Размещено на http://www.allbest.ru/

План-конспект уроку на тему:

Система опорних фактів планіметрії. Многокутники. Коло і круг

Многокутники

Многокутником називається проста замкнена ламана. Наприклад, многокутником А₁А₂…А_n називається лінія, яку отримують при послідовному сполученні n різних точок А₁, А₂, …, А_n відрізками так, щоб кожна точка була сполучена з наступною, а остання з першою (рис.1.1). Розрізняють многокутники плоскі й неплоскі. Плоский многокутник - частина площини, обмежена многокутником.

Многокутник може бути опуклий або не опуклий. Многокутник опуклий, якщо він лежить в одній півплощині відносно кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини (рис.1.1, б, г, д).

Многокутники називають рівними, якщо вони при накладанні суміщаються. Для опуклого n-кутника сума внутрішніх кутів дорівнює 180° (n - 2), а кількість діагоналей будь-якого n-кутника дорівнює . Якщо всі сторони опуклого многокутника рівні між собою і всі кути теж рівні між собою, то його називають правильним (рис.1.1, д). Якщо всі вершини многокутника лежать на деякому колі, то він називається вписаним у це коло (рис.1.2, а). Якщо всі сторони многокутника дотикаються до деякого кола, то він називається описаним навколо кола (рис.1.2, б). За кількістю сторін n-кутника йому дають назву. Наприклад, трикутник (n = 3), чотирикутник (n = 4), п'ятикутник (n = 5) і т.д.

Навколо кожного правильного многокутника можна описати коло або в кожний правильний многокутник можна вписати коло.

У правильному многокутнику центри описаного і вписаного кіл збігаються. Спільний центр описаного і вписаного кіл називається центром правильного многокутника. Радіус вписаного кола називають апофемою правильного многокутника.

Кут, утворений двома радіусами, проведеними через суміжні вершини правильного многокутника, називається його центральним кутом. Усі центральні кути правильного многокутника рівні між собою, вони дорівнюють, де n - кількість сторін (кутів) многокутника.

У правильному n-кутнику, як і в довільному n-кутнику, сума всіх кутів (внутрішніх) становить 180° (n - 2). Тому кожний його кут визначається за формулою . Коло, вписане в правильний многокутник, дотикається до його сторін в їхніх серединах. Центр кола, вписаного в правильний многокутник, є точкою перетину серединних перпендикулярів до його сторін (рис.1.3).

Якщо сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус вписаного в нього кола - r, а радіус описаного навколо нього кола - R, то між ними існує взаємозв'язок, що виражається формулами:

Опуклі чотирикутники

Чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, називається паралелограмом.

Властивості паралелограма:

1) Середина діагоналі паралелограма є його центром симетрії.

2) Протилежні сторони паралелограма рівні.

3) Протилежні кути паралелограма рівні.

4) Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

5) Діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.

6) Сума квадратів діагоналей паралелограма (d₁ і d₂) дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: .

Щоб довести, що деякий заданий чотирикутник є паралелограмом, треба, згідно з означенням, переконатися в паралельності його протилежних сторін. Інколи такі міркування є громіздкими, а інколи - зайвими. Існують інші доведені ознаки, на підставі яких можна стверджувати, що даний чотирикутник є справді паралелограмом.

Якщо в чотирикутнику справджується будь-яка з таких умов:

1) протилежні сторони попарно рівні;

2) дві протилежні сторони рівні і паралельні;

3) протилежні кути попарно рівні;

4) діагоналі в точці перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є паралелограмом.

Прямокутник - це паралелограм, у якому всі кути рівні. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 180° (4 - 2) =360°, то в прямокутнику всі кути прямі. Прямокутник має всі властивості паралелограма. Крім того, він має ще одну властивість: діагоналі прямокутника рівні між собою.

Для прямокутника справджується і обернена теорема про те, що коли в паралелограмі діагоналі рівні, то такий паралелограм є прямокутником. Ця теорема є ознакою прямокутника.

Ромб - це паралелограм, у якому всі сторони рівні. Крім загальних властивостей паралелограма, ромб має ще й інші властивості, характерні лише для нього.

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Справджується і обернена теорема, яка є ознакою ромба: якщо в паралелограмі діагоналі взаємно перпендикулярні або якщо в ньому діагоналі ділять кути навпіл, то такий паралелограм - ромб.

Квадрат - це паралелограм, у якому всі кути рівні і всі сторони рівні. Отже, квадрат - це прямокутник з рівними сторонами або квадрат - це ромб з рівними кутами (прямими). Очевидно, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.

Трапеція - це чотирикутник, у якому тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції, дві інші сторони - бічними сторонами.

Якщо бічні сторони трапеції рівні між собою, то таку трапецію називають рівнобічною (рис.1.4, АВ = СD).

Рівнобічна трапеція має такі властивості:

1) Кути, прилеглі до основи рівнобічної трапеції, рівні. Справджується і обернене твердження: якщо кути, прилеглі до основи трапеції, рівні, то така трапеція рівнобічна.

2) Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

3) Сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180°.

Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається її середньою лінією (рис.1., MN - середня лінія, AM = MB, CN = ND).

Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їхній півсумі (рис.1.4, MN || AD, MN || BC, ).

Коло і круг

Круг і коло ми зустрічаємо повсюди. Кругом з центром О і радіусом R називають фігуру, яка утворена всіма точками площини, які віддалені від точки O на відстань, не більшу за R. Круг обмежений колом. Колом із центром О і радіусом R називають множину точок площини, віддалених від точки O на відстань, що дорівнює R (рис.1.5, а). Відрізки, що з'єднують центр з точками кола та мають довжину R, називають радіусами кола (круга).

Частини круга, на які він ділиться двома радіусами, називають круговими секторами (рис.1.5, б).

Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола (MK), ділить круг на два сегменти, а коло - на дві дуги. Діаметр - найбільша хорда кола (CD).

Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдине коло. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить навпіл цю хорду і обидві дуги, які стягуються нею, і навпаки, якщо діаметр проведено через середину хорди, то він перпендикулярний до неї і ділить навпіл дугу, яку стягує ця хорда (рис.1.8, а).

Дуги, що містяться між паралельними хордами, рівні між собою. Рівні дуги стягуються рівними хордами, і навпаки, рівні хорди стягують рівні дуги.

Рівні хорди однаково віддалені від центра, і навпаки, хорди, однаково віддалені від центра, рівні між собою.

Більша з двох хорд менше віддалена від центра, і навпаки, з двох хорд більша та, яка менше віддалена від центра (рис.1.6, а).

Пряма, що проходить через точку кола, є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку. Якщо дотична паралельна хорді кола, то точка дотику ділить навпіл дугу, яку стягує хорда (рис.1.6, в; АМ || СВ, ).

Якщо з однієї точки до кола проведено дві дотичні, то відрізки цих дотичних (від точок дотику до даної точки) рівні між собою, а промінь, проведений через дану точку і центр кола, ділить навпіл кут між дотичними (рис.1.8, в; АМ = AN, кут MAO= куту OAN).

Вписаним кутом у коло називають кут, утворений двома хордами, що виходять з однієї точки на колі (рис.1.7).

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Вписані кути, що спираються на одну дугу, між собою рівні. Вписаний кут, що спирається на півколо (на діаметр), - прямий.

многокутник чотирикутник коло хорда

Кут з вершиною у центрі кола називається центральним кутом. Центральний кут, сторони якого перетинають коло в тих самих точках, що і вписаний, називається відповідним центральним кутом до вписаного (рис.1.8). Міра вписаного кута дорівнює половині міри відповідного центрального або доповнює його половину до 180°. Кут, утворений хордою і дотичною, яка проходить через кінець хорди, вимірюється половиною дуги, що міститься між сторонами цього кута (рис.1.9).

Кут, утворений двома хордами, що перетинаються всередині кола, вимірюється півсумою двох дуг, одна з яких міститься між сторонами цього кута, а друга - між продовженнями цих сторін. Кут, утворений двома дотичними, називається описаним (рис.1.6, в; ). Описаний кут вимірюється піврізницею двох дуг, що містяться між його сторонами.

Довжину кола знаходять за формулою: , де d - діаметр кола, R - радіус кола, а довжину дуги кола - за формулою: , де - градусна міра відповідного центрального кута. Площа круга: , площа кругового сектора: ,, де R - радіус круга, - градусна міра відповідного центрального кута. Площа сегмента: , де - градусна міра центрального кута, який містить дугу цього кругового сегмента, а , - площа трикутника з вершинами в центрі круга та на кінцях радіусів, що обмежують відповідний сектор.

Размещено на Allbest.ru