Методика организации учебных исследований при обучении учащихся профильных классов решению уравнений с параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика организации учебных исследований при обучении учащихся профильных классов решению уравнений с параметром

Одной из основных задач профильного обучения в XXI веке является формирование разносторонне развитой личности, которая способна реализовать свой потенциал, как в интересах самой себя и личности. Важное место в решении этой задачи отводится развивающему обучению, при котором на передний план выдвигаются проблемы развития процессов познания и способностей учащихся. В связи с этим процесс обучения школьников должен быть направлен на формирование умений получать новые знания, творчески решать стоящие перед ними задачи. В последние годы в школьной практике обучения математики в профильной школе значительно возрос интерес к задачам с параметрами, так как они обладают высокой диагностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, повысить уровень логического мышления, развить навык исследовательской деятельности.

С одной стороны, становится понятным их регулярное появление в вариантах выпускных экзаменационных работ по математике за курс средней школы. С другой стороны, не следует упускать из виду развивающую ценность параметрических задач в школьном обучении математике, так как процесс их решения является одним из мощных инструментом формирования мышления, в частности, математического мышления, поскольку эти задачи обладают большими потенциальными возможностями для развития умственных операций (обобщения, конкретизации, сравнения, аналогии и т.д.), формируют активность и целенаправленность мышления, культуру логических рассуждений, способствуют формированию визуального мышления с помощью графических методов решения, т.е. способствует развитию у обучающихся исследовательских способностей.

Для формирования творческих качеств личности важно решение проблемы полноценного развития учащихся в процессе обучения математике. Усвоение научных основ математики, и успешное решение математических задач, изучаемых в школе, предполагают достижение учащимися определенного уровня развития мышления, поскольку оно является условием успешного усвоения такого предмета как математика. Особую роль в решении рассмотренной задачи играет исследовательская деятельность учащихся, непосредственно связанная с усвоением математических знаний. Поэтому одним из путей успешного решения стоящих перед школой задач, является приобщение учащихся к исследовательской деятельности и развитие способности к ней в процессе обучения. Чему, как и говорилось выше, и способствуют задачи с параметрами.

Фундамент исследовательского метода в преподавании был заложен еще классиками педагогической науки: Я.А. Коменским, Ж.Ж. Руссо, К.Д. Ушинским и т.д. Дальнейшее развитие их идей продолжили также отечественные педагоги и методисты: Б.В. Всесвятский, И.Я. Лернер, Н.И. Новиков, Б.Е. Райков, А.П. Пинкевич, М.Н. Скаткин и др. Современные педагоги-математики: И. Груденова, В.А. Далингера, Г.И. Саранцева, А.Я. Цукарь а также считают исследовательскую деятельность, наиболее эффективным средством активизации познавательных способностей при обучении математике в целом. Немало и диссертационных работ посвящено проблеме организации исследовательской деятельности в области школьной математики диссертационные работы (М.З. Каплан, Е.В. Ларькиной, Г.В. Токмазова). В этих работах рассматриваются различные способы изучения и анализа исследовательских задач.

Несмотря на такое количество исследований в этой области, в настоящее время имеют место, следующие противоречия, которые до сих пор не были решены:

1) между временем, требующимся на реализацию, существующих методик по организации учебных исследований в процессе обучения решению уравнений с параметрами и реальным временем, отводящимся на этот процесс общеобразовательными программами;

2) между реальным состоянием современной системы организации учебных исследований в процессе обучения решению уравнений с параметрами и потребностью в четкой и рациональной и обоснованной методике данной организации. Указанные противоречия и определяют актуальность исследования, проводимого в данной статье. А теперь прежде чем рассмотреть предполагаемые пути решения проблемы, поставленной в данной статье, давайте, посмотрим, что же такое уравнение с параметром.

Пусть дано равенство:

тогда, если дана задача для каждого действительного значения, а найти такое значение которое обращает уравнение (1) в верное числовое равенство, то уравнение (1) называют уравнением с переменной и параметром . Решить уравнение с параметром, а значит, для каждого значения найти значения удовлетворяющие этому уравнению, то есть обращающее данное уравнение в верное числовое множество.

Различают следующие виды уравнений с параметрами:

Линейные.

Квадратные.

Дробно-рациональные.

Иррациональные.

Тригонометрические.

Линейные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами:

,

где х - неизвестное, - параметры.

Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном. При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен некому особому значению и отличен от него. Особым значением параметра, является значение . Если , то при любой паре параметров, а и b уравнение (2) имеет единственный корень:

Если, , то уравнение (2) принимает вид:

В этом случае значение, нужно принимать в качестве особого параметра значение и также рассматривать два случая:

При уравнение (3) не имеет решения

При уравнение (3) примет вид:

(4).

и будет иметь в качестве решения любое число из множества действительных чисел.

Квадратные уравнения.

Уравнение, записанное в таком виде называется квадратным уравнением с параметрами: и переменной .

Для этого уравнения так же, как и для линейного рассматривают особые или контрольные значения параметра. Но в этом случае таким значением является то, при котором квадратное уравнение превращается в линейное. Для уравнения (5), особым значением параметра, является значение . Если a=0, то при любой паре параметров, а и b уравнение принимает вид:

(6),

а данное уравнение решается линейное и решается с помощью аналогично, изложенному выше методу.

Если , то из множества таких значений параметра выделим только те, при которых дискриминант уравнения (5) обращается в 0. Дело в том, что если дискриминант D=0 при ,то при переходе значения через точку дискриминант может поменять знак (например, если при , , то при , дискриминант ). Вместе с этим при переходе через точку меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в примере, приведённом выше при корней нет, так как , а при уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в нуль дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Дробно-рациональные.

Процесс решения дробных уравнений происходит по следующей схеме: дробное уравнение сводится к целому путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае же уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Иррациональные уравнения с параметрами. При решении иррациональных уравнений с параметром, следует учитывать область допустимых значений. Во многих случаях иррациональные уравнения после замены переменных сводятся к квадратным.

Тригонометрические уравнения. Большинство уравнений с параметрами данного вида сводится к решению простейших тригонометрических, с помощью следующего ряд способов:

а) ведение дополнительных переменных

Введение дополнительных переменных позволяет упростить выражения, присутствующие в заданиях и позволяет упростить выполнение задания. Этот подход может быть применен в уравнениях вида.

,

,

,

И,

;

б) Разделение области допустимых значений.

Область возможных значений разделяется на дизъюнктивные подмножества. Это позволяет упростить уравнение, или свести его к новой более легкой для решения форме;

Как видно, каждый вид уравнения с параметром требует индивидуальный подход к своему решению. Поиска способа решения того или иного уравнения с параметром требует от учащегося обладания высоким уровнем математического мышления, развитой способностью к исследовательской деятельности в процессе обучения.

В связи с чем, считаю необходимым:

уточнить понятие учебного исследования и выявить функции учебных исследований при обучении учащихся решению уравнений с параметрами; выявить закономерности учебных исследований, имеющие непосредственное влияние на обучение решению уравнений с параметром;

исследовать структуру и содержание учебных исследований;

выяснить какова же роль учебных исследований при обучении решению уравнений с параметрами;

разработать методические рекомендации организации учебных исследований при обучении учащихся профильных классов решению уравнений с параметром.

Все указанные выше действия помогут решить исследуемую проблему.

познание учащийся математика

Размещено на Allbest.ru