Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Формирование обобщения у младших школьников на уроках математики

Формирование обобщения у младших школьников на уроках математики

Анализ психолого-педагогической и методической литературы. Особенности логического мышления младших школьников. Числовые выражения и выражения с переменными. Свойства действий над числами. Обобщения и их использование. Систематизация знаний на уроках.

Рубрика Педагогика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 06.01.2013
Размер файла 469,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Известно, что математика оперирует определенными «идеальными» объектами. Однако все эти математические объекты отражают свойства материальных предметов и законы материального мира; их идеальный характер означает просто отвлечение от несущественных в момент рассмотрения свойств материальных вещей, благодаря чему исследуемые свойства выступают в наиболее общем и чистом виде. Поэтому все математические понятия и положения представляют собой знание наиболее глубоких и общих свойств реальной действительности.

В процессе познания законов природы математик пользуется особыми математическими средствами, научными методами исследования. В процессе обучения учащиеся также ставятся в положение первооткрывателей математических истин (самостоятельно или с помощью учителя) и поэтому научные методы математического исследования в то же время служат и методами учебной работы учащихся.

Изучение математики сталкивает детей с необходимостью выделять существенные свойства, которые присущи нескольким предметам и явлениям, и обобщать их, формируя определенные понятия.

Умения обобщать в математике:

1. Приводит учащихся к новым обобщенным знаниям, способам действий, т.е. обеспечивает овладение ими основами наук, которые становятся средствами решения конкретных задач и дальнейшего овладения математикой;

2. Выступает приемом осуществления учащимися учебно-познавательной деятельности

Таким образом, математика играет важную роль в процессе формирования процесса обобщения. Этот процесс начинается в начальной школе. Младший школьник, определяя понятия, указывает преимущественно наглядные, конкретные и единичные предметы и явления, их признаки и свойства. Это объясняется недостатком знаний, а также слабым развитием мыслительной операции обобщения у детей младшего школьного возраста.

На основании всего вышесказанного, работа по формированию обобщения у младших школьников на уроках математики является актуальной.

Процесс развития операции обобщения в младшем школьном возрасте будет успешным при следующих условиях:

? Использование разнообразного набора исходного развивающего материла;

? Анализ и сравнение учащимися большого количества сходных предметов;

? Варьирование несущественных признаков при постоянстве существенных;

? Умение видеть общее в отдельном конкретном случае, с которым приходится иметь дело в данный момент.

Глава 1. Анализ психолого-педагогической и методической литературы

§1.1 Особенности логического мышления младших школьников

К началу младшего школьного возраста психическое развитие ребёнка достигает достаточно высокого уровня. Ж. Пиаже, характеризуя данный период развития ребенка, называет его стадией конкретных операций с предметами. По его мнению, это время является третьей стадией в развитии логического мышления. Ж. Пиаже считал, что исследование развития логических операций в сознании ребенка позволяет точно соотнести оперативные структуры мышления со структурами порядка, что соответствует связи детского мышления и общеалгебраических структур. Поэтому включение в программу элементов алгебраического материала позволяет повысить уровень операции обобщения, способствует развитию логического мышления.

Главной особенностью данного периода является то, что умственные операции, совершаемые ребенком, становятся теперь обратимыми. Если ранее процесс интеллектуального развития ребенка характеризовался тем, что внешние действия, выполняемые им, постепенно трансформировались во внутренние, то теперь ребенок в состоянии перенести действия, выполняемые в когнитивной сфере, во внешнюю, то есть предметную сферу своей деятельности.

В зависимости от того, в какой степени мыслительный процесс опирается на восприятие, представление или понятие, различают три основных вида мышления:

1. Предметно-действенное (наглядно-действенное).

2. Наглядно-образное.

3. Абстрактное (словесно-логическое).

Предметно-действенное мышление - мышление, связанное с практическими, непосредственными действиями с предметом;

Наглядно-образное мышление - мышление, которое опирается на восприятие или представление (характерно для детей раннего возраста).

Словесно-логическое, понятийное мышление формируется постепенно на протяжении младшего школьного возраста. Словесно-логическое мышление позволяет ученику решать задачи и делать выводы, ориентируясь не на наглядные признаки объектов, а на внутренние, существенные свойства и отношения.

