Учитель должен на практике руководствоваться теоретическими основами. Теория и практика неразрывно связана между собой и не могут существовать друг без друга. Рассмотрев и ознакомившись с теоретической основой решения задач, хотела бы полученные знания на практике. То есть рассмотреть, как лучше поставить вопрос к задаче, сделать краткую запись, как проанализировать задачу, каким способом легче решить задачу. А также рассмотреть задачи решаемые в третьем классе: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформированные в косвенной форме; задачи на пропорциональное деление, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи на встречное движение и в противоположных направлениях и другие.

При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить несколько этапов, достигнуть которые можно путем решения простых задач:

1. В одной стопке были несколько тетрадей и в другой стопке были тетради. Сколько тетрадей в двух стопках?

2. На одной тарелке лежало б яблок и на другой лежало несколько яблок. Сколько яблок лежало на двух тарелках?

3. На одном кусте 4 помидора, а на другом 5. Сколько всего помидоров на двух кустах?

Рассматривается первая задача. Ведется беседа:

Условимся, что при анализе вопрос задачи будем обозначать прямоугольником со знаком вопроса. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, что надо знать? (Сколько было тетрадей в первой стопке и сколько во второй.)

В прямоугольнике ставим знак вопроса - вопрос задачи. От этого прямоугольника проведем два отрезка и начертим два "других прямоугольника. Поскольку этих чисел в задаче не дано, то в прямоугольниках ставим знаки вопроса (рис.1).

Рассматривается вторая задача. Учитель чертит на доске схему (рис.2), сопровождая беседой:

Рис.1 Рис.2

Чтобы ответить на вопрос задачи, какие числа нам надо знать? (Сколько яблок лежало на каждой тарелке.)

На первой тарелке лежало 5 яблок, поэтому в одном прямоугольнике пишем число 5. Сколько яблок было на второй тарелке, в задаче не сказано, поэтому во втором прямоугольнике ставим знак вопроса.

Учащиеся убеждаются в том, что и вторую задачу решить нельзя.

Наконец, рассматривается третья задача. Учитель чертит на доске схему (рис.3) и ведет беседу.

Рис. 3.

Чтобы ответить на вопрос третьей задачи, что нам надо знать? (Сколько помидоров было на первом и втором кустах.)

Можем мы эту задачу решить? (Да, можем.)

Что мы запишем в прямоугольниках? (В одном запишем число 4, а в другом - число 5.)

После этого учащиеся должны повторить рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько помидоров было на первом кусте и сколько помидоров было на втором кусте. Оба эти числа нам известны. Чтобы решить задачу, надо к 4 прибавить 5, получится 9. Ответ 9 помидоров.

Затем решаются задачи в два и в три действия: "Отец и сын окапывали кусты смородины. Отец в час окапывал 5 кустов, а сын 3. Сколько времени они должны работать вместе, чтобы окопать 24 куста?" После уяснения и сокращения записи условия задачи учащиеся под руководством учителя разбирают ее подобно тому, как разбирали простые задачи. Затем ведется фронтальная беседа:

Вопрос задачи обозначим знаком вопроса, записанным в прямоугольнике (рис.4).

Рис.4

Чтобы ответить на него, какие два числа надо знать? (Сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов окапывали вместе за час отец и сын.)

От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже чертим два других прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 24, а в другом поставим знак вопроса, так как неизвестно, сколько в час окапывали кустов отец и сын вместе.)

Чтобы узнать, сколько в час окапывают кустов отец и сын вместе, что надо знать? (Сколько отдельно кустов окапывает отец - 5 к. и сын - 3 к.)

От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже начертим еще два прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 5 - количество кустов, окапываемых в час отцом, а в другом число 3 - количество кустов, окапываемых в час сыном.)

После фронтального анализа учащиеся повторяют рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов в час окапывают вместе отец и сын. Для этого надо знать, сколько кустов отдельно окапывает в час отец (5 к.) и сколько кустов окапывает в час сын (Зк.) В первом вопросе узнаем, сколько кустов вместе окапывают в час отец и сын, в втором - сколько времени они окапывали.

Если разбор этой задачи ведется с числовых данных, то он сопровождаете беседой:

Если отец в час окапывает 5 кустов, а сын 3 куста, то что можно узнать? (Сколы кустов в час они окапывают вместе.)

