Актуализация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Государственное учреждение образования

«Средняя школа № 13 г. Слуцка»

Курсовая работа по теме:

Актуализация познавательной деятельности учащихся

на уроках геометрии

г. Слуцк



Введение

Актуальность темы

Современный уровень развития образовательной системы ставит вопрос, как обеспечить высококачественное обучение каждого учащегося и усвоение им знаний в объёме стандарта образования, дать возможность для его дальнейшего развития, повысить мотивацию к учению. Путей решения данной проблемы, думаю, много. Модернизация образования на современном этапе рождает много педагогических открытий, больших и малых, важных и интересных для самого педагога. Образование в наше время должно быть направлено на развитие личности и способностей учащегося, на его подготовку к взрослой жизни.

Это требует иных подходов в организации учебного процесса, обновления методов, средств и форм организации обучения, разработки и внедрения в учебный процесс новых педагогических технологий. Необходимость внедрения новых технологий во все сферы человеческой деятельности становится все более осознаваемой.

В связи с этим ведущая педагогическая идея опыта заключается в создании условий для индивидуального развития учащегося, повышения его познавательной активности через широкое применение на уроках геометрии методов и приёмов современных образовательных технологий.

Основной педагогической идеей опыта является создание условий для формирования устойчивой, положительной мотивации обучающихся, развитие интереса к предмету через организацию активного обучения, а также творческое разнообразие форм и методов деятельности учителя в целях интенсификации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Новизна опыта состоит в совершенствовании средств обучения и развития учащихся, использовании педагогических инноваций в процессе формирования коммуникативной компетенции учащихся, в создании системы применения методов и приёмов, нацеленных на развитие познавательной и творческой активности учащихся.

Урок с применением современных педагогических технологий - это качественно новый тип урока, на котором учитель согласует методику изучения нового материала с методикой применения современных технологий, соблюдая преемственность по отношению к традиционным педагогическим технологиям. В результате информационные технологии в совокупности с правильно подобранными технологиями обучения создают необходимый уровень качества, вариативности, дифференциации и индивидуализации обучения[6, с.7].

Моя личная концепция как автора данного опыта состоит в оптимальном сочетании традиционных и активных методов и форм обучения, предусматривающих применение элементов современных образовательных технологий.

Следовательно, цель профессиональной деятельности - создание условий для формирования достаточно полных, глубоких и прочных знаний у учащихся по изучаемому предмету.

В этом поможет решение следующих задач:

повысить качество знаний учащихся;

научить учащихся аргументировать, находить и выделять главное, рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения задания;

повысить интерес учащихся к изучаемому предмету;

повысить самостоятельность и активность учащихся при изучении материала;

развивать коммуникативные умения;

развивать у учащихся такие мыслительные операции, как анализ, сравнение и сопоставление фактов и явлений;

воспитывать у учащихся чувство коллективизма и взаимопомощи;

развивать межпредметные связи.



1. Теоретические аспекты реализации проблемы «Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии посредством использования современных образовательных технологий»

Проблема стимулирования, побуждения школьников к учению не нова: она была поставлена еще в 40-50-е гг. И.А. Каировым, М.А. Даниловым, Р.Г. Лембер. В последующие годы к ней было привлечено внимание таких методистов, как В.Г.Разумовский, А.В.Усов, Л.С.Хижняков и др. Они поставили задачу формирования положительных мотивов учения в качестве одной из самых главных в обучении математике, ибо высокий уровень мотивации учебной деятельности на уроке и интереса к учебному предмету - это первый фактор, указывающий на эффективность современного урока.

Над этой проблемой также работали П.М. Лебедев, Б.П. Есипов, Л.В. Занков, А.А. Окунев, Н.Б. Истомина и многие другие учёные и педагоги. Исследования педагогов показывают, что в процессе приобретения учащимися знаний, умений, навыков важное место занимает их познавательная активность, умение учителя активно руководить ею. Существуют разные подходы к понятию познавательной активности учащихся. Так, Б.П. Есипов считает, что активизация познавательной деятельности - сознательное, целенаправленное выполнение умственной или физической работы, необходимой для овладения знаниями, умениями и навыками. П.М. Лебедев указывает, что «познавательная активность - это инициативное, действенное отношение учащихся к усвоению знаний, а также проявление интереса, самостоятельности и волевых усилий в обучении».

В первом случае речь идет о самостоятельной деятельности учителя и учащихся. А во втором - о деятельности учащихся. Во втором случае в понятие познавательной активности автор включил интерес, самостоятельность и волевые усилия школьников.

Развитие ребят, писал Л.В. Занков, - это не только рост их прирождённых способностей, но ещё в большей мере результат целенаправленной и систематической работы учителя над развитием его питомцев. Интенсивное продвижение ребят в развитии достигается в процессе всей учебно-воспитательной работы: и приобретения знаний, и овладения навыками, и побуждения к учению.



2. Практические аспекты реализации проблемы «Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии посредством использования современных образовательных технологий»

С целью активизации познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии я использую элементы ниже указанных педагогических технологий.