Младшие школьники в результате обучения в школе, когда необходимо регулярно выполнять задания в обязательном порядке, учатся управлять своим мышлением, думать тогда, когда надо.

В процессе решения учебных задач у детей формируются такие операции логического мышления как анализ, синтез, сравнение, обобщение и классификация.

Анализ как мыслительное действие предполагает разложение целого на части. Овладением анализом начинается с умения ребёнка выделять в предметах и явлениях различные свойства и признаки. Умения выделять свойства даётся младшим школьникам с большим трудом. По мере развития детей, расширения их кругозора и знакомства с различными аспектами действительности такая способность, безусловно, совершенствуется.

В процессе обучения задания приобретают более сложный характер: в результате выделения отличительных и общих признаков уже нескольких предметов, дети пытаются разбить их на группы. Здесь необходима такая операция мышления как классификация.

В процессе классификации дети осуществляют анализ предложенной ситуации, выделяют в ней наиболее существенные компоненты, используя операции анализа и синтеза, и производит обобщение по каждой группе предметов, входящих в класс. В результате этого происходит классификация предметов по существенному признаку.

Как видно из вышеизложенных фактов все операции логического мышления тесно взаимосвязаны и их полноценное формирование возможно только в комплексе. Только взаимообусловленное их развитие способствует развитию логического мышления в целом. Приёмы логического анализа, синтеза, сравнения, обобщения и классификации необходимы учащимся уже в 1 классе, без овладения ими не происходит полноценного усвоения учебного материала.

Эти данные показывают, что именно в младшем школьном возрасте необходимо проводить целенаправленную работу по обучению детей основным приёмам мыслительной деятельности.

§1.2 Суть обобщения как мыслительной операции

Предметы и явления объективного мира находятся между собой в разнообразных связях и отношениях. Познание и обобщение этих связей и отношений является одной из важнейших функций мышления.

Мышление определяют как опосредованное, обобщенное отражение действительности в их общих и существенных признаках и свойствах, в их связях и отношениях, а также на основе полученных обобщенных знаний - познание и творческое построение новых единичных предметов и явлений действительности .

Термин обобщение часто встречается в литературе. Он принимается для обозначения многих сторон процесса усвоения знаний школьниками.

При характеристике результата этого процесса отмечается умение ребенка отвлечься от некоторых частных и варьирующих признаков предмета.

Рассмотренная точка зрения выражена в определении обобщения, данным В.В. Давыдовым: «обобщение - одна из основных характеристик познавательных процессов, состоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств, предметов и их отношений .

Исследуя зависимость обобщения от особенностей анализа, выделяет такие виды обобщения, как обобщение «генерализацию» и собственно обобщение. Первый вид обобщения означает слитность, нерасчлененность того или иного содержания, т.е. этот вид основан на слабом анализе; второй вид является результатом тщательного анализа. «Правильно обобщение не удается там, где отсутствует разграничение существенных признаков от несущественных».

М.Н. Шардаков предложил классификацию разных видов обобщающей мыслительной деятельности школьников, развивающуюся в процессе учения. Он рассматривает 3 вида обобщения:

1. Обобщение существенных и общих свойств единичных предметов и получение тем самым предметных понятий.

2. Обобщение существенных и общих связей и отношений между отдельными предметами или явлениями и получение тем самым понятий отношений.

3. Особым видом обобщения является обобщение учебного материала.

Таким образом, разносторонние подходы к классификации обобщения свидетельствуют о его многоплановости, а значит и широких возможностях различного подхода к формированию обобщения.

Обобщение непосредственно связано с другими мыслительными операциями.

Обобщение - это нахождение общего в предметах и явлениях. Нахождение общего включает в себя сопоставление предметов, вычленение общих признаков в каждом из данных предметов и объединение последних по этим признакам.

Т.о., в любой процесс обобщения входит абстракция, поскольку, не вычленив нужные признаки, нельзя объединить предметы.

Каждый предмет имеет существенные и несущественные признаки и свойства. Точно так же каждое явление возникает перед нами в существенных и несущественных связях и отношениях. Предметы или явления одного рода имеют существенные признаки или связи, которые всегда общие. Существенные признаки - это признаки постоянные, устойчивые, сохраняющиеся у данной группы предметов при вариации несущественных. При помощи существенных признаков предмет может быть легко отличен от предметов, которые даже сходны с ним, но не точно совпадающие с тем предметом, о котором идет речь.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что обобщение - одна из основных и наиболее значимых форм мышления. Не умея обобщать, невозможно формировать понятия и законы, делать выводы. Т.о., необходимо развивать операцию обобщения у детей с раннего возраста и уделять этому вопросу больше внимания. Но обобщение нельзя формировать обособленно, изолированно, вне связи с другими операциями мышления.

§1.3 Особенности развития процесса обобщения младших школьников

Процесс формирования обобщения проходит 3 стадии:

1. На первой стадии последовательно рассматриваются отдельные качества (свойства) различных предметов (явлений), определяется, чем они отличаются друг от друга;

2. На второй стадии происходит отбор качеств, общих для всех предметов;

3. На третьей стадии процесса обобщения происходит формулировка понятия (правила) в форме перечня общих качеств тех предметов, которые входят в объем соответствующего понятия (правила).

Основные условия формирования обобщений:

? Для самостоятельной выработки понятия (правила) необходимо, чтобы учащиеся проанализировали и сравнили друг с другом довольно большое количество одинаковых или сходных предметов, специально для этих целей отобранных и предложенных учителем.

? Наборы исходных материалов должны быть достаточно многообразны, содержать самые различные варианты сочетания сходных качеств с сопутствующими признаками.

Необходимым условием формирования обобщения у школьников является изменение несущественных признаков понятий, свойств и фактов при постоянстве существенных признаков.

Понимание процесса обобщения, изложенного выше, позволяет определенным образом наметить соотношение между восприятием, представлением и понятием. Исходным материалом для всех ступеней обобщения служат единичные, чувственно воспринимаемые предметы и явления окружающего нас мира. В процессе преподавания детей специально учат целенаправленно наблюдать за этим многообразием предметов и явлений, а также в словесной форме описывать результаты наблюдений.

Т.о., при формировании процесса обобщения необходимо, чтобы учащиеся четко различали основное от второстепенного, существенное от внешней формы его проявления, действительно общие элементы от случайных и отделимых.

Итак, для формирования обобщения у детей младшего школьного возрастания, находящихся на эмпирическом уровне развития обобщения, необходимо учитывать возрастные особенности младших школьников. Их мыслительная деятельность протекает на наглядном, конкретном материале; при формировании правильных обобщений необходимо учитывать ряд условий:

· необходим анализ и сравнение материала, причем он должен быть многообразным, содержать самые различные варианты «неожиданных» и «непривычных» сочетаний сходных качеств с сопутствующими признаками;

· необходим анализ и сравнение учащимися довольно большого количества сходных предметов;

· необходимо варьирование несущественных признаков при постоянстве существенных;

· зная общее, необходимо уметь видеть его в отдельном конкретном случае, с которым приходится иметь дело в данный момент.

Также, большое внимание необходимо уделять проблеме переноса и, в частности, переносу приемов обобщения от частного к общему и от общего к частному.

§1.4 Процесс формирования умения обобщать на уроках математики

Обобщение в математике - это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов (или способов действий с ними) и объединение их на этой основе в пределах заданной области (темы, раздела, всего учебного материала и т.д.)

Необходимо иметь в виду, что обобщения могут быть более или менее широкие. Например, правило прибавления числа к сумме - обобщение. Овладение им учащимися составляют одну из учебных задач в 1 классе. В 3 классе учащиеся узнают, что при сложении любые 2 или несколько слагаемых можно заменить их суммой. Это также обобщение, но более широко охватывающее изученное ранее правило.

В обучении математике процессы обобщения могут быть организованы по-разному, что влияет на выбор методики обучения.

