Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах

Порівняно із загальноосвітніми класами суттєво підвищується теоретичний рівень вивчення навчального матеріалу, зокрема при вивченні всіх видів рівнянь, нерівностей та їх систем послідовно акцентується увага на основних поняттях: корінь, розв'язок, рівносильність, наслідок, можливість втрати та появи сторонніх коренів, перевірка як важлива складова процесу розв'язування. Вводяться елементи теорії множин та математичної логіки [26].

У класах фізико-математичного профілю навчання може відбуватися за програмою для 10-11 класів з поглибленим вивченням математики.

Дедалі більше комп'ютер стає універсальним помічником людини в цивілізованому світі. Використання його в навчальному процесі поряд із допомогою у вирішенні дидактичних завдань активізує дію мотиваційних чинників у створенні позитивного ставлення до навчання. Ефективність засвоєння знань учнями за умов широкого впровадження засобів нових інформаційних технологій навчання значною мірою залежить від педагогічних програмних засобів (ППЗ), що дають змогу поєднати високі моделюючі та обчислювальні можливості при дослідженні різноманітних математичних об'єктів з унаочненням результатів на всіх етапах процесу навчання [10].

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах з математичним нахилом.

1. У процесі викладання курсу „Алгебра та початки аналізу” слід приділити особливу увагу функціональній спрямованості цього курсу. Питання дослідження функцій у тій чи іншій формі слід ставити впродовж усього часу навчання.

2. Перший тиждень навчального року в 10 класі корисно повністю присвятити „Тригонометрії трикутника”. Основним змістом цих уроків є розв'язування комбінованих задач, більш складних, ніж традиційні.

3. Включаючи до програми 10 класу курс „Елементи векторного числення”, вчитель має можливість провести побудову всього курсу геометрії на векторній основі.

4. При вивченні теми „Елементи інтегрального числення” можна відштовхуватись від поняття невизначеного інтегралу і тільки після його введення і моделювання у вигляді різних фізичних величин чи їх значень перейти до поняття визначеного інтегралу. Не слід приділяти особливу увагу відпрацюванню навику обчислення похідних та інтегралів, важливо, щоб учні свідомо оволоділи сутністю даних понять.

5. При постановці теми „Елементи геометрії Лобачевського” мається на увазі перш за все ознайомити учнів з методологічними основами побудови геометрії, дати поняття про аксіоматичний метод, проілюструвати цей метод на геометрії Лобачевского, виявити її відмінності від геометрії Евкліда.

6. Постановка елементів математичної логіки на початку навчання у 10 класі дозволить учням досить рано застосовувати логіко-математичну символіку при запису доведень теорем та розв'язань задач.

7. Корисно застосовувати у найрізноманітніших формах евристичний метод навчання. Наприклад, вивчення теми „Послідовності та прогресії” можна провести таким чином. Учням пропонується багато послідовностей, з яких треба вибрати серії особливих послідовностей (у них легко визначити наступний за останнім написаним член). Після класифікації даних послідовностей за серіями природно виникає питання про доцільність їх визначення, пошуку їх характеристичних властивостей і формул загального члена [26].

Розглянемо орієнтовне тематичне планування основного курсу математики для 10-11 профільних класів фізико-математичного напрямку [27]. Воно розраховане на 630 годин учбового часу відповідно до навчального плану для класів цього профілю. При розробці робочої програми слід виходити з часу, що виділяється на предмет в даному навчальному закладі.

Орієнтовний тематичний план.

Клас	№	Назва теми	Орієнтовна кількість годин на вивчення матеріалу
10	1.	Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8-9 класів	20
	2.	Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії	28
	3.	Елементи математичної логіки	10
	4.	Вступ до стереометрії	12
	5.	Степенева функція	35
	6.	Паралельність прямих і площин у просторі	40
	7.	Тригонометричні функції	35
	8.	Перпендикулярність прямих і площин у просторі	40
	9.	Тригонометричні рівняння і нерівності	35
	10.	Числові послідовності	25
	Резерв часу та повторення	35
	Загальна кількість годин	315
11	11.	Границя та неперервність функції	15
	12.	Координати, геометричні перетворення та вектори у просторі	32
	13.	Похідна та її застосування	35
	14.	Многогранні кути	12
	15.	Показникова та логарифмічна функції	25
	16.	Многогранники	28
	17.	Інтеграл та його застосування	25
	18.	Тіла обертання	20
	19.	Елементи комбінаторики, теоріїймовірностей і математичної статистики	25
	20	Об'єми та площі поверхонь геометричних тіл	36
	21.	Комплексні числа та многочлени	25
	Резерв часу та повторення	37
	Загальна кількість годин	315

ВИСНОВКИ

У процесі дослідження і вивчення науково-методичної літератури, досвіду роботи закладів освіти, що запроваджують профільне навчання у старшій школі ми прийшли до висновків:

1) здійснення профільного навчання потребує цілеспрямованого формування контингенту учнів, розробки відповідного навчально-методичного забезпечення за кожним напрямом навчання, використання специфічних форм і методів роботи з учнями, що мають підвищену мотивацію до навчання, вимагає відповідної перепідготовки і підвищення кваліфікації вчителя, модернізації матеріально-технічної бази;

2) загальноосвітні школи мають створювати ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором;

3) курс математики, призначений для профілів гуманітарного напрямку, повинен сприяти, перш за все, становленню гуманітарної культури людини, формувати уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, про роль математики для прогресу суспільства. Він повинен будуватись на основі широкого використання можливостей образного мислення учнів;

4) курс математики, призначений для профілів природничого напрямку повинен особливу увагу приділяти з'ясуванню ролі математики в сферах її застосувань. Насамперед це означає, що учні повинні оволодіти простими навичками математичного моделювання. Саме такий вид діяльності має бути головним у навчанні майбутніх інженерів, техніків, технологів, конструкторів, механіків, природознавців тощо. Досягти цього можна за рахунок зваженого компромісу між строгістю і доступністю викладення матеріалу, а також його прикладною спрямованістю;

5) навчання у профільному класі з поглибленим вивченням математики повинно давати учням глибокі математичні знання і широкий математичний розвиток на базі основного курсу математики. Головний принцип, який визначає математичну підготовку у класах цього профілю, - принцип поступового моделювання професійної діяльності математика;

6) для реалізації вищезазначених особливостей вивчення математики у профільних класах необхідно детально розробляти методику викладання різних тем відповідно до профілю.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия: Для 10-11 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999.

2. Бевз Г. П. та ін. Геометрія: Підруч. для 10-11 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. - К.: Освіта, 2000.

3. Бібік Н.М. Врахування пізнавальних інтересів учнів у підручникотворенні / Н.М.Бібік // Підручник ХХІ століття. - 2003. - № 1-4. - С. 48-52.

4. Біляк Б., Дуда О. Профільне навчання в загальноосвітніх навчальних закладах // Директор школи, ліцею, гімназії. - 2003. - № 4. - С. 44-47.

5. Бродський Я., Павлов О. Про нові програми з математики / Математика. - 2000. - № 25-26. - С. 2-4.

6. Бродський Я., Павлов О., Сліпенко А., Хаметова З. Готуємо майбутніх математиків // Рідна школа. - 2000. - Травень. - С. 59-62.

7. Броневщук С. Г. Профильное обучение и единый государственный экзамен / http://www.eidos.ru/journal/2003/0421.htm

8. Бугайов О. І., Дейкун Д. І. Диференціація навчання учнів у загальноосвітній школі. - К.: Освіта, 1992.

9. Бурда М. І., Дубинчук О. С., Мальований Ю. І. Математика, 10-11: Навчальний посібник для шкіл (класів) гуманітарного спрямування. - К.: Освіта, 2000.

10. Бурда М. І., Жалдак М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М., Шкіль М. І., Ядренко М. Й. Програма поглибленого вивчення математики в 10-11 профільних класах // Математика в школі. - 2003. - № 6. - С. 19-25.

11. Бурда М., Мальований Ю. Програма з математики для класів гуманітарного напряму, 10-11 класи // Математика в школі. - 2003. - № 6. - С. 14-17.

12. Войтенко Т., Соколова М., Уланов В. Разноуровневое обучение: положительные результаты и негативные последствия // Директор школи. Україна. - 2001. - № 2. - С. 15-23.

13. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 18-21.

14. Інструктивно-методичний лист про вивчення математики у 2004/2005 навчальному році // Математика в школі. - 2004. - №7.

15. Інструктивно-методичний лист про вивчення математики у 2012/2013 навчальному році // Математика в школі. - 2012. - № 1/9- 426.

16. Кизенко В. Дидактичні засади організації шкільного факультативного навчання // Освіта і управління. - 2003. - Т. 6, № 2. - С. 117-124.

17. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 21-27.

18. Концепція профільного навчання в старшій школі / Освіта України. - 2003. - №42-43.

19. Концепція профільного навчання в старшій школі / Освіта України. - 2013. - № 1456.

20. Корнєєв В.П. Конструювання підручників для профільної школи / В. П. Корнєєв // Проблеми сучасного підручника. - 2009. - Вип. 9. - С. 237-241.

21. Лікарчук І. Проблема профілізації навчання в старшій школі та шляхи її розв'язання / Директор школи. - 2003. - № 20. - С. 9-10.

22. Мадзігон В.М. Дидактичні вимоги до електронних підручників / В.М. Мадзігон //Проблеми сучасного підручника : зб. наук. праць / Редкол. - К. : Пед. думка, 2010. - Вип. 10. - С. 4-7.

23. Матізин Т. Новій державі - нову школу // Рідна школа. - 2000. - № 2. - С. 65-66.

24. Осмоловская И. Нужны вариативность, гибкость и готовность удовлетворить потребности каждого ученика // Директор школи. Україна. - 2001. - № 2. - С. 41-46.

25. Перминова Л. М. Конструирование школьного учебника: логіко-дидактический подход / Перминова Л. М., Мартемьянова Т. Ю. // Педагогика. - 2006. - № 8. - С. 24-29.

26. Петренко С. В., Мартиненко О. В. Особливості навчання математики в профільній школі / Діяльність навчального закладу як умова розбудови освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції. - Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. - С. 63-66.

27. Прокопенко Н.С., Вашуленко О.П., Єргіна О.В. Збірник програм з математики для до профільної підготовки та профільного навчання(у двох частинах). Ч.ІІ. профільне навчання - Х.: «Ранок», 2011. - 384 с.

28. Реморенко И. Моя профильная школа / Україна. Огляд. - 2003. - Травень. - С. 12.

29. Фурман А.В. Психодидактична експертиза модульно-розвивального підручника : [монографія] / А.В. Фурман, А.Н. Гірняк. Тернопіль : Економічна думка, 2009. - 308 с.

30. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підр. для учнів 10 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. - К.: Освіта, 2000.

31. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підр. для учнів 11 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. - К.: Освіта, 2000.

32. Інтернет ресурс: http://myprofession.com.ua

33. Інтернет ресурс: http://uazakon.com.

ДОДАТОК

РОЗРОБКИ УРОКІВ З МАТЕМАТИКИ ВІДПОВІДНО ДО ПРО-ФІЛЮ

Рівень стандарту

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми - закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об'єктів і відношень між ними за допомогою геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови;

- обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і фігури стереометрії. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі. Зображення фігур у стереометрії. Перпендикулярність прямої і площини, двох площин. Вимірювання відстаней і кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур (медіан, середніх ліній та ін.), точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовно ці тіла повинні з'явитися якомога раніше, тому що на них зручно ілюструвати усі поняття і твердження.

Конспект уроку

Тема уроку. Прямі і площини в просторі.

Мета уроку: сформувати уявлення про площину, простір, нескінченність; ознайомити учнів зі способами задання площини, розміщення площин і прямих у просторі.

Література:

1.Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія 10кл. - К., 2010

2.Нелін Є.П. Геометрія 10 кл. - Х, 2010

Хід уроку

І. Виклад матеріалу.

Поняття простору і площини

Досі ви вивчали геометрію площини -- планіметрію. Сьогодні ознайомимося з геометрією простору -- стереометрією. Так само, як і планіметрія, стереометрія оперує поняттями: точка, відрізок, промінь, пряма, та додається нове поняття -- «площина». Щоб створити образ цього поняття, уявімо рух точки, прямої і площини.

Точка рухається в одному напрямі, образом її руху є... (учні відповідають -- пряма).

Горизонтальна пряма рухається, скажімо, вертикально. Образом її руху стане...(площина, -- відповідають учні). Площина рухається і заповнює простір.

Зауважимо, що пряма, площина, простір нескінченні.

З площинами ми зустрічаємося щодня, наприклад, моделлю площини може бути, скажімо, поверхня учнівського стола.

Пригадаємо, як можуть розміщатися прямі на площині. (Учні відповідають.) Правильно, прямі можуть перетинатися і не перетинатися.

Як же можна задати площину? (Учні відповідають.) Отже, площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній прямій, паралельними прямими, прямими, що перетинаються, прямою і точкою, що не лежить на цій прямій.

Розміщення площин і прямих у просторі.

Площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Запис: .

Площини перетинаються, якщо вони мають хоча б одну спільну точку. Площини перетинаються по прямій. Запис: .

Паралельні площини і площини, що перетинаються, утворюють видимий об'єм наших приміщень. У просторі, так само, як і на площині, пряма задається двома точками. Прямі можуть бути паралельними або перетинатися, тоді вони лежать в одній площині.

Прямі в просторі, які лежать у різних площинах, та не паралельні і не перетинаються, називаються мимобіжними.

Розміщення прямої і площини.

Пряма і площина можуть перетинатися. Запис: .

Пряма може бути паралельною площині. Запис: . У цьому випадку пряма і площина спільних точок не мають.

Пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, і проходить через точку перетину. Запис: .

Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину даних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

II. Закріплення матеріалу.

Задачі на розглядання

Задача 1. Назвіть (рис. 1):

а) точку перетину прямої АD і площини DD₁C;

б) лінію перетину площин АDD₁ і DD₁С;

в) в яких площинах лежить точка В;

г) три прямі, що проходять через точку D, перетинають четверту в точках А, В, С.

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 2. Назвіть (рис. 2):

а) точку перетину прямої BD і площини АВС;

б) лінію перетину площини АВD і СВD;

в) в якій площині не лежить точка С.

Прямі АВ і АС перетинаються з деякою прямою в точках К і М відповідно. Доведіть, що М, К, С, і В лежать в одній площині.

Задача 3. Назвіть (рис. 3):

а) точку перетину прямої МС і площини ВKС;

б) лінію перетину площин MLС і ВСK;

в) в яких площинах лежить пряма МD.

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 4. Побудуйте лінію перетину (рис. 4):

а) площини АВС і прямої МК;

б) площини МКВ і АВ.

Задачі на уяву

1. Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, що не лежать на одній прямій?

2. Чи можуть дві різні площини перетинатися по двох прямих?

3. Прямі а, b, c не належать одній площині, але проходять через одну точку. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, взяті по дві?

4. Площини перетинаються по прямій а. Пряма b, що лежить у одній площині, перетинає іншу площину в точці А. Де лежить точка А?

5. Точки А і В та пряма СD не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих CD i AB?

Завдання на розуміння мови математичних символів

1. Дано вирази

1) Серед цих виразів знайдіть помилкові.

2) Який із записів відповідає висловленню:

а) площини перетинаються по прямій а;

б) точка А є точкою перетину площини і прямої а?

2. Як можуть розміщатися прямі а та АВ у площинах і ? Запишіть мовою символів.

ІІІ. Домашнє завдання.

Вивчити опорний конспект, розв'язати задачі.

Запишіть висловлення мовою символів:

а) пряма а перетинає площину в точці В;

б) прямі КА і КВ перетинаються в точці К;

в) пряма КН перпендикулярна до прямої МС. На перетині прямих лежить точка К.

Тестові завдання

1. а) Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. яка з точок лежить у площині квадрата АВСD?

1) М;2) К;3) N;4) Р.

б) Дано тетраедр АВСS. Яка з точок не лежить у площині трикутника АВС?

2. а) Якій із вказаних площин куба не належить точка А?

1) ВСD;2) А₁С₁С;3) ВВ₁А₁;4) ВСС₁.

б) Якій із вказаних площин тетраедра належить точка X?

1) ASB;2) ASC;3) BSC;4) ABC.

4. а) Площини тетраедра АSС і АSВ перетинаються по прямій:

1) AS;2) AB;3) AC;4) SC.

б) Площини куба АВС і В₁ВD перетинаються по прямій:

1) ВС;2) ВD;3) АВ;4) ВВ₁.

Академічний рівень

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми - закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов'язані з ними; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об'єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про аксіоматичний метод.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

- обчислювати відстані і кути у просторі;

- застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також вимірювання відстаней і кутів у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Паралельність прямої та площини. Паралельність площин. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії.

Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути розумне поєднання наочно-геометричного та логічного у викладі. При вивченні основних понять і фактів, пов'язаних зі взаємним розміщенням прямих і площин, слід віддати перевагу синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використовувати вектори та координати для поглиблення та розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у просторі. Такий підхід зберігає логічні зв'язки між зазначеними питаннями. Адже для вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність прямих і площин, для введення координат у просторі - перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин тощо.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню цих зображень до розв'язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.

Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла, зокрема куб і тетраедр.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних об'єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Конспект уроку

Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них до розв'язування задач.

Література:

1. Біляніна О.Я., Білянін Г.І., Швець В.О. Геометрія 10 клас: Академічний рівень. - К.: Генеза, 2010.

2. Погорєлов А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989.

Хід уроку

І. Вступ

У 10 класі починаємо вивчати новий розділ геометрії - стереометрію. У молодших класах вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник, трапеція тощо) вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.

ІІ. Пояснення нового матеріалу

Основні поняття стереометрії

Стереометрія - це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С,...

- пряма: а, в, с,...

- площина: ,..., (АВС).

Площину ми уявляємо собі як рівну поверхню столу і тому будемо зображати її у вигляді паралелограму.

Взагалі площини позначаються грецькими літерами: . Площина, як і пряма, нескінченна. На малюнку позначаємо тільки частину площини, але уявляємо її необмежено продовженою у всі сторони.



Введемо основні позначення:

АВ - пряма;

[АВ] - відрізок;

[АВ) - промінь з початком в точці А;

|АВ| - довжина відрізку;

А є а - точка А належить прямій а;

А а - точка А не належить прямій а;

(АВС) - площина;

А є - точка належить площині ;

А - точка не належить площині ;

АВ - пряма АВ належить площині ;

АВ - пряма АВ не належить площині ;

{А; а} - точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають площину ;

а ? в = К - прямі а і в перетинаються в точці К;

а ? = N - пряма а і площина перетинаються в точці N;

= АВ - площини і перетинаються по прямій АВ.

Властивості геометричних фігур в стереометрії будемо встановлювати шляхом доведення теорем. Але щоб доводити теореми, необхідно спиратися на деякі вихідні твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву - група аксіом С.

С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать цій площині.



Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що вивчались у молодших класах у розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.

Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини. Проілюструємо її на рисунку.

Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення теорем.

І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Доведення

1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С  АВ. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

|

|

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Побудова перерізів просторових фігур

Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині многогранника з площиною.

Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати:

1) лінію перетину двох площин	Для цього знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму
2) точку перетину прямої і площини	Для цього знаходять у даній площині пряму, що перетинає дану пряму; точка перетину цих прямих є шуканою. Ці прямі повинні лежати в одній площині

ІІІ. Практичне закріплення нового матеріалу

Задача 1. Дано зображення піраміди SABC. Побудувати переріз піраміди площиною , що проходить через ребро АВ і точку К.

Розв'язання

При розв'язуванні використаємо опорну задачу.



3) ДКАВ - шуканий переріз.

Задача 2. Точка М - середина ребра АА₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁. побудувати точку перетину прямої B₁М з площиною (АВС).

Розв'язання

ІV. Домашнє завдання. Підсумки уроку

Коментар домашнього завдання: вивчити конспект, № 1, № 7 (за підручником Погорєлова А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989), розв'язати задачу.

Задача. Побудувати переріз куба АВСDА₁В₁С₁D₁ площиною, що проходить через точку М - середину ребра АА₁ та діагональ В₁D₁. Обчислити периметр перерізу, якщо ребро дорівнює 10 см.

Тестові завдання

1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які -- тільки просторовими?

1) круг; 2) куля; 3) квадрат; 4) куб; 5) прямокутний паралелепіпед; 6) ромб; 7) піраміда; 8) циліндр.

б) Наведіть приклади плоских та просторових фігур з навколишнього оточення.

2. Назвіть вершини, ребра та грані многогранників, зображених на малюнках.

3. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Вкажіть:

а) точки, що не належать грані АА₁DD₁;

б) точки, що належать грані ВВ₁С₁С.

4. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Вкажіть:

а) пряму перетину грані АА₁D₁D і нижньої основи;

б) пряму перетину грані ВВ₁С₁С і нижньої основи.

5. а) Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійким на рівній підлозі виготовлений стілець, що має чотири ніжки. Як для цього треба натягнути нитки? На яке теоретичне положення спирається така перевірка?

б) Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки була плоскою, тесля робить так: позначає на ребрі балки точку А та проводить від неї у потрібному напрямі дві прямі АВ і АС у суміжних площинах поверхні балки; потім скеровує пилку по намічених прямих. Поясніть, чому у такий спосіб одержимо плоску поверхню розпилу.

6. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Доведіть, що можна провести площину:

а) через прямі АС і СС₁;

б) через прямі ВD і DD₁.

7. а) Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?

б) Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку?

Поглиблене вивчення математики

Тема. Аксіоми стереометрії, найпростіші геометричні тіла. Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування прямих і площин у просторі

МЕТА

Мета теми - розширити і систематизувати відомості про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв'язування задач.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

У результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв'язування геометричних і практичних задач;

- доводити властивості й ознаки паралельності прямих і площин та застосовувати їх до розв'язування задач;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

- обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і аксіоми стереометрії. Техніка виконання найпростіших стереометричних креслень. Паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються. Напрям у просторі. Визначення кута між мимобіжними прямими.

Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості. Паралельність площин. Просторова теорема Фалеса.

Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Відстані у просторі. Кут між прямою і площиною. Двогранні та многогранні кути.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної побудови стереометрії. Обов'язковим завданням є розвиток логічного мислення, просторової уяви, абстрактного мислення, а також ілюстрація зв'язку з реальним життям.

Курс стереометрії по відношенню до курсу планіметрії є систематизуючим і узагальнюючим. Багато тем зі стереометрії розглядається за аналогією з відповідними темами з планіметрії (вектори, координати).

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень, залучення учнів до їх виготовлення. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Іншим ефективним засобом формування просторових уявлень учнів є використання системи усних вправ. Вони сприяють введенню нових понять і закріпленню вже відомих. Важливе місце треба відвести навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур, точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра, використанню креслень і малюнків у без клітинному зошиті з використанням різних кольорів.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних фігур і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Труднощі перших уроків стереометрії полягають в тому, що учням необхідно оперувати тільки такими геометричними фігурами, як площина, точка, пряма. Усунення цих труднощів є можливим за рахунок введення многогранників. Підсумкові уроки можна проводити як у формі конференції, так і у формі узагальнюючої лекції.

Конспект уроку

Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.

Література:

1. Бевз Г.П. та ін. Геометрія: Підручник для 10-11 кл. з поглибленим вивч. математики. - К.: Освіта, 2000.

Хід уроку

І. Вступ

Логічна побудова геометрії

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Геометрія - це наука про властивості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.

- Які ви знаєте види фігур?

Наприклад, трикутник, круг, куб.

- Які відношення між фігурами вивчає геометрія?

Такі відношення між фігурами, як рівність, подібність, паралельність, перпендикулярність.

- Назвіть розглядувані перетворення фігур.

Наприклад, симетрія, поворот, подібність.

- З якими геометричними величинами має справу геометрія?

Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.

На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.

- Що це означає?

Дедукція (від лат. deduction - виведення) у широкому розумінні - це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція - це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.

- Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?

У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.

Ці два поняття належать до первісних понять, яким домовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших понять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр визначається через первісне поняття «пряма».

Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в геометрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.

- Що називають квадратом?

Як відомо, квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

- Через яку фігуру означається прямокутник?

Прямокутник визначається через паралелограм, у якого всі кути прямі.

- Дайте означення паралелограма.

Паралелограм визначається через чотирикутник.

Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є поняття „належати” для точок і прямих, „лежати між” - для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і більшість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.

- Від якого реального об'єкта абстрагують пряму?

Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продовженою, вона не має товщини.

Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твердженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без доведення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають властивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кількість домовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.

- Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з погляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

- Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

- Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

- Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

1. Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних та раніше означених понять формулюються означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.

ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія - це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С,...

- пряма: а, в, с,...

- площина: ,..., (АВС).

Оскільки площина - нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіоми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії розглядається одна площина, на якій розташовуються всі розглядувані фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв'язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180^_, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Теорема 1. Через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.



Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в{А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки Ва. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

Твердження	Обґрунтування
Виберемо на прямій а довільну точку А Через А і В можна провести пряму в Прямі а і в різні Через прямі а і в можна провести площину Площина прохо-дить через пряму а і точку В	1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 3. Оскільки точка В не належить прямій а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В  а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.



(Цю теорему учні доводять зі складанням таблиці і оформлюють вдома самостійно).

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і при цьому тільки одну.

Учитель разом з учнями складає таблицю - колективний пошук доведення, оформлюють доведення учні вдома самостійно.

Твердження	Обґрунтування
Проведемо прямі АВ і АС Прямі АВ і АС різні Через прямі АВ і АС можна провести площину Точки А, В, С належать площині	За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки Точки А, В і С не лежать на одній прямій За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку Точки А, В і С належать до прямих АВ і АС, а вони належать площині за побудовою

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

ІІІ. Задачі на доведення

Задача 1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD не перетинаються.

Доведення.

– Скористаємось методом від супротивного.

– Яке можемо зробити припущення?

– Маємо дві прямі, що перетинаються. Яке з щойно вивчених тверджень можемо застосувати?

– Якщо прямі АВ і СD визначають площину , то який висновок можемо зробити щодо точок?

– У чому полягає отримане протиріччя?

Нехай прямі АВ і СD перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і D лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СD не перетинаються.

Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.

Доведення.

– Яке можна висунути припущення?

– Яке відоме вам твердження можна застосувати?

– З якою умовою ми отримали протиріччя?

Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.

IV. Підсумок уроку

Сьогоднішній урок було присвячено ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, ми пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.

1) Тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).

2) Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлено якісно (теорема 2).

3) На теоремі 3 ґрунтується будова штативів для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів належать одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення.

Тестові завдання

2. На малюнку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайдіть кути трикутника В₁D₁С.

3. Як розмістити три прямі так, щоб вони утворили 12 прямих кутів?

4. Чи вірно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці:

1) на площині;2) у просторі?

4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:

1) дві спільні точки;2) три спільні точки.

6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?

Размещено на Allbest.ru