Онтология математической дидактики в контексте идеалов и норм логической строгости математики XX ст.

Одна из ключевых проблем образования это целеполагание. С определения цели начинается любая человеческая деятельность. Вряд ли кто будет оспаривать тот факт, что цели образования тесно связаны с целями жизни данного общества. Социальные процессы определяют структуру и содержание образования, и наоборот уровень образования отражается в ходе социальных процессов. По убеждению философа и педагога С. Гессена «…понять структуру образования данного общества, значит понять строй его жизни» [2, с. 25]. Сегодня, как и в 30-х годах XX столетия в период, когда педагогика трактовалась С.И. Гессеном как прикладная философия, актуальным должно стать рассмотрение взаимосвязи культуры и обучения сквозь призму антропологического измерения, в котором центром всего является человек.

Современный человек существует «в теле» культуры, которая должна формировать и развивать в нём духовное начало. Культура и её ценности основание существования современного человека. Анализ комплекса современных ценностных ориентиров общества, транслируемых системой современного образования проблема, которая выходит за рамки данной статьи и является предметом самостоятельного исследования, поэтому ограничимся лишь той частью образовательного процесса, которая касается обучения.

Автор, осмысливая кризис системы современного образования и педагогического мышления как выражения кризисной духовной ситуации нашего времени, особо подчеркивает, что в исследовании проблемы формирования личности должны тесно сотрудничать философия, психология и педагогика. Ho приоритет в указанном научном поиске следует отдать философии. Противоречивые взаимодействия различных, хотя и взаимосвязанных сфер бытия неадекватно представлены в конкретных науках, которые не могут охватить всю его целостность, раскрыть взаимодействие различных детерминирующих систем на таком сложном «пересечении», каковым является человеческая жизнь. Тем более неадекватно эти проблемы представлены в педагогической науке или же в психологии. Лишь философия способна в полной мере выделить проблемы образования и обучения как составляющих культуры.

Отметим, что основное размежевание внутри современной философии образования проходит между эмпирико-аналитическими и гуманитарными направлениями и отражает альтернативные подходы к субъекту образования человеку. Центральная проблема, которую ставит сегодня философия образования при разработке основ целеполагания, это, в первую очередь, трансляция в дидактических процессах научного знания. Ho какие же знания, транслируемые в дидактических процессах, следует считать научными? He погрешим против истины, определив, что это должны быть наиболее общие и целостные знания о природе и обществе, на основании которых сформированы представления о современной картине мира.

Предмет исследования данной статьи находится на пересечении двух областей философского знания философии образования и философии науки. Статья вызвана тем обстоятельством, что настоящее время осуществляются попытки использования инноваций в педагогической практике. В дидактике теории обучения и педагогической практике разворачиваются разнообразные эксперименты. Предполагаются как новые программы обучения, так и новые организационные формы школ. При этом ощущается недостаток философских и специальных знаний, позволяющих осмыслить и направить педагогические новации. Противоречия, возникшие между системой обучения и инновациями, требуют философского осмысления и адекватной оценки. Анализ онтологических, гносеологических, логико-методологических оснований дидактических систем и дидактик частных дисциплин раскрывает своеобразие функционирования теории обучения в целом и дидактик частных дисциплин.

Выявление онтологического аспекта каждой частной дидактики учебной дисциплины предполагает анализ соответствия структуры и содержания знания, транслируемого в дидактических процессах, идеалам и нормам логической строгости выработанного научного знания.

Цель статьи анализ математической дидактики в контексте идеалов и норм логической строгости математического знания XX столетия.

Для достижения данной цели необходимо раскрыть идеалы и нормы логической строгости математики XX столетия. При этом особо подчеркнём, что процесс научного поиска осуществляется в высшей сфере человеческих способностей, относительно свободной от влияния психологических факторов свойств характера исследователя. Ho то, что применимо в науке, не применимо в теории обучения, которая не имеет своей целью развивать науку. Для теории обучения трансляция в ходе дидактических процессов методов науки это один из основополагающих способов, которым она развивает мыслительные способности человека. В отношении математической дидактики, сказанное касается развития методов математического рассуждения обучаемых. В этом отношении, образование берёт человека таким, каким он есть, со всеми особенностями его души, ума, характера. Задача обучения состоит в овладении методами науки.

Автор акцентирует внимание читателя на том аспекте, что дидактический процесс не тождественен научному исследованию. В дидактическом процессе происходит трансляция знания, обладающего выработанными идеалами и нормами логической строгости. В дидактическом процессе лишь осваивается накопленный социально-практический опыт. Можно с уверенностью утверждать, что в дидактическом процессе мы сталкиваемся с «вторичным познанием». В нём изучение уже функционирующих научных теорий происходит в схематизированном и упрощённом, уплотнённом редуцированном виде. В дидактических процессах уровень «вторичной познавательной деятельности» следует рассматривать как «преобразующий». При организации процесса «вторичного познания» обучающий, во-первых, выделяет предмет исследования, во-вторых, определяет гипотезу, в-третьих, раскрывает план исследования, в-четвёртых, сообщает содержание задания для обучаемого, но и кроме всего выше указанного, сообщает источник, содержащий исследуемое знание. Обучаемый под руководством обучающего определяет методы исследования, составляет план изучения объекта, анализирует объект, но самостоятельно представляет полученные результаты.

Раскрывая отличительные особенности дидактического процесса, отметим, что анализ онтологического аспекта математической дидактики может быть осуществлен лишь после выявления идеалов и норм логической строгости математики XX столетия.

Математика XX столетия характерна построением аксиоматизированных систем. Её онтологию следует определить как онтологию абстрактных формализованных систем. Это обстоятельство детерминировано рядом факторов, но главным из них является очередной кризис математики, проявившийся в парадоксах теории множеств. Отметим, что творцами математики указанного периода является ряд величайших мыслителей. Объём данной статьи не позволит даже перечислить всех имён. Назовём лишь некоторых светочей, определивших основные направления развития математического знания рассматриваемого периода. В их числе Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Драгалин, А. Колмогоров, H Лузин,

А. Марков особое место занимают французские математики участники семинара Н. Бурбаки. Семинаром, за годы его существования создано двадцать томов математических трудов. В концепции математического реализма семинара Н. Бурбаки отражены основные тенденции структурализма одного из философско-методологических направлений XX столетия. В строгом смысле структурализм это комплекс научных и философских идей, которые связаны с применением формально-структурного метода исследований.

В рамках нашей статьи можно проанализировать лишь основные тенденции в обосновании идеалов и норм логической строгости математики рассматриваемого периода. Они представлены Д. Гильбертом в Геттингенской программе. Поэтому, остановимся на кратком анализе его программы формализации математики, а также общей направленности построения научного знания.

Уточним, что первая половина XX столетия характерна развитием очередного кризиса в основаниях математики, который был вызван рядом попыток найти математические инструменты, необходимые в решении континуум-гипотезы. В математике и математической логике стали появляться направления, напрямую, или же опосредованно отражающие не только философско-методологические, но и мировоззренческие установки различных философско-научных школ этого периода. Обосновывая континуум-гипотезу, рассматривая континуум как объект метаматематики, Д. Гильберт обратился к непротиворечивости, как одному из критериев существования объектов метаматематики. Используя такой методологический подход, он встал перед необходимостью формализации математики к логике. В его подходе формализованная логика оказалась поглощённой формализованной математикой. В последствии К. Гёдель, также обращаясь к проблеме обоснования континуум-гипотезы. Он перенумеровал символы, а затем, изменил последовательность формул в аксиоматизированной системе Д. Гильберта, тем самым, превратил его утверждение о непротиворечивости в формальное арифметическое предложение. К. Гёдель доказал, что это предложение не может быть ни доказано, ни опровергнуто в рамках гильбертовского формализма.

Раскрывая онтологию логической строгости математического знания XX столетия, автор подчёркивает, что особое значение в построении научного знания и в частности, математики формализованной системы его описания имеют доминирующие положения Венского кружка. К. Гедель активный участник Венского кружка, работавший в рамках его программы.

Следует особо отметить, что сложившаяся ещё в начале XX столетия неопозитивистская концепция науки господствовала в европейской методологии науки до конца 50-х годов. Её особенности состояли, прежде всего, в стремлении положить в основание логико-методологического анализа науки дихотомию теоретического и эмпирического уровней. Иными словами, исходную единицу анализа науки неопозитивизм усматривал в теории, которая истолковывалась сугубо пропозиционально, как система истинных и ложных предложений.

Неопозитивистская концепция науки развёртывалась в рамках типологического способа мысли. Указанный способ подразумевал, что внутри каждой из научно-методологических ориентаций развёртываются различные исследовательские программы, которые при всех различиях едины в фундаментальных принципах в подходе к анализу науки. Методологические концепции науки решают различные задачи, по-разному и зачастую противоположным образом осмысливают структуру и состав научного знания, но, за всем многообразием методологических концепций следует видеть единые ориентации. Эти ориентации связаны не только с углублением самосознания науки, но и с наличием некоторой общей «системы отсчёта».

Одна из особенностей типологического способа мысли заключалась в том, что внимание исследователей направлено на изучение науки как знания в его объективно-идеальном существовании. Знание и его сегменты трактовались как деперсонифицированные образования, как объективно-мыслительные структуры. Отсюда происходит принцип истолкования каждой теории сугубо пропозиционально, как системы истинных и ложных предложений. Проблема взаимосвязи научных дисциплин рассматривалась, при таком подходе, преимущественно как проблема классификации наук, т.е., подчинена исследованию структуры научного знания и его элементов на том или ином этапе развития науки, выявлению расчленённости научных теорий.

Неопозитивистская концепция науки была ориентирована на выявление инвариантных структур единой науки. Эти инвариантные структуры единой науки вначале трактовались как логический язык математики и математической логики, а позднее как язык физики, так называемая программа физикализма. В первом, и во втором случае, многообразие научных дисциплин не рассматривалось в их единстве. Найти за многообразием единство, неизменную инвариантную структуру таково существо программы неопозитивизма.

Цель Венского кружка состояла в том, чтобы образовать единую науку, охватывающую все познанные реальности, без разделения на её отдельные не связанные дисциплины, как например, философия и естествознание, литературоведение и специальные науки. Путь к этому лежал в применении логического метода анализа разрабатываемого в то время в трудах Д. Пеано, Б. Рассела, Г. Фреге, А. Уайтхеда. Такой методологический подход, по мысли указанных и ряда других классиков неопозитивизма, был необходим, во-первых, для того, чтобы элиминировать метафорические проблемы и утверждения как бессмысленные; во-вторых, для того, чтобы прояснить значение понятий и предложений эмпирической науки путём демонстрации их непосредственно наблюдаемого содержания. Ядро программы Венского кружка заключалось в выявлении инвариантной структуры науки, а точнее говоря в создании единой науки с едиными логическими подходами и единым исходным содержанием. При таком методологическом подходе язык математики и бурно развивавшейся в то время математической логики представлялся классикам неопозитивизма доминирующим средством описания единого научного знания, составленного едиными логическими средствами.

В неопозитивистских методологических установках ориентация на выявление унифицированной логической структуры науки исключала анализ реальных единиц науки специальностей, научных дисциплин. Математика, как система описания научного знания рассматривалась лишь как формальная аксиоматика. При этом значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом.

По мысли автора, позитивистские методологические установки построения научного знания, в частности математического, как системы описания результатов полученных естествознанием представлены уже в трудах Р. Декарта.

Автор вкратце определит своё отношение к аксиоматизации и использованию чистого символизма в математических рассуждениях. Математические формулы состоят из символов, отражающих свойства самой математической сущности, о которой идёт речь в формализованном математическом рассуждении. Зачастую под математическим символом скрыто математическое понятие, рождённое в ходе математического рассуждения. Приведём пример числа отношения длины окружности к её диаметру, впрочем, примеров может быть приведено достаточно много. Мастерство математика всегда заключалось в глубине анализа и процедуре вывода, обобщении и формализации результатов исследования. Продуцирование математического знания в значительной степени связано с логическими процедурами анализа, синтеза, дедукции, индукции. Важнейшей особенностью математического понятия, представленного набором символов и математических операторов между ними, отличающей его от понятия эмпирического, является то, что в своей эволюции математическое понятие неизбежно достигает стадии полной логической корректности. К логической корректности отнесём две составляющих, отсутствие противоречивости в определении понятия и отсутствие несогласованности с требованиями аксиоматической теории. Отметим, что эволюция понятия дифференциала и других понятий математического анализа, продолжалась в течение всего XVIII века. Понятия высокого уровня абстрактности в математике всегда обосновывались выработанными положениями целого ряда математических теорий и дисциплин. Одним из источников развития математического знания является необходимость выявления взаимосвязи полученных математических результатов, систематизации, объединения их в теорию, развитие и совершенствование этой теории по формально-логическим законам. Таким образом, аксиоматизация выработанного в Новое время математического знания является необходимой составляющей в его дальнейшем развитии.

В первой половине 20-х годов XX столетия Д. Гильберт, вокруг которого сложилась к тому времени школа последователей, в целой серии работ наметил план исследований в области оснований математики, получивший впоследствии название «Геттингенской программы». В максимально упрощенном виде её можно изложить следующим образом: аксиоматизированную математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:

1. Аксиоматизированная математика является полной, т.е., любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.

2. Аксиоматизированная математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.

3. Аксиоматизированная математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо [3, с. 261-265].

По мысли автора, с философской точки зрения, программа Д. Гильберта это стремление выработать общую методологическую процедуру для ответа на все математические вопросы или хотя бы доказать существование таковой. Д. Гильберт был уверен в утвердительном ответе на все три сформулированные им вопроса. По его мнению, аксиоматизированная математика действительно была полной, непротиворечивой и разрешимой. Оставалось только это доказать. В конце 1920-х годов XX столетия Д. Гильбертом и его последователями были получены доказательства полноты некоторых аксиоматических систем. Полнота аксиоматической системы рассматривалась ими как свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, которое характеризует широту охвата этой теорией определенного направления математики.

Отметим, что в математических теориях, конструируемых на основаниях аксиоматики, значения исходных терминов даны с самого начала, т.е., определенную интерпретацию данной теории заранее полагают фиксированной. В рамках такой теории становятся возможными, во-первых, рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом, во-вторых, рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом должна соответствовать совпадению обоих понятий выводимости и истинности выведенных результатов. Пример аксиоматики такого вида аксиоматика геометрии Евклида.

Согласно установленной методологии школы Д. Гильберта в математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. Система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации. Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являющееся внутренним свойством аксиоматической системы (не зависимым ни от одной из ее интерпретаций). Систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты «удобная характеристика» аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На указанном основании Д. Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости.

Автор убеждён в том, что подход Д. Гильберта лишь в определённой степени относится к конструктивному направлению математики, но всё же, он представитель классической математики. По мысли Д. Гильберта, математический объект существует, если нет противоречий в системе доказательств его существования. В своей трактовке истинности высказывания, истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым, интуиционистская арифметика Д. Гильберта становилась расширением арифметики классической.

Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Д. Гильберт отказался от логицистского тезиса Г. Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Д. Гильберт обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Д. Гильберт поместил в основу доказательства «теоремы о полноте» исчисления предикатов классической логики предикатов (первого порядка). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е., интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р. Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Д. Гильберта надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики [3, с. 257].

Д. Гильберт допускал, что определённые финитные интуитивные рассуждения, иными словами рассуждения о конечных множествах, priori верны. Что же касается трансфинитных понятий математики, понятий о бесконечных множествах, то они являются идеальными конструкциями разума. Обосновать такие идеальные построения становится возможным, если не впадать в противоречия.

По мысли автора задача, поставленная Д. Гильбертом, состояла в том, чтобы актуализировать «ноуменальное» бытие математических сущностей в форме бытия единственно возможного, механически детерминированного, теоретически необходимого. Математическая концепция Д. Гильберта базируется на идеях лапласовского детерминизма. В её основании объяснения механистически-детерминистской картины мира. Существование математического объекта, по Д. Гильберту, это не только его конструирование, но и его непротиворечивость. Отсутствие противоречия больше относится к форме существования математического объекта. Конечное множество должно быть фактически построено. Для его построения должна быть определена рекурсивная функция, как конструирующая процедура.

Говоря об онтологии логической строгости аксиоматизированных систем математики XX столетия невозможно не упомянуть об аксиоматизированной теории вероятностей А. Колмогорова.

А. Колмогоровым впервые, в истории развития теории вероятностей было дано её аксиоматизированное изложение на основании теории множеств и теории меры. Ему удалось создать уникальный подход к понятиям случайного события и случайной величины.

Нет необходимости развёрнуто излагать аксиоматику А. Колмогорова, она представлена в любом современном курсе теории вероятностей. Ограничимся лишь основными положениями.

инновация обучение математический дидактика

Размещено на Allbest.ru