Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Методические основы школьного курса преподавания математики

Методические основы школьного курса преподавания математики

Применение логики математических предложений в школьной математике. Основные методы доказательств, методика их изучения в курсе преподавания этого предмета. Логические подходы к введению основных понятий, процессу решения систем уравнений и неравенств.

Рубрика Педагогика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 07.06.2013
Размер файла 157,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

математика школьный преподавание

Актуальность темы. Одной из основных задач обучения математике является задача развития логической культуры учащихся средней школы. В последние годы, как показывают результаты выпускных экзаменов в школе, уровень логической культуры выпускников значительно снизился. Это проявляется в том, что учащиеся:

ь слабо ощущают логическую структуру математических предложений;

ь имеют весьма смутные представления о типах математических определений и методах доказательств.

Причины этого связаны с тем, что как в логической подготовке учителя математики, так и в развитии логической культуры учащихся, есть существенные недостатки.

Всё выше сказанное определило выбор темы дипломной работы, цель и задачи исследования.

Цель - выявить и раскрыть логические основы школьного курса математики, на базе которых формируется логическая культура учащихся.

Основные задачи:

1) выявить и раскрыть логику математических предложений в школьной математике.

2) Раскрыть логическую основу основных методов доказательств и методику их изучения в школьной математике.

3) Раскрыть логические подходы к введению основных понятий (уравнение, неравенство, тождество).

4) Раскрыть логику процесса решения систем уравнений и неравенств.

5) Разработать спецкурс «Элементы математической логики» для учащихся X- XI классов.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

а) изучение и анализ научно - методической литературы по теме курсовой работы; анализ содержания школьных учебников;

b) наблюдение учебного процесса в школе;

c) изучение уровня логической подготовки учащихся X - XI классов.

Цели и задачи исследования определили структуру курсовой работы. Она состоит из введения, главы, заключения и списка литературы.

В главе рассмотрена логическая структура математических предложений; логическая основа методов доказательств (метода «от противного» , метода математической индукции); раскрыта логика различных подходов к введению понятий «уравнение», «неравенство», «тождество».

Содержание курсовой работы представляет определенный интерес для студентов, изучающих методику преподавания математики в школе и учителей старших классов.

Глава 1. Логическая структура языка школьной математики

§1. Логическая структура математических предложений в школьной математике

математика школьный преподавание

Математический язык является искусственным. Он возник под влиянием потребностей математики в точных, ясных и сжатых формулировках, как результат совершенствования естественного языка по трем направлениям:

a) устранения громоздкости,

b) устранение омонимии (многозначности),

в) расширение выразительных возможностей.

Устранение громоздкости языка связано с широким использованием символики, специальных математических знаков и соглашений о правилах пользования этими знаками. Каждый знак математического языка (цифра, буква, знак операции или отношения) обозначает понятие, которое в естественном языке выражается словом или совокупность слов.

При изучении математики в школе наряду с обычными предложениями, записываемые с помощью букв русского алфавита и знаков препинания, используется ряд специфических знаков. Из них можно выделить некоторое множество основных знаков, образующих алфавит языка школьной математики. Эти знаки по аналогии со знаками алфавита естественного языка будем называть буквами. Из этих букв составляются знакосочетания, называемые словами языка школьной математики, а из слов - предложения этого языка.

Специфические для языка школьной математики знаки можно классифицировать следующим образом:

1. Имена предметов, называемые иначе предметными постоянными.

2. Предметные переменные, принимающие значения из некоторых множеств предметных постоянных.

3.Функциональные буквы, служащие для обозначения различных отображений.

4.Предикатные буквы, служащие для обозначения различных соответствий и отношений.

5.Знаки препинания, скобки и точки.

Для теории множеств предметными постоянными являются: 1.Обозначение конкретных множеств, в частности обозначения N, Z, Q, R, R?+, R2, С, ]а;b [, [а; b[, и т.д. А также обозначения o для пустого множества, U для универсального множества.

2.Обозначение конкретных элементов множества. Сюда относятся также обозначения (а; Ь) для упорядоченной пары элементов и т.д. Предметными переменными в теории множеств являются: 1.Обозначения произвольных множеств из некоторой совокупности множеств. 2.Обозначения произвольных элементов данных множеств. Функциональными буквами в теории множеств являются: 1.Обозначения булевых операций: ?, \, U, ?.

2.Обозначения ? и П для операции декартова произведения множества.

Обозначение f: А > В для отображения f множества А в множество В.

Предикатными буквами в теории множеств являются:

1.Обозначение = для равенства множеств.

2.Обозначения для включения множеств.

3.Знак ? принадлежности элемента множеству.

4.Знаки ?, ? для отрицания указанных отношений и соответствий.

В школьной математике не употребляются обозначения математической логики, хотя соответствующие понятия, по сути дела, употребляются. Отметим те знаки математической логики, которые заменяются в школьной математике словами.

Предметными постоянными являются обозначения конкретных высказываний, а также обозначения «И» и «Л» для заведомо ложного и заведомо истинного высказывания.Функциональными буквами в математической логике являются обозначения логических операций: |, --, >,-, &, V, ¬. Особым видом функциональных букв являются кванторы существования и всеобщности.

Предикатными буквами в математической логике являются => и <=>, обозначающие логическое следование и логическую эквивалентность (вместо <=> пишут также ?).

Отсутствие же в школьной математике принятых в современном математическом языке специальных обозначений для кванторов общности и существования представляет собой неудобство, приводя к значительному удлинению записей без того, чтобы сделать их более понятными. В частности, затрудняется корректное определение понятия тождества.