А.К. Артемов предложил 4 вида организации процесса обобщения:

1. Обобщенные знания как способы действий сообщаются ученикам в готовом виде;

2. Обобщенные знания проявляются как логический вывод из ранее установленных обобщений. Здесь процесс обобщения проявляется как процесс рассуждений, приводящих к общему выводу;

3. Процесс обобщения представлен путем сравнения одного или более объектов по существенным признакам;

4. Процесс обобщения характеризуется тем, что с самого начала путем анализа одного математического объекта выявляются существенные его особенности, отражающие общие признаки всех объектов из данной области (темы, разделы). Это суть теоретического обобщения.

Учебная задача здесь состоит в том, чтобы вскрыть в данном объекте существенное общее. Достигается это анализом данного объекта. При этом необходимо учитывать некоторые трудности при организации этого процесса.

Прежде всего, это связано с конкретностью мышления младшего школьника. Учащиеся в своем мышлении оперируют преимущественно представлениями предметов и явлений действительности. Их мыслительная деятельность успешно протекает на наглядном, конкретном материале и поэтому детям сложно отвлечься от конкретных предметов и явлений.

Необходимым условием осуществления правильного обобщения на уроках математики является использование в обучении методики, учитывающей особенности умения обобщать у учащихся.

При формировании правильных обобщений особое место необходимо уделять варьированию несущественных признаков.

Умение анализировать математические объекты - одно из основных условий правильного обобщения, и поэтому его нужно специально формировать. С этой целью необходимо строго продумывать характер вопросов и заданий, активизирующих мысль детей, направленную на поиск главного, существенного в заданном объекте. В процессе анализа накапливается знание конкретных фактов, составляющих основу для формирования последующих обобщений.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что для формирования правильного обобщения на уроках математики и предотвращения ошибок учащихся необходимо уделять внимание многим факторам:

? Учитывать особенности процесса и некоторые трудности при организации этого процесса в обучении математики.

? Уделять особое внимание варьированию несущественных признаков;

? В процессе анализа математических объектов чрезвычайно важно выделять совокупность существенных признаков, которые составляют основу изучаемого математического объекта.

Глава 2. Теоретические основы

§2.1 Числовые выражения

Выражение, состоящее из чисел, знаков действия и скобок, называется числовым выражением. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения.

Решим задачу:

"Туристы в течение двух часов ехали на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли лесом ещё 7 км. Какова длина всего маршрута?"

По шоссе туристы проехали 16·2 км, а лесом прошли 7 км. Поэтому длина всего маршрута равна (16·2+7) км, т. е. 39 км. Решая задачу, мы получили числовое выражение 16?2+7.

Приведём ещё примеры числовых выражений:

5; 9,6-3?1,2; 5?(7,4-6,1).

Найдём, например, значение выражения 96-2?62. Для этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий, сначала выполнить возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание:

1. 62=36;

2. 2?36=72;

3. 96-72=24.

Число 24 -значение выражения 96-2?62.

Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. Например, не имеют смысла такие выражения, как

35?(4?2-8),

§2.2 Выражения с переменными

Выражение, содержащее буквенную часть, называется выражением с переменной. Если в выражении с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдёт 60?2 км, за 3 ч - 60?3 км, за 5ч - 60?5 км. Вообще, за t ч он пройдёт 60t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 60t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить её значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 60t называют переменной, а само выражение 60t - выражением с переменной.

Приведём ещё пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны a см и bсм. Тогда его площадь равна ab см2. выражение ab содержит две переменные a и b. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях a и b.

Например,

a=8 и b=11, то ab=8?11=88;

a=25 и b=4, то ab=25?4=100.функция алгебра стереометрия урок

Так, число 88 есть значение выражения ab при a=8 и b=11, число 100 есть значение этого выражения при a=25 и b=4.

Рассмотрим выражение . При любом b?3 можно найти его значение.

Например, если b=13, то ===1,3.

При b=3 значение этого выражения найти нельзя, так как в этом случае делитель b-3 равен нулю. Говорят, что при b?3 выражение имеет смысл, а при b=3 оно не имеет смысла. Некоторые выражения имеют смысл при всех значениях переменных. Примерами могут служить выражения: x(x+1), ay-4.

Выражения с переменными используются для записи формул.

Рассмотрим, например, формулу четного числа. Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е. m=2n. Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значениями переменной m будут четные числа. Формулу m=2n называют формулой четного числа. Формулу m=2n+1, где n- целое число, называют формулой нечетного числа. Аналогично формуле четного числа можно записать формулу числа, кратного другому натуральному числу. Например, формула числа, кратного 3, запишется так: m=3n, где n-целое число.

Нахождение значения с переменными не является новой для учащихся задачей. При выполнении упражнений на нахождение значений выражений повторяются такие понятия, как переменная, значение переменной, значение выражения.

обобщение младший школьник мышление

§2.3 Сравнение значений выражений

Для любых двух числовых выражений можно установить, равны их значения или нет, и если они не равны, то какое из них больше и какое меньше.

Результат сравнения значений выражений можно записать в виде равенства или неравенства. Например, результат сравнения частных 1800:48 и 2100:60 можно записать в виде неравенства: 1800:48 > 2100:60.

Если выражения содержат переменные, то для разных значений переменных результат сравнения значений этих выражений может оказаться различным.

Решим задачу: "Пшеницей засеяли два опытных участка площадью 48 и 60 га. С первого участка собрали 180 ц пшеницы, а со второго 2100 ц. На каком участке урожайность выше?"

Урожайность выражается частным от деления массы пшеницы, собранной с участка, на площадь участка. Чтобы узнать, на каком участке урожайность выше, надо сравнить значения выражений 1800:48 и 2100:60. Так как 1800:48=37,5; 2100:60=35, то урожайность выше на первом участке.

Сравним, например, значения выражений 2a и a+4 при a=0, 4, 10.

Если a=0,то 2a=0 и a+4=4, т. е. при a=0 верно неравенство 2a< a+4.

Если a=4, то 2a=8 и a+4=8, т. е. при a=4 верно равенство 2a=a+4.

Если a=10, то 2a=20 и a+4=14, т. е. при a=10 верно неравенство 2a>a+4.

Иногда требуется установить, между какими числами заключено значение выражения. Рассмотрим пример. Пусть при взвешивании металлического шарика установили, что его масса больше 86 г, но меньше 87г. Обозначим массу шарика (в граммах) буквой m. Тогда результат взвешивания можно записать так: m>86 и m<87 или иначе: 86<m и m<87.

Два неравенства 86<m и m<87 можно записать в виде двойного неравенства: 86<m<87. Неравенство 86<m<87 читают так: "86 меньше m и m меньше 87"-или короче: "m больше 86 и меньше 87".

Рассмотрим ещё один пример. Число дней в месяце меньше 31 или равно 31. Обозначим число дней в месяце буквой n. Тогда n<31 или n=31. Вместо этой записи обычно пишут одно неравенство n?31 (читают:"n меньше или равно 31"). Число дней в месяце больше или равно 28: n>28 или n=28. В таких случаях также пишут короче n?28 (читают:"n больше или равно 28"). Так как n?28, то 28?n. Два неравенства 28?n и n?31 можно записать в виде двойного неравенства

28?n?31. Неравенства, составленные с помощью знаков > и <, называют строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью знаков ? и ?, называют нестрогими.

Специальное внимание следует уделить новым для учащихся вопросам: употреблению знаков ? и ?, записи и чтению двойных неравенств. На изучение данной темы отводится 2 часа. На первом уроке учащиеся знакомятся с употреблением знаков >, <, повторяют правила сравнения рациональных чисел.

§2.4 Свойства действий над числами

Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство: a+b=b+a

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство: (a+b)+c=a+(b+c)

Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство: ab=ba

Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел а, b и c верно равенство: (ab)c=a(bc)

Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство: a(b+c)=ab+ac.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 1. Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.

Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 2. Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.

Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых. Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство: a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:

a-b=a+(-b).

Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3. Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.

Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим:3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.

Пример 4. Вычислим произведение 36·().

Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:

()=36·-36·=9-10=-1.

§2.5 Тождества

Определение: Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.

Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:

x+y=2·1+2=4;

xy=2·1·2=4.

Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то x+y=2·3+4=10, xy=2·3·4=24.

Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.

Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами: a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можно привести и другие примеры тождеств:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

§2.6 Тождественные преобразования выражений

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

· чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть

· если перед скобками стоит знак "плюс", то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки

· если перед скобками стоит знак "минус", то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).

Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "плюс":

a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "минус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Применив указанные свойства действий, получим:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Необходимо иметь в виду, что формирование умений выполнять тождественные преобразования распределяется по всему курсу 7 класса, поэтому в данной теме внимание должно акцентироваться на раскрытии новой терминологии и символики.

Понятие тождества и тождественного преобразования явно вводится в курсе алгебры 7 класса. Однако без тождественных преобразований невозможно обойтись уже на первых шагах обучения математике. Так, первоначальное выполнение операции 5+2 в 1 классе совершается путём тождественных преобразований: 5+2=5+(1+1)=(5+1)+1=6+1=7. Изучаемые в начальной математике алгоритмы выполнения арифметических действий и свойства действий постоянно используются для тождественных преобразований, числовых выражений с одной или большим числом операций в числа, представляющие значения этих выражений. Там же в виде буквенных тождеств записываются законы и свойства арифметических действий, выполняются тождественные преобразования простейших буквенных выражений, например: (a+b+c):d=a:d+b:d+c:d; a+a+a=a·3 и так как систематическое изучение тождественных преобразований начинается в 7 классе с определений: "Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны", "Равенства, в которых левая и правая части - тождественно равные выражения, называют тождествами", "Замену выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения". Учащимся необходимо усвоить то принципиальное положение, что само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований выражения состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоить эти положения, учащиеся часто проявляют формализм в знаниях сущности тождественных преобразований: они не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражения тождественны, т. е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных. Этот пробел в знаниях учащихся обычно является следствием недоработки учителя при изучении действий и их свойств. При записи определений и свойств действий в буквенной форме (например, a+b=b+a; (a+b)c=ac+bc; ab=ba; (ab)c=a(bc) и т. д.) следует постоянно отмечать, что такие равенства верны при любых допустимых значениях переменных, в них входящих. Этот вопрос не может быть строго обоснован, надо добиться отчётливого понимания его учащимися.

Важно также добиться, чтобы учащиеся хорошо понимали, что такие виды тождественных преобразований, как раскрытие скобок, приведение подобных членов, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю и т. д., являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

Глава 3. Виды обобщений и их использование

Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами.

§3.1 Обобщение по размерности

Известно следующее утверждение:

Если , то для любой точки существуют такие числа и , что:

и .

Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению:

Если лежит в плоскости , то для любой точки найдутся такие числа , , , что:

и .

§3.2 Обобщение путем отбрасывания условий

Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу:

Доказать, что при выполняется неравенство

.

Здесь может быть отброшено условие . Тогда, введя функцию

при и используя производную, легко устанавливаем, что при .

§3.3 Обобщение на основе рассмотрения частных случаев

Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример:

Найти , если .

Обращаемся к частным случаям:

Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что , а потом ее и доказать.

§3.4 Обобщение на основе метода доказательства

В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения.

Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник - параллелограмм.

Анализируя метод доказательства, можно получить известное обобщение.

§3.5 Обобщение путем изменения

Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения.

Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене . Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены:

Без труда можно сформулировать возможные обобщения.

§3.6 Обобщение как усиление

Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства:

.

Введем функцию . Легко убедиться, что при она возрастает и график является выпуклым вниз

Рассмотрим криволинейную трапецию . Очевидно, что ее площадь может быть вычислена по формуле:

.

Площадь криволинейного треугольника находится по формуле:

,

.

Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что:

.

Так как площадь квадрата равна , то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше . Укажем координаты “нужных” точек:

.

Теперь рассмотрим точку . Пользуясь выпуклостью вниз графика функции , легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше площади треугольника . Докажем неравенство (это больше, чем нам нужно):

.

Отсюда и получаем требуемое неравенство.

§3.7 Обобщение на основе соединения

При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук - биофизика, биохимия, математическая биология и др.).

Известны следующие утверждения:

1. а) Если и - корни трехчлена , то .

б) Если и - любые числа, а , , то и - корни уравнения .

2. Пусть - точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой и , (рис. 2). Доказать, что площадь треугольника равна .

