Математическая логика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Анализ учебников математики за 5- 6 класс и алгебры за 7 - 9 классы на предмет математической логики

1.1 История возникновения математической логики и алгебры

1.2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях

1.3 Анализ учебников математики за 5-6 классы

1.4 Анализ учебников алгебры 7-9 классов

Введение

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение математических методов в самых различных областях человеческой деятельности. К сожалению, в школьном курсе математики рассматривается недостаточное количество прикладных задач, а большой упор делается на овладение математическим аппаратом. Это приводит к тому, что учащиеся не могут применить свои знания при решении ряда практических задач. Проведение отдельных интегрированных уроков не спасает положение.

Поэтому появилась необходимость введения интегрированных, эклективных курсов по математической логике. Потребность в таких спецкурсах была вызвана рядом причин: предметы лицейского цикла не дают представление о целом явлении, дробя его на разрозненные фрагменты; необходимо побудить учащихся к активному познанию окружающей действительности, к осмыслению и нахождению причинно-следственных связей, к развитию логики мышления, коммуникативных способностей; вызвать у них особый интерес нестандартной формой проведения спецкурса (работа в группах); современному обществу необходимы высококлассные, хорошо подготовленные специалисты, умеющие применить свои знания при решении практических задач; дать возможность для самореализации, самовыражения, творчества учащихся.

Учителями математики и информатики разрабатываются элективные курсы “Математическая логика”. Логика является основным инструментом при решении, как математических задач, так и задач по программированию, а программирование является “стержнем информатики”.

Математическая логика и теория графов лежит в основе теории искусственного интеллекта. Умение логически мыслить, позволяет работать творчески в любой области знаний. Результаты работы специалистов, работающих на “стыке” математики и информатики, достижения в вычислительной технике, огромный опыт формализации и решения сложнейших проблем в самом программировании, связанный с созданием больших программных комплексов с использованием современных принципов программирования, основанных на глубоком знании математики, позволяет строить модели знаний, являющиеся основой компьютерных систем искусственного интеллекта. Назначение таких систем состоит в поиске решений задач, ответов на вопросы пользователя, консультаций. Учащиеся учатся решать логические задачи различными способами, используя ЭВМ, теорию графов (построение деревьев), логические высказывания и выражения .

Сама программа основана на интеграции информатики и математики, структурировании имеющегося учебного материала, адаптированного применительно к лицею, а также к дальнейшему продолжению обучения в профильных группах лицея и в ВУЗах политехнического профиля.

В научно-методической литературе поддерживается идея проведения интегрированных уроков, но на наш взгляд было бы эффективней проводить именно спецкурс, так как в этом случае будут проведены не отдельные уроки, а комплекс занятий, что благоприятно скажется на всей системе обучения.

Глава 1. Анализ учебников математики за 5- 6 класс и алгебры за 7 - 9 классы на предмет математической логики

1.1 История возникновения математической логики и алгебры

Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики.

Алгебре предшествовала арифметика. Характерное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что в алгебру вводится неизвестная величина. Намек на такую трактовку арифметических задач есть уже в древне - египетском папирусе Ахмеса (2000 - 1700 до н. э.), где искомая величина называлась словом «куча» и обозначается соответствующим знаком-иероглифом.

В начале 20 века были расшифрованы многочисленные математические клинописи и другие из древнейших культур - вавилонской. Это открыло миру высоту математической культуры существовавшей уже за 4000 лет до наших дней.

Первые общие утверждения о тождественных преобразования встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI века до н. э.

Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Большинство задач решалось путем построений циркулем и линейкой.

В Египте решали задачи способом «аха», а в Вавилоне задачи решались по сути дела с помощью уравнений. Только в то время еще не умели применять в математике буквы. Поэтому вместо букв брали числа, показывали на числах, как решать задачу, а потом уже все похожие на нее задачи решали тем же способом.

Многие уравнения умел решать греческий математик Диофант, который даже применял даже букв для обозначения неизвестных. Но по-настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских ученых, первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед Ибн Муса ал - Хорезми. Название у нее было очень странное - «Краткая книга об исчислении ал - джабры и ал - мукабалы.» В этом названии впервые прозвучало известное нам слово «алгебра».

Один персидский математик изложил в стихах обозначение слов «ал - джабра» и «ал - мукабала».

Ал - джабра.

При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим, -

И найдем результат нам желательный.

Ал - мукабала.

Дальше смотрим в уравнение,

Можно ль сделать приведенье,

Если члены в нем подобны,

Сопоставить их удобно,

Вычтя равный член из них,

К одному приводим их.

Таким образом, название «ал - джабра» носила операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Поэтому в Испании, которая долгое время была под арабским владычеством, слово «алгебрист» означало совсем не математика, а … костоправ.

А слово «ал - мукабала» означало приведение подобных членов. Оно не такое употребимое как «ал - джабра» и о нем помнят только историки науки.

Вскоре начали изучение более сложных уравнений, но их успешному решению мешало то, что не применяли букв. Но вскоре уравнения, которыми занимались итальянские и немецкие математики, стали настолько сложными, что без букв оказалось к ним подступится. И тут началось внедрение букв в алгебру.

С VI века центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII веке. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пезанский. Его «Книга абака» - тракт, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно. Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI веке формулы для решения кубического уравнения. В конце XVI века французский математик Ф. Виета ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений. В конце XVIII века было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной темы алгебры.

В начале XIX века алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающаяся на геометрические понятия. Таким образом, в течение XIX века в математике возникли разные виды алгебр.

В области преподавания арифметики Россия в XIX веке создала свою передовую математическую школу, далеко опередив в этом смысле западноевропейскую школу. Алгебра как дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимости от формально - схоластических тенденций.

Программы курса алгебры в первой половине XIX века поражают своей громосткоcтью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по алгебре. В 1985 году Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работают и такие математики как В. А. Евтушевский («Сборник арифметических задач») в первой части, которой ставится задача введение «алгебраического языка»; переход к буквенным обозначениям от числовых формул задач, П. Л. Чебышев («Руководство алгебры») и т. д.

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены: идеи переменной величины, понятие функции.

Историческую основу современной логики образуют две теории дедукции, созданные в IV веке до н. э. Древнегреческими мыслителями: одна - Аристотелем, другая - его современниками Мегарской школы. Преследуя одну цель - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели.

Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказательства сформулировал основное правило исчисление высказываний - правила «отделения заключения». Именно на этом пути он ввел понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл атрибутивную форму речи - как утверждения или отрицания «чего-либо о чем-то», определил простое высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объектных отношений, аксиому и правило силлогизма.

Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков. В сочинениях стоиков логические высказывания предшествуют аристотелевской силлогистики, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний.

Эпикура - последняя наиболее важная для истории логики школа в античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили начало индуктивной логике, указав, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и, сформулировав ряд правил индуктивного обобщения.

Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность. Ее вклад в логику ограничивается переводческой деятельностью поздних перипатетиков и неоплатоников.

Как самостоятельная наука логика развивается лишь в странах арабской культуры (VII - XI век). Оригинальная средневековая логика, известная под названием «logica modernorum» возникает лишь в XII - XIII веке.

Последующие два столетия - эпоха возрождения для дедуктивной логики были эпохой кризиса.

В XIX - XX веке в трудах Дж. Буля возникает алгебраическая логика. Развивалась она в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Основным предметом алгебраической логики стали высказывания, рассуждения. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.

В алгебраической логике для обозначения истинности вводится символ И, а для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0.

Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий.

Основным предметом математической логики является построение и изучение формальных систем. Центральным результатом является, доказанная в 1931 году австрийским математиком Геделем теорем о неполноте, утверждающая, что для любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в ней предложения, то есть такие формулы А, что ни сама формула А, ни ее отрицания не имеют вывода.

1.2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях

учебник математика логика алгебра

Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.

Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны как на естественно (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов (3 + 4 · 7 = 31). Математические предложения характеризуются содержанием и логической структурой.

Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова - из букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения переменных, множеств их элементов (a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z); знаков, для записи действий (+, -, ·, :, ?, и др.); знаков отношений, для записи предложений ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются скобки, запятая.

Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово - это такая конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например, запись 7 - : 8 + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.

В математике различаются элементарные и составные предложения. Например: «Число 56 делится на 8» - это элементарное предложение. А предложение «Число 56 четное и делится на 8» составное.

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.

Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а предложение «3 + 3 = 32» ложное высказывание. Каждому высказыванию приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л называют значениями истинности высказывания. Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов: «и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются логическими связками.

Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное высказывание. Назовем его конъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А и В).

Конъюнкицией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А - число 102 четное - И, а В - число 102 делится на 9 - Л. Следовательно, и все предложение ложно.

Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А или В).

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «Число 15 четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В», где А - Число 15 четное - Л, а В - число 15 делится на 3 - И. Следовательно, и все предложение истинное.

Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная. Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе. Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов «на поводке» был оторван).

Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав. Если бы союз «или» была бы пава Катя.

Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое». Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают ? читают: «Не А» или «Неверно, что А».

Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание ?, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…, то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен». Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают). Импликацию высказываний А и В записывают так: А ==> В и читают «Если А, то В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее заключением.

Считают, что импликация А ==> В истинна во всех случаях, кроме случая, когда А истинно, а В ложно.

Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами импликацию двух высказываний А ==> В получим В ==> А. Ее называют импликацией, обратной импликации А ==> В. Например, если дана импликация «Если вам больше 14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова: «Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».

Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А ==> В и В ==> А, то есть высказывание вида (А ==> В) ? (В ==> А). Это высказывание истинно только тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А ? В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда, когда В; в) А, если и только, если В.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ?, потому что ложно высказывание «2 = 3».

Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

А В А ? В А ? В ? А ==> В В ==> А (А==>В) ? (В==>А)

И И И И ? И И И

И ? ? И ? И ?

? И ? И И И ? ?

? ? ? ? И И И

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти предложения в высказывания (истинные или ложные).

Предложения такого вида называния высказывательными формами или предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется одноместной, а две двух местной.

И так, высказывательная форма - это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве действительных чисел, буде промежуток (5;?).

Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда согласно определению, всегда Т ? Х.

Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные. Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат А(х) ==> В(х), х ? Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А(х) ==> В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует из предиката А(х).

Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно, что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х) называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) - достаточным условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие» заменяют словами «только тогда», «только в том случае».

Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат, получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно осуществить и другим образом.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит предложение «всякое число х кратно 5» (х ? N) - высказывание, причем ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х и обозначается символом ?х.

Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом ?х.

Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные. Например, (?х)(?у) х > у или (?х)(?у) х > у.

Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный закон сложения чисел записывают в виде равенства а + в = в + а, которое означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором общности.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно привести контр пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедится в ложности такого высказывания, необходимо привести доказательство.

Понятия: высказывания, предиката и операции над ними позволяют выяснить логическую структуру многих утверждений. Этому способствует и использование при их записи символов, применяемых в логике.

При изучение математики часто приходится рассматривать предложения, называемые теоремами. Каким бы ни было содержание теоремы, она всегда представляет собой высказывание, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.

Итак, теорема - это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем доказательства.

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А ==> В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением.

Теоремы из А ==> В и В ==> А называются обратными друг другу, а теоремы А ==> В и ? ==> В называются противоположными друг другу.

Теорему В ==> ? называют обратной противоположной. Установлено, что теорема А ==> В и B ==> А равносильны, то есть всегда когда истинна теорема А ==> В, будет истинна и теорема В ==> А, и наоборот А ==> В равносильно B ==> А. Полученную равносильность называют законом контр позиции.

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами.

Для того, чтобы теоремой было удобнее пользоваться на практике, ее формулируют в виде правила и записывают только формулу, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать правила и формулы.

