Розвиток просторової уяви учнів на уроках геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвиток просторової уяви учнів на уроках геометрії

студенти 4 курсу,

напрям підготовки «Математика*»

Дерепащук Людмила Михайлівна,

Дідух Яна Валеріївна

Вступ

Сучасні інформаційні технології (СІТ) поступово інтегруються в усі сфери суспільного життя, демократизують процес навчання, роблять процес пізнання творчим, стимулюють заняття самоосвітою. Зміни в науці, техніці й виробництві встановлюють нові вимоги до математичної підготовки компетентного, конкурентоспроможного випускника. У зв'язку з посиленням ролі математики в усіх сферах життєдіяльності людини актуальною стає проблема розвитку просторової уяви та формування просторових уявлень учнів, здатності й умінь здійснювати операції з просторовими об'єктами. Це завдання сучасної школи актуалізує питання про формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів, яка є важливим фактором загальнокультурного розвитку людини.

Розв'язання вищезазначеної проблеми змушує вести пошук не лише у напрямку розробки нового наукового супроводу навчального процесу, але і переусвідомлення минулого досвіду та його адаптації у нових історичних умовах. Робота вчителя повинна бути спрямованою на використання інформаційно-комунікаційних технологій навчання (ІКТН) з метою наповнення уроку елементами інформаційного простору, які відповідають сутності, обсягу, змісту, сприяють швидкості сприйняття відомостей.

Теоретико-методичні аспекти формування умінь та навичок учнів побудови зображень стереометричних фігур та розвитку просторової уяви висвітлювали у працях Н. В. Богатинська [1], Я. С. Бродський, І. Г. Ленчук, О. Мосягіна, З. І. Слєпкань, В. О. Швець, І. С. Якиманська [3] та інші.

Проблемам впровадження сучасних ІКТН у навчанні математики присвячені дослідження О. В. Вітюка, Н. Варущик, М. І. Жалдака, В. І. Клочка, М. Б. Ковальчук, В. В. Лапінського, С. А. Ракова, В. М. Ракути [2] та інших науковців. Результати дослідження переконливо доводять, що впровадження ІКТН у навчальний процес дає змогу індивідуалізувати та диференціювати процес навчання, значно розширити можливості вчителя у реалізації дидактичних принципів і тим самим підвищити якість засвоєння навчального матеріалу та сприяти активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів.

Існуючі дослідження не вичерпують всієї повноти багатогранної проблеми формування умінь та навичок учнів побудови зображень стереометричних фігур. Вирішення наявних протиріч можливе внаслідок удосконалення форм, методів, прийомів та засобів навчання, спрямованих на реалізацію у навчально-виховному процесі принципів доступності, послідовності, наочності тощо.

На даний час поширено багато прикладних програм, які використовуються для розв'язування різноманітних математичних задач різних рівнів складності. Серед них: MathCAD, Mathlab, GRAN1, GRAN 2D, GRAN 3D, Mathplot, Advanced Grapher, DG, Derive, GeoGebra, Maple, Mathematika та інші [2]. Але більшість із математичних програмних засобів не адаптовані для використання, школи не достатньо забезпечені ліцензійним продуктом. Тому найчастіше використовуються вільні програмні продукти, до яких належить, наприклад, GeoGebra.

Мета статті - виокремити та обґрунтувати можливості застосування програмного засобу GeoGebra в процесі розв'язування стереометричних задач; визначити педагогічні умови для розвитку просторової уяви учнів, розробити систему задач для розв'язування яких будуть використовуватися засоби динамічної математики; перевірити її ефективність; додати методичні рекомендації щодо використання.

Виклад основного матеріалу

У процесі розв'язування геометричних задач досить часто в учнів виникають труднощі з побудовою рисунка до задачі. Побудова рисунка є незамінною частиною розв'язування геометричних задач, зокрема задач на побудову. Зазвичай вони зводяться до виконання рисунка на аркуші паперу чи дошці, який відображає лише один з можливих випадків взаємного розташування заданих фігур. Тому, за необхідності, зміна рисунка потребуватиме додаткового часу, якого на уроці не вистачає. Крім того, рисунки, виконані вищевказаним чином, мають певні обмеження. Вони не дозволяють змінювати параметри, тому не сприяють ефективному аналізу задачі, глибоким динамічним дослідженням. Цю проблему можна вирішити за допомогою динамічного геометричного середовища GeoGebra, яке дає можливість створювати динамічні малюнки, кожен з яких є фактично нескінченною множиною малюнків. Учень може зафіксувати лише той один, на якому він бачить конфігурацію заданих і побудованих фігур найкраще. Таким чином, роль комп'ютерної моделі суттєво зростає, оскільки вона стає не лише ілюстрацією у процесі розв'язування, а його важливою частиною, яка, в першу чергу, сприяє розвитку просторової уяви учнів.

GeoGebra _ вільно-поширюване динамічне геометричне середовище, що об'єднує в собі геометрію, алгебру та арифметику. Її динамічні й графічні можливості дозволяють зробити уроки геометрії більш змістовними й ефективними. Вона має інтуїтивно-зрозумілий інтерфейс, що складається з вікон «Графіки» та «Алгебра» і не потребує значних зусиль для засвоєння.

На відміну від інших програм для динамічного маніпулювання геометричними об'єктами, ідея GeoGebra полягає в інтерактивному поєднанні геометричного, алгебричного і числового подання. Програма надає значні можливості для роботи з функціями (побудова графіків, обчислення коренів, екстремумів, інтегралів і т.д.). Однією із основних її переваг є можливість покрокового відображення ходу побудови фігур. Таким чином, є можливість змінювати місце положення точок, тоді фігура ніби оживає на моніторі, змінюючи своє зображення внаслідок зміни розміщення опорних точок.

Застосування програми GeoGebra у навчальному процесі надає можливість: створити динамічні моделі для ілюстрації, візуалізації та демонстрації різних математичних понять, означень, теорем тощо; впровадити конструктивний напрям у навчанні; організувати евристичну діяльність; підготувати навчальні матеріали шляхом співпраці.

1) Розглянемо застосування комп'ютерних технологій на етапі формування нових знань.

Наприклад, при вивченні теми «Побудова перерізів многогранників», яка викликає забагато труднощів в учнів при виконанні рисунків через недостатню уяву розташування об'єктів у просторі, доцільно скористуватися програмою GeoGebra, яка дає змогу створювання наочних ілюстрацій, інтерактивних і динамічних навчальних посібників, довідників, експертних систем, тощо. Після ознайомлення з означенням перерізу многогранника та методами побудови перерізів, зокрема методом слідів, учням пропонується задача на побудову перерізу чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через три точки М, N, К, які належать відповідно ребрам SВ, SC, АD.* Крок за кроком побудуємо «в реальному часі» переріз піраміди з використанням підказок учителя та міркувань самих учнів (рис. 1-6 ).

Рис.1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Крім побудови, програма дає можливість змінювати, корегувати, доповнювати, повторювати деякі епізоди та відтворювати покрокову побудову від початку. Після цього рисунок підручника, на якому зображено остаточну побудову, стає зрозумілішим для учнів.

Оскільки програма «пакет динамічної геометрії DG» виконує не тільки моделювання геометричних побудов, а й надає змогу миттєвої зміни всіх залежних побудов і вимірів при внесенні змін в базові параметри, то є можливість роздивитися переріз з різних боків, а також провести невеличке дослідження. Здійснивши пересування заданих точок М, N, К вдовж відрізків SВ, SC, АD можна встановити, як зміна розміщення точок впливає на вид фігури, що є перерізом піраміди (рис 7-9).

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

Під час виконання дослідження, учням пропонується відповісти на запитання:

- Чи завжди перерізом піраміди буде п'ятикутник?

- Від чого залежить вид перерізу?

- Як розмістити точки, щоб побудова перерізу стала неможливою?

2) Наведемо практично значимі аспекти застосування програми GeoGebra. Детально моделювання стереометричних динамічних конфігурацій з досвіду викладання геометрії розглянуто в роботах [22; 23].

Наочна демонстрація аксіом, означень, теорем, доведень. Комп'ютерні моделі чудово виконують роль інтерпретаторів математичних тверджень. Говорячи, що означений кут між площинами не залежить від вибору січної площини, що міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута, доводячи задачу-теорему про об'єм похилої призми з виконанням паралельного перенесення її частини тощо, вчитель посилається або на статичні малюнки, або на уяву учнів. Засоби анімації, вбудовані в програму GeoGebra, дають можливість моделювати динаміку подібних процесів.

Учням варто наголосити, що в реальності ні точок, ні прямих, ні площин не існує. Узагалі, геометрія моделює і досліджує об'єкти в абстрактній формі. GeoGebra - це лише наочна й наближена комп'ютерна інтерпретація, яка перетворює стереометрію у красиву і «живу».

* Мимобіжні прямі. Ми виділяємо цей пункт тому, що на площині вказані об'єкти не існують, підручники і збірники задач містять недостатню кількість задач із цієї теми. Учням важко даються задачі на знаходження кутів і відстаней між мимобіжними прямими. Експериментування з моделями навчає їх знаходити і будувати необхідні паралельні площини, спільний перпендикуляр. Вважаємо, що GeoGebra дозволяє розглядати мимобіжні прямі пропедевтично значно раніше десятого класу.

Задача 1. Дано куб ABCDA1B1C1D1, довжина ребра якого дорівнює a. Знайти довжини ребер тетраедра B1ABD (2 бали). Для кожної пари мимобіжних його ребер вказати паралельні площини, які проходять через ці прямі або площину, що проходить через одну з них, паралельно до другої (3 бали). Знайти відстань між мимобіжними прямими першої (2 бали), другої (2 бали) і третьої пари (3 бали). Подібні рівневі серії вправ доцільно пропонувати учням для розв'язування з використанням СДГ як навчальні. Шукані відстані: a, a / 2 , a / 3 (рис. 9).

Рис. 9. Пари мимобіжних прямих: тетраедр у кубі

1. Побудова перерізів .

Ця тема - одна із найсприятливіших для вступу до моделювання. З побудови зображень многогранників та їх перерізів радимо розпочинати знайомство з cередовищем динамічної стереометрії. Мал. 1-3 ілюструють відому задачу побудови переріза куба площиною, яка проходить через три точки, шо належать попарно мимобіжним ребрам.

Cabri 3D дозволяє виконувати реальні перерізи (мал. 2-3) многогранників площиною (Cut Polyhedron), довільно маніпулювати многогранником (Manipulation), виконувати анімацію (Animation), автоматично і покроково відтворювати побудови (Replay Construction), додавати різні проекції для перегляду (Document / Add View / Front (Left, Top…)), відтворювати динамічні малюнки в Microsoft Word тощо.

2. Моделювання конфігурацій

Моделювання може розглядатись як ілюстративне, як окремий вид навчальної діяльності або поєднуватися з процесом розв'язування задачі [13]. Як правило, статичні моделі створюються тоді, коли вони потрібні точні або з точністю до подібності для того, щоб виконувати вимірювання. Динамічні і комбіновані моделі (деякі точки моделі залежні, а деякі - незалежні) створюються для подальших досліджень, варіювання параметрів.

Моделі-ілюстрації доцільно використовувати для демонстрації декількох розв'язків однієї задачі, складних багатофігурних комбінацій тощо.

Приклад 1. Три сфери радіусів r i R розміщені так, що кожна сфера дотикається до двох сфер радіуса r і до двох сфер радіуса R. Центри усіх сфер лежать в одній площині. Знайти відношення радіусів цих сфер r : R [9].

Методичний коментар: задача вимагає від учнів розвиненої просторової уяви і бачення складної тривимірної конструкції, тому доцільним є застосування прийому «відхід на площину», який із залученням середовища GeoGebra 5.0 є результативним завдяки передбаченій розробниками одночасній демонстрації тривимірних об'єктів і їх плоского перерізу площиною. геометричний навичка комп'ютерний моделювання

Розв'язання. Для створення сфер однакового, але змінного радіуса, проведемо пряму, на якій побудуємо відрізки CD i DE -- вони будуть визначати змінні радіуси сфер r i R. Встановимо додаткове полотно Вид/Полотно 3D, на якому побудуємо по три сфери за довільними центрами у площині ХОY і радіусами CD i DE. За допомогою інструмента Кривая пересечения зафіксуємо кола, які утворюються перетином побудованих сфер з площиною. На полотні 2D з'являться кола проекцій. Очевидно, що зміна ракурсу 3D-зображення не дозволить побудувати задану умовою конфігурацію, тому будемо працювати на полотні 2D.

Будемо змінювати положення кожного кола до тих пір, поки вони не розташуються так, як вимагає умова: стає зрозумілим, що центри кіл мають знаходитися у вершинах правильних трикутників (рис. 1). Зауважимо, що рухати кола зручно за допомогою переміщення їхніх центрів, а радіус змінювати рухом точок С і Е (рекомендуємо точку D залишати на місці, щоб одночасно не змінювалися радіуси усіх кіл).

Коли конфігурацію побудовано, обчислимо потрібне відношення. Для цього визначимо відстань між точками C і D та D і E або довжини сторін одержаних трикутників (GH і JK). Потім додамо полотно CAS (меню Вид/CAS), у якому обчислимо інструментом Вычислить (або Десятичная дробь) потрібне відношення: у нашому випадку обчислено два для порівняння (відношення сторін трикутників і відношення довжин відрізків, що визначають радіуси сфер). Виявляється, що відношення радіусів таких сфер дорівнює 0,1.

3. Вимірювання у просторі

У програмі з математики зазначено: “Передбачається, що випускник загальноосвіт- нього навчального закладу зображує геометричні фігури, встановлює і обгрунтовує їхні властивості, застосовує властивості фігур при розв'язуванні задач: вимірює геометричні величини, які характеризують розміщення геометричних фігур (відстані, кути), знаходить кількісні характеристики фігур (площі, об'єми)”.

Зауважимо, що: а) при традиційному “безмашинному” навчанні стереометрії вказані уміння взагалі не відпрацьовуються, практичні роботи не передбачені програмою; б) GeoGebra - потужний і високоточний розв'язувач задач на вимірювання.

Задача 4. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней прямої трикутної призми, усі ребра якої мають довжину a.

Виділимо прямокутний трикутник з катетами a i a/2 (мал. 10). Шукана відстань - його висота, опущена на гіпотенузу. Маємо: a ? a/2 : (a /2) = a : . 5 5

Вимірюємо величини a та x, де x - шукана відстань. Результат - відношення a : x.

4. Конфігурації-каркаси. Використання допоміжної фігури чи конфігурації-каркаса може спростити розв'язування задачі.

Висновки

Програмний засіб GeoGebra надає можливість проводити аналіз та спрощувати розв'язування геометричних задач за допомогою створення динамічної моделі досліджуваного об'єкта. Завдяки чому в учнів розвиваються просторова уява та логічне мислення, а також вміння прогнозувати результати дослідження. Тому при використанні СІТ уроки геометрії стають більш змістовними й ефективними.

Література

1. Боровик В. Н. Геометричні перетворення площини: Навчальний посібник / В. Н. Боровик, І. В. Зайченко, М. М. Мурач, В. П. Яковець. - Суми: ВДТ «Університетська книга», 2003. - 504 с.

2. Жалдак М. І. Математика з комп'ютером: Посібник для вчителів / М.І. Жалдак - К.: Техніка, - 2008. - 280 с.

3. Заславський А.А. Геометричні перетворення / А.А. Заславський. - М.: МЦНМО, 2004. - 86с.

3. Лисенко Т. Використання комп'ютерів на уроках алгебри і початків аналізу / Т. Лисенко // Математика в школі. - 2004. _ №3. _ С. 22-25.

4. Семеніхіна О. В. Підтримка шкільної математики вільно поширюваним ПЗ / О. В. Семеніхіна, М. Г. Друшляк // Международная конференция разработчиков и пользователей свободных программ FOSS LVIV-2012, 26-28 апреля 2012 г., Львов. - 2012. - С. 113-115.

Анотація

У статті розглянуто переваги та можливості використання вільного програмного забезпечення, зокрема такого програмного продукту як Geogebra, під час розв'язування задач на побудову.

Ключові слова: програмний засіб, геометричні задачі на побудову, динамічне геометричне середовище, GeoGebra.

Размещено на Allbest.ru