рис. 2

Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания:

Если и - отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то:

а) ;

б) ;

в) ,

где - гипотенуза, а - площадь треугольника.

§3.8 Обобщение в преподавании математики

При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Так, например, изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданным первому ее члену и разности.

При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства:

a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d и т. д.

Естественно, возникает полезное обобщение эти равенств в одной формуле an = a1 + d(n - 1), с помощью которой устанавливается более короткий способ для вычисления любого члена арифметической прогрессии.

В дальнейшем эта формула получает новое обобщение, когда устанавливается, что любая арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента:

y = kx + b, где xN.

Можно сказать, что обобщение выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.

Так, например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения множества натуральных чисел к множеству дробных положительных чисел.

К обобщению могут привести: а) замена некоторой постоянной объекта переменной (треугольник многоугольник); б) отказ от ограничения, наложенного на объект изучения D (D - множество действительных чисел).

Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или переход от менее емкого множества к более емкому, содержащему первоначальное.

1. Если случайно мы встречаем сумму

,

мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:

.

Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных чисел, т.е.

,

оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.

Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения.

§3.9 Обобщение как эвристический прием решения нестандартных задач

Решение многих некоторых задач предполагает использование эвристических приемов группы парадигмы. Под парадигмой понимается система приемов формоизменения текста условия задачи, с помощью которых учащийся по существу заменяет текст условия задачи в определенном смысле эквивалентным ему, но позволяющим в то же время быстрее обнаружить решение. Такая замена может осуществляться по преимуществу тремя путями.

1. Посредством соблюдения правил построения составных знаков математического языка из более простых выражений (синтаксическая парадигма). К данному типу относятся следующие приемы: выражение одной переменной через другую, введение вспомогательной неизвестной, идентификация того или иного геометрического объекта в различных конфигурациях, реконструкция целого по частям, разбиение целого на части, инверсия - расположение рассматриваемых объектов в особом порядке, облегчающем решение.

2. Через переформулирование условия задачи на основе учета связей между знаками исходного языка описания заданной ситуации и их значениями (семантическая парадигма). Сущность приемов, относящихся к данному типу, состоит в переходе от исходной к равносильной задаче путем перевода текста исходной задачи на другой язык, например, с естественного на символический при решении текстовых задач, или нахождение новой интерпретации заданных условий в рамках того же языка.

3. На основе использования логических законов контрапозиции и исключенного третьего (логическая парадигма). Здесь в основном используется метод доказательства от противного, а также приведение контрпримера или подтверждающего примера.

Можно выделить вторую группу эвристических приемов, используемых при решении нестандартных задач, - группу эксперимента. Если в предыдущем случае поиск решения задачи осуществлялся в основном за счет внешней модификации ее условия, без изменения самой задачной ситуации, то эвристические приемы второй группы предполагают активное вмешательство реципиента в ситуацию, описанную в задаче, которое осуществляется посредством анализа и экспериментального исследования взаимоотношений между данными и искомыми этой задачи. В данную группу входят следующие эвристические приемы: рассмотрение частных случаев (неполная индукция), использование предельного перехода, метод математической индукции, групповой анализ, различные дополнительные построения в геометрических задачах, метод малых изменений, использование соображений симметрии, применение свойств монотонности или непрерывности функций и другие.

Зачастую при решении нестандартной задачи используется не один эвристический прием, а сразу несколько, причем, может быть, из разных групп. Часто при решении задач наряду используются эвристические приемы группы парадигмы - метод от противного и идентификация геометрических объектов в рамках различных конфигураций. Каждый из затронутых выше эвристических приемов позволяет реализовать определенный набор мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, аналогию и т.п.). Для полноценного умственного развития учащихся при обучении математике целесообразно предусмотреть использование максимального количества различных эвристик.

§3.10 Урок обобщения и систематизации знаний

Уроки обобщения и систематизации знаний проводятся по окончанию изучения темы или раздела учебного материала. Основное их назначение заключается в усвоении связей и отношений между понятиями, теоремами, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале. Наиболее сложным в подготовке такого урока является организация повторения, выбор средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников. Следует иметь в виду, что логика обобщающего повторения содержательнее логики первоначального изучения учебного материала. Она предполагает выделение связей между основным и второстепенным, между блоками главного, а также во второстепенном материале. Среди средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников особое место занимают упражнения, выполнение которых основано на актуализации всего комплекса знаний и умений, подлежащих систематизации, упражнения, ориентированные на углубление и расширение знаний, на применение обобщений в различных конкретных ситуациях. К упражнениям такого вида относят упражнения на составление таблиц, схем, на классификацию понятий, на выявление отношений между понятиями, на составление «родословных» понятий и теорем.

Следует иметь в виду, что обобщающие уроки могут заключать не только пройденную тему, но и изучение исходного материала из разных разделов.

В уроке обобщения и систематизации знаний выделяют следующие структурные элементы:

1) сообщение темы, цели, задачи урока и мотивации учебной деятельности школьников;

2) воспроизведение и коррекция опорных знаний;

3) повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей системы знаний, ведущих идей и основных теорий.

Заключение

Проанализировав психолого-педагогическую и методическую литературу, можно сделать вывод, что обобщение является одной из основных и наиболее значимых операций мышления. Не умея обобщать, невозможно формировать понятия и законы, овладеть основами наук, которые становятся средствами решения конкретных задач и т.д.

Проведенный анализ литературы дает понять, что на сегодняшний день нет основания говорить о том, что уделено достаточное внимание проблеме формирования умения обобщать как важнейшей мыслительной функции, поэтому для младшего школьника не характерно владение высоким уровнем умения обобщать.

Таким образом, необходимо развивать умение обобщать у детей с раннего возраста и уделять этому вопросу большое внимание.

На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы можно придти к выводу, что необходимо использовать в процессе обучения многие факторы.

Ряд условий, который поможет формированию правильных обобщений у учащихся:

1. Необходим набор исходного материала, причем он должен быть многообразным;

2. Необходим анализ и сравнение учащимися большого количества сходных предметов;

3. Необходимо варьирование несущественных признаков при постоянстве существенных;

4. Зная общее, необходимо видеть его в отдельном конкретном случае, с которым приходится иметь дело в данный момент.

Как показывает анализ литературы, способность к обобщению связана с уровнем развития у человека таких умений, как:

? Умение выделять признаки объектов;

? Умение отделять существенные признаки от несущественных;

? Умение правильно выполнять обобщение и объяснять, как оно выполнено;

? Умение выделять операции, входящие в прием, и раскрывать их последовательность.

Поэтому развитие данных умений будет способствовать повышению уровня обобщения у учащихся. Проведение диагностических методик должно выявит уровень развития операции обобщения младших школьников.

Список литературы

1. Артемов К. К. Обобщение в обобщении математики // Начальная школа, 1985, № 11.

2. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении // М., Педагогика, 1972.

3. Давыдов В.В. Опыт введения элементов алгебры в начальной школе // Советская педагогика, 1962.

4. Люблинская А.А. // Учителю о психологии младшего школьника //Пособие для учителя. // М., Просвещение, 1977.

5. Менчинская Н.А. // Проблема умения и умственного развития школьника // М., Педагогика, 1989.

6. Пиаже Ж. // Речь и мышление ребёнка: Пер. с франц. и англ.// Редакция перевода В. А. Лукова, В. Л. А. Лукова. // М., Педагогика-Пресс, 1999.

7. Психическое развитие младших школьников. Под ред. В.В.Давыдова. // М.:, Наука, 1990.

8. Рубенштейн С. Л. Основы общей психологии // Изд. 2, М., Учпедгиз, 1946.

9. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах - М., Институт практической психологии. 2006.

10. Саранцев Г. И. «Упражнения в обучении математике». - М.: Просвещение, 1995.

11. Саранцев Г. И. «Общая методика преподавания математики» - М.: Просвещение, 1999.

12. Пойа Д. «Как решать задачу?».

13. Зильберберг Н. И. «Урок математики. Подготовка и проведение». - М.: Просвещение, 1996.

14. Епишева О. Б., Крупич В. И. «Учить школьников учиться математике».

15. Пичурин Л. Ф. «Воспитание учащихся при обучении математике».

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены