Разработка факультативного занятия для старшеклассников по теории вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятности

1.1 Событие. Вероятность события. Подсчёт вероятностей. Частота

1.2 Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий

1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Глава 2. Методические аспекты преподавания теории вероятности у старшеклассников в рамках факультатива

2.1 Вероятностно-статистическое линия в школе

2.2 Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий

2.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Каждая эпоха предъявляет свои требования к математической науке и математическому образованию. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, потому что постоянно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с прогрессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы.

Однако считать, что содержание и характер школьного курса той или иной науки должны полностью определяться состоянием соответствующей научной отрасли знания и господствующими в ней представлениями о центральных ее понятиях, было бы грубейшей ошибкой. Подавляющее большинство школьников не станут специалистами в данной области науки. Из них выйдут как представители иных научных интересов и практических областей деятельности, так и представители свободных профессий - писатели, артисты, художники. Именно поэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, а кроме того умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должна дать представления о том, что наука и ее концепция тесно связаны с практикой, из которой она черпает постановки своих проблем, идеи, а затем возвращает практике новые возможности решения основных ее проблем, создает для нее новые методы. Без этого образование будет неполноценным, оторванным от жизни и создаст для воспитанников школы многочисленные трудности. Вот почему на содержание школьного образования должны оказывать широко понятые требования практики наших дней и обозримого будущего.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что "завтра ожидается дождь с вероятностью 40%".

"- Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно - статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления" (Гмурман В.Е.).

Актуальность выбранной темы обусловлена необходимостью подготовки учащихся к относительно новому разделу в итоговом экзамене в школе ЕГЭ и ГИА.

Цель исследования: разработать элементы факультативного курса по теории вероятностей для старшей школы.

> Изучить учебно-методическую литературу по теме,

> Разработать методику преподавания элементов теории вероятностей на уроках математики в школе,

> Подобрать систему задач и упражнений, направленных на изучение данной темы в рамках факультатива.

Объектом исследования является процесс обучения теории вероятности в школе, а предметом - процесс создания факультатива (набора заданий) и использования их на уроках или факультативных занятиях.

Методы исследования:

- анализ учебно-методической литературы.

Гипотеза исследования состоит в том, что бы создать комплекс заданий в рамках факультатива по заданной теме и методические советы к ним.

Практическая значимость. Созданные факультативные материалы могут быть использованы в работе учителей математики и студентов-практикантов при обучении учащихся основам теории вероятности и подготовке учащихся к сдаче итоговых экзаменов.

Структура дипломной работы.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, и списка литературы. Работа изложена на 42 страницах, содержит 1 таблицу. Список использованной литературы включает 34 литературных источников.

Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятности

1.1 Событие. Вероятность события. Подсчёт вероятностей. Частота

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы, скорости, ускорения и т.д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то заканчиваться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под "событием" в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Каждое событие обладает той или иной степенью возможности. Что бы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать определённое число, которое чем больше, тем более возможно событие.

Таким образом, вводится второе основное понятие теории вероятностей - понятие вероятности события. Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Заметим, что уже при самом введении понятия вероятности события мы связываем с этим понятием определенный практический смысл, а именно: на основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; мало вероятными - те, которые почти никогда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, установим единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости.

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события - возможные, но не достоверные - будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т.е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Пример невозможного события - появление 7 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю.

Таким образом, установили единицу измерения вероятностей - вероятность достоверного события - и диапазон изменения вероятностей любых событий - числа от 0 до 1.

Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости, т.е. симметричного кубика, на гранях которого нанесено различное число очков: от 1 до 6. В силу симметрии кубика есть основания считать все шесть возможных исходов опыта одинаково возможными. Именно это дает нам право предполагать, что при многократном бросании кости все шесть граней будут выпадать примерно одинаково часто. Это предположение для правильно выполненной кости действительно оправдывается на опыте; при многократном бросании кости каждая её грань появляется примерно в одной шестой доле всех случаев бросания, причем отклонение этой доли от 1/6 тем меньше, чем большее число опытов произведено. Имея в виду, что вероятность достоверного события принята равной единице, естественно приписать выпадению каждой отдельной грани вероятность, равную 1/6. Это число характеризует некоторые объективные свойства данного случайного явления, а именно свойство симметрии шести возможных исходов опыта. Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны и одинаково возможны, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.

Симметричность возможных исходов опыта обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, типа азартных игр. Так как первоначальное развитие теория вероятностей получила именно на схемах азартных игр, то прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с возникновением математической теории случайных явлений, долгое время считался основным и был положен в основу так называемой "классической" теории вероятностей. При этом опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к "классической" схеме.

Несмотря на ограниченную сферу практических применений этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на опытах, обладающих симметрией возможных исходов, и на событиях, связанных с такими опытами, легче всего познакомить учеников с основными свойствами вероятностей.

Введем некоторые вспомогательные понятия.

1. Полная группа событий.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

2. Несовместимые события.

Несколько событий называют несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

3. Равновозможные события.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев "классическая формула":

где Р(А) - вероятность события ; - общее число случаев; - число случаев, благоприятных событию .

Так как число благоприятных случаев всегда заключено между 0 и (0 - для невозможного и - для достоверного события), то вероятность события, всегда есть рациональная правильная дробь в интервале:

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число случаев ; число случаев, благоприятных событию, . Следовательно,

Будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов, имеет определенную вероятность, заключенную между нулем и единицей. Для событий, сводящихся к схеме случаев, эта вероятность может быть вычислена непосредственно по классической формуле. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того, чтобы составить представление об этих способах, необходимо ввести понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой.

Пусть произведена серия из опытов, в каждом из которых могло появится или не появиться некоторое событие, то частотой события в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие, к общему числу произведенных опытов.

Частоту события часто называют его статистической вероятностью.

где - число появления события; - общее число произведенных опытов.

Связь между частотой события и его вероятностью - глубокая, органическая связь. Эти два понятия по существу неразделимы. Действительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события при большом числе опытов. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные. И если практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота события имеет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу, естественно предположить, что это число и есть вероятность события.

1.2 Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий

Как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Строго говоря, оба эти положения являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, они принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе.

Например, если событие - попадание в цель при первом выстреле, событие - попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле - при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события и несовместимы, то естественно, что появление этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события .

Например, если событие - появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие - появление карты бубновой масти, то есть появление карты красной масти, безразлично - червонной или бубновой.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события . Например, если событие - появление туза при вынимании карты из колоды, событие - появление карты бубновой масти, то событие есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие - попадание при первом выстреле, событие - попадание при втором выстреле, то есть попадание при обоих выстрелах. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий. При пользовании понятиями суммы и произведения событий часто оказывается полезной наглядная геометрическая интерпретация этих понятий.

На рисунке наглядно иллюстрированы понятия суммы и произведения двух событий. Если событие есть попадание точки в область, соответственно событие - попадание в область, то событие есть попадание в область, заштрихованную на рисунке, а), а событие- в область, заштрихованную на рисунке, б). На рис. 3.1.2 аналогично показаны сумма и произведение трех событий.

1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Бейеса)

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом: Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Для n вероятностей её удобнее записать в виде:

Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Введём понятие о "противоположных событиях".

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию , принято обозначать .

Примеры противоположных событий.

1) - попадание при выстреле, - промах при выстреле;

2) - выпадение герба при бросании монеты, - выпадение цифры при бросании монеты.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Рассмотрим пример на применение теоремы сложения

Пример. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

- выиграть не менее 20 руб.,

- выиграть 20 руб.,

- выиграть 100 руб.,

- выиграть 500 руб.

Воспользуемся теоремой,

По теореме сложения вероятностей:



Введём понятие о независимых и зависимых событиях:

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Рассмотрим примеры.

1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

- появление герба на первой монете,

- появление герба на второй монете.

В данном случае вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет; событие независимо от события .

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

- появление белого шара у 1-го лица,

- появление белого шара у 2-го лица.

Вероятность события до того, как известно что-либо о событии , равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то вероятность события становится равной ?, из чего заключаем, что событие зависит от события . Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается . Условие независимости события от события можно записать в виде:

,

а условие зависимости - в виде:



Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

1) Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

2) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае , т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула указанная выше носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

.

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

Применяя к событию теорему умножения, получим:

что и требовалось доказать.

Так же следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.

Зададим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

 ,

или, отбрасывая левую часть,

,

Откуда

Выражая с помощью формулы полной вероятности, имеем:

Формула носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

Пример. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы:

- прибор собран из высококачественных деталей,

- прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

В результате опыта наблюдено событие - прибор безотказно работал время .

Условные вероятности этого события при гипотезах и равны:

По формуле Бейеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Глава 2. Методические аспекты преподавания теории вероятности у старшеклассников в рамках факультатива

2.1 Вероятностно-статистическое линия в школе

Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выборы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации. Однако не только социально - экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально - экономических наук построены и развиваются на вероятностно - статистической базе. вероятность обучение старшеклассник факультатив

Современная концепция школьного математического образования ориентирована прежде всего на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначным "да" и "нет" существует еще и "быть может" (причем это "быть может" поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям учителей математики падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроках математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую возникает ощущение непроницаемой стены между излагаемым абстрактно-формальными объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности. Наконец, концепция открытого общества, процессы европейской и мировой интеграции неразрывно связанны с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфере образования. Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традиций школьного математического образования, одновременно остается едва ли ни единственной развитой страной, где в основном школьном курсе математики нет основ статистики и теории вероятностей (Бунимович).

Число примеров подходов к изучению вероятностно - статистического материала в средней школе можно привести много, поскольку за последние два десятилетия практически каждая страна ввела этот материал в школьную программу и предложила один или несколько подходов к его изучению. Проблемы, связанные с созданием системы изучения вероятностно - статистического материала в средней школе, в нашей стране освещается недостаточно.

Анализ известных нам подходов к изучению элементов теории вероятностей и статистики в средних школах различных стран (Шведция, Норвегия, Дания, Франция) позволяет сделать следующие выводы: - в подавляющем большинстве стран этот материал начинает изучаться в начальной школе;

- на протяжении всех лет обучения учащиеся знакомятся с вероятностно - статистическими подходами к анализу эмпирических данных, причем большую роль при этом играют задачи прикладного характера, анализ реальных ситуаций;

- в процессе обучения большая роль отводится задачам, требующим от учащихся работы в маленьких группах, самостоятельного сбора данных, обобщение результатов работы групп, проведение самостоятельных исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, проведение небольших лабораторных работ, подготовки долгосрочных курсовых заданий - все это диктуется своеобразием вероятностно - статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью.

Появление в школьной программе вероятностно - статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению ее общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.

2.2 Методические рекомендации преподавания основ теории вероятностей

В рамках первого факультативного занятия рассмотрим случайные, достоверные, невозможные, более вероятные, менее вероятные, маловероятные, равновероятные события. Новые термины связываются с известными из жизни словами - часто, редко, всегда, никогда, "это очень возможно", "это обязательно произойдет", "это маловероятно", "это никогда не случится" и другими, определяющими частоту случайных событий.

Курс начинается с того, что вводится базовое понятие случайное событие. Это такое событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может не произойти. Например, купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть, на очередных выборах партия может победить, а может и не победить, завтра на уроке математики ученика могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

События заглавными латинскими буквами. Приведем примеры. А: в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье. В: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз. С: при бросании кубика вы получите шестерку.

D: при бросании кубика вы получите четное число очков.

Все перечисленные выше события A,B,C,D - случайные. Невозможное событие вводится как событие, которое в данных условиях произойти не может. Таковы, например, события E и F:

Е: в следующем году первый снег в Москве вообще не выпадет.

F: при бросании кубика вы получите семерку.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Ниже указаны два таких события:

G: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол.

H: при бросании кубика вы получите число меньше семерки.

Можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.

Отметим, что события достоверные и невозможные на этом предварительном этапе мы предлагаем не относить к случайным событиям. Опыт преподавания данного материала показал, что школьникам 10 - 12 лет трудно считать случайными те события, которые происходят всегда, либо не происходят никогда (Бунимович).

Качественная оценка вероятности событий приводит к тому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на уроке математики и для ученика, и для учителя.

Например, при обсуждении вероятности наступления события "вам подарят на день рождения собаку" ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы: "это маловероятное событие", "это очень возможное событие", "это достоверное событие".

При решении таких задач главное - приводимая аргументация, понимание школьника смысла используемых понятий. Если аргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным.

Чтобы доказать, что данное событие - случайное, предлагается привести пример такой ситуации или, как говорят математики, такого исхода,когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно не происходит. Так, событие D - случайное, потому что оно происходит, когда на кубике выпадает, например, четверка, и не происходит, когда на кубике выпадает, допустим, пятерка.

Пример 1. Бросаем два кубика. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные?

A: на кубиках выпало одинаковое число очков.

B: сумма очков на кубиках не превосходит 12.

C: сумма очков на кубиках равна 11.

D: произведение очков на кубиках равно 11.

Решение. Исход любого бросания можно описать двумя числами, выпавшими на кубиках. Например, (3,1) означает, что на первом кубике выпало число 3, а на втором - 1.

При исходе (1,1) событие A происходит, а при исходе (1,2) - не происходит. Значит, событие А случайное.

Событие B происходит при любом исходе: ведь каждое из двух чисел на кубике не превосходит 6, а значит, их сумма не превосходит 12. Поэтому событие B достоверное.

Событие С происходит при исходе (5,6), но не происходит при исходе (2,2). Значит, оно случайное.

Наконец, для события D нет исхода, при котором оно происходит: число 11 нельзя представить в виде произведения двух целых чисел от 1 до 6. значит, это событие невозможное.

Пример 2. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные?

A: все вынутые шары одного цвета.

B: все вынутые шары разных цветов.

C: среди вынутых шаров есть разноцветные.

D: среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов.

Решение. Событие А - невозможное: нельзя вытащить из коробки 4 одноцветных шара (их только по 3 каждого цвета).

Событие В - тоже невозможное: разных цветов тоже не может быть больше 3, а вынутых шаров 4.

Событие С - достоверное: ведь все 4 шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть разноцветные. Наконец, событие D - случайное. Закодируем исходы опытов первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар; КЖЖЗ - пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ - пример исхода, при котором D не происходит. В ходе обсуждений различных примеров ученики убеждаются в том, что в мире случайных событий можно обнаружить закономерности и оценить шансы наступления различных событий. Например, при бросании игрального кубика есть три шанса из шести, что выпадет четное число очков, только один шанс из шести, что выпадет пять очков и никаких шансов, что выпадет семь очков. Однако рассматривая ситуацию с кубиком, ученик интуитивно опирается на гипотезу о "правильности" кубика, о равновероятности выпадения 1,2,3,4,5 и 6 очков при его подбрасывании.

" - Важно показать, что далеко не всегда можно точно вычислить шансы наступления того или иного события. Часто шансы приходится оценивать приблизительно - на основе жизненного опыта, уже имеющихся статистических данных или путем, проведения многократных экспериментов. Кстати, в дальнейшем, именно экспериментируя со случайными исходами, ученики убеждаются, что и кубик совсем не всегда оказывается "правильным". В качестве примера "неправильного" кубика демонстрируется кубик со сбитым центром тяжести (к одной из его граней изнутри подклеен пластилин)" (Бунимович).

Испытание - любой эксперимент, наблюдение, контрольные и проверочные действия, различные соревнования, обследования и т.п.; Единичное испытание - испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом. Например, один раз подбрасывается монета или извлекается один шар из урны и т.д.;

Исходы испытаний - результаты испытания. Например, при подбрасывании монеты выпал "орел" или из урны извлекли черный шар; Случайные исходы испытания - результаты испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могут быть разными и определяются случайным стечением обстоятельств в ходе испытания; множество исходов испытания - множество всех возможных случайных исходов испытания;

На начальном этапе школьники должны научится определять множество исходов единичных испытаний.

Пример. Из урны, где лежат красный желтый и зеленый шары, наугад извлекли один шар. Запишите множество исходов испытания. Решение. В испытании три исхода:

- извлечен красный шар (К),

- извлечен желтый шар (Ж),

- извлечен зеленый шар (З).

Исходы можно нумеровать произвольным образом, т.ве. Возможны и другие решения, например: _- Ж, - К, - З.

Задачи для решения на первом занятии:

Основные понятия теории вероятности.

Задача 1. Укажите, какие из следующих событий - невозможные, достоверные, случайные:

A: футбольный матч "Спартак" - "Динамо" закончится в ничью.

B: вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.

C: в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.

D: завтра будет контрольная по математике.

E: 30 февраля будет дождь.

F: вас изберут президентом США.

G: вас изберут президентом России.

Ответ. Событие В - достоверное, C, E, F - невозможные, A, D, G - случайные. Но если вы решаете эту задачу накануне выходного дня, то событие D можно считать невозможным.

Задача 2. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма - производитель дает два года гарантию. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

A: телевизор не сломается в течение года.

B: телевизор не сломается в течение двух лет.

C: в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.

D: телевизор сломается на третий год.

Ответ. События A, В , D - случайные, событие С - достоверное.

Задача 3. В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают 2 предмета. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

A: будут вынуты 2- красные ручки.

B: будут вынуты 2- зеленые ручки.

C: будут вынуты 2 -синих ручки.

D: будут вынуты 2- разноцветных ручки.

E: будут вынуты 2 ручки.

F: будут вынуты 2 карандаша.

Ответ. События A, С , D - случайные, события B, F - невозможные, событие Е - достоверное.

Задача 4. Винни Пух, Пятачок и все - все - все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве " всех - всех - всех" событие А: Винни и Пятачок будут сидеть рядом - является достоверным событием.

Ответ. Если " всех - всех - всех" всего 1, т. е. За столом собрались всего три лица, то событие А - достоверное, если больше 1, то А - случайное событие.