Педагогические технологии	Методы, приёмы и формы	Достигаемые результаты
Личностно-ориентированная технология обучения	1. Создание ситуации успеха. 2. Использование исторического материала. 3. История происхождения некоторых терминов. 4. Использование исторических сюжетов. 5. Занимательные задания, выходящие «за страницы учебника». 6. Связь абстракции с действительностью (Приложение 2).	1. Помогает в создании творческой атмосферы на уроке. 2. Создаёт необходимые условия для развития индивидуальных способностей детей.
Технология уровневой дифференциации	1. Индивидуальные и дополнительные задания. 2. Карточки-консультанты. 3. Учащиеся-консультанты. 4. «Подвижные группы». 5. Тематические зачёты (Приложение 3).	1. Дифференциация способствует более прочному и глубокому усвоению знаний; 2. развитию индивидуальных способностей учащихся; 3. развитию самостоятельного творческого мышления. 4. Разноуровневые задания облегчают организацию занятия в классе; 5. создают условия для продвижения учащихся в учебе в соответствии с их возможностями.
Проблемное обучение	Создание проблемной ситуации через: а) задачи, решённые самостоятельно; б) решение задач на внимание и сравнение; в) умышленно допущенные учителем ошибки; г) выполнение практических заданий; д) противоречие нового материала старому, уже известному (Приложение 4).	1. Использование методов, основанных на создании проблемных ситуаций и активной познавательной деятельности учащихся, позволяет нацелить учащихся на поиск и решение сложных вопросов, требующих актуализации знаний. 2. Создание в учебной деятельности проблемных ситуаций и организация активной самостоятельной деятельности учащихся по их разрешениюприводит к творческому овладение знаниями, умениями, навыками, развивает мыслительные способности.
Игровые технологии	1. Имитационные игры. 2. Деловые игры: а) «Строитель»; б) «Проектировщик»; в) «Конструктор». 3. Дидактические игры: а) викторины; б) индивидуальное лото; в) «Лучший счётчик»; г) «Кто быстрее»; д) вычислительный лабиринт; е) «Экстренная инвентаризация»; ж) конкурс геометров; и) геометрический аукцион; к) «Внимательный геометр»; л) мозаика геометрических фигур; 4. Игровые ситуации. 5. Кроссворды и ребусы (Приложение 5).	1.Использование на уроках игровой технологии обеспечивает достижение единства эмоционального и рационального в обучении; 2.расширяет кругозор учащихся; 3. развивает их познавательную деятельности; 4. формирует определённые умения и навыки, необходимые в практической деятельности; 5. развиваетобщеучебные умения и навыки.
Тестовые технологии	1. Задания закрытого типа с выбором ответа; 2. задания на установление соответствия; 3. задания на установление логической последовательности; 4. задания открытого типа; 5. комбинированный задания (Приложение 6).	1. На мой взгляд, тесты, созданные самим учителем, позволяют наиболее эффективно выявлять качество знаний, индивидуализировать задания, учитывая особенности каждого ученика. 2. Тест обеспечивает субъективный фактор при проверке результатов, а так же развивает у ребят логическое мышление и внимательность. 3. Использование тестовых заданий позволяет осуществить дифференциацию и индивидуализацию обучения учащихся с учетом их уровня познавательных способностей.



2.1 Примеры методов и приёмов, применяемых на личностно-ориентированном уроке по геометрии

Реализация личностно-ориентированного подхода является одним из методических приёмов повышения познавательной активности учащихся и качества обучения математике, что позволяет более целенаправленно и эффективно моделировать и строить конкретные учебные занятия, более результативно обеспечивать и поддерживать процессы самосовершенствования личности ребёнка, развивая его индивидуальность[1, с.14]. Например, использование сюжетов из художественных произведений:

Геометрия Гулливера

Автор «Путешествия Гулливера» с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. Читатель помнит, без сомнения, что в стране лилипутов нашему футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму -- фут. Другими словами, у лилипутов все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у великанов -- во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения, однако, сильно усложнялись, когда приходилось решать вопросы вроде следующего:

1) во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, нежели лилипутам?

2.2 Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках геометрии посредством использования дифференцированного обучения

Реальностью, обуславливающей необходимость дифференцированного обучения геометрии в VII-XI классах, являются объективно существующие различия в темпах овладения учебным материалом, а также в способностях самостоятельно применять усвоенные знания и умения[13, с.24].

Для отработки материала с учётом индивидуального темпа овладения умениями я использую индивидуальные дополнительные задания.

Для слабых учеников использование карточек-консультантов позволяет продлить этап формирования обязательных умений и навыков. Карточки при этом содержат не только задания, но и обучающие элементы. Ученики при работе с ними получают возможность не только потренироваться, но и воспользоваться помощью по плохо усвоенному материалу. Такие карточки могут предлагать помощь в различной форме: в виде инструкций по выполнению задания, в виде образца решения аналогичной задачи, могут содержать в краткой форме справочные сведения, необходимые для выполнения задания.

Для подготовки слабых учеников к обязательному уровню я использую учеников - консультантов. Консультации происходят прямо на уроке, при этом за каждым слабым учеником закрепляется ученик, уже освоивший решение заданий из обязательного уровня. Здесь как раз и происходит разделение класса на две «подвижные группы» - тех, кто уже овладел материалом на обязательном уровне, и тех, кто его ещё не достиг. Состав «подвижных групп» меняется. От урока к уроку формируются они по объективным результатам работы учащегося на данный момент: по результатам проведения проверочной работы, обучающей самостоятельной работы на предшествующем этапе урока, по правильности выполнения домашнего задания.

Варьирование способов работы с «подвижными группами» может происходить даже на одном уроке. Часто применяю на уроке такой вариант, когда обе группы работают самостоятельно, а учитель даёт индивидуальные консультации нуждающимся в помощи ученикам.



2.3 Примеры проблемных ситуаций, используемых на уроках математики

Что же такое проблемное обучение? Вот как это описали И.Я. Лернер и М. Н. Скаткин: «Своеобразие проблемного обучения в том, что учащиеся систематически включаются учителем в процесс поиска доказательного решения новых для них проблем, благодаря чему они учатся самостоятельно добывать знания, применять ранее усвоенные и овладевают опытом творческой деятельности».

Именно создание проблемных ситуаций на уроках позволяет мне активизировать познавательную деятельность учащихся и включать их в активный поиск решения данной проблемы. Например, на своих уроках я часто создаю проблемные ситуации через выполнение практических заданий:

«На прошлом уроке, ребята, мы измеряли длину и ширину нашего класса и по формуле нашли его периметр: Р=( a+b)Ч2=(6+5)Ч2=22м. Посмотрите, пожалуйста, на пол. Краска сносилась, много чёрных полос. Вам нравится? Мне тоже не нравится. Я думаю, что летом нам нужно обязательно покрасить пол.