Зная это и то, что им надо окопа 24 куста, что можно узнать? (Сколь времени, они должны работать вместе)

Далее решаются задачи в 4 и в 5 действий:

"Птицефабрика должна отправить в магазины 6000 яиц. Она уже отправила 10 ящиков по 350 яиц и 4 ящика по 150 яиц. Сколько яиц осталось отправить в магазины?"

Записывая сокращенно условие задачи с использованием числовых выражений, ведем рассуждение: если было 10 ящиков по 350 яиц в каждом, то яиц было 350·10. Отправила также 4 ящика по 150 яиц, это составляет (150·4) яиц.

Выполняя неполный анализ от вопроса, учащиеся рассуждают примерно так: "Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько всего яиц надо отправить (6000 яиц) и сколько яиц птицефабрика уже отправила. Чтобы узнать, сколько яиц фабрика отправила, надо знать, сколько она отправила в первый и во второй раз. В первом вопросе узнаем, сколько птицефабрика отправила яиц в 10 ящиках, во втором - сколько она отправила яиц в 4 ящиках, в третьем - сколько всего яиц птицефабрика отправила и в четвертом - сколько яиц осталось отправить. Схемы полного анализа (рис.5) и неполного (рис.6) наглядно показывают' преимущество и недостатки каждого из них.

Учащиеся, умеющие составлять план решения задачи, самостоятельно записывают решение по указанию учителя или в форме математического выражения, или по отдельным действиям.

Используя прием сравнения приведем пример решения задачи:

1) Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой - за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?

2) Библиотеке нужно переплести 1 500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а другая - за 10. За сколько дней закончат работу эти мастерские, работая вместе?

Решение этих задач вызывает трудность у учащихся и поэтому традиционный поиск решения проводится под руководством учителя. Сначала ученики называют величины и записывают задачу кратко в виде таблицы.

Затем, опираясь на записи в таблице, проводится разбор задачи, чаще всего от данных к вопросу, так как разбор задачи от вопроса вызывает затруднения у учащихся, а подобная краткая запись не помогает, а скорее тормозит поиск решения задачи. Действительно, знак фигурной скобки направляет на ложный путь выбора первого действия, так как дети прочно усвоили смысл этого знака, как суммы, как объединения множеств. И поэтому на вопрос: "Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?" - довольно часто можно услышать ответ: "Нужно найти, сколько всего дней они работали".

Первую задачу решаем коллективно с подробным анализом, а вторую предлагаем для самостоятельного решения. Опишем работу над задачей, проводимой на уроке. Учитель просит ответить на вопросы: сколько всего рам должен был покрасить маляр? За сколько дней может это сделать первый маляр? Что можно узнать, исходя из этих данных?

Аналогично ставятся вопросы, выясняется, сколько рам покрасит второй маляр за один день, сколько покрасят рам оба маляра за один день, работая вместе, и затем дается ответ на вопрос задачи. После этого составляется план, записывается решение задачи. Другая задача предлагается для домашнего решения.

Нельзя ли продумать и организовать деятельность учащихся при решении задачи несколько иначе?

Да, возможен другой подход, основанный на сравнении задач и их решений, тем более что содержание, структура задач и данные в их условии являются тем благодатным материалом для использования приема сравнения. Для этого можно предложить детям прочитать задачи, сравнить их условия, вопросы. Выяснить, чем похожи и чем отличаются задачи. Предложить подумать, можно ли, не решая задачи, установить одинаковые или разные числа получатся в ответе. Пусть учащиеся попробуют объяснить свои предположения. Если одинаковы, то почему? Если разные, то в каком отношении будут находиться эти числа, в какой задаче число в ответе будет больше и во сколько раз?

Устанавливая сходства и различия, на основе применения необоснованной аналогии (чем больше объем выполненной работы, тем больше потребуется времени для ее выполнения) большинство учащихся высказывают предположение (которое в данном случае оказывается ошибочным), что в ответе второй задачи число будет больше в 10 раз, чем в первой. В этом случае полезно провести беседу, в процессе которой попытаться убедить детей, что такого быть не может. Вопросы, предлагаемые детям, могут быть примерно такими:

Сколько дней потребуется первому маляру, чтобы выполнить всю работу? (15 дней.)

А второму? (10 дней.)

Если оба маляра будут работать вместе, то больше или меньше потребуется им времени для выполнения всей работы? (Меньше, чем 10 дней.)

Аналогичные вопросы предлагаются и для второй задачи. Выясняется, что для выполнения всей работы двум, мастерским потребуется меньше, чем 10 дней. Таким образом, число в ответе второй задачи не может быть больше числа, которое получается в ответе первой задачи.

В процессе анализа задач учащиеся находят решения и записывают их:

Задача 1

1) 150: 15= 10 - рам красил первый маляр за один день.

2) 150: 10=15-рам красил второй маляр за один день.

3) 10+15=25 - рам красили оба маляра за один день.

4) 150: 25 =6 - за 6 дней выполнят всю работу оба маляра, работая вместе. Задача 2

1) 1500: 15= 100 - книг переплетает одна мастерская за один день.

2) 1500: 10= 150 - книг переплетает другая мастерская за один день.

3) 100+150=250 - книг переплетают обе мастерские за один день, работая вместе.

4) 1500: 250= б - за 6 дней закончат работу обе мастерские, работая вместе.

Решение задачи дает возможность убедиться, что предположение детей либо подтвердилось, либо опровергалось.

Для более глубокого понимания сути рассматриваемого вопроса, решения задачи, зависимости между величинами, входящими в задачу, полезно показать детям графическое решение. Для этого учитель заранее выполняет чертеж:

Пояснить построение чертежа можно примерно так: "Обозначим число рам длиной данного отрезка. Эту работу маляр может выполнить за 15 дней. Значит, в день он выполняет 1/5 часть (показывает на чертеже). Второй выполняет эту " работу за 10 дней, в день он выполняет 1/10 часть (показать на чертеже). За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, работая вместе? Будем считать: I - пятнадцатую часть, II - десятую (показывается на чертеже), во второй день-пятнадцатую часть первый и десятую - второй и т.д. Дети считают число дней и убеждаются, что и в первой и во второй задаче получится одинаковое число дней, независимо от объема выполненной работы.

Такая деятельность по решению задач будет в большей мере способствовать формированию творческой активности и мышления учащихся, возможности глубже осмысливать взаимосвязи между величинами, входящими в задачу, формированию осознанного поиска решения задач.

Высокую умственную активность проявляют учащиеся, выполняя анализ неверного решения. Обратимся еще раз к рассмотренной выше задаче.

Дело в том, что многие учащиеся, не вдумываясь в условие задачи, решают ее следующим образом:

150: (15+10) =6.

Как поступить учителю в этом случае? Оставить без внимания неверное решение или обсудить его со всеми учащимися? Некоторые идут по первому пути, указывают ученику, что решение его неверно, и в процессе беседы подводят к нужному правильному решению, т.е. показывают образец рассуждений при решении данной задачи. Таким образом, методика обучения решению задач сводится к обучению по образцу.

Думается, что такой подход к обучению решению задач не всегда эффективен. Учитель должен внимательно относиться к каждой из совершаемых проб поиска пути решения задачи и в случае неудачи использовать ее с обучающей целью, с целью активизации мыслительной деятельности учащихся, т.е. каждое неверное решение должно быть проанализировано и установлена причина ошибочного решения. В данном случае можно поступить следующим образом. Записать решение на доске и, используя фронтальную беседу, доказать необоснованность данного решения. Для этого нужно предложить детям проверить, правильно ли выбраны действия. Обратить внимание на первое действие и, соотнеся его с условием задачи, выяснить, что обозначает каждое число.

Что обозначает число 15? (За 15 дней первый маляр может выполнить всю работу.)

Что обозначает число 10? (За 10 дней второй маляр может выполнить всю работу.)

Если оба маляра будут работать вместе, больше или меньше они затратят времени, чтобы покрасить 150 рам? (Меньше; меньше, чем 10 дней.)

Что же могло обозначать число 25, полученное в данном действии? (Число дней, которое необходимо для покраски 300 рам, при условии, что первый маляр красит 50 рам, затем начинает работать другой маляр, и заканчивают свою работу за 10 дней.)

Полезно рассмотреть и второе действие. Выяснить, что при делении числа рам (150) на число дней (25) в результате случается число рам (6), а в задаче спрашивается о числе дней, за которое могут окрасить оба маляра 150 рам, работая месте.

Такое обсуждение активизирует мыслительную деятельность учащихся, вырабатывает привычку не начинать поиск решения задачи без глубокого, полного анализа задачи, создает условия для эффективного формирования общего умения решать задачи.

Задачи на пропорциональное деление.

Первой лучше включить задачу с величинами: ценой, количеством и стоимостью, поскольку связи между ними усвоены учащимися лучше, чем связи между другими величинами. Учитель предлагает составить задачу по ее краткой записи (запись выполнена на доске):

Ученики составят примерно такую задачу:

"Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, а второй 5 марок. Марки первого мальчика стоили 35 к. Сколько стоили марки второго мальчика?" Ученики устно решают эту задачу и узнают, что марки второго мальчика стоили 25 к. Учитель записывает это число. В таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначающих стоимость марок. Выясняется, что 60 к. уплатили за марки оба мальчика. В краткую запись вносятся изменения:

Ученики составляют задачу по этой краткой записи: "Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй - 5 марок. Всего они уплатили 60 к. Сколько стоили марки первого мальчика? Сколько стоили марки второго мальчика?" Учитель предлагает детям попытаться самостоятельно решить задачу, ответив на первый вопрос. С теми, кто затруднится это сделать, проводит разбор, предлагая вопросы:

"Что требуется узнать в задаче? Можно ли сразу узнать, сколько стоили марки первого мальчика? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько марок купили на 60 к.? Почему можно? Что узнаете первым действием? вторым? третьим? четвертым?" Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями. Для проверки решения можно выполнить сложение чисел, полученных в ответе, если их сумма будет равна числу 60, то решение выполнено верно. Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах обычно заменяют одним вопросом со словом каждый, например: "Сколько стоили марки каждого мальчика?" Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет два ответа.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.

Пусть надо решить задачу: "В киоске продали по одинаковой цене 12 синих стержней для ручек и 8 черных. За синие стержни получили на 32 к. больше, чем за черные. Сколько стоили синие стержни? Сколько стоили черные стержни?" Выделив величины, данные в задаче, ученики записывают задачу кратко на доске и в тетрадях:

Проводится беседа: "Почему за синие стержни уплатили больше денег, чем за черные? (Синих стержней купили больше.) За сколько синих стержней уплатили столько же, сколько за все черные стержни? (За 8 стержней.) Сколько уплатили за остальные синие стержни? (32 к.) Нельзя ли узнать, сколько стержней купили на 32 к.? (Можно.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, сколько стержней стоили 32 к., выполнив вычитание; затем узнаем, сколько стоил 1 стержень, выполнив деление; далее узнаем, сколько стоили синие стержни и сколько стоили черные стержни действием умножения.)"

Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях. Например:

"Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 11 км/ч, а другого 13 км/ч. Найти расстояние между поселками". После чтения задачи выполняется под руководством учителя чертеж:

Выясняется, что каждый велосипедист был в пути до встречи 2 ч, что первый пройдет до встречи меньшее расстояние, так как он двигался с меньшей скоростью, и что расстояние между поселками складывается из расстояний, пройденных каждым из велосипедистов до встречи. После этого, как правило, ученики сами составляют план решения: узнаем расстояние, пройденное первым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; затем узнаем расстояние, пройденное вторым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; после чего найдем расстояние между поселками, сложив оба расстояния. Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями.

Для разбора решения этой задачи другим способом можно проиллюстрировать движение, вызвав к чертежу двух учеников. Учитель ведет объяснение: "Вы будете велосипедистами. Покажите указкой, откуда вы начали движение. Вы начали двигаться одновременно и ехали 1 ч. Сколько километров проехал за это время каждый из вас? (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) прошел еще 1 ч. На сколько километров вы еще сблизились? (На 24 км.)

Встретились ли велосипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько километров сближались велосипедисты в час, выполнив сложение; затем найдем расстояние между поселками, выполнив умножение.)" Эти два способа решения надо сравнить и. оценить, какой из них рациональнее.

Задачи, обратные данной, ученики могут составить сами по преобразованным чертежам, которые выполняет учитель. Сначала искомым становится время движения до встречи, а затем скорость одного из велосипедистов. Вот эти измененные чертежи:

План решения той и другой задачи ученики могут составить сами. Решение лучше записать отдельными действиями. Затруднение обычно вызывает один из способов решения последней задачи (48: 2=24, 24-13= 11). В этом случае, обращаясь к иллюстрации, надо показать, что в каждый час велосипедисты сближались на одинаковое расстояние, поэтому легко узнать, на сколько километров они сближались в час, выполнив деление (48: 2=24), зная это и скорость одного из них, можно найти скорость другого (24-13=11).

Теперь полезно сравнить задачи, выявив сходное (все задачи на встречное движение, в них одинаковые величины) и различное (в первой задаче находили расстояние по известным скорости каждого велосипедиста и времени движения до встречи; во второй задаче находили время движения до встречи по известным расстоянию и скорости каждого велосипедиста; в третьей задаче находили скорость одного из велосипедистов по известным расстоянию, времени движения до встречи и скорости другого велосипедиста). Сравнив решения, ученики должны заметить, что каждую задачу можно решить двумя действиями, причем в этом случае первым действием находили, на сколько километров сближались велосипедисты в час, но при решении первой и второй задачи это находили сложением, а при решении третьей задачи - делением. Далее, как и в других случаях, на последующих уроках ученики решают задачи этих видов сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставить вопросы вида: "Могли ли велосипедисты (теплоходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи продолжат движение, то какой из них приедет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью?"

Рассмотрим задачу, решающуюся несколькими способами:

"В зале 8 рядов стульев, по 12 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Хватит ли стульев для учеников? Если останутся незанятые, то сколько?"

Используя разбор задачи от данных к вопросу, дети легко получили решение, рассуждая следующим образом: "Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 128=96. Теперь определим, сколько стульев будет занято, т.е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 422= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84.96>84, значит, стульев хватит. 96-84=12.12 стульев останутся незанятыми".

Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:

II способ

1) 2.8=96

2) 96-42=54

3) 54-42=12

О т в е т.12 стульев останутся незанятыми.

Вначале свои места заняли ученики одного класса, а затем другого.

III способ

Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т.е. в каждом ряду было по 12 человек:

1) 422=84 - места займут ученики двух классов;

2) 84: 12= 7 - рядов займут ученики двух классов;

3) 8-7= 1 - ряд или 12 стульев останутся незанятыми.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

IV способ

Стулья в зале распределили поровну между классами, т.е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждого класса.

1) 128== 96 - всего стульев в зале;

2) 96: 2=48-стульев для каждого класса;

3) 48-42== 6 - незанятых стульев у каждого класса;

4) 62== 12 - всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы.

На этом дополнительном занятии опиралась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учениками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду

Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду.

Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети.

V способ

1) 42: 12=3 (ост.6) - 3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4-й ряд;

2) 12-6= 6 - учеников из другого класса тоже посадили в 4-й ряд;

3) 42-6= 36 - учеников остается посадить на другие ряды;

4) 36: 12=3 - еще 3 ряда займут ученики другого класса;

5) 4+3= 7-рядов занято;

6) 8-7 = 1 - ряд или 12 стульев не заняты.

Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

VI способ

1) 42: 12=3 (ост.6) - 3 ряда занято, 6 учеников не посажено;

2) 42+6= 48-учеников осталось посадить;

3) 48: 12= 4-ряда займут оставшиеся ученики;

4) 4+3= 7-рядов занято;

5) 8-7= 1 - ряд или 12 стульев не занято.

VII способ

1) 8: 2= 4 - ряда для каждого класса;

2) 12 4= 48 - стульев выделили для каждого класса;

3) 48-42= 6-стульев остается незанятыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;

4) 6-2= 12-стульев останутся незанятыми.

VIII способ

1) 422= 84-ученика нужно посадить;;

2) 84: 8= 10 (ост.4) - 10 учеников в каждом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;

3) 12-10= 2 - по 2 стула осталось незанятыми в каждом ряду;

4) 2-8= 16-всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;

5) 16-4= 12 - стульев остались незанятыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;

IX способ

1) 12-8= 96-всего стульев в зале;

2) 96: 42=2 (ост.12) - 2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.

Х способ

1) 12: 2=6 - по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;

2) 42: 6= 7 - рядов займет каждый класс;

3) 8-7= 1 - ряд или 12 стульев останутся незанятыми

Дети просто были потрясены таким обилием способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они "рассаживают" учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с показом на рисунке, определяли самый рациональный способ.

Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.

XI способ

1) 42-2 ==84-ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;

2) 96: 84= 1 (ост.12) - 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся незанятыми.

Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами, учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить задачу нетрадиционным способом.

Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В. Занкова арифметическим и алгебраическим способом:

Задача №1

"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:

1. Решить задачу алгебраическим способом.

2. Предложить свое задание к задаче.

Следуя указанию учебника, учитель подводит учащихся к составлению уравнения, рассуждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на тетрадь первого сорта расходовали 8 листов, значит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сорта израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь можно найти, сколько всего листов израсходовано:

(8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Составим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Используя дистрибутивный закон (правило умножения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560.

И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности.

Действительно, действия с отрицательными числами будут изучаться позднее, а решение требует выполнения операций над ними.

Приведем образец решения уравнений.

8х+ 12 (60-х) =560

8х+720-12х=560

8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по 720)

8х - 12х =-160

(8 - 12) х = - 160 (применили дистрибутивный закон умножения относительно вычитания, вынесли неизвестное число х за скобки)

4х=-160

х= (-160): (-4)

х=40

Итак, чтобы найти неизвестное число, нужно обе части уравнения разделить на ( - 4), т.е. необходимо провести операции с отрицательными числами, а понятие об отрицательном числе будет изучаться позднее.

Чтобы избежать этого, учитель может попытаться решить это уравнение следующим образом:

8х+ 12 (60-х) =560

8х+720 - 12х =560

8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х

8х+720=560+ 12х

8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х

720 = 560 + (12 - 8) х выносим за скобки х

720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обеих частей 560

160=4х

х= 160: 4

х=40

Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это, учитель подводит учащихся к другому уравнению, решение которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число тетрадей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого - 8 (60 - х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - х) листов бумаги. По условию задачи это равно 560 листам". Составляем уравнение:

12х+8 (60-х) =560

12х+480-8х=560

12х-8х =560-480

(12-8) х=80

4х=80

х = 80: 4

х=20

Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тетрадей первого сорта (60 - 20 = 40).

Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тогда потребовалось бы 8 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 листов, т.е. израсходовано больше, чем предположили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта расходовали больше на 4 листа.

Итак, на все тетради второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа больше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80: 4 = 20 (тетрадей). Чтобы найти число тетрадей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи:

1) 80-60=480

2) 560 - 480 = 80

3) 12-8=4

4) 80: 4 = 20

5) 60 - 20 = 40

Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради были второго сорта.

Аналогичные рассуждения приводят к решению:

1) 12 60 = 720 тетрадей

2) 720 - 560 = 160 тетрадей

3) 12-8 =4 тетради

4) 160: 4 = 40 тетрадей

5) 60 - 40 = 20 тетрадей \

Ответ: 40 тетрадей первого сорта,20 тетрадей второго сорта.

Возможны и другие способы решения задачи. Например:

1) 12.60=720

2) 720-560= 160

3) 12-8=4

4) 160: 4=40

5) 8 40 = 320

6) 560 - 320 = 240

7) 240: 12=20

Задача №2

"На запасных путях стояло 2 железнодорожных состава. В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось в 4 раза больше вагонов, чем во втором. Сколько вагонов было в каждом составе?"

К данной задаче даны три указания:

1) решить задачу алгебраически;

2) найти среди решенных раньше задач похожую на данную решением;

3) составь свою задачу, которая будет иметь такое же решение.

При решении задачи алгебраическим способом учащиеся обозначают буквой х - число вагонов в первом составе, тогда во втором составе число вагонов (х - 12). В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов. Во втором составе оказалось (х - 18) вагонов, а в первом (х - 6) вагонов. В первом составе в 4 раза больше вагонов, чем во втором.

Составим уравнение: х - 6 = 4 (х - 18).

При решении уравнения у учащихся появляются затруднения, связанные с тем, что возникает необходимость в выполнении действий с отрицательными числами:

х - 6 = 4х - 72

х - 4х = - 72 + 6

3х = - 66

х = ( - 66): ( - 3)

х=22

Чтобы избежать таких недоразумений, учитель предлагает на основе изученных свойств числовых равенств (вернее, равносильности уравнений) неизвестное перенести в правую часть уравнения:

х - 6=4 (х - 18)

х - 6 = 4х - 72

6 = 4х - х - 72

6 = (4-1) х-72

6 = Зх - 72

6 + 72 = Зх

72 - 6 = Зх

66=3х

х=22

Как видим, решение уравнения вызывает затруднения у учащихся, и, предвидя это, учитель в процессе рассуждения подводит детей к уравнению, решение которого проще:

4 (х - 18) = х-6

4х - 72 = х - 6

4х-х-72=х-х-6

(4 - 1) х-72 =-6

Зх = 72 - 6

х = 66: 3

х = 22 (вагона в первом составе)

Ответ: в первом составе - 22 вагона, во втором - 10.

Обозначив буквой х число вагонов второго состава, в процессе рассуждении можно получить уравнение:

4 (х - 6) = х + 6

4х - 24 = х + 6

Зх = 6 + 24

Зх=30

х= 10

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при решении задач алгебраическим способом учителю необходимо продумать, какое неизвестное обозначить буквой, и подвести учащихся к уравнению, решение которого будет проще и понятнее для них.

Выполнение второго задания, предложенное автором, для данной задачи сводится к отысканию (узнаванию) среди решенных похожей задачи, что отнимает много времени и недостаточно эффективно с точки зрения развития умственных способностей.

Третье задание (составить задачу, похожую на данную) преследует такую же цель, как и второе.

Думается, в данном случае целесообразно решить задачу арифметическим способом. Для осознанного поиска решения задачи необходимо проиллюстрировать задачную ситуацию с помощью чертежа. Например, изобразить число вагонов второго состава отрезком АВ. От состава отцепили 6 вагонов (показываем на чертеже). Оставшееся число вагонов будет соответствовать отрезку СВ.

В задаче сказано, что вагонов осталось в первом составе в 4 раза больше, чем во втором. Значит, числу оставшихся вагонов первого состава будет соответствовать отрезок в 4 раза больше, чем отрезок СВ (показываем на чертеже отрезок ММ). Первоначально в первом составе было на 6 вагонов больше (показываем на чертеже). DN - отрезок, соответствующий 6 вагонам, тогда ОМ соответствует числу вагонов первого состава).

Рассматривая чертеж, необходимо обратить внимание детей на то, что отрезку КМ соответствует 12 вагонов. В задаче сказано "на 12 вагонов больше", и эти 12 вагонов приходятся на три равные части, каждая из которых равна отрезку СВ (числу вагонов, оставшихся во втором составе).

После такой наглядной интерпретации задачи дети самостоятельно записывают решение и поясняют каждое выполняемое действие:

1) 4-1=3 (на 3 части больше осталось вагонов в первом составе)

2) 12: 3 = 4 (вагона осталось во втором составе)

3) 4 + 6 = 10 (вагонов было во втором составе)

4) 10 + 12 = 22 (вагона было в первом составе)

При сравнении способов решения учащиеся приходят к выводу, что арифметический способ легче и понятнее, чем алгебраический.

Интересным для учащихся будет и решение данной задачи методом перебора.

Прежде всего определим, с какого числа можно (да и нужно) начинать подбор чисел. В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов и при этом вагоны еще остались. Значит, вагонов в составе было больше шести. В задаче также сказано, что в первом составе осталось вагонов в 4 раза больше, чем во втором. Значит, осталось четное число вагонов (любое число, умноженное на четное, есть число четное). Если отцепили 6 вагонов (а 6 - число четное), значит, вначале было тоже четное число вагонов (сумма двух четных чисел есть число четное). Во втором составе на 12 вагонов меньше, а это значит, что и во втором составе четное число вагонов. Итак, для пробы будем брать следующие числа: 8, 10, 12 и т.д.

Пусть во втором составе было 8 вагонов, тогда в первом их было 20 (8 + 12 = 20). Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось 14 (20-6=14), а во втором-2 (8 - 6 = 2). Проверяем, во сколько раз 14 больше, чем 2 (14: 2=7) - в7 раз. Это не соответствует условию задачи, так как число оставшихся вагонов первого состава должно быть в 4 раза больше, чем число вагонов второго состава. Пусть 10 число вагонов второго состава. Тогда число вагонов первого состава 22 (10 + 12 = 22).

От каждого отцепили по 6 вагонов: во втором осталось 4, в первом - 16 (10 - 6 = 4, 22 - 6 = 16). Проверяем, во сколько раз больше осталось вагонов в первом составе, чем во втором, и получаем 4 (16: 4=4), что соответствует условию задачи.

Ответ: в первом составе было 22 вагона, во втором - 10.

Заключение