Основи фінансової математики у шкільній програмі. Впровадження задач фінансової математики на уроках в старшій школі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Управління освіти і науки Сумської облдержадміністрації

Сумське територіальне відділення МАН України

Відділення: математика

Секція: прикладна математика

Основи фінансової математики у шкільній програмі. Впровадження задач фінансової математики на уроках в старшій школі

Роботу виконала: Борщ Марія Вікторівна ,

Учениця 11 класу

Конотопської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №11

Науковий керівник: Тимащук Юлія Олегівна,

Вчитель математики

Конотопської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №11

Суми - 2014



ТЕЗИ

Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.

А. Д. Александров

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку, суспільство вже неможливо уявити без застосування математичного апарату. Сьогодні інтерес до фінансової діяльності відчутно зріс, однак культура фінансових розрахунків ще не висока, це стало очевидним з анкетування.

Для розуміння основ фінансової математики достатньо мати знання у обсязі математики старших класів середньої школи. Тому дана робота адресована в першу чергу учням старших класів, студентам перших - других курсів та націлена на ознайомлення з математичними основами фінансів, їх застосування для розрахунків, які вважаються звичайними для країн з високою фінансовою культурою.

Мета роботи. Вивчити та систематизувати основні поняття фінансової математики, розробити комплекс задач на застосування фінансових розрахунків, запровадити у шкільну програму задачі фінансової математики.

Задачі дослідження.

1. Ознайомитися з науково-методичною літературою з предмету дослідження.

2. З'ясувати теоретичні основи фінансової математики.

3. Систематизувати теоретичний матеріал з теорії відсотків та способів їх нарахування у фінансовій математиці.

4. Згідно теоретичного матеріалу розробити комплекс прикладних задач, які ілюструють застосування фінансових розрахунків та можуть бути використані, як наповнення предметно-орієнтовного курсу.

5. Провести педагогічний експеримент.

6. Провести аналіз рівня фінансової грамотності учнів до і пісня впровадження задач фінансового змісту в шкільну програму.

Практична цінність. Робота може бути використана вчителями математики та студентами для проведення факультативних занять в старшій школі, викладачами вищих навчальних закладів для підготовки тематичного наповнення навчальних дисциплін, з метою доповнення і розширення кола задач з економічним змістом, що дає можливість учням або студентам ознайомитися з формами застосування шкільного курсу математики до розв'язування завдань прикладного характеру у сфері фінансів, бізнесу та економіки.

Фінансова математика - розділ прикладної математики, який має справу з математичними завданнями, що пов'язані з фінансовими розрахунками. Математичні основи фінансової математики прості і спираються на звичайний курс шкільної програми, де потрібно засвоїти такі теми, як геометрична прогресія, відсотки, логарифмічні обчислення та рішення системи рівнянь. фінансовий математика школа банківський

Задачі підвищеної складності для учнів 5-го є простими задачами фінансової математики. Необхідно наголосити і на тому факті, що на наступних етапах навчання програмою з математики , що функціонує в даний час, не передбачається повторне звернення до теми "Відсотки" в 10-11, даний курс націлений на 5-9 класи. Додаткова робота з розвитку та вдосконалення навички розв'язання задач на відсотки має значимість не тільки для майбутніх абітурієнтів, які можливо зустрінуться з такими завданнями на вступних іспитах до Вищих Навчальних Закладів, а й для всіх учнів. Адже сучасне життя неминуче змусить у своїй повсякденності вирішувати задачі на відсотки.

Якщо звертатися до фінансової математики. За вкладами і кредитами на короткий термін, зазвичай до року, банки як правило, нараховують простий відсоток за формулою звичайного, або комерційного, відсотка, яку надає підручник 5 класу.

В умовах нестабільної економічної кон'юнктури процентні ставки часто змінюються, тому вводять таке поняття як неперервні відсотки, саме з якими ми можемо познайомитися лише в підручниках фінансової математики.

Перший розділ роботи містить систематизований виклад теоретичного матеріалу одного із основних розділів фінансової математики - фінансового числення. У ньому наведені основні означення, формули, алгоритми фінансових розрахунків, якими користуються безліч людей різних сфер виробництва та обслуговування. Кожне теоретичне твердження ілюструється задачею з поясненням ходу її розв'язання.

Другий розділ передбачає практичне розв'язання задач різного типу та створення комплексу задач для учнів старшої школи при більш детальному вивченні тем фінансової математики. Наведемо приклад задач які були відпрацьовані в ІІ розділі. Задача. За який термін в роках сума, рівна 75 млн. грн., досягне 200 млн. грн. при нарахуванні відсотків по складній ставці 15% раз на рік.

Розв'язання.

Початкова сума - P;сума з приєднаними відсотками - S;n- кількість років;i - процентна ставка;

(років)

Відповідь: 7,0178 років.

Висновки

Знайомство з окремими розділами фінансової математики ведеться як у контексті з економічною теорією та математикою, так і в контексті з бурхливо розвиваючоюся практикою.

У роботі ви знайдете не лише перелік технічних прийомів для порівняння фінансових результатів, але й основи теорії відсотка, дисконтування, реінвестування капіталу, алгоритми оптимального розрахунку відсотків по кредиту, спеціально розроблений комплекс задач, що розширить курс шкільної програми та збільшить обізнаність учнів з даного питання.

Підводячи підсумки вище сказаного, можна говорити, що в роботі:

· Розглянуто задачі фінансової математики.

· Систематизовано теоретичний і практичний матеріал фінансової сфери.

· Порівняно курс шкільної програми з викладеним матеріалом в посібниках фінансової математики.

· Створений комплекс прикладних задач.

· Проведено педагогічний експеримент.

· Проведений аналіз рівня фінансової грамотності учнів до і пісня впровадження задач фінансового змісту



ЗМІСТ

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

1.1 Знайомство з темами курсу математики в основній школі, які використовуються в фінансовій сфері

1.2 Суть простих відсотків та приклади їх використання в банківській справі

1.3 Суть складних відсотків та приклади їх використання в банківській справі

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНЕ ВИКОРИСТАННЯ ВІДСОТКІВ ТА ПРИКЛАДИ ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ. ПЕДАГОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ

2.1 Приклади застосування простих відсотків у банківській справі

2.2 Приклади застосування складних відсотків у банківській справі

2.3 Комплекс задач фінансової математики

2.3.1 Прості відсотки

2.3.2 Складні відсотки

2.4 Організація педагогічного експерименту та аналіз його результатів

ВИСНОВОКИ

ДОДАТКИ



ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Відсотковими грошима називають абсолютну величину прибутку отриману від надання грошей в борг.

Відсотковою ставкою називають відносну величину прибутку за певний період часу.

Нормою відсотка називається відношення відсотка за період до основної суми (капіталу).

Періодом нарощення називають часовий інтервал, до якого прив'язана відсоткова ставка.

Нарощенням називають процес збільшення грошей, які надаються в борг.

Множник нарощення показує у скільки разів нарощена сума більша початкової.

Кредит - кошти й матеріальні цінності, що надаються кредитором у користування позичальнику на визначений строк та під відсоток. Кредит поділяють на фінансовий, товарний і кредит під цінні папери, які засвідчують відносини позики.

Депозит - грошові кошти в готівковій або безготівковій формі у валюті України або в іноземній валюті або банківські метали, які банк прийняв від вкладника або які надійшли для вкладника на договірних засадах на визначений строк зберігання чи без зазначення такого строку (під процент або дохід в іншій формі) і підлягають виплаті вкладнику відповідно до законодавства України та умов договору.

Простими відсотоками називають такий спосіб нарощення, при якому відсотки нараховуються на початкову суму.

Складними відсотками називають такий спосіб нарощення, при якому відсотки нараховуються на всю накопичену суму, а не лише на початкову, як при нарахуванні простих відсотків.

Декурсивними відсотками називають відсотки, які нараховуються по принципу нарощення на суму боргу, відсоткову ставку називають при цьому ставкою нарощення..

Неперервними відсотками називають такий спосіб нарощення, при якому час розглядають як неперервний.

Компаундинг - це процес переходу від сьогоднішньої (поточної) вартості капіталу до його майбутньої вартості.

Дисконтування - це процес визначення сьогоднішньої (поточної) вартості грошей, коли відома їх майбутня вартість. Застосовується для оцінки грошових надходжень з позиції поточного моменту.

Дисконтний множник - коефіцієнт, який показує яку долю складає початкова сума позики у остаточній величині боргу (нарощеній сумі).

Реінвестування - неодноразове повторення процесу інвестування суми депозиту разом з нарахуваннями на неї в попередньому періоді відсотками.

Рівняння еквівалентності - рівняння, у якому суму змінюваних платежів, приведених до якого-небудь одного моменту часу, прирівнюємо сумі платежів по новому забов'язанню, приведених до тієї ж дати. Розробляється при необхідності зміни умов контракту.

Проста відсоткова ставка - це ставка, яка застосовується до однієї і тієї ж початкової суми на протязі усього терміну позики.

Складна відсоткова ставка - це ставка, яка застосовується до суми з нарахованими у попередньому періоді відсотками.



ВСТУП

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку суспільства вже неможливо уявити процес наукового пізнання в цілому та економіки зокрема без застосування математичного апарату. Проникнення математики в економічну науку пов'язано з подоланням значних труднощів, оскільки економічним явищам і процесам притаманні масовість та динамічність. В епоху розквіту все можливих фінансових інструментів не лише бізнесмени та економісти, але і прості освідченні громадяни повинні мати можливість у популярні формі ознайомитися з азами техніки порівняння вимог та втрат від комерційних та фінансових операцій.

Сьогодні інтерес до фінансової діяльності відчутно зріс, однак культура фінансових розрахунків ще не висока. Візьмемо до уваги, що до останнього часу нашим суспільством практично не використовувалися цінні папери векселя та інші фінансові атрибути; існує слабке уявлення про визначення їх ринкової вартості. Серед педагогічного колективу нашої школи було проведено анкетування з метою вивчення рівня обізнаності з фінансовою та банківською сферою діяльності [додаток А]. Проаналізувавши результати можна зробити висновок, що основна маса населення недостатньо інформована про різні форми отримання та використання відсоткових грошей.

Не викликає сумнівів той факт, що в основі благополучного існування і розвитку макроекономічних і мікроекономічних об'єктів лежить математичний аналіз економічних моделей, таких об'єктів, що успішне прогнозування розвитку процесів в економіці може здійснюватися тільки на основі математичних законів.

Доцільним вбачається ознайомити учнів старших класів та студентів вищих навчальних закладів з основами фінансових розрахунків, які складають предмет фінансової математики. Для розуміння цих основ достатньо мати знання у обсязі математики старших класів середньої школи. Тому дана робота адресована в першу чергу учням старших класів, також студентам перших - других курсів та націлена на ознайомлення з математичними основами фінансів, їх застосування для розрахунків, які вважаються звичайними для країн з високою фінансовою культурою.

Аналіз публікацій. Загалом підручників з фінансової математики є досить багато, проте, хотілося б зауважити, що здебільшого російськомовні. Теоретичне наповнення підручників, посібників з цієї дисципліни досить одноманітне та відрізняється широкою термінологією притаманною лише фінансовим та економічним дисциплінам. Звичайно, підручники мають певні відмінності: у поглядах авторів на деякі речі, методах та способах виведення та застосування формул, розробками практичних частин.

Перелік підручників:

· А.Мицкевич. Финансовая математика. Учеб.пособие./126 ст.

У підручнику наведені всі основні поняття фінансової математики. У параграфах наведені формули та приклади розв'язування задач, а також статті закону Росії. Окремим пунктом винесено задачі для самостійного розв'язку.

· В.И.Малыхин. Финансовая математика. Учеб.пособие./ для вузов.-2-е изд.,перераб. и доп. - М.:ЮНИТИ-ДАНА,2003.-237.

Підручник має два розділи - фінансові розрахунки в умовах точності та основи стохастичної фінансової математики. Автор формулює правила фінансової математики, які виділяє в кожному параграфі. В кінці кожної теми є запитання та задачі для самоконтролю.

· Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учбно-методический комплекс/ М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. - 200 с.

Курс ділиться на дві частини і в цілому включає 15 тем. Підручник "Фінансова математика" складається з двох частин:"Основи фінансових обчислень» і «Аналіз фінансових потоків».

· Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики: Учеб.пособие./ М.: ТОО «Остожье», 2000. - 267с.

У посібнику розглядаються основні методи фінансових розрахунків, які складають предмет фінансової математики. У книзі наведені завдання по всім розділам, які розглядаються, що дозволяє використовувати учбовий посібник для факультативного вивчення фінансової математики.

· Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник/ М.: Дело. - 5-е изд. -2005. - 400 с.

Підручник містить послідовне та систематичне викладення перевірених практикою методів кількісного аналізу фінансових, кредитних операцій. Загалом книга призначена студентам економічних вузів та особам, які використовують фінансові розрахунки в роботі.

Мета роботи. Вивчити та систематизувати основні поняття фінансової математики, розробити комплекс задач на застосування фінансових розрахунків, запровадити у шкільну програму задачі фінансової математики.

Об'єкт дослідження. Навчальний процес з алгебри.

Предмет дослідження. Задачі прикладної математики.

Задачі дослідження.

1. Ознайомитися з науково-методичною літературою з предмету дослідження.

2. З'ясувати теоретичні основи фінансової математики.

3. Систематизувати теоретичний матеріал з теорії відсотків та способів їх нарахування у фінансовій математиці.

4. Згідно теоретичного матеріалу розробити комплекс прикладних задач, які ілюструють застосування фінансових розрахунків та можуть бути використані, як наповнення предметно-орієнтовного курсу.

5. Провести педагогічний експеримент.

6. Провести аналіз рівня фінансової грамотності учнів до і пісня впровадження задач фінансового змісту в шкільну програму.

Практична цінність. Робота може бути використана вчителями математики та студентами для проведення факультативних занять в старшій школі, викладачами вищих навчальних закладів для підготовки тематичного наповнення навчальних дисциплін, з метою доповнення і розширення кола задач з економічним змістом, що дає можливість учням або студентам ознайомитися з формами застосування шкільного курсу математики до розв'язування завдань прикладного характеру у сфері фінансів, бізнесу та економіки.

Методи дослідження. Теоретичні - системний аналіз фінансово-математичної, психолого-педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, моделювання педагогічних процесів.

Емпіричні - спостереження, бесіди з вчителями, вивчення і узагальнення досвіду шкіл та вищих навчальних закладів щодо запровадження та реалізації курсу фінансова математика, основи фінансового числення.



РОЗДІЛ 1. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

1.1 Знайомство з темами курсу математики в основній школі, які використовуються в фінансовій сфері

Поглинаючи у сферу фінансової математики не можливо не зануритися у саму суть цієї справи.

Що ж таке фінансова математика?

· Фінансова математика - розділ прикладної математики, який має справу з математичними завданнями, що пов'язані з фінансовими розрахунками.

Або за трактуванням вікіпедії:

· Фінансова математика - це підрозділ прикладної математики який займається ринком фінансів.

Математичні основи фінансової математики прості і спираються на звичайний курс шкільної програми, де потрібно засвоїти такі теми, як геометрична прогресія, відсотки, логарифмічні обчислення та рішення системи рівнянь.

З поняттям геометричної прогресії ми знайомимося в 9 класі. Підручник дає визначення так:

· Геометрична прогресія - це послідовність із відмінним від нуля першим членом, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число.

Учням пропонують завдання на знаходження суми скінченної та не скінченної прогресії, знаходження n-го члена, розв'язування рівняння та інше.

Наведемо приклад підвищеної складності, який пропонують учням 9-го класу.

Задача 1. При якому значенні х значення виразів 3х, 7 - х і 5х+7 будуть членами геометричної прогресії?Знайдіть ці числа.

Розв'язання:

Якщо значення виразів 3х, 7 - х і 5х+7 є послідовними членами геометричної прогресії, то (7 - х)²=3х(5х+7).

Далі маємо:

49- 14х+х²=15х²+21х

14х²+35х-49=0

2х²+5х-7=0

Х=1 або х= -

Якщо х=1, то маємо геометричну прогресію 3,6,12.

Якщо х= -, то маємо геометричну прогресію

Одним із прикладів реальної прогресії є грошові вклади під відсотки в банки.

У шкільній програмі з темою відсотки ми знайомимося у 5-ому класі. Учням трактують дане поняття так:

· Відсоток (або процент) - це одна сота частина.

Усі визначення даються на прикладі задач. До розв'язання учням 5-го класу пропонують різні види задач, ускладнені та не ускладнені.

Задачі підвищеної складності для учнів 5-го і є простими задачами фінансової математики або задачі на прості відсотки. Нижче наведено приклад однієї з таких задач.

Задача 2. Вкладник поклав у банк грн під 7% річних. Яка сума буде у нього на рахунку через рік?

Розвязання:

6500 : 100 = 65 (грн.) - припадає на %;

65 · 7 = 455 (грн.) - припадає на 7% річних;

6500 + 455 = 6955 (грн.) - грошей буде на рахунку вкладника через рік.

Формулу складних відсотків фінансової математики наводять у підручнику алгебри за 9 клас:

a_n = a₀ (1+)ⁿ (1.1)

Та пропонують до розв'язку таку задачу

Задача 3. Вкладник поклав до банку 50000 грн. під 8% річних. Скільки грошей буде на рахунку через три роки?

Розв'язання:

a_n = a₀ (1+)ⁿ

a₃ = 50000(1+0,08)³

a₃=62985,6 грн.

Підручник фінансової математики А. Міцкевича трактує дане поняття іншим чином:

· Відсотком (або процентом) відношення відсотка за період до основної суми (капіталу) [5,с.16].

Наведемо приклад задачі на прості відсотки, яку пропонує фінансова математика.

Задача 4. Яку суму грошей отримає банк від клієнта , якщо кредит було взято на 360 днів під 7% річних розміром 1000 грн.

S=1070 грн.

Традиційне вивчення даної теми у шкільному зосереджене в суворих часових рамках курсу V-VI класів, що не дозволяє розширювати спектр практичних додатків і повноцінно враховувати вікові можливості учнів у формуванні ряду важливих практичних умінь у роботі з відсотками.

Необхідно наголосити і на тому факті, що на наступних етапах навчання програмою з математики , що функціонує в даний час, не передбачається повторне звернення до теми "Відсотки" в 10-11 класі.

Додаткова робота з розвитку та вдосконалення навички розв'язання задач на відсотки має значимість не тільки для майбутніх абітурієнтів, які можливо зустрінуться з такими завданнями на вступних іспитах до ВНЗ, а й для всіх учнів. Адже сучасне життя неминуче змусить у своїй повсякденності вирішувати задачі на відсотки.

1.2 Суть простих відсотків та приклади їх використання в банківській справі

Кожен власник, що має машину, яку він не використовує, може здати її в оренду, отримуючи за це певну плату. Так само банк , надає кошти (кредит) за певну винагороду. Дохід від інвестованого капіталу або, в більш вузькому сенсі, винагорода за використання грошей, називається відсотковими грошима або коротко відсотками. Суму грошей, даних в борг, називають основною або капіталом. Зазвичай позика надається на певний час - період. Сума відсоткових та основних грошей, яка утворюється в кінці періоду, називається підсумком. У загальному випадку відношення відсотка за період до основної суми (капіталу) називається нормою відсотка. [5,с.5]. Ця норма найчастіше виражається у формі відсотків, при розрахунках використовуються еквівалентні десяткові (рідше - натуральні) дроби. При укладенні конкретних угод для позначення норми відсотків звичайно використовується інша назва - відсоткова ставка. [5,с.5].

За вкладами і кредитами на короткий термін, зазвичай до року, банки як правило, нараховують простий відсоток за формулою звичайного, або комерційного, відсотка:

P=S(1+ ) (1.2)

Де P сума боргу з процентами; S - капітал; n - кількість днів; i - річний відсоток. Частіше за все використовують ділення на 360. Якщо t (t= ) знаходять таким способом, отриманий відсоток називають звичайним простим процентом. Другий метод - використання числа 365 (366 у високосному році). Якщо t знайдено таким чином, отриманий процент називають точним простим процентом.

Розглянемо на прикладі задач.

Задача 1. Кредит на суму 5000грн. було видано на 100 днів під 4% річних. Знайти точний простий процент та суму, яку потрібно повернути. Рік не високосний.

Розв'язання:

P=S(1+ )

P=5000(1 +)

P=5054,79

Задача 2. Людина, яка інвестувала 10000грн. , отримала 10200грн. 30-ти днями пізніше. Під який відсоток річних було інвестованого гроші при звичайнім простим проценті.



P=S(1+ )

i=

i=

i=0,24=24%

Задача 3. Через 60 днів після позики було виплачено рівно 10200 грн. Скільки було зайнято, якщо 10200 грн. включають основну суму і звичайний простий відсоток при 12%?

P=S(1+ )

S=

S==10000 грн.

В умовах нестабільної економічної кон'юнктури процентні ставки часто змінюються. У разі зміни відсоткової ставки протягом терміну договору загальна сума боргу (сума кредиту плюс сума відсотка) визначається як:

P=S(1+,

де n₁ , n₂ кількість днів при яких була дійсна ставка i₁ , i₂

Такі процентні ставки називають неперервними. [4, с.19].

У цьому випадку формула розрахунку нарощеної суми приймає наступний вигляд:

(1.3)

де P - початкова сума (позика),

- ставка простих відсотків у періоді з номером t,

- тривалість періода,

t - періода нарахування за ставкою it.

Важливим фактом правильно підрахованої суми є визначення кількості днів кредиту або депозиту (n) по календарю. В банківській практиці зазвичай перший і останній день приймають за один. Наприклад, для місячного депозиту, термін повернення наступає на 31-й день з дня, коли гроші були покладені до банку. В такому випадку діє правило 30-ти, 360-ти днів.

Розглянемо на прикладі задач.

Задача 4. Вкладник (фізична особа) уклав з банком договір строком на 3 роки з 15 вересня 2011 на суму 50 тис. грн. Початкова ставка 5 % річних , 16 вересня наступного року (2012) становила 10 % річних , 1 жовтня того ж року вона змінилася до 12 % і залишилася стабільною до запиту клієнта 2013р.. Яку суму отримає клієнт?

Розв'язання:

З 15 вересня 2011 - 15 вересня 2012 360 днів - 5% річних;

З 16 вересня 2012 - 30 вересня 2012 14 днів 10% річних;

1 жовтня 2012 -15 вересня 2013344 днів - 12 % річних;

Отже

P=50000(1+

P=58427,77



1.3 Суть складних відсотків та приклади їх використання в банківській справі

Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

В результаті таких фінансових дій проценти набігають не тільки на початкову суму кредиту, але й на суму процента. Формула складних відсотків:

(1.4)

Де початкова сума боргу - P ,а сума боргу з приєднаними відсотками - P(1+i). Через 2 роки сума боргу з приєднаними відсотками складе , через n років - .

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т.д.). Нарощення по складних відсотках є зростанням за законом геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P, а знаменник .

Відзначимо, що при терміні n<1 нарощення за простими відсотками дає більший результат, ніж по складним, а при n>1 - навпаки. У цьому неважко переконатися на конкретних числових прикладах. Найбільше перевищення суми, нарощеної за простими відсотками, над сумою, нарощеної по складних, (при однакових відсоткових ставках) досягається в середній частині періоду.

У тому випадку, коли ставка складних відсотків змінюється в часі, формула нарощення має наступний вигляд:



(1.5)

де - послідовні значення ставок відсотків, що діють у періоди відповідно.

Розглянемо на прикладі задачі.

Задача1. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

Розв'язання:

Розглянемо формулу

,

- множник нарощення. Отже:

Відповідь: 2,19375

Складні відсотки - це відображення об'єктивної реальності. Адже вони урівноважують усіх клієнтів банку, які мають на меті швидко збільшити свій прибуток, переоформивши депозит. Складний відсоток запобігає таким ситуаціям встановлюючи однакові умови усім клієнтам.

Для уникнення процедури вилучення і повторного вкладу всі сторони кредитної чи депозитної угоди заздалегідь домовляються про нарахування складних відсотків.

Перший розділ роботи містить систематизований виклад теоретичного матеріалу одного із основних розділів фінансової математики - фінансового числення. У ньому наведені основні означення, формули, алгоритми фінансових розрахунків, якими користуються безліч людей різних сфер виробництва та обслуговування. Кожне теоретичне твердження ілюструється задачею з поясненням ходу її розв'язання.

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНЕ ВИКОРИСТАННЯ ВІДСОТКІВ ТА ПРИКЛАДИ ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ. ПЕДАГОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ

2.1 Приклади застосування простих відсотків у банківській справі

Задача 1. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 1500 грн.. Річна відсоткова ставка рівна 15% . Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років, якщо вважати .

Розв'язання.

(грн.) - коштів на рахунку через місяць;

(грн.) - коштів на рахунку через рік;

(грн.) - коштів на рахунку через два роки;

(грн.) - коштів на рахунку через 10 років.

Відповідь: 1518,74; 1725; 1950; 3750 грн.

Задача 2. Сума 10000 грн. вкладена в момент часу під 8 % річних: а) на два роки; б) на один рік, на завершення якого нарощена сума вкладається (реінвестується) ще на один рік. Знайти для обох випадків нарощену суму на кінець 2-го року?

Розв'язання.

а) (грн.) - отримана сума на кінець 2-го року;

б) (грн.) - отримана сума на кінець 1-го року;

(грн.) - отримана сума на кінець 2-го року.

Відповідь: 11600; 11664 грн.

Задача 3. Капітал 5000 грн. вкладений в банк на 240 днів під звичайний точний процент розміром 10%(Рік не високосний). Знайти, яку суму ми отримаємо через 240 днів?

(грн.)

Відповідь: 5328,76 грн.

Задача 4. Капітал 2000 грн. вкладений в банк з 6.06 по 17.09 під 5% річних. Знайти величину капіталу на 17.09?

Розв'язання.

,

(грн.)

Відповідь: 2200 грн.

Задача 5. Підприємство отримало в банку 35000 грн. на 10 місяців із ставкою 15% річних. Визначити:а) прибуток з капіталу; б) загальну суму.

Розв'язання.

, ,

а) грн.

б) грн.

Відповідь: 4357,5; 39357,5 грн.

Задача 6. Нехай в угоді, розрахованій на рік, прийнята ставка простих відсотків на перший квартал у розмірі 15% річних, а на кожен наступний на 1% менше, ніж у попередній. Визначимо множник нарощення за весь термін угоди.

Розв'язання.

Відповідь: 1,135.

Задача 7. Сума 100 млн. грн. покладені 1 січень на місячний депозит під 20% річних. Яка нарощена сума, якщо операція повторюється 3 рази?

Розв'язання.

Якщо нараховувати точні відсотки (365/365), то

(млн. грн...)

Нарахування звичайних відсотків (360/360) при реінвестуванні дає

(млн. грн.)

Відповідь: 105,013; 105,084 млн. грн.

Задача 8. Нехай рахунок з початковою сумою 100 грн. при річній ставці 20% відкрили в момент часу . Через рік відкривається рахунок на суму 110 грн. з тією самою ставкою. Знайти час, коли накопичені суми на обох рахунках зрівняються?

Розв'язання.

Динаміка цих рахунків описується рівняннями:

,

,

Кошти на обох рахунках співпадуть в момент , який визначається рівнянням

Відповідь: 6 років.

2.2 Приклади застосування складних відсотків у банківській справі

Задача 1. Початкова сума вкладу складає 500, а відсоткова ставка нарахувань 5%. Знайти: а) накопичену суму та відсотки за перші 3 роки;

Розв'язання.

а) накопичену суму за 3 роки визначимо за формулою:

,

а відсотки за той же період складуть

Відповідь: 578,81 грн.

Задача 2. Якого розміру сягне борг, рівний 1 млн. грн., через 5 років за умови, наростання по складній відсотковій ставці 15,5% річних?

Розв'язання.

(грн.)

Відповідь: 2055464,22 грн.

Задача 3.Нехай банк виплачує відсоток по вкладам у розмірі 10% річних протягом 1 року, 15% річних - протягом 2-го року та 8% річних - протягом 3-го року. Якщо вкладник мав на рахунку на початку 1-го року 500, то який розмір вкладу у кінці кожного року?

Розв'язання.

В кінці 1-го року вклад:

В кінці 2-го року вклад:

В кінці 3-го року вклад:

Відповідь: 550; 632,5; 683,1.

Задача 4.Нехай банк виплачує 12% річних за складною відсотковою ставкою. Яку суму треба покласти в банк, щоб отримати 1000: а) за 2 роки; б) за 2,5 роки при неперервній схемі нарахування?

Розв'язання.

а) У цьому випадку , а відповідно маємо:

б) У цьому випадку , отримаємо:

Відповідь: 797,19; 753,28.\

Задача 5. Підприємству необхідно отримати 96 000 грн. через 6 років. Банк дає 9% з щомісячним компаундом. Яку суму потрібно покласти (інвестувати)?

Розв'язання.

, %, , .

%,

грн.

Відповідь: 67037 грн.

Задача 6. За який термін в роках сума, рівна 75 млн. грн., досягне 200 млн. грн. при нарахуванні відсотків по складній ставці 15%, раз на рік.

Розв'язання.

(років)

Відповідь: 7,0178 років.

2.3 Комплекс задач фінансової математики

2.3.1 Прості відсотки

Задача 1.Вкладник поклав у банк грн.. під 9% річних. Яка сума буде у нього на рахунку через рік?

Задача 2. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 500 грн., та для простоти підрахунків . Річна відсоткова ставка рівна 12%. Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років?

Задача 3. Капітал розміром 200 тис. грн.. вкладений в банк на 10 місяців під 12% річних. Знайти суму, яку отримаємо в кінці року.

Задача 4. Кредит на суму 45000грн. було видано на 90 днів під 4% річних. Знайти точний простий процент та суму, яку потрібно повернути. Рік не високосний.

Задача 5. Через 90 днів після позики було виплачено рівно 1000 грн. Скільки було зайнято, якщо 1000 грн. включають основну суму і звичайний простий відсоток при 12%?

Задача 6. Капітал 10800 грн. вкладений в банк на 6 місяці під 4% річних. Знайти нарощену суму капіталу?

Задача 7. Контракт передбачає наступний порядок нарахування відсотків: перший рік - 16%, у кожному наступному півріччі ставка зростає на 1%. Необхідно визначити множник нарощення за 2,5 роки.

Задача 8. Яку суму необхідно вкласти зараз на 2 роки під 5% річних, щоб отримати 1000 грн.?

Задача 9*. Яка повинна бути тривалість позики в днях для того, щоб борг, рівний 100 тис. руб., збільшився до 120 тис. руб. при умові, що нараховуються прості відсотки по ставці 25% річних (365 днів).

Задача 10** Нехай рахунок з початковою сумою 1000 грн. при річній ставці 20% відкрили в момент часу . Через 2 роки відкривається рахунок на суму 1100 грн. з тією самою ставкою. Знайти час, коли накопичені суми на обох рахунках зрівняються?

2.3.2 Складні відсотки

Задача 1. Початкова величина вкладу складає 200. Період нарахування 1 місяць. Знайти накопичену суму та відсотки за 5 років і 3 місяці, якщо місячна ставка нараховується по вкладу 3%?

Задача 2. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

Задача 3.Термін позики - 5 років, базова відсоткова ставка - 12% річних плюс маржа 0,5% в перші два роки та 0,75% в наступні роки. Знайти множник нарощення у цьому випадку?

Задача 4. Нехай банк виплачує відсоток по вкладам у розмірі 15% річних протягом 1 року, 12% річних - протягом 2-го року та 10% річних - протягом 3-го року. Якщо вкладник мав на рахунку на початку 1-го року 1500, то який розмір вкладу у кінці кожного року?

Задача 5. Позика була видана на два роки - з 1 травня 2005р. По 1 травня 2007р. Розмір позики 10 млн. руб. Необхідно розподілити нараховані відсотки (ставка 14%) по календарним рокам.

Задача 6.* Знайти річну ефективну ставку, яка відповідає 30% річній номінальній ставці, яка нараховується двічі на рік.

Задача 7.* Нехай банк виплачує 15% річних за складною відсотковою ставкою. Яку суму треба покласти в банк, щоб отримати 100000: а) за 2 роки; б) за 2,5 роки при неперервній схемі нарахування?

Задача 8.* За який термін в роках сума, рівна 75 млн. руб., досягне 200 млн. руб. при нарахуванні відсотків по складній ставці 15%, раз на рік та щоквартально?

Задача 9.* Термін до погашення векселя рівний 2 рокам. Дисконт при його обліку склав 20%. Якій складній річній обліковій ставці відповідає цей дисконт?

2.4 Організація педагогічного експерименту та аналіз його результатів

Під час проведення дослідження, об'єктом якого є навчально-виховний процес з алгебри 10 класу, а предметом - задачі з фінансової математики, проводився педагогічний експеримент.

На першому етапі дослідження проводився констатуючий експеримент, завданнями якого було:

· проаналізувати літературу з даного питання.

На цьому етапі були використані наступні методи дослідження: аналіз державних документів, навчальних програм, навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, спостереження за навчальним процесом.

На другому етапі дослідження проводився пошуковий експеримент, завданнями якого були:

· розробити окремі компоненти методичної системи, спрямованої на формування вмінь розв'язувати задачі різної складності з фінансової математики;

· упровадити розроблений комплекс теорії та задач в практику навчання учнів 10 класу та проаналізувати результати експериментального навчання та скоригувати експериментальні матеріали.

На цьому етапі дослідження використовувались наступні методи дослідження спостереження, педагогічний експеримент, діагностика його результатів.

На третьому етапі дослідження проводився формувальний експеримент, завдання якого полягали в перевірці ефективності розробленої методики.

· упровадити розроблену методику в практику навчання учнів 10 класу;

· опрацювати результати педагогічного дослідження.

На цьому етапі були використані наступні методи дослідження: педагогічний експеримент, статистичні методи опрацювання даних.

Експериментальною базою було обрано ЗОШ №11 м. Конотопа Сумської обл.

За результатами проведениї контрольної роботи №1 [Додаток В], були виділені дві однорідні вибірки. Учні 10 класу було поділено на дві довільні вибірки 10-А та 10-Б. Вони показали приблизно однаковий рівень підготовки з математики.



Таблиця 2.4.1.

Класи (групи)	Початковий рівень	Середній рівень	Достатній рівень	Високий рівень
	Кільк.	%	Кільк.	%	Кільк.	%	Кільк.	%
10-А клас (експеримент-альний)	3	21,4	5	35,8	3	21,4	3	21,4
10-Б клас (контрольний)	2	14,3	6	42,9	4	28,5	2	14,3
Усього n=28	7	25	11	39,3	5	17,85	5	17,85

Продемонструємо успішність учнів двох класів у вигляді діаграми, яка відображає процентне відношення рівнів досягнень учнів.

Діаграма 2.4.1.

Отже, як бачимо, ми отримали дві однорідні вибірки. Одна з них була прийнята за контрольну - учні 10- Б класу, друга за експериментальну - учні 10А. В експериментальному класі ми на протязі кількох тижнів проводили заняття: читався курс «Основи фінансової математики» [Додаток Б]. Паралельно з експериментальним класом у 10-Б проходили звичайні заняття.

По закінченню експеримента в обох класах була проведена контрольна робота №2 [Додаток В], результатами якої і підбивалися підсумки нашого експерименту. Учні двох класів показали наступні знання.

Таблиця 2.4.2.

Класи (групи)	Початковий рівень	Середній рівень	Достатній рівень	Високий рівень
	Кільк.	%	Кільк.	%	Кільк.	%	Кільк.	%
10-А клас (експеримент-альний)	0	0	4	28,6	6	42,8	4	28,6
10-Б клас (контрольний)	4	28,5	5	35,715	5	35,715	0	0

Для кращої наглядності продемонструємо результати отримані за контрольну роботу у вигляді діаграми, яка відображає зміну успішності дітей.

Діаграма 2.4.2.

Для порівняння вибірок будемо користуватись двустороннім критерієм Пірсона.

Сформулюємо статистичні гіпотези.

- підвищення успішності учнів, це результат випадкових факторів.

- на підвищення успішності учнів з теми задачі на відсотки вплинула розроблена методика.

Виконаємо необхідні обчислення за формулою Пірсона:

.

де - кількість учасників експериментального класу;

- кількість учасників контрольного класу.

- кількість учасників ЕК, які потрапили в і-ту категорію;

- кількість учасників КК, які потрапили в і-ту категорію;

.

рівень значущості;

ступінь вільності.

За таблицями знаходимо = 7,815. У порівнянні отримаємо >. Отже можемо зробити висновок, що підтвердилася гіпотеза .

Наш експеримент довів, що введення в курс алгебри 10 класу курсу «Основи фінансової математики» підвищить рівень успішності учнів.



ВИСНОВКИ

Дана робота ще раз доводить твердження, що фінансова математика сформувалась на межі накладання фінансової науки та математики.

Знайомство з окремими розділами фінансової математики ведеться як у контексті з економічною теорією та математикою, так і в контексті з бурхливо розвиваючоюся практикою.

У роботі ви знайдете не лише перелік технічних прийомів для порівняння фінансових результатів, але й основи теорії відсотка, дисконтування, реінвестування капіталу, алгоритми оптимального розрахунку відсотків по кредиту, спеціально розроблений комплекс задач, що розширить курс шкільної програми та збільшить обізнаність учнів з даного питання.

Підводячи підсумки вище сказаного, можна говорити, що в роботі:

· Розглянуто задачі фінансової математики.

· Систематизовано теоретичний і практичний матеріал фінансової сфери.

· Порівняно курс шкільної програми з викладеним матеріалом в посібниках фінансової математики.

· Створений комплекс прикладних задач.

· Проведено педагогічний експеримент.

· Проведений аналіз рівня фінансової грамотності учнів до і пісня впровадження задач фінансового змісту



ДОДАТОК А

Анкета

1.Чи є актуальним питання про фінансові розрахунки?

а)так б)ні

2.Як часто ви користуєтесь послугами банку?

а)щодня б)раз на тиждень в)раз на місяць

г)раз на рік д)взагалі не користуюся

3.Чи відомі вам способи нарахування відсоткових коштів?

а)так б)ні в)маю уявлення

4.Чи знайомі ви з предметом фінансова математика?

а)так б)ні

5.Чи потрібно вивчати в школі такий предмет,

як фінансова математика?

а)так б)ні



ДОДАТОК Б

ІНТЕГРОВАНИЙ УРОК МАТЕМАТИКИ В 10 КЛАСІ «СКЛАДНІ ВІДСОТКИ»

Мета: знайомство з методами вирішення економічних завдань, спираючись на математичні знання з теми «Відсотки»

Форма проведення: семінарське заняття

Наочність: банківські формули, інформація про банки міста Конотоп (рекламні матеріали)

Хід уроку

1. Повідомлення теми і мети уроку.

2. Інформація про банківську систему в місті Конотоп.

3. Рішення задач фінансового характеру.

· Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

Розглянемо на прикладі задачі.

Задача 1. Нехай вкладник поклав на рахунок у банку 20 000 грн. і протягом трьох років не буде знімати гроші з рахунку. Підрахуємо, скільки грошей буде на рахунку вкладника через три роки, якщо банк виплачує 20% на рік і відсотки після кожного нарахування приєднуються до початкової суми S₀ = 20 000 грн. тобто капіталізуються.

Розв'язання:

По закінченні першого року сума нарахованих відсотків складе

R₁ = S₀ * 0,3 = 20 000 * 0,2 = 4 000

Оскільки відсотки капіталізуються , то наприкінці першого року на рахунку вкладника виявиться сума

S1 = S₀ + R₁ = 20 000+4000=24 000

Наприкінці другого року банк буде нараховувати відсотки на нову суму S₁=24 000 , І сума нарахованих відсотків складе вже

R₂ = S₁ * 0,3 = 24 000 * 0,2 = 4 800 .

Капіталізація цих відсотків призводить до того , що наприкінці другого року на рахунку вкладника виявиться сума S₂ = S₁ + R₂ = 24 000+4 800=28 800.

Наприкінці третього року банк буде нараховувати відсотки вже на нову суму S₂ = 28 800 , І тому сума нарахованих відсотків складе

R3 = S₂ * 0,2 = 28 800 * 0,2 = 5 760.

Ці відсотки знову капіталізуються , і тому наприкінці третього року на рахунку вкладника буде знаходитися S₃ = S₂ + R₃ = 28 800+5 760=34 560 .

Наші обчислення закінчені : до кінця третього року внесок збільшився на величину S₃ - S₀ = 34 560 - 20000 = 14 560 або на 14 560* 100 \ 20 000 = 72,8 %

Для порівняння обчислимо суму грошей на рахунку, якщо б нараховувалися прості відсотки . Тоді S₀ = 20 000, i = 20 % n = 3 і S₃ = S₀ ( 1 + n * p/100 ) = 20000 * ( 1 +3 * 20 / 100 ) = 32 000

Ця сума на 2560 грн. менше ніж при нарахуванні складних відсотків.

Для простоти обчислення в таких задачах використовують формулу складно процента:

Де початкова сума боргу - P ,а сума боргу з приєднаними відсотками - P(1+i) або S . Через 2 роки сума боргу з приєднаними відсотками складе , через n років - .

Розглянемо на прикладі задачі.

Задача 2. Початкова сума вкладу складає 500, а відсоткова ставка нарахувань 5%. Знайти: а) накопичену суму та відсотки за перші 3 роки;

Розв'язання.

а) накопичену суму за 3 роки визначимо за формулою:



,

а відсотки за той же період складуть

Відповідь: 578,81 грн.

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т.д.). Нарощення по складних відсотках є зростанням за законом геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P, а знаменник .

Домашнє завдання

Задача 1. Початкова величина вкладу складає 200. Період нарахування 1 місяць. Знайти накопичену суму та відсотки за 5 років і 3 місяці, якщо місячна ставка нараховується по вкладу 3%?

Задача 2*. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.



ДОДАТОК В

Контрольна робота №1

Задача 1. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 500 грн., та для простоти підрахунків . Річна відсоткова ставка рівна 12%. Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років?

Задача 2. Капітал 1000 грн. вкладений в банк на 6 місяців при 6% річних. Знайти капітал, який отримаємо через 6 місяців.

Задача 3. Початкова величина вкладу складає 200. Період нарахування 1 місяць. Знайти накопичену суму та відсотки за 5 років і 3 місяці, якщо місячна ставка нараховується по вкладу 3%?

Контрольна робота №2

Задача 1. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 7600 грн., та для простоти підрахунків . Річна відсоткова ставка рівна 11%. Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років?

Задача 2. Сума 1000 грн. вкладена в момент часу під 10% річних: а) на два роки; б) на один рік, на завершення якого нарощена сума вкладається (реінвестується) ще на один рік. Знайти для обох випадків нарощену суму на кінець 2-го року?

Задача 3. Нехай банк виплачує відсоток по вкладам у розмірі 10% річних протягом 1 року, 15% річних - протягом 2-го року та 8% річних - протягом 3-го року. Якщо вкладник мав на рахунку на початку 1-го року 500, то який розмір вкладу у кінці кожного року?

Размещено на Allbest.ru