1.3 Анализ учебников математики за 5-6 классы

Учебник математики для 5-го класса открывает линию учебников для основной и средней общеобразовательной школы, во всех учебниках которой реализована единая концепция развивающего обучения. Вместе с тем, каждый учебник обладает своей спецификой, обусловленной как программой, так и психофизиологическими особенностями школьников соответствующего класса.

Так, при изучении математики в 5-6 классах акценты делаются на:

- осуществление преемственности с курсом математики начальной школы;

- углубление интереса школьников к изучению математики;

- развитие самостоятельности мышления школьников;

- создание основ для изучения систематических курсов алгебры и геометрии, которые начинаются в 7-м классе.

Вопросы преемственности приобрели особую актуальность в последние 20 лет в связи внедрением в обучение математики в начальной школе развивающих педагогических систем Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова и Л.В.Занкова. Линии математики в этих комплектах представлены учебниками Э.И.Александровой, И.И.Аргинской и Н.Б.Истоминой. Нельзя не сказать и об учебниках Л.Г.Петерсон, в которых, как считает сама Людмила Георгиевна, интегрируются идеи Эльконина-Давыдова и Занкова. При обучении по этим учебникам у школьников формируются привычки анализировать, классифицировать, самостоятельно находить характеристические свойства объектов. В пятом классе мы продолжаем эту линию за счет включения в учебник подсистемы специальных заданий. В то же время эти задания помогают приобрести соответствующие умения и школьникам, которые занимались в начальной школе по традиционным учебникам.

Интерес к изучению математики поддерживается доступностью курса для школьников, так как успешность в изучении предмета является необходимой основой для развития интереса. С этой целью мы старались разгрузить изложение материала от второстепенных деталей, концентрируя внимание школьников на основном содержании. Тексты учебника краткие по объему и написаны простым языком.

Фабулы многих задач содержат интересные факты из географии, техники, биологии, истории. Как известно, однообразие утомляет и снижает интерес. Поэтому соседние задания в системе упражнений, как правило, отличаются либо по содержанию, либо по формулировке. Это заставляет школьников чередовать виды деятельности, переключаясь с алгоритмической деятельности на интеллектуальную и обратно.

Как и в других учебниках математики, в нашем учебнике есть задачи на смекалку. Однако у нас тематика таких задач, как правило, соответствует основному содержанию пункта, в который они включены.

И, наконец, в нашем учебнике есть список дополнительной литературы, с чтения которой для многих профессиональных математиков начался их путь в науку.

Большое внимание и в объяснительных текстах, и в системе заданий уделяется развитию навыков самостоятельного мышления. В систему упражнений включены задания, развивающие умения выделять общие свойства объектов, обосновывать свои решения, строить контрпримеры, искать рациональные пути решения, а также различные нестандартные задания, для выполнения которых школьникам не даются алгоритмы.

К таким заданиям относятся и все задачи на смекалку.

Одним из важных условий формирования самостоятельности мышления, как и любой самостоятельной деятельности, является навык самоконтроля. Самоконтролю в учебнике уделяется особое внимание. В системе упражнений есть специальные задания, выполнение которых заставляет школьника уяснить основные теоретические факты, установить взаимосвязи между разными алгоритмами. Каждый пункт учебника завершается вопросами и заданиями для самоконтроля. В разделе ответов учебника приводятся не только ответы практически ко всем заданиям, но имеются и советы а также решения к некоторым из них, что в первую очередь направлено на формирование самоконтроля школьников.

Одним из краеугольных камней фундамента, на котором строится систематический курс алгебры, являются вычислительные умения школьников. Поэтому большое внимание уделяется вычислительной практике. Для формирования более прочных навыков школьники учатся действовать с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями уже в пятом классе. Действия с обыкновенными дробями с разными знаменателями в пятом классе ограничиваются достаточно простыми случаями, когда приведение дробей к общему знаменателю не требует разложения знаменателей на простые множители. Более сложные случаи будут изучены в курсе шестого класса, где рассматривается делимость чисел. Это позволяет значительно больше времени уделить формированию и закреплению вычислительных навыков с обыкновенными дробями. Мы сознательно отказались от использования калькулятора на этом этапе.

С числовой линией тесно связаны такие математические понятия, как неравенства, равенства и уравнения. С уравнениями школьники знакомятся уже в начальной школе, а в пятом классе мы только поддерживаем уже полученные школьниками знания и тренируем их в составлении уравнений по текстам задач. Однако большинство задач в пятом классе предполагает решение по действиям. Основной этап развития линии уравнений будет связан с изучением пропорций и отрицательных чисел в шестом классе.

Использовать буквы ученики также начинают в начальной школе, а в пятом классе они продолжают работать с буквенными выражениями и равенствами: находят значения буквенных выражений, раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, записывают законы арифметических действий, формулы периметров, площадей фигур, а также объемов некоторых тел.

В 5-м классе школьники знакомятся с понятием процента и решают три основные задачи на проценты. В шестом классе ученики встретятся с задачами, где процентная база по ходу решения изменяется, в частности, с задачами на "сложные проценты".

Геометрический материал учебника знакомит школьников с основными понятиями геометрии, которые затем будут активно использоваться в систематическом курсе. Знакомство с основными геометрическими фигурами, стереометрическими телами и их свойствами в 5-6 классе носит преимущественно эмпирический характер. Так, например, к понятию равенства фигур приводят практические задания по наложению одной фигуры на другую. Школьники учатся использовать угольники, циркуль и транспортир. В учебнике представлены не все геометрические задачи, которые предстоит решать пятиклассникам - часть задач, особенно те, в которых ученики проводят построения на готовых чертежах, помещены в рабочую тетрадь, а часть включена в самостоятельные работы и вошла в методические рекомендации для учителя.

Система упражнений учебника сплетена из задач, имеющих различные дидактические функции. Для облегчения использования учебника номера заданий имеют соответствующую маркировку. Все задания можно разделить на две основные части: стандартные и нестандартные задания. Номера наиболее простых стандартных заданий никак не отмечены. Эти задания условно можно отнести к "обязательному минимуму". Номера более трудоемких, но стандартных с точки зрения плана решения заданий, обозначены значком "". Номера нестандартных заданий, обсуждение которых предполагается со всем классом, обозначены значком "". Понятно, что к нестандартным заданиям относятся и задания на смекалку, имеющиеся в каждом пункте учебника.

Учебники математики 5-6 классов, также как учебники алгебры и учебники алгебры и начал анализа, представляют лишь одну составляющую нашего учебно-методического комплекта. Вторая составляющая - это методические рекомендации для учителя. Наши рекомендации включают в себя разнообразный дидактический материал: самостоятельные и контрольные работы, математические диктанты, тесты, устные упражнения, которые нашли свое воплощение в подробных сценариях уроков.

Учебно-методический комплект для 5 и 6 классов имеет еще одну составляющую - рабочие тетради. В них, в основном, вошли задания, требующие от школьников трудоемких предварительных записей или рисунков. К таким заданиям, в первую очередь, относятся различные таблицы, задания, связанные с координатным лучом, координатной прямой, координатной плоскостью и геометрические задачи. Учебник и методические рекомендации для учителя необходимы для организации обучения. Наличие у каждого школьника рабочей тетради делает обучение более продуктивным, позволяя экономить время на переписывании заданий. В методических рекомендациях для учителя к каждому уроку расписаны задания из учебника и рабочей тетради. Задания в рабочей тетради могут быть использованы как для первичного закрепления навыка, для отработки навыка, так и для контроля знаний учащихся.

В начале идет геометрический материал, при изучении которого мы возвращаемся к вопросу о размере и форме, который в 5 классе привел учеников к понятию равенства фигур. В шестом классе ученики подойдут к понятию подобия фигур, которое в свою очередь приводит к понятию масштаба, отношениям и пропорциям. От деления в заданном отношении школьники переходят к рассмотрению вопросов делимости. Признаки делимости оказываются удобной базой для введения понятия множества и основных операций с множествами. Понятие симметрии фигур применяется при введении координатной прямой. Действия с отрицательными и положительными числами - основная задача 6 класса. Знакомство с отрицательными числами позволяет с помощью переноса членов из одной части в другую решать уравнения первой степени с одним неизвестным. При решении задач ученики продолжают отрабатывать навыки арифметических действий с обыкновенными и десятичными дробями. Рассматриваются формулы длины окружности, площади круга, кругового сектора, объема шара и площади сферы. Вводится понятие географических координат, координатной плоскости, на которой, в частности, решаются различные геометрические задачи, отмечаются множества точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным условиям. Изучаются столбчатые и круговые диаграммы.

Как и учебник пятого класса, учебник шестого класса завершает глава "Повторение", в которой на фоне кратких исторических сведений школьникам предлагаются основные типы задач, рассмотренных в курсе. 5 и 6 класса. В эту же главу включены четыре практикума по вычислениям, решению текстовых задач, по планиметрии и по развитию пространственного воображения школьников. Предполагается использование материала практикумов в течение всего учебного года.

1.4 Анализ учебников алгебры 7-9 классов

Перед тем, как перейти непосредственно к рассмотрению учебников Г.К.Муравина, К.С.Муравина и О.В.Муравиной, остановимся несколько подробнее на системе упражнений.

Система упражнений сплетена из заданий, представляющих три основные группы.

К стандартным упражнениям относятся две из них. Номера заданий первой группы не имеют специальных обозначений, - эти задания определяют как бы нижнюю границу умений, которые необходимо выработать у школьников. Задания второй группы, номера которых, отмечены белым кружком, хотя и несколько сложнее, чем задания первой группы, однако, в своей массе, не требуют от учащихся особых интеллектуальных усилий, - их целью является обеспечение формирования обязательных умений. Такие задания определяют уровень умений школьников в процессе изучения темы, так как некоторое его снижение по прошествии времени неизбежно. Используя техническую терминологию можно сказать, что "напряжение на входе" всегда выше, чем на "выходе".

Основной формой работы с этими двумя группами заданий является самостоятельная работа (серии самостоятельных работ) с немедленным разбором результатов. Число заданий именно этих двух групп было увеличено при доработке.

В системе упражнений довольно большую часть составляют задания третьей группы, отмеченные черным кружком. Эти задания нестандартные, их дидактическая функция - активизация мыслительной деятельности школьников. Хотя в своей массе эти задания достаточно простые, предполагается, что перед выполнением многих из них в классе вырабатывается и обсуждается план решения. После чего они становятся посильными для большинства школьников.

Задания первых трех групп предназначены для всего класса. Однако в системе упражнений имеются и задания, адресованные только сильным учащимся. Эти задания отмечены значком "*" и их массовое выполнение или даже разбор их решений со всем классом не предполагается.

Кроме того, среди упражнений учебников встречаются специальные отмеченные черным квадратом задания, выполнение которых предполагает использование калькулятора. В учебниках рассматривается обычный калькулятор с функцией извлечения квадратного корня (объяснения в доработанном учебнике ориентированы на соответствующий калькулятор компьютерной программы Windows в отличие от действующих учебников, где рассматривался инженерный микрокалькулятор).

Перейдем теперь к рассмотрению изменений, сделанных в процессе доработки.

Учебник седьмого класса по-прежнему начинается с разговора о математическом языке, однако, лингвистические параллели языка алгебры с родным языком не акцентируются. Понятия высказывания и предложения с переменными рассматриваются теперь только на математическом материале и тесно с ним связаны.

Понятие тождества и тождественного преобразования отнесены в главу III к степеням с натуральными показателями, где сразу рассматриваются на множестве допустимых значений (в предыдущей версии учебника 7-го класса рассматривались только "абсолютные" тождества).

Сюжеты рассматриваемых текстовых задач приведены в соответствие с Практикумом по решению текстовых задач, а экзотические примеры уравнений, исключены. Кроме того проведена конъюнктурная правка данных.

Обратная пропорциональность переменных и функция y=k/x вместе с ее графиком перенесены в восьмой класс.

Сделано существенно более компактным изучение формул сокращенного умножения.

Добавлена новая глава "Вероятность и комбинаторика", в которой даются начальные представления о вероятностях событий, используется классическое определение вероятности, вводятся основные понятия комбинаторики: правило произведения, перестановки, размещения и сочетания. В восьмом классе продолжается решение вероятностных задач по классической схеме, рассматриваются в качестве дополнительного материала комбинации с повторениями и даются начальные представления о статистическом эксперименте и приближенном экспериментальном получении вероятности события. В девятом классе рассматриваются вопросы, связанные с условной вероятностью, а также вводятся основные понятия статистики.

Есть два принципиально различных подхода к изучению элементов теории вероятности и статистики.

Первый подход - от частоты события к вероятности. На большом числе различных статистических экспериментов формируется понятие о частоте события и показывается, что при увеличении числа испытаний частота изменяется весьма мало. После этого вводится понятие вероятности и рассматривается классическая схема.

Второй подход - от классического определения вероятности к частоте. Вводится интуитивно ясное понятие равновероятных событий, и через не менее ясное представление о более вероятных и менее вероятных событиях выходят на классическую схему вычисления вероятности. После этого от вероятности переходят к частоте в связи с приближенным вычислением вероятности.

Первый подход широко распространен в западной школе, в частности, во Франции и Англии. Характерно, что изучение статистики, выраженное в проведении многочисленных статистических измерений, начинается там еще в начальной школе и продолжается достаточно долго (примерно до 9-го класса). Затем школьники переходят к изучению вероятности. В результате они могут неплохо оформлять результаты в виде таблиц и диаграмм, а вот с задачами на вычисление вероятностей, особенно условных, дело у них обстоит не слишком хорошо.

При разработке этого материала для учебника 7-го класса авторы не могли рассчитывать на то, что в предшествующих классах соответствующий материал изучался. Так, в начальной школе только в учебниках Л.Петерсон уделяется внимание некоторым вопросам комбинаторики, да в учебниках 5-6 классов, в которых одним из авторов является Г.В.Дорофеев, сделана попытка поговорить о статистике. И все же, главное, что определило выбор подхода к изучению вероятности в нашем учебнике - это дефицит времени, которое приходится отрывать от изучения других тем.

Материал пунктов "Равновероятные возможности", "Вероятность" и "Вероятности вокруг нас" (пункт из учебника 8 класса, дающий первоначальные представления о статистическом эксперименте) были ранее подготовлены для учебника математики шестого класса и проверялись в практике нескольких учителей математики Московской области. Проверка показала, что материал достаточно хорошо усваивается шестиклассниками, а это позволяет надеяться на его успешное изучение в седьмом и восьмом классах.

В изучении комбинаторики сделан акцент на обучение школьников различению упорядоченных и неупорядоченных выборок и умению записывать ответ к комбинаторным и вероятностным задачам с помощью соответствующих обозначений. Сам вывод формул числа комбинаций, по мнению автора, не должен быть объектом проверки знаний школьников. Вместе с тем, преобразования выражений, содержащих факториалы, хорошо дополняют материал сокращения дробей, рассмотренный в учебнике. В восьмом классе в качестве дополнительного материала предлагаются комбинации с повторениями.

Как известно, материал комбинаторики и теории вероятностей слабо связан с традиционными алгебраической и функциональной линиями курса алгебры. Естественно поэтому было использовать возможность применения комбинаторных рассуждений при выводе формулы бинома Ньютона, с которой начинается курс восьмого класса. Треугольник Паскаля отнесен к теме "Сложение дробей", где как дополнительный материал рассмотрено обоснование правила, по которому он строится.

Существенная разгрузка курса восьмого класса осуществлена за счет темы "Квадратные уравнения". Исключены пункты "Целые и дробные корни квадратных уравнений", а также целый параграф "Целые уравнения" со схемой Горнера, рассматривавшийся в восьмом классе как дополнительный.

Как уже упоминалось, в курс восьмого класса перенесено изучение функции y=k/x, которое предваряется рассмотрением задач на прямую и обратную пропорциональность величин. В этих задачах делается акцент на возможности их арифметического решения (без составления уравнений).

Существенным аспектом доработки явилось расширение раздела "Ответы, советы и решения". Включение в него советов и решений наиболее трудных и многих нестандартных задач практически решает проблему немедленной проверки домашней самостоятельной работы (в классе проверку самостоятельных работ может организовать учитель).

Учебники ориентируют учителя на организацию контроля в форме дифференцированных зачетов, вопросы и задания которых берутся из Контрольных вопросов и заданий к пунктам и Домашних контрольных работ, что, однако, не исключает возможности традиционной организации контроля. Примерное распределение учебного времени по темам прилагается.

В заключение несколько слов об учебнике 9 класса. Если быть предельно кратким, то этот учебник можно будет использовать и как общеобразовательный, и как предпрофильный. В настоящее время понятие предпрофильного курса математики еще не получило необходимой конкретики, однако ясно, что совмещение в одном учебнике двух функций будет реализовываться за счет включения в него дополнительного материала, необязательного для рассмотрения в общеобразовательных классах. Так, например, в обязательную для всех девятиклассников часть войдут некоторые понятия статистики, и решение вероятностных задач на классическую схему, а в дополнительную - понятие условной вероятности в связи с изучением формулы суммы геометрической прогрессии. К дополнительному материалу относятся также теорема Безу и схема Горнера, которые рассматриваются в связи с разложением многочленов на множители и решением уравнений высших степеней.

Список литературы (примерный)

1. А. Черч. Введение в математическую логику. Т. 1. М.: ИЛ, 1960.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977.

3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М., Наука, ФМЛ, 1972.

4. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика. М.: Наука, 1964.

5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: МГУ, 1982.

6. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1984.

7. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. 4-е изд. - М.: Физматлит, 2001. 256 с. ISBN 5-9221-0026-2.

8. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: МГУ, 1984.

9. Лупанов О.Б. Лекции по математической логике. М.: МГУ, 1970.

10. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.

11. Новиков П.С. Элементы математической логики.-М.: Наука, 1959.

12. Перязев Н.А. Основы теории булевых функций. - М.: Физматлит, 2002. 112 с. ISBN 5-9221-0005-Х.

13. Успенский В.А. Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики 2-е изд. - М.: Физматлит, 2002. 128 с. ISBN 5-9221-0278-8.

14. Успенский В.А., Верещагин П.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. М.: МГУ, 1991, 2-е изд. - М.: Физматлит, 2002. 128 с. ISBN 5-9221-0278-8.

15. Эдельман С.Л. Математическая логика. М., Высшая школа, 1979.

16. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

Калужнин А. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики - Москва ”Просвещение“1978

П. М. Эрдниев. Методика упражнений по математике - Москва

“ Просвещение “ 1970 г.

Факультативный курс. Математика 9 - 10 под редакцией

З. А. Скопеца. - “ Просвещение “ 1971 г.

М. Ю. Шуба. Занимательные задания в обучении математике. -

Москва “ Просвещение “ 1994 г.

Л. Ф. Пичурин. Воспитание учащихся при обучении математике.

Книга для учителя - Москва “ Просвещение “ 1987 г.

Дополнительные главы по курсу Математики 10 класса для факультативных занятий .

Составитель З. А. Скопец - Москва “ Просвящение “ 1970 г.

Ю. П. Попов. Математика в образах - Москва “ Знание “. 1989 г.

И. С. Петраков. Математические кружки . - Москва “Просвещение “. 1987 г .

Л. Г. Петерсан. Теория и практика построения непрерывного образования . - Москва. УМЦ “ Школа 2000 …” , 2001 г.

Размещено на Allbest.ru