Решение текстовых задач на движение

Размещено на http://www.allbest.ru/

МБОУ "Ханинская СОШ"

Мастер-класс

в целях подготовки к ГИА по математике

"Решение текстовых задач на движение"

Подготовил учитель математики

Кондратьева А.Г.

Ориентированно для учащихся 8-9 классов.

Цель: выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях;

воспитание воли и настойчивости для достижения поставленной задачи; развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;

Ход мероприятия

Решать текстовые задачи вы учитесь ещё в начальной школе.

Каждый ученик в начальной школе должен научиться кратко записывать условие задачи иллюстрируя его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и в её решении, проверять правильность найденного решения.

Однако не все ученики справляются с решениями текстовых задач, так как, не могут чётко представлять себе жизненную ситуацию, отраженную в её условии, не уяснили отношений между данными и искомыми, а поэтому иногда механически манипулируют числами. Одной из основных причин, по которой учащиеся допускают ошибки в решении текстовых задач, заключается в неграмотной организации работы по первичному восприятию ими условия задачи и её анализа, которая проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без её графического моделирования. Для каждого ученика главное - понять задачу, т.е. уяснить, о чём в ней идёт речь, что известно, что нужно узнать, как связаны между данными и искомыми величинами и т. п. Для этого следует применять метод моделирования ситуации, отраженной в задаче. Что же понимается под моделированием задачи? В широком смысле слова моделирование - это замена действий с реальными предметами действиями с их образами, моделями, муляжами, макетами, а также чертежами, схемами и т. п.

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

ь Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче. задача знание моделирование графический

ь Построение схем и составление таблиц.

ь Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях - систем неравенств).

ь Решение полученного уравнения или системы уравнений.

ь Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

Ш Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.

Ш Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.

Ш Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения - (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

Необходимо помнить формулы для нахождения расстояния, скорости и времени при равномерном движении:

S = v*t,

где S - расстояние, v - скорость, t - время;

v = S/t,

где S - расстояние, v - скорость, t - время;

t = S/v,

где S - расстояние, v - скорость, t - время;

При решении задач часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v₁ и v₂. Пусть С - точка встречи, а t - время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем

АС=v₁t, BC=v₂t.

Сложим эти два равенства:

АС+СВ=v₁t+v₂t=(v₁+v₂)t

AB=S=(v1+v2)t

.

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем

АС=v₁t, BC=v₂t.

Вычтем эти равенства:

АС-ВС=(v₁-v₂)t.

Так как АС-ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

.

Задачи-минутки:

Задачка 1. Определите, через какое время встретятся турист и ученик, если скорость туриста на 5 км/ч, а скорость ученика 3 км/ч, а расстояние между ними 16 км

Задачка 2. Определите через сколько времени зомби догонит бабушку, если скорость зомби 6 км/ч, а скорость бабушки 2 км/ч, причем начальное расстояние между ними 8 км.

Задача 1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч - скорость парохода по течению, (х-6,5) км/ч - скорость парохода против течения. Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х-6,5) км/ч, то

ч.

- время движения парохода против течения. Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

ч.

- время движения парохода по течению.

Транспорт	Скорость	Расстояние	Время	Уравнения
По течению	(х+6,5) км/ч	33 км
Против течения	(х-6,5) км/ч	4 км

По условию

решим полученное уравнение



Откуда получаем квадратное уравнение

х²-37х+146,25=0  х₁=4,5 км/ч и х₂=32,5 км/ч

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х 1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задача для самостоятельного решения:

Транспорт	Скорость, км\ч	Расстояние, км	Время, ч	Уравнения
По течению	Х+2	126	126/(х+2)	126/(х+2)+8+126/(х-2)=24
Против течения	Х-2	126	126/(х-2)

Следующая задача на составление системы уравнений из сборника ГИА А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, П.И. Захаров Государственная итоговая аттестация выпускников в новой форме 2013 Математика Москва "Интеллект-Центр"

Задача 2 (№4.1.95 из сборника ГИА-2013)

Теплоход идет по течению реки в 5 раз медленнее, чем катер против течения реки, а по течению катер идет в 9 раз быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз собственная скорость катера больше собственной скорости теплохода?

Транспорт	Собственная скорость	Скорость по течению	Скорость против течения	Соотношения
теплоход	х	x+v	x-v	y-v =5(x+v)
катер	y	y+v	y-v	y+v=9(x-v)

8y=52x

Поделим обе части уравнения на 8x

y=6,5x

Ответ: 6,5

Задача для самостоятельного решения

Транспорт	Собственная скорость	Скорость по течению	Скорость против течения	Соотношения
теплоход	х	x+v	x-v	y-v =2(x+v)
скутер	y	y+v	y-v	y+v=4(x-v)

Ответ: 3 раза

Задача 3. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

Решение:



Отобразим все условия задачи на рисунке.

Заметим, что если время в условии задачи выражено как в часах, так и в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/60 часа=1/15 часа.

Транспорт	Скорость, км/ч	Расстояние, км	Время до встречи, ч	Время после встречи, ч	Уравнения
Поезд А	х	АС=20 СD= AD=
Поезд В	y	BD=

Так как в задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть х км/ч - скорость поезда, вышедшего из пункта А; у км/ч - скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в задаче известно расстояние АC=20 км, выразим время через скорость и расстояние.

- время, за которое поезд из А прошел 20 км.



- время, затраченное поездом из А до встречи в пункте D.

СD=

- расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

Тогда поезд из А до встречи в пункте D прошел

AD= км.

BD= км

- расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

- время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

Так как по условию в пункте D поезда встретились, они затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

.

С другой стороны, выразим время движения поездов после встречи в пункте D.

Так как

,

то

- время движения поезда из В после встречи.

Так как

,

то

- время движения поезда из А после встречи.

По условию

.

Таким образом, мы составили систему двух уравнений с двумя переменными.



Решим систему, для чего из первого уравнения выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

;

.

Решим полученное уравнение

;

;

;

х₁=60; х₂= -600.

Так как х - скорость, то х₂ не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у

.

Ответ: v_A=60 км/ч, v_B=40 км/ч.

Задача № 4.1.97. Непослушный ребенок находится на расстоянии 26 своих шагов. В то время, как он делает своих 4 шага, отец успевает сделать 3 шага. Но отец проходит за 2 своих шага столько же, сколько ребенок за три. Через сколько своих шагов отец догонит ребенка, убегающего от отца?

Схема решения:

1. выразить одни единицы измерения через другие, зная их соотношение.

2. определить скорость движения каждого

3. решить задачу на сближение по общей схеме

	Скорость	Время	Расстояние	Кол-во шагов
отец	3ш.о./ед.в=4,5 ш.р./ед.в		26 шагов ребенка
ребенок	4ш.р./ед.в		26 шагов ребенка
сближение	0,5 ш.р./ед	26:0,5=52(ед)		3*52=156(ш.о)

Решение:

Т.к. расстояние, пройденное отцом за 2 шага равно расстоянию, пройденному ребенком за 3 шага, то 1 шаг отца равен 1,5 шагам ребенка.

Поэтому скорость ребенка равна - 4ш. р. /ед.в, скорость отца 3*1,5=4,5 (ш. р./ед.в), а скорость сближения равна 4,5-4=1,5(ш.р.). Время, в течение которого отец догонит ребенка равно 26:0,5=52(ед.в), а расстояние в шагах отца 3*52=156

Ответ: 156

Итоги мастер-класса

1. Повторили табличный способ систематизации данных задачи, при необходимости дополненный рисунком.

2. Отработка навыков по созданию математической модели ситуации, описанной в условии задачи.

3. Еще раз обратили внимание на то, что задача решается в единой системе измерений.

4. Отметили, что если уравнение, составленное к задаче, имеет два корня, то полученные решения требуют смысловой проверки.

5. Обратили внимание на то, что нельзя решать задачу "автоматически"; необходимо, прежде всего внимательно ее прочитать, оценить в каких единицах измеряется каждая величина, данная в задаче, как эти величины связаны между собой и той величиной, которую следует найти, и только после этого, выбрав способ решения, приступить к самому решению.

Размещено на Allbest.ru