Давайте с вами посчитаем, сколько денег нужно будет собрать с каждого родителя на покраску пола в классе, если 1 банка краски стоит 50 тысяч рублей и её хватает, чтобы покрасить 35 кв.м.

Проблемная ситуация.

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь пола (площадь прямоугольника)».

2.4 Дидактические игры на уроках геометрии

Немаловажная роль в активизации мыслительной деятельности учащихся на любом уроке отводится играм - современному и признанному методу обучения и воспитания, обладающему образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. В играх различные знания и новые сведения учащийся получает свободно. Поэтому часто то, что на уроке казалось трудным, даже недостижимым, во время игры легко усваивается. Здесь интерес и удовольствие - важные психологические показатели игры[12, с.6]. 

Именно поэтому на уроках геометрии я использую дидактические игры и имитации в различных формах.

Мозаика геометрических фигур

Тема: «Четырехугольники».

На доску проецируется мозаика квадратов трех различных размеров.

Поочередно командам предлагаются задания:

1) Сколько всего квадратов в мозаике?

2) Найти сумму периметров всех квадратов, если длину стороны меньшего из них принять за 1.

3) Найти сумму площадей всех квадратов, если длину стороны меньшего из них принять за 1.

4) Сколько единичных квадратов можно уместить в каждом из больших квадратов?

2.5 Тестовые технологии на уроках геометрии

В структуре проверки знаний на уроке обычно выделяют текущий, тематический, поэтапный и итоговый контроль. Все формы контроля я стараюсь осуществлять различными методами, одним из которых выступает тестовый. Мой интерес именно к такой форме контроля обусловлен тем, что тесты представляют собой совокупность заданий, позволяющих объективно, сопоставимо и даже количественно оценить качество подготовки учащихся. Это, безусловно, даёт большие возможности для управления учебным процессом - совершенствования методов преподавания.

Среди всего многообразия тестов в своей работе я использую следующие:

- задания закрытого типа с выбором ответа;

- задания на установление соответствия;

- задания на установление логической последовательности;

- задания открытого типа;

- комбинированный задания.

В заданиях открытого типа нет готовых ответов. В этом их главное преимущество. Отвечая на задание, ученик дописывает ответ. Выполняя такие задания вероятность отгадывания равна нулю.

Такие задания я применяю на разных этапах обучения: и для закрепления знаний, и для повторения пройденного материала, и для итогового контроля знаний, и для самоконтроля и самообучения.

При обучении геометрии особенно трудно добиться от учащихся точности в определениях, чёткости в построении логических цепочек рассуждений. Поэтому считаю необходимым использовать тесты с готовыми определениями и формулировками. Очень эффективно в работе и быстро в проверке построение логических цепочек, где необходимо установить истинно либо ложно высказывание.

В 7-11 классах при обучении геометрии использую комбинированные тесты, где первые задания проверяют знание теории, а последние выполняются по готовым чертежам с кратким условием.

Стараюсь организовать тестовый контроль так, чтобы дети закончили работу за 15-12 минут до окончания урока. Затем провожу обсуждение теста. При обсуждении не только закрепляются усвоенные знания, но и развивается речь учащихся.



Заключение

Программный курс по геометрии усложняется, очень часто говорят о том, что ученик не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь. Но часто на практике мы сталкиваемся с тем, что факелы только тлеют, а сосуды упорно наполняются. Чтобы научить детей думать, открывать, изобретать, учитель должен сам очень много придумывать, изобретать и открывать (Приложение 7). Факелы зажигаются только при условии активной творческой деятельности самого учителя.

С этой целью в работе я предложила те средства активизации познавательной деятельности учащихся, которые с успехом применяю на своих уроках и благодаря которым достигла хороших результатов (Приложение 1).

Однако до сих пор среди моих учеников встречаются такие, в ком я, как ни стараюсь, не могу зажечь искру желания к работе, развить познавательную мотивацию, интерес к предмету. Это и заставляет меня находиться в постоянном поиске методов организации деятельности учащихся на уроке:

Угнетает меня повседневность сует,

И обиды в душе оставляют свой след…

После долгой разлуки в свой класс я вхожу.

Наконец-то! Вот здесь только я и дышу.

Здесь дают мне энергию двадцать пар глаз.

И внимательно слушают мой им наказ,

Вот взметнулся навстречу улыбок салют.

«Ты, мгновенье, прекрасно, - себе говорю, -

Ты, мгновенье, замри! - Только это не жизнь.

Отомри, и начнем. Торопись. Торопись!»

Несмотря на то, что эта работа предназначена, в первую очередь, учителям-математикам, я считаю, что изложенные здесь принципы будут интересны и полезны учителям и других специальностей. Во-первых, потому, что более или менее сложные геометрические образы используются практически всеми - от филологов до физиков. Во-вторых, потому, что для многих предметов пространственное мышление является важной частью задействованных при изучении этого предмета способностей - например, для географии, где установление соответствия между земной поверхностью и картой является действием, принадлежащем полностью к сфере пространственного мышления. Или для химии, где объяснение явления изомеризации основывается на различной пространственной структуре одинаковых по химическому составу молекул. Кроме того, сами постановки вопросов, которые обсуждаются в той или иной концепции, имеют несомненные параллели в других предметах и могут послужить удачной аналогией для получения полезных выводов, соображений, принципов.



Список литературы

1. Амонашвили, Ш.А. Личностно-гуманная основа педагогического процесса / Ш.А. Амонашвили. - Минск, 1990.

2. Аскандаров, Э.Э., Селезнёв, В.И. Математические кроссворды и чайнворды: Кн. для учащихся / Э.Э.Аскандаров, В.И. Селезнёв. - Мн.: Нар.,1990-79 с.: ил.

3. Дорофеев, Г.В., Кузнецова, Л.В. Дифференциация в обучении математике / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова // Математика в школе. 1990.-№ 4.

4. Егорченко, И.В. Теория и методика использования реальности в обучении математике / И.В. Егорченко. - Саранск, 1999.

5. Жужгова, К.А. Дифференциация в процессе обучения математике / К.А. Жужгова. - М., 2005.

6. Зенкевич, И.Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителя / И.Г. Зенкевич. - М.: Просвещение, 1981.

7. Мельникова, Е.Л. Проблемный урок или как открывать знания с учениками / Е.Л. Мельникова. - М., 2002.

9. Мудрая, Л.З. Организация индивидуальной работы учащихся на уроках математики / Л.З. Мудрая. - М., Высшая школа, 1975.

10. Самойленко, П.И. , Сергеев, А.В. Тематическая проверка знаний: кроссворды по математике / П.И. Самойленко, А.В. Сергеев. - М.: Школа-Пресс, 1999.- №12.

11. Спиваковский, А.С. Игра - это серьезно / А.С. Спиваковский. - М., 1992.

12. Тюков, А.А. Организационные и обучающие игры и моделирование процесса социального развития личности / А.А. Тюков // Игровое моделирование методология и практика. - 1987.

13. Юркина, С.Н. О дифференцированном обучении математике / С.Н. Юркина //Математика в школе.-1990,№3.



Приложение 1

11 «Б» класс

Рис. П.1



Приложение 2

геометрия познавательный технология окружность

Примеры методов и приёмов, применяемых на личностно-ориентированном уроке по математики

Речевые обороты, которые используются для создания ситуации успеха на уроке

Назначение	Речевые обороты
Помогает преодолеть неуверенность в собственных силах, робость, боязнь самого дела и оценки окружающих.	«Мы все пробуем и ищем, только так может что-то получиться». «Контрольная работа довольно легкая, этот материал мы с вами проходили».
Помогает учителю выразить свою твердую убеждённость в том, что ученик обязательно справится с задачей. Это, в свою очередь, внушает ребёнку уверенность в свои силы и возможности.	«У вас обязательно получиться…» «Я даже не сомневаюсь в успешном результате».
Помогает ребёнку избежать поражения. Достигается путем намёка, пожелания.	«Возможно, лучше всего начать с…» «Выполняя работу, не забудьте о…»
Показывает ребёнку, ради чего, ради кого совершается эта деятельность, кому будет хорошо после выполнения.	«Без твоей помощи твоим товарищам не справиться…»
Обозначает важность усилий ребёнка в предстоящей или совершаемой деятельности.	«Только ты и мог бы…» «Только тебе я и могу доверить…» «Ни к кому, кроме тебя, я не могу обратиться с этой просьбой…»
Побуждает к выполнению конкретных действий.	«Нам уже не терпится начать работу…» «Так хочется поскорее увидеть…»
Помогает эмоционально пережить не результат в целом, а какую-то его отдельную деталь.	«Тебе особенно удалось то объяснение». «Больше всего мне в твоей работе понравилось…» «Наивысшей похвалы заслуживает эта часть твоей работы».

Использование исторического материала

Привлекая исторический материал, материал из смежных дисциплин, подчеркивая красоту и мощь математики, повышается интерес к предмету.

	Что сделано	Кто сделал
1	Составлена первая печатная книга по занимательной математике	Альберти Леон Батиста(1472)итальянский ученый, архитектор, писатель, музыкант
2	Впервые дан общий метод построения магических квадратов	Де-Бесси Френикль Бернар (1675) французский математик
3	Впервые встречаются термины: - натуральное число, - множитель	Боэций Аниций Манлий Северин римский ученый, философ
4	Впервые встречаются знаки «+» и «-»	Видман Ян (1-я половина XVI в.) немецкий математик
5	а) Вошли во всеобщее употребление точка как знак умножения и двоеточие как знак деления. б) Появляются термины уменьшаемое, вычитаемое	Вольф Христиан (1754) немецкий математик, физик и философ
6	Введен термин сочетательный закон	Гамильтон Уильям Роуан(1865) ирландский математик
7	Встречаются высказывания о двоичной системе счисления	Гарриот (Харриот) Томас(1621) английский математик
8	Встречаются термины деление, делимое, делитель	Герберт Орийякский(1003) французский математик
9	Введен термин натуральное число в современном смысле	Даламбер Жан Лерон(1783) французский математик, механик и философ
10	Отмечено, что деление на ноль не есть деление	Магавира (IX в.) индийский математик
11	Введен знак умножения(косой крест)	Оутред Вильям (1660) английский математик
12	Введен современный знак равенства	Рекорд Роберт (1558) английский врач и математик
13	а) Введен термин скобки; б) круги Эйлера	Эйлер Леонард (1783) математик, физик, механик и астроном. Родился в Швейцарии, работал в Берлине и Петербурге
14	Введен термин множимое	Сакробоско де Иоанн (1256) английский математик и астроном
15	Впервые ввел русские названия множитель, произведение ,делитель, делимое, частное	Магницкий Леонтий Филиппович (1739) русский математик-педагог
16	Введение написания круглых скобок	Жирар Альберт (1632) голландский математик; Тарталья Никколо(1557) итальянский математик
17	а) Распространение круглых скобок; б) употребляет двоеточие как знак деления	Лейбниц Готфрид Вильгельм (1716) немецкий математик
18	Впервые термин частное	Леонардо Пизанский(Фибоначчи) (1228) итальянский математик
19	В России (следовательно, и в Беларуси) впервые применен метр в качестве единицы измерения	Лобачевский Николай Иванович(1856) русский математик
20	Таблица умножения Пифагора	Пифагор Самосский (500 до н.э.) древнегреческий математик и философ

История происхождения некоторых терминов

Деление, делимое, делитель. От франц. Dividere - делить, распределять.

Квадрат. Термин quadratus означает - четырехугольный и получился как буквальный перевод соответствующего греческого названия.

Куб. Термин происходит от греческого - игральная кость. Так как она имела форму кубика, то название перешло на любое тело той же формы. Название введено пифагорейцами.

Математика. Это слово греческого - наука, происхождения: в свою очередь произошло от соответствующего глагола, означавшего учусь через размышление. Пифагорейцы знали четыре раздела математики: учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах (геометрию), астрономию и астрологию.

Минус. Термин образован от латинского minus- меньше.

Плюс. Термин произошел от слова plus - больше.

Произведение. Среди многочисленных обозначений умножения употреблялся и прямоугольник как символ того, что площадь его получается при перемножении двух измерений. В связи с этим вплоть до XVII в. вместо произведение говорили - прямоугольник.

Точка. Слово происходит от глагола ткнуть и означает результат мгновенного прикосновения, укола. Тот же смысл имеет и латинское punctum, от которого произошло русское слово пункт.

Внесение занимательных заданий, выходящих «за страницы учебника»

Задача. Как человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку?

Самый легкий и самый древний способ -- без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, -- говорит предание, -- избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени...

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски-простой, но не будем забывать, что смотрим мы на нее с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины, известные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника, -- именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно -- что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2) что сумма углов всякого треугольника (или по крайней мере прямоугольного) равна двум прямым углам.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Связь абстракции с действительностью

Число не является основанием особо важной и наиболее часто встечающейся показательной функции, которая называется экспонентой:

f(x)=ех=ехр(х)

(Exponent в переводе с немецкого означает показатель. Сам термин exponenten возник при не совсем точном переводе с греческого слова, которым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины). Экспоненциальному закону подчинены многие зависимости в живой и неживой природе. Гибкая цепь провисает по кривой, которая так и называется - цепная линия. Так же выгибается парус, надутый ветром.

Сечение вулканов вертикальной плоскостью имеет форму цепной линии. Вездесущее число е начертано даже на паутине. Французский энтомолог Жан Анри Фарб в книге «Жизнь паука» писал: «Рассмотрим внимательно сплетённую за ночь паутину. Усеянные крохотными капельками, её липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги, и число е предстаёт перед нами во всём своём великолепии».



Приложение 3



Приложение 4

Создание проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение

Тема «Сумма углов треугольника» (7 класс):

1) Построить треугольник по трем заданным углам:

А=90°, B=60°, С=45°;

А=70°, B=30°, С=50°;

А=50°, B=60°, С=70°.

2) Два угла треугольника равны 118є и 62є. Найти величину третьего угла.

Создание проблемных ситуаций через задачи, решённые самостоятельно.

Задача: «Три маляра должны покрасить фронтон дома в форме прямоугольного треугольника со сторонами 3м и 4 м. Хватит ли им 1 банки краски, если на ней написано: площадь покрытия 10г/м2»?

Переведем задачу на математический язык:

«Найдите площадь S прямоугольного треугольника, если один из катетов 3 м, а другой - 4 м» Отдельные ученики догадались - зная формулу площади прямоугольника, смогут решить эту задачу.

Первая проблемная ситуация.

«Как вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная формулу для нахождения площади прямоугольника?»

Дети предлагают: достроить данный треугольник до прямоугольника (если прямоугольный треугольник достроим до прямоугольника, то мы получим два равных треугольника, которые равны по двум катетам)

Вычисляют площадь прямоугольника, а затем находят площадь прямоугольного треугольника.

Вторая проблемная ситуация: всегда ли можем использовать получившуюся формулу, если треугольники бывают разной формы?

Задача: «Найти площадь любого остроугольного треугольника».

При помощи наводящих вопросов ученики находят способ. Они предлагают достроить остроугольный треугольник до параллелограмма.

Доказываем, что полученные 2 треугольника равны по 3-му признаку равенства треугольников.

Вспоминаем формулу площади параллелограмма;

Выводим формулу площади любого остроугольного треугольника ;

Отвечаем на вопрос задачи: площадь любого остроугольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Третья проблемная ситуация: «Найти площадь любого тупоугольного треугольника».

С этой проблемой ученики справляются быстро.

Решаем основную проблему:«Найти площадь произвольного треугольника». Проанализировав все случаи, сделайте вывод.

Вопрос: «Чему равна площадь произвольного треугольника?»

Предполагаемый ответ учеников:«Площадь произвольного треугольника равна половине произведения его основания на высоту».



Приложение 5

Экстренная инвентаризация

Эта игра, помимо знания геометрии, требует большой внимательности.

На столе сложены и накрыты салфеткой модели плоских фигур: различного вида треугольники и трапеции, параллелограммы, квадраты и др. Всего может быть 12--15 моделей.

Вызванным к доске ученикам, по два человека от каждой команды, предлагаю осмотреть набор моделей. Осмотр продолжается не более минуты. Поэтому играющие должны быть очень внимательны. После осмотра набор моделей вновь накрывается. Играющие должны выполнить «экстренную инвентаризацию», т. е. записать на доске названия фигур и выполнить от руки их изображения. На составление списка и выполнение изображений отводится 2--3 мин. Чтобы выиграть соревнование, необходим не только перевес на лишнюю запись или рисунок, но и знание определений и свойств каждой из фигур. К доске поочередно могу вызывать до 6 учеников от каждой команды. Класс выступает в качестве арбитра, следит за правильностью ответов.

Такую игру можно с успехом проводить после изучения многих тем в различных классах.

Конкурс геометров

Тема: «Окружность. Вписанные углы. Касательная к окружности и ее свойства».

Для игры необходим плакат, на котором цветной или черной тушью нарисованы геометрические фигуры по пройденной теме. Изображение фигур можно также спроецировать на доску при помощи мультимедийного проектора.

Предлагаю присмотреться к рисункам и установить, каких элементов на них не хватает, чтобы доказать ту или иную теорему или дать определение какого-либо понятия. Недостающий элемент выбирается на столе и прикалывается (или прикрепляется магнитом) на место.

Приводу пример рисунков к вышеуказанным темам:

Рис. П2

Геометрический аукцион

Игра проводится после изучения очередной темы.

Я объявляю: «Сейчас проведем игру по принципу чайнворда». Задание состоит в том, чтобы составить цепочку геометрических терминов па такому принципу, каждый следующий термин начинается с той буквы, какой оканчивается предыдущий. Буква «мягкий знак» во внимание не берется, в этом случае начальной считается предпоследняя буква. Если некоторые буквы в конце термина появляются повторно, то и в этом случае берется предпоследняя или буква, стоящая перед предпоследней. Учитель напоминает основное условие: принимаются только те термины, которые имеют прямое отношение к изученному материалу. Если на одну букву будет предложено несколько терминов, то в чайнворд пойдет тот термин, который назовут последним.

Например, аукционист называет термин «перпендикуляр». От каждой из команд начинают поступать предложения: «радиус», «равнобедренный» и т.д. Когда запас таких терминов исчерпается, аукционист произносит: «Раз... два... три!» С третьим ударом аукцион на данную начальную букву приостанавливается. Термин принят. Дальше идет борьба за следующий геометрический термин и т. д. Если на последнюю букву названного термина не находится предложений, то берется предыдущая буква в этом слове и т. д.

Соревнование заканчивается, когда на доске записана цепочка геометрических терминов и следующих предложений нет. В процессе записи терминов над каждым из них ставят номер соответствующей команды. Побеждает та команда, у которой набралось наибольшей число терминов.

В конце игры можно внести коррективы в записи терминов, но они не влияют на результаты игры.

Имитационные игры

Математическое моделирование, как правило, предполагает имитацию различных ситуаций математическими средствами.

Вспомним известную игру, в «магазин». В процессе купли-продажи дети манипулируют некоторыми предметами, вкладывая в каждый из них определенный смысл.

Таким образом, без всякого принуждения извне они совершают чрезвычайно важную операцию: придают предметам различные значения.

Дидактическая особенность этой способности детей становится понятной, если учесть, что при построении различных моделей аксиоматической теории также приходится отвлекаться от обычного смысла, вкладываемого в исходные понятия теории, перестраиваться на новый смысл этих понятий, соответствующий той или иной конкретной модели.

Приведу примеры имитаций при математическом моделировании.

Рассмотрим еще один пример имитации. Возьмем квадрат. Под прямыми будем понимать стороны квадрата и его диагонали, под точками -- вершины квадрата. В данном случае моделью будет совокупность четырех вершин квадрата А, В, С, D и шести отрезков АВ, AC, AD, ВС, BD, CD. Точка О пересечения диагоналей квадрата в пределах данной модели не является точкой.

Проверим выполнение аксиом.

А1. Для любой стороны и диагонали квадрата существуют вершины квадрата, принадлежащие и не принадлежащие им.

А2. Через две любые вершины квадрата можно провести его сторону или диагональ, и притом только одну.

Рассмотрим одну из теорем в нашей теории.

Теорема. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Пересекающимися прямыми в нашей модели будут АВ и AD, ВС и CD, ВС и АС и т. д. Непересекающимися будут АВ и CD, AD и ВС. Необходимо обратить внимание учащихся на прямые АС и BD. В данной интерпретации они не пересекаются. Полезно также обратить внимание на следующий факт: если какое-либо предложение не выполняется в рамках данной модели, то это предложение не может быть получено как следствие из аксиом данной теории. Так, например, предложение «Существуют вершины квадрата, через которые проходит по крайней мере одна сторона, параллельная данной стороне» не может быть доказано на базе аксиом А1, А2. В дальнейшем построении теории возможны две ситуации: либо это предложение принять за аксиому, либо пополнить список аксиом такими предложениями, на основе которых можно было бы осуществить доказательство данного предложения. Таким образом, рассмотрение данной игры послужило важным эвристическим средством, подсказывающим направление дальнейшего развития теории.

Кроссворды

Углы

По горизонтали: 1. Луч, делящий угол пополам. 2. Угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми сторон другого. 3.Плоская фигура. 4. Одна трехсотшестидесятая часть круга. 5. Угол между биссектрисами прямых углов. 6. Два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными полупрямыми.

По вертикали: 7.Геометрическая фигура. 8. Геометрическая фигура. 9.Основная геометрическая фигура плоскости. 10.Угол, меньший прямого. 11. Фигура, состоящая из 2 различных полупрямых с общей начальной точкой. 12.Угол, больший прямого и меньше развёрнутого.

ОТВЕТЫ

По горизонтали: 1.Биссектриса. 2.Вертикальные. 3.Ромб. 4.Градус. 5.Прямой. 6.Смежные.

По вертикали: 7.Квадрат. 8.Треугольник. 9.Точка. 10.Острый. 11.Угол. 12.Тупой.

Мозаика геометрических фигур

Тема: «Площади многоугольников».

На доску проецируется мозаика равносторонних треугольников.

Рис. П3

Вопросы учащимся:

1) Сколько всего равносторонних треугольников в мозаике?

2) Найти сумму периметров всех треугольников, если длину стороны меньшего из них принять за единицу.

3) Найти сумму площадей всех треугольников, если длину стороны меньшего из них принять за единицу.

Тема: «Длина окружности и площадь круга».



Рис. П4

На доску проецируется система вписанных и описанных квадратов и окружностей.

Вопросы учащимся:

1) Сколько всего квадратов и кругов в мозаике?

2) Найти сумму периметров всех квадратов и сумму длин всех окружностей, если радиус меньшей окружности равен r.

3) Найти площади всех квадратов и кругов, если радиус большей окружности равен R.

Игровые ситуации с использованием задач-рисунков

При закреплении изученного материала целесообразно создавать игровые ситуации с помощью ТСО, проектируя на доску задачи-рисунки.

На первом этапе закрепления материала подбираются более простые рисунки, в которых отчетливо выступает закономерность, о которой идет речь на данном уроке. Если же для закрепления материала отводится весь урок, то здесь нужно соблюдать последовательность перехода от простого к сложному.

При работе с задачами-рисунками я легко определяю степень усвоения учащимися материала, выявляю пробелы в знаниях.

Так, например, при закреплении темы «Сумма углов треугольника» (VII класс) каждому ряду предлагаются соответственно задачи-рисунки.



Рис. П5

Рис. П6

Рис. П7

Задание состоит в том, чтобы найти величину угла. Набирает большее количество очков тот ряд, где наибольшее число учащихся правильно ответили на вопрос задачи. Рисунки поочередно предлагаются каждому ряду. Ответы подаются к моему столу капитанами с указанием фамилии ученика.



Ребусы

Рис. П8

Рис. П9

Рис. П10



Рис. П11



Приложение 6

Тест по теме «Длина окружности и площадь круга» (заполнить пропуски, чтобы получилось верное высказывание)
1. Если стороны многоугольника являются хордами окружности, то многоугольник называется
2. Если стороны многоугольника являются касательными к окружности, то окружность называется
3. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и
4. Каждый угол правильного шестиугольника равен
5. Длину стороны правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса R, можно вычислить по формуле ап = 2R
6. Если сторона правильного многоугольника стягивает дугу окружности, равную 36є, то многоугольник имеет сторон.
7. Сторона правильного четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле
8. Если диаметр окружности равен 8 см, то её длина равна
9. Периметр правильного шестиугольника, вписаного в окружность, равен 30 см. Диаметр этой окружности в раз(а) меньше периметра шестиугольника.

Тест «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»

1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.

а) Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей ________________ называется ________________ треугольника.

б) Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой ____________ называется ____________ треугольника.

2. Верны ли следующие утверждения? (В случае "нет" напишите верный ответ.)

Утверждения	"да", "нет", "не знаю", верный ответ
а) Точка пересечения биссектрис любого треугольника находится внутри треугольника.
б) Все высоты треугольника пересекаются в двух точках.
в) Точка пересечения медиан тупоугольного треугольника находится вне треугольника.

Рис. П12

3. Проведите в этом треугольнике все высоты.

Обозначьте их.

4. Начертите треугольник, в котором есть тупой угол. Проведите в нем все медианы. Обозначьте их.

5. В треугольнике ACD проведены медианы АЕ, СВ и DF. Длины отрезков AF, BD и СЕ соответственно равны 4 см, 3 см и 2 см. Найдите периметр треугольника ACD.

Ответ:

Рис. П13

6. DN -- высота. Доказать, что AMND равен AKND.

Рис. П14



7.Проведите в ДАВС все высоты. Выделите их другим цветом и обозначьте.

Тест

Установить, истинны или ложны следующие высказывания, поставить знаки «+» или «-», составив из них цепочку.

1. Треугольник называется правильным, если все его углы равны.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

3. Если А(5; 4), В(3; -6) - координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты (4; 1).

4. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе).

5. Равенство равносильно основному тригонометрическому тождеству.

6. Если вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник является описанным.

7. Площадь любого круга можно вычислить по формуле , где D - его диаметр.

8. Каждый угол правильного пятиугольника равен 108°.

9. Сторону с в треугольнике ABC можно найти по формуле .

10. Если длина окружности равна 628 см, то ее радиус равен 1 м.

11. Равенство следует из теоремы синусов.

12. Формула выражает теорему косинусов.

13. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность радиусом8см, равен см.



Приложение 7

Тема: Подобие вокруг нас.

Цель: создать условия для активной познавательной деятельности учащихся по освоению темы и использованию полученных знаний в практической деятельности.

Задачи: предполагается, что в конце занятия учащиеся будут

- знать признаки подобия треугольников, понятие фрактала;

- уметь применять признаки подобия треугольников при решении задач, находить подобие в окружающем мире.

Задачи личностного развития:

- способствовать развитию умения сравнивать, анализировать, структурировать информацию, делать выводы;

- содействовать формированию математических умений, навыков взаимодействия через организацию парной работы.

- создать условия для развития интереса к предмету, для самореализации личности учащихся в учебной деятельности.

Тип урока: обобщающий.

Форма урока: игра «Математическое ралли».

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал по уроку, наглядные пособия, презентация

Ход урока

Организационный этап

Цель этапа (планируемый результат): создание благоприятной психологической обстановки.

Педагогическая задача: организовать и подготовить учащихся к работе.

Учитель: Ребята! Сегодня у нас необычный урок, который пройдёт в форме математического ралли, где вы должны показывать чему научились, каждый в ответе не только за себя, но и за работу напарника.

II. Ориентировочно-мотивационный

Цель этапа (планируемый результат): наличие мотивации, самоопределение на конечный результат урока.

Педагогическая задача: сформировать познавательные мотивы, создать условия для самоопределения учащихся на деятельность и её результаты.

Учитель: Сейчас мы создадим 14экипажей. Вы сидите за одной партой, следовательно, являетесь экипажем машины, каждая машина имеет свой цвет, который указан магнитом на доске Ралли будет проходить в 3 этапа. На каждом этапе экипаж машины при «верном» выполнении задания получает один бонус. Чем больше бонусов наберете, тем выше оценку получите. Рассмотрим маршрут автопробега.

Пожелания экипажам:

1. Есть единственная форма счастья - честно трудиться, уважать друг друга и жить в мире.

2. Счастья от бесконечности до бесконечности.

3. Миллион вам надежд на лучшее.

4. Плохое настроение умножьте на 0.

Экипажи готовы? Поехали!

III. Актуализация опорных знаний (I этап. Разгон)

Цель этапа (планируемый результат): познавательная готовность учащихся к получению знаний.

Педагогическая задача: актуализировать опорные знания, сформировать познавательные мотивы, создать ситуацию взаимодействия.

Учитель: Чтобы удачно совершить пробег, нам понадобятся следующие знания:

1. определения подобных треугольников;

2. понятия соответствующих сторон;

3. понятия коэффициента подобия;

4. признаков подобия треугольников.

Учитель: Чтобы экипажи были готовы к автопробегу, сделаем небольшую разминку: выполним тест (6 бонусов).

Задача	Ответ
1) В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 90°, угол А равен 30°, а гипотенуза АС равна 10. Найти катет ВС.	1) 10; 2) 20; 3) 5; 4) 1.
2) В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 45°, а катет АС равна 3. Найти катет ВС.	1) 10; 2) 5; 3) 3; 4) 15
3) В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 90°, катет АВ=8, а катет ВС=6. Найти гипотенузу АС.	1) 10; 2) 2; 3) 14; 4) 100.
4) В прямоугольном треугольнике LРТ угол L равен 90°, LТ=4, РТ=6. Найти LР.	1) 24; 2) 32; 3) 40; 4) .
5) Диагонали ромба равны 14 и 48. Найти сторону ромба.	1) 25; 2) 34; 3) 62; 4) 24.
6) В треугольнике углы равны 45° и 90°, а большая сторона равна 20. Найти две другие стороны треугольника.	1) 10 и 10; 2) 4 и 5; 3) и ; 4) 20 и 20.

Рис. 15

Учитель: Подведем итоги первого этапа (три бонуса). У каждого из вас на столе лежит маршрутный лист, инструкция по заполнению листа, карта на местности и на экипаж 4 конверта (с разными цветами треугольников).

IV. Операционно-познавательный( II этап. Исследовательская работа)

Цель этапа (планируемый результат): правильность и осознанность усвоения содержания изучаемого учебного материала, познавательная активность учащихся.

Педагогическая задача: организовать целенаправленную познавательную деятельность учащихся по усвоению новых знаний.

План исследования:

Сложите красный треугольник на карте местности.

- Определите на сколько частей разбита карта местности.

- Определите количество равных треугольников.

- Определите количество разных (не равных) подобных треугольников.

- Определите коэффициент подобия k треугольников.

- Занесите результаты в таблицу.

2. Выполните те же задания с зеленым и синим треугольниками.

3. Найдите, закономерность и заполните четвёртую строку, не выполняя полностью построение.

Рис. 16



Рис. 17

Вывод: Количество равных треугольников равно квадрату количества частей стороны.

Итоги исследования: (5 бонусов).

Учитель: Приближаемся к следующему препятствию. Оговорим условия: вашему экипажу нужно выполнить задания на карте местности с топографическим треугольником.

II. Пит-Stop

На карте местности находиться топографический знак треугольника (белого цвета).

Выполните задания:

1. Разбейте белый треугольник на 4 равных части одним треугольником.

2. Разбейте оставшиеся белые треугольники таким же образом.

3. Все ли использованы треугольники? Если нет, то почему? Ответ обоснуйте.



Рис. 18

Зеленый треугольник, так как его сторона не пропорциональна ни красному, ни синему, ни желтому.

Проверка каждого этапа построения (3 бонуса).

- Какой цвет треугольника не был использован? Почему? (1 бонус). - Какой коэффициент подобия треугольников:

1. Красного и синего треугольника? 2. Синего и желтого? 3. Синего и белого? 4. Желтого и красного? (4 бонуса).

Эта фигура называется фрактал, а построение фрактальное.

Учитель: Ни один объект природы нельзя описать только ломанной, кругом, многоугольником. Поэтому французский математик Мандельброт первый придумал название этому понятию. Что же такое фрактал? Это самоподобная фигура: каждый ее элемент подобен себе.

Рис. 19



V. Контрольно-коррекционный (III этап. Финиш)

Цель этапа (планируемый результат): выполнение проверочного теста, обнаружение ошибок, затруднений, их коррекция.

Педагогическая задача: установить осознанность усвоения нового материала, создать условия для самоконтроля, самокоррекции и самооценки знаний, умений и способов действий, стимулировать учащихся на самообразование.

Учитель: У вас на столе лежит набор звезд, разной величины.

Задача: построить фрактал. -Кто построил, выйдите к доске, покажите всем. (3 бонуса). - Как вы можете описать свой фрактал? - Вы все смогли построить фракталы, но чей самый оригинальный, красивый, необычный? -Так что же такое фрактал? (2 бонуса).

Итоги автопробега

Самоконтроль и самопроверка:

«10» - 23 - 21 бонусов. «9» - 20 - 18 бонусов. «8» - 17 - 15 бонусов.

«7» - 14 - 12 бонусов.

«6» - 11 - 9 бонусов.

«5» - 8 - 6 бонусов.

«4» - меньше 6 бонусов.

- Чей экипаж набрал больше бонусов? Молодцы!

VI. Домашнее задание

Цель этапа (планируемый результат): мотивация на успешное выполнение домашнего задания.

Педагогическая задача: объяснить учащимся алгоритм выполнения домашнего задания.

Домашнее задание:

а) 1.Сторона квадрата равна 7 см. Найдите диагональ квадрата.

2. Стороны прямоугольника 8 см и 15 см. Найдите его диагональ.

3. К окружности с центром в точке О проведена касательная АВ (В - точка касания). Найдите радиус окружности, если АО = 41 см, а АВ = 40 см.