Софізми на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОФІЗМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

А.Л. Воєвода

Модернізація української школи потребує підвищення активності та самостійності учнів, формування в них умінь опрацьовувати та плідно використовувати освітню інформацію.

Одним із засобів впливу на формування знань учнів з математики та рівень розвитку їх пізнавальної активності є застосування математичних софізмів на уроках.

Історія математики сповнена цікавих парадоксів і софізмів. Парадокси - це справедливі, хоча й несподівані твердження (наприклад, «Ахіллес ніколи не наздожене черепаху»). Софізми (грецьке Sophizma - вигадка, хитрість) - це хибні результати, отримані з допомогою міркувань, які здаються правильними, але обов'язково містять якусь помилку. Стародавні вчені залишили нам немало таких суджень. Наприклад: «те, що ти не загубив, ти маєш. Ти не загубив крила, отже, ти їх маєш».

Засновником школи софістів був давньогрецький філософ Протогор із Адбери (480 - 410 р. до н. е.). Введення софізмів сприяло вдосконавленню ораторського мистецтва, підвищенню логічної культури мислення. Щоправда, пізніше в деяких філософів-софістів мистецтво софістики перетворилося на суперечку заради суперечки.

Різні приклади софізмів наводить у своїх діалогах Платон (427 -347 р. до н.е.). Евклід (ІV ст. до н.е.) створив збірник «Псевдарій», який на жаль не дійшов до нас. Це був перший збірник саме математичних софізмів та парадоксів. Вперше аналіз та класифікацію софізмів дав Арістотель у трактаті «Про софістичні спростування».

На сьогодні софізми, і зокрема математичні, навчають мислити, доводити й спростовувати, чітко висловлювати свої думки.

Аналіз софізмів має важливе педагогічне значення, бо розібрати софізм - означає знайти помилку. Відомий математик і методист М. Брадіс відзначав, що добре ознайомившись з якоюсь помилкою, ми страхуємо учнів від повторення такої помилки в майбутньому, «процес відшукання помилки в різних математичних судженнях легко зробити дуже захоплюючим, а розгляд помилок може стати засобом для підвищення інтересу до вивчення математики» [2].

Помилки в міркуваннях, найчастіше виникають через порушення законів формальної логіки.

Виділимо найбільш поширені помилки, які покладені в основу багатьох софізмів:

- ділення на нуль;

- неправильні висновки з рівності дробів;

- неправильне добування квадратного кореня з квадрату виразу;

- порушення правил дій з іменованими величинами;

- плутанина з поняттями «рівність» і «еквівалентність» відносно множин;

- нерівносильний перехід від однієї нерівності до іншої;

- виконання перетворень над математичними об'єктами, що не мають змісту;

- висновки і обчислення за невірним малюнком до задачі;

- помилки, що виникають при операціях з нескінченними рядами і граничним переходом.

Софізми на уроках математики можна застосовувати з метою:

- попередження типових помилок на узагальнюючих уроках;

- створення проблемної ситуації при поясненні нового матеріалу;

- перевірки рівня засвоєння вивченого матеріалу;

- більш цікавого повторення і закріплення вивченого матеріалу.

В залежності від мети застосування софізмів на уроках математики перед учнями можуть ставитись різні завдання, зокрема: знайти помилку в міркуваннях; дізнатися, які бувають софізми; навести приклади софізмів; скласти свій софізм тощо.

Учні 5-7 класів з цікавістю сприймають софізми, в яких порушені правила дій з іменованими величинами. Такі софізми є пропедевтикою для використання іменованих величин при розв'язуванні фізичних задач.

Так, у софізмах «Один метр не дорівнює 100 сантиметрів» та «4 грн = 40000 к» пропонуємо учням знайти помилку в міркуваннях.

1м = 100 см (1)

10 м = 1000 см (2)

Перемножимо обидві частини рівностей (1) і (2), одержимо:

10 м = 100000 см, звідки: 1 м = 10000 см.

математика софізм урок знання

Аналогічно: 2 грн = 200 к. Піднесемо обидві частини рівності до квадрату. Одержимо: 4 грн = 40000 к.

Після розгляду подібних софізмів разом з учнями доходимо висновку: множення обох частин різних рівностей та піднесення до квадрату грошей не має змісту.

Окремі математичні софізми можна розгладати при вивченні різних тем, причому хибні результати в них отрмані за допомогою відмінних одне від одного міркувань.

Наведемо приклади застосування таких софізмів на уроках математики.

Типовою помилкою учнів при виконанні перетворень, розв'язуванні рівнянь є ділення обох частин рівностей на вираз, рівний нулеві.

Попередити такі помилки може допомогти розгляд софізму «».

Зокрема, при вивченні у 7 класі теми «Розкладання многочлена на множники. Винесення спільного множника за дужки» доведення вказаного софізму допомагає учням глибше усвідомити необхідність перевірки відмінності від нуля виразу, на який діляться обидві частини рівності.

Нехай . Помножимо обидві частини рівності на 5:

(1). Додамо почленно рівність (1) до рівності і віднімемо від обох частин утвореної рівності по :

;

; .

Звідки, , тобто .

.

(Якщо у двох рівних дробів чисельники рівні, то знаменники будуть рівні лише тоді, коли чисельники не дорівнюють нулю. В даному рівнянні чисельники дробів дорівнюють нулю.)

Міркування над подібними софізмами вимагає від учня глибокого розуміння математичних фактів, уміння застосовувати наявні знання на практиці. Прості, очевидні на перший погляд логічні кроки і дивний висновок наприкінці софізму зацікавлюють учнів, змушують відшукати допущену помилку. Методично грамотно вибудувані знаходження і аналіз помилки, допущеної в софізмі, часто бувають більш повчальними, ніж розгляд розв'язків «безпомилкових» завдань.

Для розвитку пізнавальної самостійності учнів софізми також можна використовувати:

- при виконанні домашніх завдань (з метою більш осмисленого розуміння матеріалу);

- на факультативних та гурткових заняттях (з метою поглибленого вивчення окремих тем з математики);

- при написанні рефератів і дослідницьких робіт (можна використати софізми давньогрецьких філософів, наприклад, Прокла «Дві непаралельних на площині прямі не перетинаються» та ін.).

- в позакласних заходах ( з метою збудження інтересу до математики).

Неоціненну допомогу надають математичні софізми для глибокого осмислення навчального матеріалу з геометрії. Геометричні софізми Наведемо приклад застосування геометричних софізмів на математичному вечорі, зокрема, у вигляді інсценівки.

…«Ведучий 2. А глядачам пропонуємо знайти помилку в доведенні софізму «Прямий кут завжди дорівнює тупому».

Вчитель. Скажи, Петров, Який кут називається прямим?

Учень. Кут, більший від гострого, називається прямим.

Вчитель. Отак? То може скажеш, який кут називається тупим?

Учень. Кут, більший від гострого, називається тупим.

Вчитель. А різниця яка-небудь між прямим і тупим є?

Учень. Немає. Вчитель (здивованно дивиться на учня).

Учень. Прямий кут завжди дорівнює тупому. Я можу це довести.

Вчитель. Цікаво. Ану, доводь.

Учень. Будь-ласка. На довільному відрізку АВ в одному кінці побудуємо прямий кут СВА, а в другому - тупий кут DВА (мал. 1). Відкладемо рівні відрізки СА і DВ (креслить мал. 1а), сполучимо С з D.

Очевидно, що відрізки СD і АВ не паралельні, тому їх серединні перпендикуляри обов'язково перетнуться в якійсь точці О. Тоді СО=ОD, ОА=ОВ, а отже, трикутники АСО і DВО рівні (за трьома сторонами). Тому кути САО і DВО рівні. Кути ОАК і ОВК також рівні, бо трикутник АОВ рівнобедрений. Звідси й випливає, що прямий кут САК дорівнює тупому куту DВК.

Вчитель. Справді, цікаво. Хитро придумано. А ви (до глядачів) як вважаєте?

C M D C M D

а б

А К B K B

Мал. 1

Розглядаючи математичні софізми, необхідно дуже уважно читати їхні тексти, ретельно слідкувати за точністю формулювань і записів, дотриманням усіх умов застосовування теорем, відсутністю невірних узагальнень, заборонених дій, відсутністю посилань на «видимі» властивості фігур і допоміжних побудов, щоб софізм не перетворився на паралогізм (з грецької - неправильне), тобто хибне міркування, логічну помилку, допущену не навмисне, а через втрату послідовності в міркуваннях чи порушення одного з законів логіки.

Література

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: навч. пос. 3-тє вид., перероб. і допов / Г.П. Бевз. К.: Вища шк., 1989. 367 с.

2. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. Пособие для учителей / В.М. Брадис, В.Л. Миньковский, А.К. Харчёва. М.: Просвещение, 1967. 191 с.

3. Коба В.І. Позакласна робота з математики / В.І. Коба, О.О. Хмура. К.: Рад. школа, 1968. 376 с.

4. Льюис Кэрролл. Письма к детям / tramwaj.narod.ru/Carroll/LC_letters…

5. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка: пос. для учащ. / Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. 4-е изд., перераб. и доп. М.

Аннотації.

А.Л. Воєвода

Методичні особливості застосування софізмів у навчанні математики

Аналізується можливість, доцілність і методичні особливості застосування софізмів у навчанні математики. Розглядаються деякі софізми, пояснюється їх суть, типові помилки, покладені в осонву софізмів.

А.Л. Воевода

Методические особенности использования софизмов на уроках математики

Анализируется возможность, целесообразность и методические особенности использования софизмов в обучении математики. Рассматриваются некоторые софизмы, объясняется их суть, типичные ошибки, лежащие в основе многих софизмов.

A.L. Voevoda

Methodical peculiarities of using sophisms in teaching mathematics

Possibility, expediency and methodical peculiarities of using sophisms in teaching mathematics are analyzed. Some sophisms are considered. It explains their nature? Typical mistakes which are based on sophisms.

Размещено на Allbest.ru