электронные ресурсы, повышая качество уроков и системы образования в целом, дают возможность учащимся результативней и быстрее приспособиться к окружающей действительности и реализующимся социальным изменениям. Это способствует тому, что каждый ученик может приобретать необходимые знания как сейчас, так и спустя время. В-третьих, динамичное и результативное введение электронных ресурсов в процесс обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы служит главным составляющим формирования системы образования, которая отвечает требованиям и ходу преобразования классической системы образования на основе значимости современного индустриального общества.

Широкое приобщение применения электронных материалов в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы послужило этапом изменения классической системы образования, а также стало первой ступень к развитию информационного общества. Использование электронных ресурсов в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы послужило формированию новых информационных образовательных технологий, позволяющие улучшить качество обучения, а также создать методы и приемы воспитательного обучения, эффективно взаимодействовать учителям и школьникам с вычислительной техникой.

Примером положительной реализации электронных ресурсов в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы послужило создание Интернета - широкой компьютерной сети с ее практически неограниченными способностями нахождения и хранения данных, то есть наглядная информация, передачи ее лично каждому пользователю. На сегодняшний день наглядные материалы все больше распространяются в каждой сфере жизнедеятельности, что сопряжено с изменением манеры и способов извлечения и передачи сведений. Компьютерные технологии, мультимедийные ресурсы связи несут свои условия к передаваемым сведениям. Однако немаловажно выделить то, что направленность продемонстрировать необходимый материал с помощью эффектной, быстро запоминающейся формы существовала постоянно.

Применение мультимедиа в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы - это взаимодействие наглядного и звукового материала под влиянием интерактивного программного обеспечения с использованием современных технических и программных технологий, которые связывают текст, звучание, графику, фотографию, видеоматериал в одном цифровом типе. Однако это ведет за собой повышение размера данных. Регулярный рост объема сведений и конкретный отрезок времени на уроках предполагают значимость интенсификации обучения, формирования и ввода новейших технологий, основанных на использовании вычислительной техники с применением первенствующих технологий обучения в их многообразии. Таким образом, реализация электронных ресурсов в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы - основная цель дидактики, предполагающая динамичность всего процесса, обнаружение системы, методов, приемов, которые способствуют росту активности школьников с помощью развития позитивной мотивационной структуры учебно-познавательной работы.

Таким образом:

- использование электронных образовательных ресурсов в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школе повышает мотивацию обучения, развивает интерес к предмету;

- работая с электронными ресурсами в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики среднего общеобразовательного учреждения, учащийся может обратиться к различным определениям;

- мультимедийная программа в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы дает возможность осуществить один из главных дидактических признаков обучения - принцип наглядности;

- в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы в электронных образовательных ресурсах показаны не тестовые варианты, а определения с комментариями, изображениями, видеоматериалами.

При пояснении темы "Логарифмические уравнения", во время подбора способов решения логарифмических уравнений можно применять мультимедийную программу "Математика. Решение уравнений и неравенств" [17]. Курс программы состоит из визуального и фонематического осмысления данных. На экране показывается уравнение и его решение. Пояснение решения происходит вместе с наглядностью с помощью звукового ряда и выделения главных звеньев решения.

Современный учебно-методический комплекс "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников" [8] необходим для выработки умения решать разнообразные виды уравнений, к ним относятся и логарифмические. Он позволяет выработать навыки решения логарифмических уравнений, в нем есть подсказки и ссылки на теоретическую часть.

С помощью данной программы, применяя компьютерное обеспечение, можно строить занятия по выработке умений решения уравнений. Тогда учителю будет отведено место контроллера процесса занятия. Помощь при решении уравнений будет оказывать программное обучение.

Этапы использования электронных образовательных ресурсов при рассмотрении логарифмических уравнений:

На этапе объяснения нового материала:

1) Наглядные материалы к теории в форме презентаций, в том числе и интерактивных;

2) программы-тренажеры;

3) участники.

На этапе закрепления:

1) программы-тренажеры;

2) исполнители;

3) тренировочные тесты [11].

Работая над индивидуальными заданиями, школьники могут применять такие методы: интерактивные справочники, кроссворды, интерактивные задачники.

На этапе практического закрепления:

1) практические задания (разного уровня сложности);

2) работа на дом.

На этапе контроля:

1) интерактивные задачники;

2) контрольные тестирования;

3) исполнители.

Итоги использования комплекса электронных образовательных ресурсов в процессе обучение логарифмические уравнение в курсе математики средней общеобразовательной школе:

1. Результативное изучение материалов курса.

2. Результативное осмысление учебного материала школьниками в зависимости от выбранного уровня сложности практических заданий. Способность заполнить пробелы, улучшить свой результат.

3. Заинтересованность в предмете. Ребята, которые согласно собственной природе замкнуты и слабые в плане познаний, лучше усваивают материал и продуктивнее работают с помощью ПК, чем взаимодействуя на уроке с одноклассниками. Они могут выполнять работу в своем темпе, спокойнее. Через какое-то время слабые школьники становятся свободней, уверенней, смогут преодолеть барьер в общении.

Следовательно, применяя электронные образовательные ресурсы в ходе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы, учащиеся способны приобретать новые знания, навыки и способности по предмету в ходе занятий, а также закреплять их самим дома, выполняя домашнюю работу.

Электронные образовательные ресурсы в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы дают возможность работать дома и выполнять практические задания повышенного уровня сложности - от виртуального посещения музея до лабораторного эксперимента, и сразу же проверить свои знания, умения, навыки [21].

С помощью электронных образовательных ресурсов преобразуется и элемент получения данных. Так как рассматривать текстовые описания объектов, процессов, явлений - это одно, а совсем другое - увидеть их и самостоятельно изучить в интерактивном режиме.

Полноценный ввод электронных образовательных ресурсов, с их приобщением в процесс обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы дает возможность гармонично использовать и сочетать традиционные приемы преподавания с новыми средствами, которые применяют информационные технологии, увеличивать возможности школьника в самостоятельной деятельности и увеличение творческой базы в работе педагога.

Использование электронных материалов в процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы дает возможность часто изменять виды работы на уроке, чередовать устные и письменные задания, реализовывать различные подходы к решению математических задач. Данный фактор постоянно осуществляет и поддерживает интеллектуальное напряжение учащихся, развивает у них устойчивый интерес к осмыслению знаний по дисциплине. Для динамичности работы на занятиях можно использовать компьютерные средства: демонстрационный материал, задания для устного опроса учащихся, тренировочные упражнения, а также разные электронные учебники [14].

Демонстрационный материал (слайды). Разрабатывается для обеспечения визуализации при рассмотрении нового материала, применения при ответах школьников. Использование анимации при разработке подобного компьютерного элемента позволяет исследовать проблемы математической теории в движении, осуществляет иной подход к рассмотрению нового материала, способствует вызову интереса у школьников.

При выполнении любых задач применение графической интерпретации условия задачи, ее решения дает возможность школьникам осмыслить математическую идею решения, более глубоко понять теоретический материал по этой теме. Получить навыки по распознаванию графиков таких процессов, научиться изображать их в виде функциональной зависимости и рассказать об их качествах помогают компьютерные слайды.

В процессе обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы подразумевается применение таких программно-педагогических средств, осуществляемых на базе компьютера:

1) Готовимся к ЕГЭ. Математика.

2) Репетитор по алгебре 11 класс.

3) Образовательная коллекция 1С: Алгебра 7-11класс.

4) Алгебра и начало анализа 10-11 класс.

5) Алгебра и начало анализа 11 класс. Итоговая аттестация.

6) 1С: Школа. Математика 5-11класс. Практикум.

7) 1С Репетитор "Математика" + Варианты ЕГЭ 2005.

Для создания результативного процесса обучения логарифмическим уравнениям в курсе математики средней общеобразовательной школы необходимо применять данные и сведения таких Интернет - ресурсов:

1) Министерство образования РФ: http://www.ed.gov.ru/; http://www.edu.ru.

2) Тестирование online: 5-11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo.

3) Сеть творческих учителей: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com.

4) Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main.

5) Путеводитель "В мире науки" для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru.

6) Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru.

7) сайты "Энциклопедий": http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru.

8) сайт для самообразования и он-лайн тестирования: http://uztest.ru/.

9) досье школьного учителя математики: http://www.mathvaz.ru/.

2.2 Методические рекомендации по изучению темы "Логарифмические уравнения"

Математика является одной из обязательных дисциплин для всех общеобразовательных учреждений Российской Федерации, которые специализируются на основном и среднем (полном) общем образовании. В соответствии с федеральным базисным учебным планом на рассмотрение математики выделяется: в основной школе не менее 5 часов в неделю; в старшей школе на базовом уровне не менее 4 часов, на профессиональном не менее 6 часов. Рост объема времени на рассмотрение математики вероятно с помощью школьного элемента базисного учебного плана.

Цели обучения логарифмическое уравнение в средних общеобразовательных школах:

- раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида;

- обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.

Для создания методических рекомендаций по рассмотрению темы "Логарифмические уравнения" и технологических карт по данной теме важно проанализировать примерное распределение часов темы в школьных учебниках.

Таблица 2.1. Примерное распределение часов по пунктам учебника и темы Логарифмическое уравнение

Номер пункта	Содержание	I вариант	II вариант
§ 10. Показательная и логарифмическая функции	17	18
1	Показательная функция	2	2
2	Решение показательных уравнений и неравенств	4	4
3	Логарифмы и их свойства	3	3
4-5	Логарифмическая функция свойства. Логарифмическая функция как обратная к показательной	3	3
6	Решение логарифмических уравнений и неравенств	4	5
7	Контрольная работа №4 по теме "Показательная и логарифмическая функции"	1

Образовательная функция изучения тема логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе характеризуется овладением учащимися системой математических знаний, предоставляющей понимание дисциплины математики, ее методов и приложений. Образовательная функция изучения темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе в большинстве своем способствует формированию мировоззрения учащихся, которое заключается в синтезе знаний, умений и мировоззрения.

Воспитательная функция изучения тема логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе характеризуется формированием интереса к изучению математики, развитием устойчивой мотивации к учебной деятельности у школьников.

Развивающая функция изучения темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе основана на развитии познавательных психических процессов и качеств индивида, к которым относится внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, навыки и умения, развитие логических способов умственной работы учащихся (анализ, синтез, систематизация, абстрагирования и т. п.), общеучебных методов.

Информационная функция изучения темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе обусловлена тем, что в ходе обучения школьник познает историю создания логарифмов, их формирование, жизнь и деятельность исследователей, с разных взглядов. В ходе обучения теме логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе учащийся приобретает огромный объем знаний, сведений, познает разнообразные приложения математики, новые свершения в области математики.

Эвристическая функция изучения темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе характеризуется формированием педагогом в ходе обучения условий, способствующие развитию навыков учащихся. Эвристическая функция обучения теме логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе заключается в использовании педагогом эвристических способов и методов в обучении математике, способность использовать их в разных определенных ситуациях.

Функции обучения теме логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе связаны между собой, зависимы и могут осуществляться на практике в разных сочетаниях. Обучение при осуществлении функций математики способствует реализации главных целей обучения. Цели математического образования - это основа отбора его содержания.

Планирование и основное содержание изучения логарифмических уравнений в средних общеобразовательных школах по учебникам Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А.Н. Колмогорова. - 15 - е изд. - М.: Просвещение, 2011. 384 с.

Таблица 2.2. Планирование и основное содержание изучения логарифмических уравнений в средних общеобразовательных школах

П/п	Дата	Количество часов	Тема	Требования стандарта
		Теоретических	практических		Знать	Уметь
		5,5	9,5	Логарифмическая функция (15ч.).
5-36		0,5	1,5	Логарифмы. §1. с. 233-236.
37-38		1	1	Свойства логарифмов. § 2. с. 233-236.		Находить значения логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства.
39-40		1	1	Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода. §3. с. 236-240. С/р№5.
41-42		1	1	Логарифмическая функция, ее свойства и график. §4 с. 240-245. С/р №6.		Выявлять значения функции по значению аргумента при разных условиях задания функции; изображать графики, рассмотренных функций; уметь показывать по графику поведение и свойства функции.
43-44		1	1	Логарифмические уравнения. § 5 с. 245-249. Т/р№4.	Главные приемы и методы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Применение свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Решать простые системы уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной.	Решать уравнения, простейшие системы, применяя свойства графиков. Применять для приближенного решения уравнений и неравенств графический способ. Показывать на координатной плоскости множество решений простейших уравнений и их систем.
45-46		1	1	Логарифмические неравенства. § 6. с. 249-259 С/р №7
47-48			2	Урок обобщения и систематизации знаний.
49			1	Контрольная работа №4

Таблица 2.3. Календарно-тематическое планирование

1. Автор учебника	(А.Н. Колмагоров)	(Ш.А. Алимов)
2. Количество часов по разделу	Тема Количество часов Количество самостоятельных работ Логарифмические уравнения и неравенства 4 3	Тема Количество часов Количество самостоятельных работ Логарифмические уравнения и неравенства 4 3
2. Тематический план	№ урока Дата Содержание урока 1. Способы решения логарифмических уравнений 2. Закрепить знания по решению уравнений и систем логарифмических уравнений 3. Решение логарифмических неравенств и выработка навыков их решения 4. Обобщить и систематизировать знания учащихся в решении логарифмических уравнений, систем уравнений и неравенств	№ урока Дата Содержание урока 1-2 Решение логарифмических уравнений и систем уравнений и выработка умений и навыков по их решению. 3-4 Решение логарифмических неравенств и выработка навыков их решения

Таким образом, после изучение темы логарифмическое уравнение школьники должны, уметь:

- решать логарифмические уравнения, неравенства и их системы;

- доказывать несложные неравенства;

- находить приближенные решения логарифмических уравнений и их систем, применяя графический метод;

- выполнять решения логарифмических уравнений, неравенств и системы с использованием графических представлений;

- применять полученные знания и умения на практике и реальной жизни для создания и изучения простейших математических моделей.

2.3 Технологическая карта урока по теме "Логарифмические уравнения"

2.3.1 Основные методы решения логарифмических уравнений

Базовый учебник: А. Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. "Алгебра и начала математического анализа", 10-11 класс, М.: Просвещение, 2011.

Урок: "Открытия нового знания"

Цель урока:

1. Ознакомить и закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появления типичных ошибок.

2. Предоставить каждому обучающему возможность проверить свои знания и повысить их уровень.

3. Активизировать работу класса через разные формы работы.

4. Вселить уверенность в достижение конечных результатов.

Учебные задачи, направленные на развитие учащихся:

в личностном направлении:

- способствовать формированию мотивации учебной деятельности учащихся;

- воспитывать ответственность и аккуратность;

- развивать рефлексивные умения (самооценка и самопознание) в метапредметном направлении:

- развивать умения самостоятельно ставить цели урока;

- развивать умение анализировать информацию при работе с учебником и карточками;

- способствовать развитию умения выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

- развивать умение работать в группе;

- прививать умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем,

- интегрироваться в группу и строить продуктивное взаимодействие;

- способствовать развитию умений ясно и точно выражать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию и приводить примеры.

в предметном направлении:

- обобщить и закрепить понятие логарифма числа;

- повторить основные свойства логарифмов, свойства логарифмической функции;

- закрепить умения применять эти понятия при решении уравнений;

Тип урока: Урок - "Открытия нового знания"

Формы работы учащихся: - групповая форма.