Поняття рівняння, системи рівнянь. Основні типові помилки та шляхи їх усунення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького

ННІ Фізики, математики та комп'ютерно-інформаційних систем

Курсова робота

Поняття рівняння, системи рівнянь. Основні типові помилки та шляхи їх усунення

Черкаси 2012



Зміст

Вступ

1. Поняття рівняння

2. Лінійні рівняння з однією змінною

3. Системи лінійних рівнянь з двома змінними

4. Рівняння другого степеня з одним невідомим

5. Введення параметра

6. Системи рівнянь другого степеня

7. Розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

8. Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів

9. Однорідні рівняння

10. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь

Висновки

Список використаних джерел і літератури

Додаток А



Вступ

Актуальність теми: Відомо, що впродовж багатьох років алгебру розглядали як науку про рівняння і способи їх розв'язування. Велике значення рівнянь підкреслював А. Ейнштейн. Він говорив: "Мені доводилось ділити свій час між політикою і рівнянням. Проте рівняння, на мій погляд набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно".

Готуючись до олімпіад з математики, а зараз до зовнішнього незалежного оцінювання учні зустрічаються зі значним обсягом рівнянь, які потрібно виконати за обмежений проміжок часу. Серед них часто трапляються такі, якими перевіряються у учнів не стільки технічні навички, скільки уважність, уміння знайти найкоротший шлях розв'язання, застосовувати нетрадиційний, оригінальний метод тощо. Тому сьогодні дуже важливо оволодіти різноманітними можливостями правильного оформлення алгоритму розв'язування рівнянь, який би не містив громіздких викладень, але за допомогою їх учні змогли б продемонструвати яскраві, ефективні, а інколи і несподівані застосування теоретичного матеріалу. Такі прийоми я намагалась знайти в додатковій літературі , в Інтернеті, а потім , узагальнивши їх, застосувати в інших умовах до розв'язування різноманітних рівнянь . Ці прийоми тісно пов'язані з матеріалом , що вивчається в школі, але, крім того, їх нестандартне розв'язання привчає школярів не задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв'язань.

Мета дослідження: Розглянути поняття рівняння та розкрити проблему втрачених і побічних коренів у різних типах рівнянь;

Завдання дослідження:1. Розглянути поняття рівняння на прикладі текстової задачі; 2. Виділити основні проблеми, що виникають у відшуканні коренів і побудові ОДЗ; 3. Створити контрольну роботу для кращого засвоєння розглянутих понять.

1. Поняття рівняння

Основні теоретичні відомості про рівняння, корені рівняння.

Розглянемо задачу: "На лівій шальці терезів лежать два кавуни однакової маси і гиря у 2 кг, а на правій шальці гиря в 10 кг. Терези перебувають у рівновазі (рис.1). Чому дорівнює маса кавуна?"[1:126]

Позначимо буквою масу кавуна, тому маса двох кавунів дорівнюватиме . Оскільки терези перебувають у рівновазі, то дістанемо рівність

.

Щоб знайти масу кавуна, ми склали рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою. Тоді рівності називаються рівняннями. Невідомі числа в рівнянні називають змінними, або невідомими.

Нам потрібно знайти число, при підстановці якого в рівняння

.

замість дістанемо правильну рівність. Таке число називають розв'язком рівняння або коренем рівняння.

Рівність

.

правильна при . Дійсно, якщо замість змінної написати число 4, то матимемо правильну числову рівність 2*4+2=10. Говорять, що число 4 задовольняє дане рівняння. рівняння алгоритм методика

Число, яке задовольняє рівняння, називається його розв'язком, або коренем. Іншими словами можна сказати, що коренем (розв'язком), рівняння називається значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

Розв'язати рівняння - означає знайти всі його розв'язки або показати, що їх немає. Найпростіші рівняння можна розв'язати на підставі відомих залежностей між доданками і сумою, між множниками і добутком.

2. Лінійні рівняння з однією змінною

Розв'язування багатьох практичних задач зводиться до розв'язування рівнянь, які можна перетворити до рівняння виду[4:1-5]:

ax+b=0,

де a і b -- задані числа, а - змінна (невідоме) називається лінійним рівнянням.

Якщо a0, то лінійне рівняння має єдиний корінь: x = -b /a.

Якщо a=0; b0, то лінійне рівняння розв'язків не має.

Якщо a=0; b=0, то, переписавши початкове рівняння у вигляді: ax= -b, легко видно, що будь-який є розв'язком даного лінійного рівняння.

Приклад 1. Розв'язати рівняння:



2x - 3 + 4(x - 1) = 5.

Розв'язання. Послідовно розкриємо дужки, зведемо подібні доданки i знайдемо x:

2x - 3 + 4x - 4 = 5,

2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12,

x = 2.

Відповідь: 2.

Приклад 2. Розв'язати рівняння:

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

Розв'язання.

2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7,

0x = - 6.

Відповідь: .

Приклад 3. Розв'язати рівняння:

2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.

Розв'язання.

2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

- 4x + 9 = 9 - 4x,

- 4x + 4x = 9 - 9,

0x = 0.

Відповідь: Будь-яке число.

3. Системи лінійних рівнянь з двома змінними

Рівняння виду:

a₁x + a₂у = b,

де a₁, a₂, b -- задані числа, називається лінійним рівнянням з двома невідомими x, у.

Система рівнянь називається лінійною, якщо обидва рівняння, що входять в систему, є лінійними. Якщо система із двох невідомих, то можливі наступні три випадки[4:16]:

1) система не має розв'язків;

2) система має рівно один розв'язок;

3) система має безліч розв'язків.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь:

Розв'язання. Розв'язати систему лінійних рівнянь можна способом підстановки, який полягає в тому, що з будь-якого рівняння системи виражають одне невідоме через інше невідоме, а потім підставляють значення цього невідомого в інше рівняння.

Із першого рівняння виражаємо:



x = (8 - 3y) / 2.

Підставляємо цей вираз в друге рівняння і отримуємо систему рівняння:

Із другого рівняння отримуємо y = 2. З урахуванням цього із першого рівняння отримуємо x = 1.

Відповідь: (1; 2).

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь[3:67]:

Розв'язання. Система не має розв'язків, так як два рівняння системи не можуть задовольнятися одночасно. Із першого рівняння

x + y = 3,

а із другого

x + y = 3,5

Відповідь: Розв'язків не має.

Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь:



Розв'язання. Система має безліч розв'язків, так як друге рівняння отримується із першого шляхом множення на 2 (тобто фактично є всього одне рівняння з двома невідомими).

Відповідь: має безліч розв'язків.

4. Рівняння другого степеня з одним невідомим

Алгебраїчне рівняння другого степеня з одним невідомим

(1)

називається також квадратним рівнянням[6:138-157].

Рівняння виду

називається зведеним квадратним рівнянням і має розв'язок:

.

Для рівняння (1) розв'язок можна подати у вигляді

.

Для коренів зведеного квадратного рівняння справджується формула Вієта

Цей результат випливає з тотожності

.

Корені квадратного рівняння (1) дійсні і різні при , кратні при і не є дійсними при . Якщо , то багаточлен

з дійсними коефіцієнтами набуває значень лише одного знака. При многочлен набуває значень одного знака, за винятком однієї точки - кратного кореня рівняння (1), де многочлен набуває нульового значення.

Приклад 1. Знайти розв'язок рівняння:

При рівняння має один розв'язок .

При знаходимо дискримінант

,



а отже, рівняння має два розв'язки

Приклад 2. Розв'язати рівняння з параметром

,

якщо , .

Виконавши відповідні перетворення, дістанемо квадратне рівняння

, (2)

дискримінант якого

.

При ліва частина рівняння (2) тотожно дорівнює нулю, а тому його розв'язком є будь-яке значення .

При обидві частини рівняння (2) можна поділити на , знайшовши два корені:

. (3)

За умови маємо



.

Розв'язавши рівняння

при , дістанемо розв'язок . Остаточно доходимо таких висновків.

1. При рівняння не має розв'язків.

2. При рівняння має довільний розв'язок

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. При рівняння має дворазові розв'язки

5. При рівняння має комплексні розв'язки.

6. При рівняння має два різні розв'язки виду (3).

5. Ведення параметра

Цей спосіб полягає в тому, що сталу, яка входить до рівняння, сприймають як параметр і розв'язують рівняння відносно параметра[5].

Розглянемо рівняння

Нехай .

Матимемо рівняння



Розв'яжемо його відносно а:

Один з коренів рівняння уже знайдено: х = .

Два інших знайдемо з рівняння .

Отже, розв'язками рівняння будуть числа:

; ; .

Приклад 3. Розв'язати рівняння:

з параметром .

Якщо

,

то дане рівняння стає лінійним. Розв'язуючи рівняння

,

знаходимо .

При рівняння має єдиний розв'язок .

При рівняння має розв'язок .



При знаходимо дискримінант

,

а далі й корені рівняння

.

6. Системи рівнянь другого степеня

В найпростіших випадках при розв'язанні систем рівнянь другого степеня вдається виразити одне невідоме через інше і підставить цей вираз в друге рівняння.

При розв'язанні систем рівнянь другого степеня часто використовується також спосіб заміни змінних.

Приклад 1. Серед розв'язків (x; y) системи знайти те, для якого сума (x + y) максимальна. Обчислити значення цієї суми[3:233-250].

Розв'язання. Із першого рівняння отримуємо

y = 7 - 2x.

Підставляючи 10 значення y в друге рівняння, отримуємо систему рівнянь:



Квадратне рівняння

- 2x² + 7x - 6 = 0

має корені х₁ = 2; х₂ = 3/2.

Із першого рівняння отримуємо y₁ = 3; y₂ = 4.

Розв'язки мають вид (2; 3) і (1,5; 4). Найбільша сума

x + y = 1,5 + 4 = 5,5

Відповідь: 5,5.

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь:

Розв'язання. Позначимо a = x + y; b = xy.

Отримаємо систему рівнянь:

або



Звідки

повертаючись до змінних x и y, отримуємо:

Розв'язавши цю систему:

y² - 3y + 2 = 0,

у₁ = 1; х₁ = 2;

у₂ = 2; х₂ = 1.

Відповідь: (2; 1) , (1; 2).

Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь[4: 5-23]:

Розв'язання. Розкладемо ліві частини рівнянь на множники:

Виразивши із другого рівняння (x 0)



x - y = - 3/x,

тобто

y - x = 3/x,

і підставивши його в перше рівняння, отримаємо:

звідки

Підставивши значення y в друге рівняння останньої системи, маємо:

- 3x² = - 3,

х₁ = 1; х₂ = - 1, тоді у₁ = 4; у₂ = - 4.

Відповідь: (1; 4), (- 1; - 4).

7. Розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

Для розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв'язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої[1:245].

Розглянемо цей прийом на прикладі

На числовій прямій потрібно знайти точки, сума відстаней яких від точок

х = - 5 і х = 8 дорівнює 16. Позначимо через у відстань, на якій знаходиться точка зліва від точки х = 5, одержимо допоміжне рівняння

у + (у + 13) = 16

або у =1,5, тобто х₁ = - 6,5.

В середині інтервалу точок, що задовольняють рівняння, немає. Справа від точки х = 8 на відстані, що дорівнює 1,5, знаходиться друга точка, що задовольняє рівняння : х₂ = 9,5.

Відповідь.

Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду

,

де , якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв'язком є інтервал . Якщо рівняння коренів немає.

Розглянемо приклади розв'язання рівнянь, що містять різницю модулів.



.

На числовій прямій потрібно знайти різницю відстаней яких до точок х = - 4 і х = 2 дорівнює 5. Так як відстань між точками х = - 4 і х = 2 дорівнює 6, то шукана точка знаходиться в середині інтервалу .

Позначимо через у відстань від шуканої точки до точки х = - 4, одержимо

у - (6 - у) = 5,

або у = 5,5, тобто х = 1,5. 12

Відповідь.

Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду

має один розв'язок, якщо ; в цьому випадку шукана точка знаходиться всередині інтервалу . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо рівняння коренів не має.

В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв'язувати рівняння прийомом, поданим вище. Наприклад, рівняння



запишемо у вигляді

На числовій прямій потрібно знайти точки, відстань яких від точки х = 3 були в 4 рази менші, ніж від х = 5.

1) Нехай шукана точка знаходиться поза інтервалом зліва від точки х = 3 на відстані у , тоді маємо рівняння

4у = у + 2, у =2/3,

тобто х = .

2) Нехай шукана точка знаходиться всередині інтервалу на відстані z від точки 3, тоді маємо рівняння :

4z = 2 - z,

звідки z = 2/5 , а х = .

Поза інтервалом справа від х = 5 рівняння коренів не має.

Відповідь.

Отже, розв'язуючи рівняння , що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння, ми ще до розв'язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.

Приклад 1[6:67-75].

Рівняння можна переписати так :

.

Так як , то розв'язком рівняння є весь інтервал . 13

Приклад 2.

.

Маємо рівняння

,

яке має 2 корені : .

Відповідь.

8. Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів

В шкільному курсі алгебри і початків аналізу проходить знайомство з теоремою Вейєрштраса: якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Розглянемо як дана теорема застосовується до розв'язування рівнянь з нескінченним числом квадратних коренів[3].

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності :

Так як другий доданок співпадає з лівою частиною початкового рівняння, то

Відповідь. 42

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Піднесемо в квадрат обидві частини рівності, одержимо

Ще раз підносимо до квадрата

Оскільки другий доданок дорівнює 3, знайдемо



Можна також чергувати корені різного порядку. Наведемо приклади такого роду.

Приклад 3.

9. Однорідні рівняння

Рівняння від двох змінних x и y таке, що степінь кожного його члена рівна одному і тому ж числу k, називається однорідним рівнянням степені k.

Рівняння виду P(x,y)=0 називається однорідним рівнянням степені k відносно x і y. Однорідне рівняння відносно x і y діленням на y^k (якщо y=0 не є коренем рівняння) перетворюється в рівняння відносно невідомого x/y. Ця властивість однорідного рівняння допомагає розв'язувати багато задач[1:145-147]. Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь:

Розв'язання. Ні одне із рівнянь системи не є однорідним. Але якщо помножити перше рівняння на 7 і додати до нього почлено друге рівняння, що помножене на 3, то отримаємо рівняння



7y²10xy+3x²=0,

що є наслідком початкової системи. Поділимо обидві частини рівняння на x² і розв'яжемо рівняння

7U²10U + +3=0

(тут U=y/x, причому із другого рівняння системи слідує, що x0). Знаходимо, що y=x або y=3x/7. Підставляючи цей вираз в друге рівняння і, розглянувши обидва випадки, знайдемо розв'язок:

x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = 7, y₂ = 3.

Відповідь: x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = 7, y₂ = 3.

Ми отримали розв'язок системи шляхом виведення із заданих рівнянь допоміжної рівності. Такий спосіб розв'язання систем в деяких випадках приводить до появи "сторонніх" коренів -- значень x и y, що не задовольняють початкову систему. Тому знайдені корені потрібно провірити, підставивши їх в початкову систему и впевнившись, що рівняння системи перетворюються в правильні числові рівності.

10. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь

Як свідчить практика, труднощі, з якими зустрічаються учні та абітурієнти під час розв'язування рівнянь, виникають в першу чергу із-за невміння інтенсивно, зосереджено працювати. Не маючи достатнього досвіду в розв'язуванні рівнянь, вони не вкладаються в відведений час, не встигають проаналізувати всі запропоновані і реалізовані методи розв'язування.

Відомо, що багато рівнянь допускають декілька різних прийомів розв'язання. Можна дати будь-яке правильне розв'язання. Хоч бажання знайти найбільш короткий і красивий шлях розв'язання вельми природне, відшукання такого шляху в умовах уроку чи під час зовнішнього оцінювання не можливо, тому що це може зайняти багато часу. Тому краще до кінця довести нехай довге, але надійне розв'язування. Крім того поспішність часто приводить до досадних арифметичних помилок, плутаниці знаків, описок і т.п. , що приводить до помилкової відповіді, хоч нерідко хід розв'язання був правильним. Хоча, якщо ви знаєте як розв'язати рівняння коротшим шляхом,і впевнені в його правильності, то чому б не зекономити час. Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь часто приводить до загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на спільний множник, що містить змінну, але якщо не врахувавши при цьому, що коли цей множник в області допустимих значень (ОДЗ) змінної перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених коренів. Особливо часто ця помилка зустрічається під час розв'язування тригонометричних рівнянь. Головна мета при розв'язуванні ірраціональних рівнянь - це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами: піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня або заміною. Перший спосіб застосовується частіше, хоча останній часто значно спрощує перетворення. Розв'язуючи ірраціональні рівняння, потрібно пам'ятати, що:

а) перевірка одержаних значень для невідомого в загальному випадку являється обов'язковою частиною розв'язку, так як при піднесенні в парну степінь обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні корені;

б) в багатьох випадках сторонні корені можуть належати ОДЗ невідомого в початковому рівнянні, тому є помилкою винесення в відповідь усіх розв'язків рівняння, що належать ОДЗ, без їх перевірки. Взагалі кажучи, перевірку здобутих розв'язків потрібно робити при розв'язанні будь-яких рівнянь, якщо це пов'язано з виконанням складних перетворень. Наприклад, у рівнянні



знаходження ОДЗ цього рівняння пов'язане з розв'язуванням систем ірраціональних нерівностей, тому в даному випадку цього робити не потрібно. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо :

.

Піднісши ще двічі до квадрату остаточно дістанемо квадратне рівняння

9xІ - 64x - 64 = 0,

корені якого , .

Перевіркою встановлюємо, що - сторонній корінь.

Під час розв'язання показових рівнянь допускаються помилки , які свідчать про недостатні знання правил дій над степенями , властивості показової функції.

Значне число помилок при розв'язуванні логарифмічних пояснюється нетвердими знаннями властивостей логарифмічної функції, правил логарифмування і потенціювання. Потрібно враховувати, що логарифмування, ділення, множення рівнянь на вирази, що містять невідомо величину, може привести до звуження ОДЗ і, а це означає до загублених коренів. Виключити сторонні корені можна перевіркою, знайти загублені корені складніше.

В багатьох немає чіткого уявлення про те, в яких випадках потрібно перевірка при розв'язуванні рівнянь, а в яких ні. Потрібно пам'ятати, що призначення перевірки - відкинути сторонні корені, які частіше всього проявляються при:

1) скороченні дробів на множники, що містять змінну.

Наприклад, скоротивши на (х+2) дробову частину рівняння

і розв'язуючи його, одержимо х=-2 - це сторонній корінь;

2) взаємне спрощення подібних членів, що містить змінну в знаменнику дробу, під знаком радикалу, чи під знаком логарифма. Наприклад , відкинувши - і , під час розв'язання рівняння

,

одержимо , звідки знайдемо , (нуль тут сторонній корінь);

3) піднесення обох частин рівняння в парну степінь:

,

звідси

чи

= 0.

Тоді , (тут один сторонній корінь);

4) потенціювання обох частин рівняння, наприклад,

lgх+lg(x+21)=2,

звідси

х(х+21)=100

і тоді =4 ,=-25. В даному випадку -25 - сторонній корінь.

Сторонні корені з'являються при розширенні ОДЗ невідомого, що входить в рівняння. Виявити їх можна перевіркою . Таким чином, процес розв'язання будь-якого рівняння потребує уважного аналізу. Під час переходу до кожного наступного запису рівняння потрібно вияснити, чи рівносильне це нове рівняння попередньому. Якщо ні, то до чого приведе перетворення, якщо до появи сторонніх коренів (в цьому випадку в кінці роботи необхідна перевірка всіх визначених значень х) чи до загубленого кореня (тоді зразу ж проаналізувати, які корені губляться і включити їх в кінцеву відповідь).



Висновки

В процесі розв'язування рівнянь ми помітили , що всі вони зводяться кінець кінцем до розв'язання переважно вже за відомими алгоритмами. Опанування цих алгоритмів є важливим завдання для кожного учня. Філософи навіть стверджують, що нема кращого способу створити умови для творчої діяльності як бездоганне знання цих алгоритмів. Справді, розв'язання нестандартних рівнянь зводиться, зрештою, до розв'язання відомих опорних рівнянь , які мають формули розв'язання. Але ще в 20 роках минулого століття Н.Х. Абель довів, що формули для рівнянь n-ого степеня при n > 5 напевно не можуть бути знайдені. Хоч він не виключав можливості того, що корені деяких конкретних многочленів з числовими коефіцієнтами все таки можна визначити через коефіцієнти. Що пізніше і трапилося.

Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі, О. Хайям, Ф. Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна людина.



Список використаних джерел і літератури

1. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики. - Харків " Торсінг " - 2003.- 367с.

2. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. - Київ " Вища школа " - 2006 - 381с.

3. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. -- 2-ге вид., доп. -- К.: Либідь, 1993. -- 344 с.

4. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. -- К.: КНЕУ

5. Амелькин В. Задачі з параметром. -- Минск, 1994.

6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. -- К., 1970. -- 242 с.

7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21--22 (81--82), Червень 2000.



Додаток А

Контрольна робота

Розв'язати рівняння:

Розв'язати ірраціональне рівняння:

Розв'язати систему рівнянь 2-го степеня:

Розв'язати рівняння з модулем:

Розв'язати систему:



Розв'язати систему:

Розв'язати рівняння, використовуючи параметр:

I -

II -

Розв'язати рівняння, використовуючи параметр:

Размещено на Allbest.ru