В школьной алгебре мы имеем дело с операциями над числами и с отношениями между ними. Этим и определяется алфавит школьной алгебры. Для обозначения чисел в десятичной системе счисления нужны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и знак для разделения целой и дробной части (запятая или точка), а также знак « - » (минус) для обозначения отрицания.

В качестве числовых переменных применяют строчные буквы латинского алфавита (а, b, с, d,..., x, у, z), а также буквы этого алфавита с индексами: х1 а3 и т.д. функциональными буквами в школьной алгебре являются знаки операций: +, -, *, /.

Наконец, в школьной алгебре применяются предикатные буквы =, >, < и «знаки препинания» - скобки и точки.

Из перечисленных выше «букв», то есть знаков математического языка, по определенным правилам строятся выражения, имеющие определенный смысл и значение. Эти выражения разделяются на формулы и термы в зависимости от того, входят в них или нет предикатные буквы. Определение1. Термами в школьной алгебре являются:

1.Все имена чисел и числовых переменных (такие термы называются элементарными);

2. Выражения вида (А) + (В), (А) - (В), (А) * (В), (А) / (В), где А и В - термы.

3. Термов иного вида не бывает.

Чтобы не писать слишком много скобок, условимся опускать скобки, содержащие лишь имя числа или числовой переменной. Например, (3) + (f) будем писать 3 + f

Различные аспекты, связанные с интерпретацией выражений, с их смыслом, отношением к предметной области, обычно называют семантикой этих выражений.

В различных контекстах используются разные семантики арифметических выражений, заметив, что ему соответствует либо число, либо функция, определенная в некоторой области значений переменных. При такой семантике, которую можно назвать функциональной, приходится считать эквивалентными многие выражения, имеющие совершенно различный вид, например такие, как (а + b)(а -- b) , а2 -- b2 и а2 + 2с -- b2 -- с -- с. Кроме того, можно либо требовать, чтобы имена переменных совпадали, либо отказаться от этого требования и считать, что выражения а + b и х + у задают одну и ту же функцию переменных. Разумеется , можно было бы считать, что два выражения совпадают, если они описываются одним и тем же знакосочетанием. Тогда выражения (а) + (b), а + (b) и а + b имели бы разный смысл. Это определение еще менее удобно, так как в нем учитывается все даже лишние скобки.

Компромиссом между этими подходами является подход, при котором два выражения эквивалентны, если они дают одну и ту же программу вычисления, при этом выражения (а + b) + с и а + (b + с) считаются различными.

При установлении эквивалентности выражений часто используются приведение этих выражений к стандартному виду - два выражения, имеющие один и тот же стандартный вид, эквивалентны. Однако, такой стандартный вид не всегда существует.

Мы подвергли синтаксическому и семантическому анализу термы школьной алгебры (арифметические выражения). Два арифметических выражения, соединенные знаком отношения (равенства или неравенства), образуют формулу, например (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, х2 - 6х + 5 = 0, х2 -- 4 < х + 3,8-9>5+6и т.д. Если формула не содержит переменных, то она является высказыванием о числах (которое может быть как истинным, так и ложным).

Например, высказывания 3 + 5 = 8, 8 - 6< 5,13 + 2? 4 + 10 истинны, а высказывания 3 + 5 < 8,8 6>5,13 + 2 = 4 + 10 ложны. Если же формула содержит переменные, то она является высказывательной формой. Задача отыскания множества истинности этой формы называется в школьной математике задачей о решении уравнения или неравенства. Включая в язык школьной алгебры логические операции дизъюнкции и конъюнкции, получаем возможность записывать и системы уравнений, а также более сложные задачи об уравнениях и неравенствах: например, (х + у = 5) & (х2 + у2 = 13) - система уравнений; (х + у < 5)&(х2 + у2 > 13) - система неравенств и т.д.

Термами и формулами исчерпываются выражения языка школьной алгебры.

Всякое математическое предложение состоит только из математических и логических терминов или заменяющих их символов. Математические термины (или символы) обозначают объекты, изучаемые математической теорией, которой принадлежит данное предложение. Логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из математических терминов образуются предложения и из одних предложений конструируются другие предложения.

Математические предложения часто формируются в виде импликаций.

Если импликация р ? q выражает некоторую теорему, то основание р называется условием, а следствие q - заключением теоремы.

Для импликации р ? q (1) определим еще три импликации следующим образом:

1) если в (1) поменять местами основание р и следствие q, получим предложение q ? р, (2) называемое обратным по отношению к предложению (1).

2) Если в (1) заменить р и q своими отрицаниями ?p и ?q соответственно, получим р ? q, (3) называемое противоположным по отношению к предложению (1).

3) Если в (1) произвести одновременно преобразования, указанные в 1) и 2), получим предложение q ? р, (4) называемое контрапозитивным (противоположно - обратным, или обратно - противоположным) по отношению к предложению (1).

Нетрудно заметить, что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны:

р ? q ? q ? р; q ? р ? р ?q (эти равносильности выражают закон контрапозиции, на котором основано правило контрапозиции).

§2. Логическая основа методов доказательств в школьной математике.

Требование всякой задачи на доказательство состоит в том, чтобы доказать некоторое сформулированное в задаче утверждение. А что это значит?

В жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. Но в науке проверка и доказательство - это разные вещи, хотя, конечно, и связанные между собой. Слово «доказательство», как и слово «рассуждение», применяется в обыденной речи в весьма широком и недостаточно утонченном (расплывчатом) смысле.

Вообще, доказать какое-либо утверждение-это значит показать, что это утверждение является логическим следствием системы уже доказанных и принятых в науке утверждений (или, как говорят, некоторой теории). Каждый шаг доказательства обычно имеет такую структуру: 1) доказанное раннее или принятое утверждение; 2) условие задачи; 3) логическое следствие из применения этого общего утверждения к данному условию задачи. Доказательство, построенное из таких шагов, можно назвать прямым доказательством. Решение задач на доказательства обычно оформляют в виде прямого доказательства. Но найти прямое доказательство сразу, как правило, не удаётся. Процесс нахождения доказательства строится обычно в обратном порядке, идя не от условий к требованию, а, наоборот, от требованию к условиям.

К прямым приёмам доказательства относятся:

1 .Прием преобразования условия суждения (синтетический).

2. Прием преобразования заключения суждения:

а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ);

б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

Метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредствам опровержения противоречащего ему суждения) относится к косвенным приемам поиска доказательств.

При доказательстве методом «от противного» мы опираемся и на условие теоремы и на предложение, «противное» тому, что надо доказать. В общем виде теорема выглядит так:

?x ? М, Р(х) ? (?x ? М)(А(х) > В(х)),

где (?x ? М) -- разъяснительная часть;

А(х) - условие;

В(х) - заключение.

Строим отрицание:

(?х ? М)(А(х) > В(х)) ? (?х ? М)(А(х)&В(х)).

Для того, чтобы опровергнуть (доказать ложность) всеобщего

условного предложения достаточно найти такой элемент, при котором

условие предложения будет истинно, а заключение - ложно.

Сформулированное правило называется правило контрпримера.

Допустив противное мы можем прийти к противоречию с каким-либо

верным утверждением (с аксиомой, теоремой), к противоречию с условием

теоремы или прийти к нелепому выводу, например: а > а.

Пример.

Доказать, что - иррациональное число.

Доказательство. Допустим противное: - рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби где m и n целые числа.

Возведем предполагаемое равенство в квадрат: = ? 2 = ?

т2 = 2п2. Отсюда следует, что т2 четно, значит четно и т; следовательно, делится на 4, а значит, n2 и n тоже четны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби Значит, исходное предположение

было неверным и - иррациональное число.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях вывод из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждении, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем: Если предложение А(n):

1) справедливо (истинно) при n = 1;

2) из предположения, что это предложение при n = к, следует истинность этого предложения и при следующем значении n, то есть при n = k + 1 ,то предложение A(n) истинно при всех натуральных n.

Метод математической индукции основан на следующем логическом законе, который мы запишем в предикатной форме.

Пусть дано множество М - множество натуральных чисел.

P(l)& ? k ? N, (Р(k) Р(k + 1))

? n ? N, P(n).

На практике этот логический закон формулируется в виде следующего правила: «Если некоторое утверждение, зависящее от натурального числа n,

будет истинно при n=1 и из предположения истинности его при n=k, будет следовать n=n+1, то это утверждение будет истинно для любого п из множества натуральных чисел».

Это правило в свою очередь позволяет выделить основные шаги алгоритма действий при решении конкретных задач. Он описан выше.

Многих учащихся смущает сложность этой аксиомы, ее недостаточная очевидность. Поэтому покажем, что эту аксиому можно доказать, как теорему, приняв за аксиому более простое и более очевидное положение, а именно следующую.

Аксиома наименьшего числа: в любом множестве натуральных чисел всегда имеется наименьшее число.

Смысл этой аксиомы состоит в том, что, какое бы множество натуральных чисел ни рассматривать, в нем обязательно найдется такое число, которое меньше всех остальных чисел этого множества. Известно, что какое бы множество натуральных чисел ни рассматривать в нем обязательно найдется такое число, которое меньше остальных чисел этого множества.

Известно, что множество натуральных чисел N имеет наименьшее число - это 1. Аксиома наименьшего числа утверждает, что таким свойством обладает не только множество N, но и любое его подмножество.

Заметим, что для других видов чисел указанная аксиома неверна. Например, если рассматривать множество рациональных чисел, то среди этих чисел, больших 2 (х>2), нет наименьшего, ибо, какое бы рациональное число, больше 2, мы не взяли, всегда найдется другое рациональное число, тоже больше 2, но меньше первого. Например, число 2,00001 больше 2, но число 2,000001 тоже больше 2, но меньше первого и т.д.

На основе указанной аксиомы можно доказать следующую теорему:

Теорема о принципе математической индукции: если некоторое предложение А(n) верно при n =1 и из предположения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k + 1, то предложение верно при всех n ? N

Доказательство.

Будем вести доказательство методом от противного. Нам нужно доказать, что предложение А(n) верно (истинно) при всех натуральных п. Допустим противное, то есть допустим, что А(n) верно при всех значениях п. Значит, существует множество натуральных чисел, при которых А(n) ложно. В этом множестве согласно аксиоме наименьшего числа имеется наименьшее, пусть это будет т. Так как при n = 1 А(n) по условию теоремы истинно, но m > 1. Следовательно, существует натуральное число, предшествующее числу m, то есть m-1 есть натуральное число. При этом предложение А(n) при n=m-l уже должно быть истинно. (Ведь по условию, предложение А(n) ложно в множестве натуральных чисел, в котором есть наименьшее число. Значит, вне этого множества, а значит, и при m-1 предложение А(n) должно быть истинно).

Но по условию, если предложение А(n) истинно для какого-либо натурального числа, то оно истинно и для следующего. Для числа m - 1 это предложение истинно, следовательно, оно должно быть истинно и для числа т. Получим, что предложение А(n) при n = m ложно. Получим, что предложение А(n) при n = m и истинно, и ложно, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что наше предположение о том, что существует значение п, при котором А(n) ложно, неверно, следовательно, А(n) истинно при всех натуральных п.

Теорема доказана.

Пример.

Доказать, что

Решение:

1. При n= 2 тождество выглядит так

3) Предположим, что выражение верно при n=k

4) Докажем верность выражения при п = к + 1

Мы доказали справедливость равенства и при п = k + 1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого n > 2.

§3. Логические подходы к введению и процессу решения базовых понятий школьного курса математики

Пропедевтика (начальная подготовка) тождественных преобразований, понятий уравнения и неравенства ведется уже в начальной школе. Тождественные преобразования числовых выражений, простейшие уравнения и неравенства являются, по сути, элементами алгебраического материала, использование которого в начальной школе способствует материальной подготовке учащихся. Происходит обобщение знаний о числах и свойствах арифметических действий, что являются основным содержанием курса математики начальной школы.

Тождественные преобразования используются, в частности, при развитии вычислительных навыков учащихся при устном и письменном счете. Применяются коммутативный и ассоциативный законы сложения и умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Алгебраические законы действий рассматриваются в начальной школе в виде правил: сложение числа с суммой (разностью) и вычитание из числа суммы (разности): а ± (b ± с); сложение числа с суммой: (b + с) + а; сложение двух сумм (разностей) или их вычитание:(а b) (с d); умножение и деление числа на произведение:a; порядка действий со скобками и без скобок.

Первое тождественное преобразование ученики совершают, когда заменяют арифметическое действие его результатом (например, 2 + 1 = 3). Простейшие уравнения, с которыми встречаются младшие школьники, это числовые равенства с окошечками вида 2 + ? = 3. Ученики решают такие уравнения, исходя из зависимости между компонентами и результатами действий. Находя неизвестное число, учащиеся осознают, что значит решить уравнение (найти число, при подстановке которого в окошечко получаем верное равенство). С числовым неравенством школьники также встречаются на первых страницах учебника математики, решая задачи типа: поставить знак « > », « < » или « = » вместо звездочки в запись 2 * 1 и ей подобные. Неравенства с переменной тоже выглядят как неравенства с окошечком, например, 2 + ? > 3. Ученики подбором находят числа, подстановка каждого из которых приводит к верному числовому неравенству. Рассмотренные простейшие случаи дают возможность формировать правильные представления у учащихся о тождественных преобразованиях выражений, об уравнениях, неравенствах и их решениях. В V классе продолжается знакомство учащихся с уравнениями и неравенствами, в процессе решения которых используются тождественные преобразования. Целесообразно предлагать пятиклассникам как можно большее число разнообразных упражнений. Внеурочная работа по математике создает для этого дополнительные возможности.

Приведем задачи для внеурочных занятий по математике в V классе с целью пропедевтики понятий тождественного преобразования, уравнения, неравенства.

Задача1.

Найдите сумму всех однозначных чисел самым легким способом. Слова «самым легким способом» в условии задачи заставляют детей заняться поиском нового способа нахождения суммы в отличие от последовательного сложения чисел. Для этого им приходится вглядеться в приведенный ряд

слагаемых, чтобы установить закономерность: суммы равноудаленных от концов ряда чисел одинаковы:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10

(если дети не видят этого, то учитель с помощью вопросов подводит их к нужному выводу). Отсюда способ быстрого и легкого нахождения искомой суммы:

Затем учитель с учащимися обосновывают каждый шаг решения.

Задача2.

Сколькими способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных чисел? (Порядок не учитывать).

Эту задачу решить ученики сначала затрудняются. Учитель должен переформулировать ее: сколько пар четных чисел, меньших 50, в сумме дают 50? Какие это пары?

Дети рассуждают следующим образом: 0, 2, 4, 6, 8, ..., 48, 50 - чисел 26, пар 13, значит, 13 способов.

В процессе решения этой задачи учащиеся приобретают умение наблюдать, устанавливать закономерность, обобщать, использовать данный метод в другой ситуации. При этом они убеждаются, что буквенный перенос способа деятельности не всегда приводит к цели, не всегда возможен. Их поиски обогащаются видоизмененным методом. Таким образом, при переходе от задачи к задаче учащиеся приобретают навыки самостоятельного поиска путей решения, творческого подхода к делу, так как дополнительный шаг к получению решения задачи по сравнению с предыдущей небольшой и вполне им доступен.

ЗадачаЗ.

В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Решая эту задачу, учащиеся вместе с учителем отыскивают способ получения результата. Замечают, что только с помощью сложения и вычитания чисел 1, 2, 3, 4, 5 получить 100 не удается, так как сумма их всех равна 15 < 100, значит, надо использовать операцию умножения. Учитель предлагает изучить структуру числа 100. Получают, что 100 это 2 2 5 5 = 455; сравнивая с записью 1*2*3*4*5 выражение 455, дети формируют ключевую задачу, которая составляет к тому же часть данной задачи: число 5 записать с помощью чисел 1, 2, 3. Составляют возможные комбинации. Их две: 5 = 1 (2 + 3) или 12 + 3; отсюда искомый результат: 100 = 1 (2 + 3) 4 5 или 100 = (1 2 + 3) 4 5

При усложнении задачи детям приходится рассматривать больше вариантов. Эта работа способствует развитию комбинаторного мышления. Простейшие уравнения, решаемые на основе зависимости между компонентами арифметических действий, учащиеся получают, дополняя отсутствующие цифры. (Например, 7 - ? = 7, ? - 2 = 2, 3 - ? = 1 и т.д.), заменяя звездочки цифрами (например, * +2 = 4, 1 +*= 5 и т.д.). К более сложным уравнениям учащиеся приходят, занимаясь заполнением магического квадрата (например: 612 + 198 + ? = 1000, 1000 - (198 + 252) = ? и т.д.), или выполняя составное арифметическое задание (например: 25 + 13 + ? = 45, 13 + 19 + ? = 45 и т.д.). Некоторые задачи требуют более творческого подхода . При их решении учащимся приходится обратиться к свойствам чисел и получаемых сумм. При этом очень важно попросить учащихся объяснить свои рассуждения.

В процессе решения приведенных задач актуализируются знания учащихся, мобилизуется их внимание, активизируются математические способности, что показывает опыт, ведет к формированию творческих начал пятиклассников. Среди математиков и методистов велись и ведутся споры по поводу трактовки понятия уравнения. Часто уравнение рассматривается как аналитическая запись задачи об отыскании совокупности тех значений переменных, при которой выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, принимают равные значения. Такой подход несколько суживает использование понятия уравнения. Термин «уравнение» мы часто употребляем, не связывая его с задачей отыскания решений. Так, мы говорим об «уравнении касательной», об «уравнении движении точки» и т.п. поэтому более удобной нам представляется точка зрения, которая проводится в действующих учебниках с IV класса: под уравнением понимается всякое равенство, содержащее переменные. Примерами уравнений могут служить равенства: х + 4 = 5, (х + 2)2 = х2 + 4х + 4, x + у = у + x, s = v t.

Уравнения и неравенства с переменными мы можем рассматривать как частный вид предложений с переменными. Поясним эту мысль подробнее.

Рассмотрим равенства и неравенства 3 + 5 = 8, З3 = 10 - 2,

3 ? ? + левая и правая части которых представляют собой числовые

выражения, имеющие смысл. О каждом из них можно сказать, является ли оно истинным или ложным. Поэтому числовые равенства и неравенства, в которых левая и правая части есть выражения, имеющие смысл, можно

рассматривать как высказывания.

Уравнения х + 6 = 8, = х + 4, неравенства с переменными > 2,

х2 < у2 не являются высказываниями. Если в уравнение (неравенство) с одной переменной подставить вместо переменной такое ее значение, при котором обе части уравнения (неравенства) имеют смысл, то получится числовое равенство (неравенство), истинное или ложное. Аналогично обстоит дело с уравнениями и неравенствами с несколькими переменными. Здесь речь будет идти о подстановке некоторой совокупности значений переменных (пары, тройки и т.п.). Таким образом, каждое уравнение или неравенство с переменными представляет собой высказывательную форму, которая при определенных значениях переменных обращается в истинное

или ложное высказывание. Такие высказывательные формы иначе называются, как известно, предложениями с переменными.

Значение переменной, при котором уравнение (неравенство) с одной переменной обращается в истинное числовое равенство (неравенство), называется его решением. Решение уравнения с одной переменной принято называть корнем уравнения.

Аналогично определяется решение уравнения (неравенства) с несколькими переменными: это совокупность значений переменных, обращающая уравнение (неравенство) в истинное числовое равенство (неравенство).

Решить уравнение (неравенство) - значит найти множество его решений.

Трактовка уравнений и неравенств с переменными как особого вида предложений с переменными позволяет внести четкость в трактовку ряда других понятий. Так, система уравнений или неравенств с переменными есть не что иное, как особый вид конъюнкции предложений с переменными. Из условия истинности конъюнкции получается, что решениями системы служит значение переменной (совокупность значений переменных), которое каждое уравнение или неравенство системы обращает в истинное высказывание, т.е. что множество решений системы есть пересечение множеств решений, входящих в неё уравнений или неравенств.

Предложение, составленное из уравнений и неравенств с помощью связки «или», представляет собой частный вид дизъюнкции предложений с переменными. Такие предложения иногда называют «совокупностями» уравнений или неравенств. Из условия истинности дизъюнкции предложений с переменными вытекает, что решением дизъюнкции уравнений и неравенств является значение переменной (совокупность значений переменных), при котором хотя бы одно из входящих в неё уравнений или неравенств обращается в истинное высказывание, а другие имеют смысл. Отсюда получается, что если уравнения и неравенства, входящие в дизъюнкцию, имеют смысл при всех значениях переменных, то множество решений дизъюнкции есть объединение множеств их решений. Если же дизъюнкция определена не при всех значениях переменных, то из этого объединения надо исключить те значения, при которых хотя бы одно из уравнений или неравенств, входящих в дизъюнкцию, не имеют смысла.

Приведем примеры.

1. Множество решений системы:

x > 5

x > 3

есть пересечение множеств решений неравенств х > 5 и х > 3, т.е. пересечение числовых промежутков, ]5; +?[ и, ]-?; 3[. Таким пересечением служит пустое множество.

2. Множество решений дизъюнкции «x > 5 или х < 3» есть объединение множеств решений неравенств х > 5 и х < 3, т.е., ]5; +? [ [-3; 3[.

Из всех вопросов школьного курса математики учение об уравнении занимает наиболее важное место. Действительно, учение об уравнениях непосредственно связано с учением о функциях, оно помогает ученикам понять зависимость между величинами, характеризующими различного рода явления реального мира, и выражения этих зависимостей.

Решение их позволяет конкретно применить тождественные преобразования; уравнения дают обучающимся наиболее рациональный метод решения задач с конкретным содержанием и позволяют обобщить приёмы решения ряда типовых задач.

Решение задачи с помощью составления уравнения требует от ученика рассуждений, сообразительности и прежде всего общего развития учеников, запаса жизненных представлений, то есть умения представить конкретную ситуацию, изложенную в условии задачи.

В решении задачи методом уравнений ученики часто могут идти различными путями и проявить творческую инициативу, изобретательность. Теоретическая и практическая ценность этой темы отражена в учебном плане по математике.

Современные программы по математике предусматривают решение простейших уравнений в V классе, с использованием известных ученикам зависимостей между компонентами четырех арифметических действий.

«Решение уравнений первой степени с одним неизвестным» лучше всего начинать с изучения вопроса о равенствах. Следует обратить внимание учеников на то, что им приходилось много раз встречаться с такими формулами, в которых два алгебраических выражения соединены знаком равенства.

Два алгебраических выражения, соединенные знаком равенства, принято называть равенством. Примерами могут служить следующие равенства:а(b + с) = ab + bc;

30 - 12 = 18; 3а + 4 = 2а + а + 4.

Равенства, в которых содержаться только известные числа, называются численными или арифметическими.

Для проверки арифметического равенства проводят вычисления левой и правой частей равенства. Полезно привести примеры, в которых требуется сделать сложные вычисления для проверки справедливости равенства.

Примеры:

Затем следует показать ученикам, что совсем иначе обстоит дело с равенством, содержащим буквенные выражения; такие равенства могут оказаться верными при одних значениях букв и неверными при других значениях букв, входящих в равенство.

Примеры:

1. 4а + b = 2b + а верно при а = 1, b = 3 и неверно при а = 2, b = 3.

2. х + 13 = 27 верно при единственном значении х = 14, но неверно при всех других значениях.

Иногда можно получить равенство, которое становится бессмысленным при некоторых значениях букв, входящих в него.

Так, ах + 3 = 27 теряет смысл при а = 0, так как 0 * x+3?27ни при каком значении х.

Далее следует остановить внимание учеников на равенствах, верных при любых значениях входящих в них букв; такие равенства называются тождеством. Примеры следует привести в первую очередь из ряда арифметических знаков, например: а - b - с = а - b + с; (а - b)с = ас - bc и др.

Надо отметить, что арифметические равенства представляют тождества.

После этих рассуждений можно ввести понятие об уравнениях.

Но прежде всего необходимо установить, что мы сами понимаем под уравнением и как подвести учеников к этому понятию. Существует три отличающихся друг от друга определения:

1) уравнение рассматривается как равенство, справедливое при некоторых значениях входящих в него букв.

2) Уравнение рассматривается как любое равенство, в котором одно или несколько чисел, выраженных буквами, считаются неизвестными, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными.

3) Уравнение определяется так: вопросительное предложение о том, существуют ли такие значения неизвестной величины, при которых одно выражение равно другому; если существуют, то одно ли, если не одно, то сколько и какие.

На первый взгляд, простейшее из указанных определений - первое, казалось бы самое доступное для понимания учащихся, но оно оказывается узким, не охватывает всего объема этого понятия.

Ведь понятие уравнения в современной жизни находит многообразные применения: при помощи уравнения выражаются зависимости между

величинами и значениях одних величин находятся по значениям других величин, в виде уравнений записываются многие законы физики, химии, техники, при помощи уравнений задаются кривые и т.д.

Кроме этого, указанная трактовка уравнения никак не связывает понятие уравнения с понятием функции.

Второе определение отражает научную трактовку уравнения, а именно, что уравнение - «равенство между значениями двух функций того или иного числа неизвестных величин», причем в частных случаях одна из функций может равняться постоянному числу.

Третье определение указывает на вопросительный характер равенства, подчеркивая противоположность такого рода равенства тождеству как утвердительному равенству. Но в этой трактовке смешивается понятие уравнения с понятием о решении уравнения. К тому же не всегда можно определить характер равенства заранее и, таким образом, отнести равенство к уравнению или тождеству.

Ученики должны быть подведены ко второму определению понятия уравнения.

Однако учащиеся первоначально знакомятся с понятием уравнения при решении задач, в которых приходится отвечать на некоторый вопрос, поставленный в условии задачи, и поэтому на первом этапе изучения уравнений целесообразно показать вопросительный характер равенства.

В дальнейшем изучении математики понятие уравнения должно уточняться и расширяться: в связи с изучением законов физики ученики знакомятся с выражением зависимости между физическими величинами, при изучении функции и их графиков учащиеся видят, что равенства, содержащие известные (переменные) величины, могут служить средством задания функций и изучения свойств функций. Таким образом, ученики, окончив школу, получат достаточно широкое представление об уравнении, необходимое им в общем комплексе знаний по основам наук, таких знаний, которые будут нужны им в практической жизни.

К определению уравнения нужно подвести учеников постепенно, расширяя это понятие, но учитель должен заранее знать к чему он ведет их, поэтому он должен выбрать ту или иную точку зрения на уравнения и придерживаться ее. От выбранной точки зрения будет зависеть подготовительная работа, которую учитель будет вести с учениками V и VI классов в плане пропедевтики темы «Уравнения».

Я рекомендую второе определение уравнения. В классе, где ученики впервые встречаются с термином «уравнение», следует дать определение уравнению с одним неизвестным. (Равенство, в котором одно число, выраженное буквой, считается известным, называется уравнением с одним неизвестным).

Понятие об уравнении проще всего устанавливается при решении задач. При согласованной работе учителя математики с учителем начальных классов представление об уравнении можно создать очень рано. Так, при решении примеров на вычитание различных компонентов действий полезно придавать записям такой вид: х + 5 = 7, 36 ? x = 4, 27 - х = 13, x ? 6 = 9 и читая эти условия в форме вопроса, например: к какому числу надо прибавить 5, чтобы получилось 7? Какое число надо разделить на 6, чтобы получилось 9?

В V классе решаются примеры, которые представляют собой простейшие уравнения, например: 4,75 + х + 5,05 = 24,1, а - (4,6 - 0,9) = 10.

В IV и V классах некоторые задачи, особенно типовые, иногда решают с введением обозначения неизвестной величины буквой, например х, что уже представляет собой скрытое решение уравнений.

Разберем в качестве примера такую задачу. «В двух ящиках 126 яблок. В одном на 24 яблока больше, чем в другом. Сколько яблок в каждом ящике?»

Решается эта задача заменой или предположением, но оформить решение можно так, что получим уравнение:

Всего яблок х + (х + 4) = х + х + 24 = 2х + 24. В общее количество яблок входит удвоенное количество яблок из первого ящика и еще 24 яблока; все это количество составляет 126 яблок. Значит, 2х + 24 = 126. Удвоенное количество яблок из первого ящика равно: 2х = 126 - 24; 2х = 102 (яблока), А количество яблок в первом ящике равно: х = 102 + 2 = 51 (яблоко). Количество яблок во втором ящике равно: х + 24 = 51 + 24 = 75 (яблок).

В IV и V классах нельзя обращать решение полученного «уравнения» в механизм с таким рассуждением, что 2х = 126 - 24, отсюда х = 102 ? 2 = 51, т.е. отвлекаться от смыслового значения выражения 2х и х, или пользоваться механически зависимостью между компонентами действий (что вообще в простейших случаях не исключено даже и в этих классах, но обычно вводится в VI классе, когда ученики будут иметь первоначальное понятие об уравнении).

В V классе для ознакомления с уравнением следует использовать и геометрический материал: задачи, связанные с нахождением площадей прямолинейных фигур - прямоугольника и треугольника, площади поверхности и т.д.

Как уже было сказано, в V классе нет надобности даже вводить термин «уравнение», а ограничится термином «равенство».

Некоторые учителя в процессе решения уравнений обращают внимание

на то, что простейшие рассуждения приводят всегда к «перемещению»

членов уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, и в дальнейшем этим пользуются механически, не затрагивая вопроса о свойстве уравнения. Механический перенос членов уравнения освобождает от утомительных рассуждений и может быть введен в VI классе.

Дальше остается тренировать учащихся в решении уравнений и задач на составление уравнений, не усложняя чрезмерно условий задач, но усложняя задаваемые уравнения соответственно изучаемым тождественным преобразованиям. Следуя этому принципу, мы получим примерно такую последовательность простейших уравнений:

х +3 = 7; 3х = 9; 2х + 3 = 13; 8 - 6х = 10;

5х - 4 = 11 и т.д.

Уравнения, связанные с привидением подобных членов:

5х + 2х = 14; 8 -7х - 34 = 30;

5у + 7 - 8у + 6у + 3 = 13 и т.д.

Уравнения, связанные со сложением многочленов:

(Зх + 8) + (2х - 5) = 13; х + (х - 8) = 16;

Зх - (х - 4) = 42 и т.д.

Уравнения, связанные с умножением многочленов:

(3х+2)(2х - 2) - 6х(х - 1) = 33;

(3х - 2)2 + 9х(2 - х) = 8 и т.д.

В V классе задачи не должны приводить к уравнениям с дробными членами (когда неизвестная буква входит в знаменатель дроби). Решать же уравнения с дробными коэффициентами весьма полезно. Для примера приведу задачу допустимой сложности в V классе. «За 3 м. шерстяной и 5 м. шелковой ткани заплатили 136 руб. Сколько стоит метр каждой материи, если цена шерстяной материи больше цены шелковой на 24 руб.?»

Условие приводит к уравнению: 5х + 3(х + 24) = 136.

При решении подобных уравнений используются простейшие преобразования: умножения многочленов, приведение подобных членов и

Уравнения также служат одним из источников введения новых чисел.

Например, 3 - х = 5; х2 = 2; = 5;

х = 3- 5; х = ±v2; x=

х = -2. (рац. число) (иррац. число) (отриц. число)

То есть уравнения служат алгебраической мотивацией введения новых чисел.

В IV - V классах вводится алгоритм решения уравнений, основанный на нахождении неизвестного компонента данного арифметического действия. Существует четыре арифметических действия: сложение, вычитание, деление, умножение.

3 + х = 8; в VI классе х + 3 = 8;

х=8-3 х+3-3=8-3;

х = 5. х = 5.

Для решения уравнения вида: х + а = b или х -- а = b используется выражение: по смыслу выражения находим вычитаемое или уменьшаемое. Правило1: чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо от суммы отнять известное слагаемое.

Правило2: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

ПравилоЗ: чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо от уменьшаемого отнять разность.

Правило4: чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный сомножитель.

Правило5: чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Правилоб: чтобы найти неизвестный делитель, необходимое делимое разделить на частное.

В VI классе изучаются уравнения в теме «Отрицательные числа». Здесь дается обоснование основного алгоритма решения уравнений вида: х + а =

b, которое вытекает из задачи с рычажными весами. Здесь необходимо прибавить к левой и правой частям уравнения число противоположное а, чтобы уровнять чащи весов, т.е. вводится правило переноса из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и правило деления обеих частей уравнения на число не равное нулю. Это и есть основной алгоритм решения уравнений, но заметим, что он дается без теоретического обоснования, т.к. нет понятия равносильности.

Заметим, что в VI классе в уравнении переменная содержится в обеих частях уравнения и коэффициентами являются дробные и отрицательные числа. Например:x- =5,1x + 2, т.е. в V и VI классах решаются уравнения одного вида - линейные уравнения с одной переменной. Но они решаются 3 способами в зависимости от возраста обучающихся. В VI классе вводится термин «корень уравнения» и «решить уравнения» - найти его корни. Правило решения уравнения все еще формулируется как правило нахождения неизвестного компонента арифметического действия.

Заметим, что именно в VI классе закладывается основа классификаций уравнений по числу переменных и степени входящих переменных и подготавливается почва для исследования функции с помощью уравнений и неравенств. В V и VI много текстовых задач решаются с помощью уравнений.

Важная цель при обучении решения задач методом уравнений - научить основам моделирования и показать, что уравнения и неравенства - это основные типы математических моделей. Задачи в V и VI классах решаются арифметическим и алгебраическим методами. Возникает вопрос: каким методом решать? Рекомендуется следующий подход: если задача не требует обязательного введения переменной, то она решается арифметическим способом, если удобнее с переменной, то алгебраическим.

Арифметический способ - когда все логические операции решения задачи проводятся над конкретными числами. Основой рассуждения являются знания смысла арифметических действий.

Алгебраический способ - когда составляется уравнение, решение которого основано на свойствах уравнений. Еще есть и комбинированный способ, который включает арифметический и алгебраический способы решения.

Работа над любой задачей начинается с чтения текста, беседы по тексту и краткой записи условия задачи.

Арифметический способ - вопрос по следующим действиям или решение с последующим объяснением, или числовое решение без текста. Типы задач: задачи на движение в прямом и обратном направлениях, задачи на работу, задачи на проценты, задачи на нахождение части от числа и числа по его части, экономические задачи и т.д.

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделях реальных ситуаций являются известные ученикам V - VI классах линейные уравнения с одной переменной. Примерами могут служить следующие уравнения: 3x = 12, 5у - 10 = 0 и т.д. решить линейное уравнение - это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение Зх = 12 имеет корень х = 4, т.к. 3* 4 = 12 - верное равенство, причем других корней нет.

Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а, b - любые числа (коэффициенты), при этом а Ф 0; во всех этих случаях уравнения имели единственный корень х = --

Важно чтобы учитель выработал определенную программу действий, определенный порядок ходов - в математике в таких случаях используется термин алгоритм - для решения линейного уравнения. Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0, когда а ? 0.

1. Преобразовать уравнение к виду ах = b.

2. Записать корень уравнения в виде х = (-b) ? а, или, что тоже самое,

х = - .

А как быть учителю, если уравнение записано в более сложном виде, например: 2х - 2 = 10 - х?

В этом случае необходимо четко и понятно объяснить ученикам как поступить и чем воспользоваться. Учитель должен рассуждать так: два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х - 2) - (10 - х) = 0. Ученики должны вспомнить известные из курса математике V - VI классов правила раскрытия скобок и приведения подобных членов: 2х - 2 - 10 + х = 0;

Зх = 12;

х = 4.

Такие уравнения ученики уже решали в V - VI классе. Здесь учитель должен ввести еще один алгоритм.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ? с).

1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.

2. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kх + т = 0, где к ? 0.

3. Преобразовать уравнение к виду kх =-т и записать его корень:

х =-.

Необходимо также вспомнить два основных свойства уравнений, которые позволяют преобразовать уравнение в более простое, но равносильное начальному, то есть при этих преобразованиях уравнение не может приобрести новые корни, не может и потерять своих корней.

Свойство 1: при прибавлении к каждой части уравнения целого выражения, содержащего неизвестное, получается новое уравнение, имеющее только один корень, при этом такой же, как и начальное уравнение.

Следствие 1: члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом знак этих членов на противоположный.

Следствие 2: два равных числа, стоящих в обеих частях уравнения с

одинаковыми знаками, можно опустить.

Свойство 2: если обе части уравнения умножить на какое-нибудь число, не равное нулю, то в результате получится новое уравнение, имеющее только тот корень, что и исходное, может быть выведено одним из приемов, использованных при выводе первого свойства.

После изучения темы «Линейные уравнения с одной переменной» ученики изучают «Линейное уравнение с двумя переменными».

В этой теме они знакомятся с новыми понятиями: что такое линейное уравнение с двумя переменными, что значит решить уравнение, что является его решением, а также научится строить графики.

Уравнение вида

ах + by + с = 0,

где а, b, с - числа (коэффициенты) - линейное уравнение с двумя переменными х и у. Числа могут быть любыми, кроме одного случая, когда а = 0 и b = 0.

Решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (а; b), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Учителю необходимо, чтобы ученики хорошо усвоили эту тему. Это позволит им от одной математической модели (алгебраической) перейти к другой математической модели (геометрической).

Если даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у: a1 + b1 + с1 = 0 и а2х + b2у + с2 = 0, которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом - фигурной скобкой '

ахх + bгу + сг = 0,

а2х + b2у + с2 = 0.

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы. Решить систему - это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены