Тригонометрические уравнения, трудности, встречающиеся при обучении решению тригонометрических уравнений и пути их преодоления

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Приднестровский государственный университет имени Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

Учебная практика

Тема: «Тригонометрические уравнения, трудности, встречающиеся при обучении решению тригонометрических уравнений и пути их преодоления»

Выполнила:

Голюк А. Л.

Руководитель:

Шинкаренко Е.Г

Тирасполь 2016

Содержание

Введение

1. Тригонометрические уравнения

2. Основные методы решения тригонометрических уравнений

3. Психолого-педагогические основы изучения тригонометрического материала в школе

4. Трудности, встречающиеся при обучении решению тригонометрических уравнений

Список использованной литературы

Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических - бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Долгое время тригонометрию рассматривали как раздел геометрии, и это порождало у школьников неверное представление о тригонометрических функциях, границы применимости которых, к тому же, сводились до минимума.

В настоящее время тригонометрию изучают в курсе алгебры и начал анализа, хотя основное понятие тригонометрической функции в учебной литературе по-прежнему задается геометрическим способом в виду отсутствия у старшеклассников знаний теории рядов. Таким образом, изучение тригонометрических функций, а в дальнейшем и тригонометрических уравнений, в школьном курсе имеет некоторые особенности.

В данной работе рассматривается вопрос о формировании таких понятий, как «тригонометрическое уравнение» и «решение тригонометрического уравнения».

Процесс нахождения решений тригонометрического уравнения состоит из двух основных этапов: преобразования уравнения до получения простейшего (их системы либо совокупности) и решения последнего (или последних).

В зависимости от вида исходного тригонометрического уравнения, существуют различные методы их решения, и в данной работе подробно рассматривается каждый из них, сопровождается примерами из вступительных экзаменов и пособий для абитуриентов.

Актуальность темы заключается в том, что тригонометрические уравнения включены в часть С Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку.

1. Тригонометрические уравнения

Определение: Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

sin x = a ,

cos x = a,

tg x = a,

ctg x = a.

Рассмотрим, при каких значениях а тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение sin x = a.

Так как множество значений функции y = sin x - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

.

Далее, из-за периодичности функции , каждому значению a соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

На рисунке 1 члены первой последовательности отмечены кружками, а второй - квадратами.

Рис. 1

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

А
0
1
-1

Пример: Решить уравнение .

Решение:

.

Ответ: .

Уравнение cos x = a.

Данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

.

Множество решений записывается в виде

.

Заметим, что

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

А
0
1
-1

Пример: Решить уравнение .

Решение:

.

Ответ: .

Уравнение tg x = a.

Данное уравнение разрешимо при любом a. Все решения задаются формулой

.



Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

А
0
1
-1

Пример: Решить уравнение .

Решение:



Ответ: .

Уравнение сtg x = a.

Данное уравнение разрешимо при любом а. Все решения задаются формулой

.

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

А
0
1
-1

Заметим, что .

Пример: Решить уравнение .

Решение:

Ответ: .

2. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:

· разложение на множители;

· способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);

· сведение к уравнениям, однородным относительно sin x и cos x;

· преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;

· преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

· использование формул понижения степени;

· равенство одноименных тригонометрических функций;

· равенство одноименных тригонометрических функций

· введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Способ замены переменной.

Данным методом решаются уравнения вида

Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены или Уравнения

не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:

.

При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:



Пример 1: Решить уравнение .

Решение: Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение Его корни: , то есть получаем уравнение или . Первое уравнение дает . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 2: Решить уравнение .

Решение: Так как , то уравнение можно представить в виде ; . Сделаем замену . Получим квадратное уравнение , решая которое, имеем: ,то есть . Таким образом, получим два простейших уравнения или . Решая их, имеем

или .

Ответ:

Однородные уравнения.

Уравнения:

,

,

,

называются однородными относительно и . Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при и у всех членов уравнения одинакова. Делением на соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно . При этом, конечно, предполагается, что коэффициент . В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на (если бы , то из исходного уравнения следует, что и , а это невозможно, так как и при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда ).

Уравнение

легко сводится к однородному, если правую часть представить в виде

.

После очевидных преобразований получаем

.

Пример 1: Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение является однородным относительно и Поэтому, разделив его на , получим . Введем новую переменную и решим квадратное уравнение .

Его корни . Получили два простейших тригонометрических уравнения . Решая их, найдем:

или.

Ответ: .

Пример 2: Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем



то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на , получим . Решая это уравнение, квадратное относительно , найдем, что либо . Таким образом,

или .

Ответ: .

Разложение на множители.

При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:

Пример 1: Решить уравнение .

Решение: Применяя формулу синуса двойного угла, получим

, .

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Решение 1-го уравнения: .

Уравнение преобразуем к виду , имеющему решение

.

Ответ: .

Пример 2: Решить уравнение .

Решение: Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:

Отсюда следует, что или , то есть имеем уравнение или . Решая их, получим

или .

Ответ: .

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:



Пример: Решить уравнение .

Решение: По формулам приведения . Получаем уравнение . Пользуясь, выше приведенной формулой, преобразуем разность синусов в произведение:

.

В результате имеем уравнение

,

откуда или .

Решая эти уравнения, получим

;

Ответ: .

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример: Решить уравнение .

Решение: Преобразуем по выше приведенным формулам левую и правую части уравнения. В результате получим:

,

, то есть .

Преобразовывая теперь в произведение сумму косинусов, будем иметь

,

Откуда

или .

Ответ: .

Использование формул понижения степени.

При решении уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример: Решить уравнение:

.

Решение: Сразу заметим, что

, а ,

и уравнение принимает вид . Используя, выше приведенные формулы, перепишем его в виде

,

то есть . Преобразуем суммы косинусов в произведения, тогда получим

Наконец, преобразовывая разность косинусов в произведение, получим . Задача свелась к решению совокупности трех уравнений: или или , из которой находим три семейства решений заданного уравнения:

.

Однако ответ можно записать в виде

,

поскольку он содержит в себе два других семейства (чтобы убедиться в этом, достаточно положить или ).

Ответ: .

Равенство одноименных тригонометрических функций.

Данным методом решаются уравнения вида

.

Теорема 1: Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий

.

Теорема 2: Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий

.

Теорема 3: Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий

.

Пример: Решить уравнение .

Решение: На основании условий равенства двух синусов имеем:

или .

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Метод основан на преобразовании выражения , где a и b - постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.

Введем угол , положив

.

Тогда:

где находится из уравнения

.

Пример: Решить уравнение

.

Решение: Так как , то и уже являются соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол . Таким образом, получаем

.

Решая это уравнение, имеем .

Ответ: .

Уравнение, рассмотренное в последнем примере, имеет вид . Однако решить такие уравнения можно и другими методами.

Метод рационализации для уравнения вида

Известно, что если , то выражаются рационально через .

Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного.

Данное уравнение можно переписать в виде

Положим , тогда получим

Решим данное уравнение и получим следующие ответы:

1. если , то у уравнения нет корней;

2. если , то ;

3. если , то .

Пример: Решить уравнение .

Решение:

 - уравнение имеет решение.

.

1) ;

2) .

Ответ: .

Приведение к однородному для уравнения вида a sinx+b cosx = c.

Данное уравнение перепишем в виде

,

т.е. имеем однородное уравнение

.

3. Психолого-педагогические основы изучения тригонометрического материала в школе

В качестве основополагающих, общепризнанных дидактических принципов в современной дидактике выделяют следующие принципы обучения:

сознательности и активности;

наглядности;

систематичности и последовательности;

прочности;

научности;

доступности;

связи теории с практикой.

При изложении темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» следует обратить внимание, в первую очередь, на принципы наглядности, доступности, научности, сознательности и активности, систематичности и последовательности.

Принцип наглядности обучения - один из самых понятных принципов обучения, использующийся с древнейших времен. Закономерное обоснование данного принципа получено сравнительно недавно. В основе его лежат следующие строго зафиксированные закономерности: органы чувств человека обладают разной чувствительностью к внешним раздражителям, у подавляющего большинства людей наибольшей чувствительностью обладают органы зрения. Органы зрения "пропускают" в мозг почти в 5 раз больше информации, чем органы слуха, и почти в 13 раз больше, чем тактильные органы; информация, поступающая в мозг из органов зрения (по оптическому каналу), не требует значительного перекодирования, она запечатлевается в памяти человека легко, быстро и прочно.

Изучение тригонометрии предполагает большое количество «наглядной» информации, которая связана с основной моделью - числовой окружностью, а также с исследованием и построением графиков различных функций, которым необходима зрительная интерпретация. Поэтому при организации уроков необходимо учесть правила, которые раскрывают принцип наглядности.

Запоминание ряда предметов, представленных в натуре (на картинках или моделях), происходит лучше, легче и быстрее, чем запоминание того же ряда, представленного в письменной форме. Иными словами, можно говорить о важности моделирования при изучении данного курса.

Следует использовать наглядность не только для иллюстрации, но и в качестве самостоятельного источника знаний для создания проблемных ситуаций. Современная наглядность позволяет организовать эффективную поисковую и исследовательскую работу учащихся.

Наглядные пособия способствуют образованию наиболее отчетливых и правильных представлений об изучаемых предметах и явлениях.

При чрезмерном увлечении наглядностью она становится препятствием на пути глубокого овладения знаниями, тормозом развития абстрактного мышления, понимания сущности общих и всеобщих закономерностей.

Следующим принципом, играющим важнейшую роль в обучении, является принцип систематичности и последовательности, суть которого состоит в следующем:

процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нем перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов; если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются; если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности; если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется.

Обратимся теперь к принципу доступности, который непосредственно вытекает, с одной стороны, из закономерностей возрастного развития учащихся, с другой стороны - из организации и осуществления дидактического процесса в соответствии с уровнем развития учащихся.

В основе принципа доступности лежат следующие закономерности:

- доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных способностей;

доступность обучения зависит от организации учебного процесса, применяемых методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения.

Принцип научности обучения требует, чтобы учащимся на каждом шагу их обучения предлагались для усвоения подлинные, прочно установленные наукой знания и при этом использовались методы обучения, по своему характеру приближающиеся к методам изучаемой науки. В основе принципа научности лежат следующие закономерности:

мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира;

наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний;

научность обучения обеспечивается, прежде всего, содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования;

научность обучения зависит от реализации учителями принятого содержания;

научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей.

При организации уроков по предложенной теме данный принцип реализуется в установлении межпредметных связей между тригонометрией и другими науками, в том числе математическим анализом, геометрией, физикой, астрономией, информатикой и прочее. Кроме того, данный принцип реализуется в установлении связи между исследованием функции и решением уравнения, содержащего конкретную функцию и, тем самым является мощным стимулом для дальнейшего изучения элементов математического анализа, как аппарата, помогающего при решении тригонометрических уравнений.

Для процесса обучения является закономерным единство преподавания и учения. Тогда и только тогда, когда эти процессы взаимосвязаны, процесс обучения достигает желаемого результата. Нельзя рассчитывать только на то, что учитель активно преподает, а ученик не участвует в процессе усвоения знаний и умений. В этом случае затруднена обратная связь, т.е. как бы активно ни преподавал учитель свой предмет, если ученик не участвует в процессе усвоения знаний, то на выходе мы будем иметь ученика, который не сможет применить свои знания на практике, или не будет иметь даже минимальных теоретических знаний. Можно также сказать, что сознательное усвоение знаний учащимися зависит от ряда условий и факторов: мотивы обучения, уровень и характер познавательной активности, познавательная активность школьника и др. Суть данного принципа сознательности и активности отражают следующие правила:

ясное понимание целей и задач предстоящей работы. Действительно, когда человек не в состоянии определить цель той работы, которую ему предстоит выполнить, он не может поставить себе соответствующие задачи, характерные для данной работы, а, следовательно, результат работы будет сведен к нулю;

обучайте так, чтобы учащийся понимал, что, почему и как нужно делать, и никогда механически не выполнял учебных действий. От преподавателей можно часто слышать, что ученик не в состоянии выполнить определенного задания. Пример - механическое заучивание тригонометрических тождеств никогда не приведет нас к осознанию того, с какой целью мы изучаем тригонометрию. Почему? Да потому, что ученик, механически заучивая всем известные тождества, не понял, для чего ему необходимы эти тождества, он не поставил перед собой конечной цели и не определил задачи данной работы;

используйте все виды формы познавательной деятельности, объединять анализ и синтез, сопоставление с противопоставлением, применять аналогию;

обеспечивайте понимание смысла каждого слова, предложения, понятия. Действительно, непонимание даже одного слова может привести к непониманию смысла всей темы;

воспитывайте активность. Активный ученик скорее задаст вопрос относительно того, чего он не понял, малоактивный может промолчать, такое молчание приведет к непониманию между учителем и учеником, что в дальнейшем может перерасти в конфликтную ситуацию;

неизвестное логически связывайте с известным;

каждое правило сопровождайте примерами;

учите разделять главное и второстепенное. Память человека не в состоянии вместить в себя весь объем информации, который ученик получает в школе. Важно разделение всей информации на главную и второстепенную, следует объяснить ученику, что основная информация - это минимум, который мы в состоянии усвоить, а второстепенную информацию можно найти в справочниках, словарях и т.д.

Однако при изучении тригонометрии следует принять к сведению и психологические особенности учащихся: особенности внимания, памяти, восприятия, мышления (определить какие виды мышления преобладают), возрастные особенности.

4. Трудности, встречающиеся при обучении решению тригонометрических уравнений

тригонометрический уравнение образовательный педагогический

Спросите у учителя математики в старших классах, какова основная проблема при изучении тригонометрических уравнений в 10 классе? В ответ вы услышите: «Учащиеся не знают формул». Именно поэтому в современных общеобразовательных школах учителя математики не жалеют ни времени, ни сил на то, что по их мнению особенно важно учащимся - на отработку формул. В результате мы приходим к простейшему заключению: решение тригонометрических уравнений сводится к преобразованию тригонометрических выражений и к банальному заучиванию основных формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

По мнению вузовских преподавателей, выпускники школ тригонометрию знают плохо. Большинство учащихся школы отождествляют тригонометрию с набором огромного числа жутких формул, которые ни один нормальный человек запомнить не в состоянии. Такое представление о тригонометрии складывалось у нас в школе десятилетиями.

Сегодня, когда стали понимать, что основная задача учителя математики - развитие умственных способностей ребенка, а не заполнение ячеек его памяти формулами (в реальной жизни подавляющее большинство школьных формул людям не нужно), настало время пересмотреть тригонометрические методические традиции. В связи с этим А.Г. Мордкович в своей статье «Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе» выделяет три основных тезиса, которыми следует руководствоваться при изучении тригонометрии.

1) Основное внимание в начале изучения раздела надо уделить модели «числовая окружность на координатной плоскости».

2) Собственно тригонометрические уравнения в школе практически не изучаются - вместо них идет постоянная возня с тригонометрическими преобразованиями.

3) Тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся овладеет двумя «китами», на которых базируется курс тригонометрии: числовой окружностью и простейшими уравнениями.

Если посмотреть на эти три тезиса, то возникает вопрос: как же можно изучать тригонометрические уравнения, не зная тригонометрических формул? Собственно именно такой вопрос и задают учителя, когда слышат о том, что тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащийся узнает, что такое числовая окружность и простейшие тригонометрические уравнения.

Предположим, что на этот вопрос мы ответили и учителя согласились с такой структурой изложения материала, тогда перед нами встает другой вопрос: каким образом осуществить знакомство учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями и как вывести формулы для решения таких уравнений. При выводе формул для решения простейших тригонометрических уравнений мы сталкиваемся с рядом трудностей (рассмотрим данные трудности на примере уравнения ):

1) неизвестно откуда взялся ;

2) в формуле для решения тригонометрического уравнения появляется множитель вида ;

3) тригонометрические уравнения имеют не конечное число корней, как привыкли учащиеся, а бесконечное число корней.

Таким образом, при изложении темы «Решение тригонометрических уравнений» мы должны учитывать все вышеизложенные трудности.

Список использованной литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2006. - 336 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: Задачник для общеобразовательных учебных учреждений /А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина Е.Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2007. - 315 с.: ил

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд; под ред. А.Н. Колмогорова. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 320 с.: ил.

Абрамович М.И.; Стародубцев М.Т. Математика. Геометрия и тригонометрические функции: Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. - М.: Высшая школа, 1976.: ил.

Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006 г. - 176 с.: ил.

Размещено на Аllbest.ru