Задача 5. В школе учится N учеников. При каких N событие А: в школе есть ученики с совпадающими днями рождения является случайным, а при каких - достоверным? Выясните, произошло ли это событие в вашей школе. А в вашем классе?

Ответ. При N366 событие А - случайное, при N>366 событие А - достоверное.

Задача 6. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие А: вы ничего не выиграете - было невозможным?

Ответ. 81 билет.

Задача 7. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размеры - по одной паре каждого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы событие А: из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару - было достоверным?

Ответ. 11 ботинок.

Задача 8. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: есть два человека, родившихся в разных месяцах.

B: есть два человека, родившихся в одном месяце.

C: есть два мальчика, родившихся в одном месяце.

D: есть две девочки, родившихся в одном месяце.

E: все мальчики родились в разных месяцах.

F: все девочки родились в разных месяцах.

G: есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце.

H: есть мальчик и девочка, родившиеся в разных месяцах.

Ответ. События A, C, E, G, H -случайные, B, D - достоверные, F - невозможное.

Задача 9. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: все пассажиры выйдут на разных остановках.

B: все пассажиры выйдут на одной остановке.

C: на каждой остановке хоть кто - то выйдет.

D: найдется остановка, на которой никто не выйдет.

E: на всех остановках выйдет четное число пассажиров.

F: на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров.

Ответ. События A, C, E - случайные, A, E, F - невозможные.

Задача 10. На модели координатной прямой в точке 0 стоит фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается на единицу вправо, если выпал "орел", и на единицу влево, если выпала "решка". Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: после четырех бросаний фишка находится в точке 0.

B: после трех бросаний фишка находится в точке 2.

C: после пяти бросаний фишка находится в точке 5.

D: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 25.

E: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 26.

Ответ. События A, C, E - случайные, B, D - невозможные.

Задача 11. На остановке останавливаются 3 автобуса: № 1,2 и 3. Интервал движения каждого автобуса колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Гриша и Наташа подошли к остановке, от нее отошел автобус №3, а еще через 6 минут автобус №1. После этого каждый из ребят высказал свое мнение о том, каким будет следующий автобус.

Саша: "следующим обязательно будет №2".

Маша: "возможно, что следующим будет №2".

Гриша: "возможно, что следующим будет №3".

Наташа: "невозможно, что следующим будет №1".

С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

Ответ. Не прав только Саша.

2.3 Методические рекомендации по преподавания основных теорем теории вероятности

На последующих 2 часах факультатива ученикам предлагается изучение основных теорем теории вероятности и решение задач на данную тему. По итогам 3 часового факультатива предлагается самостоятельная работа.

После того как учащиеся познакомятся с элементарными понятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события, противоположное событие, несовместные события, независимые события - и научатся вычислять вероятность события на основе классического определения вероятности, полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся так называемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь между алгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивно ясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами: включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этих операциях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теории вероятностей. Достаточно посвятить им одно - два занятия, и учащиеся уже хорошо ориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представления можно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий (Токмазов).

Для того чтобы установить параллель между языком теории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимися таблицу, которая приведена ниже. Сначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежат неразличимые на ощупь белые и черные шары.

Обозначения	Теории множеств	Теории вероятностей
Щ	Элемент, точка	Исход, элементарное событие
	Универсальное множество, т.е. множество всех рассматриваемых точек	Достоверное событие исходов, т.е. множество всех элементарных событий
O	Пустое множество	Невозможное событие
A,B	Подмножество универсального множества	Случайное событие
A=B	Подмножества А и В равные	События А и В равносильные
A+B	Сумма множеств, т.е. объединение непересекающихся множеств	Событие, состоящее в том, что произошло одно из несовместных событий либо А, либо В
AB;AB	Пересечение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих и в А, и в В	Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события А и В
AB= O	Множество А и В не пересекаются	События А и В несовместны( не могут наступать одновременно)
A\B	Разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В	Событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В
A?B	A?B=(A\B)(В\А)	Событие, состоящее в том, что произошло одно из событий А или В, но не оба одновременно

Пример. Запишите с помощью символов следующие события.

1. выбрали либо первую, либо вторую урну;

2. выбрали какую - то одну урну;

3. выбрали не первую урну;

4. белый шар вынули из второй урны;

5. черный шар вынули из третей урны;

6. белый шар вынули не из первой урны;

7. из какой - то урны выбрали черный шар.

Ответ: Что такое H₁, H_{2, …}?

Задача 1. Дайте словесное толкование следующим событиям:

Ответ.

1.

а) Белый шар вынули из первой урны;

б) черный шар вынули из второй урны;

в) черный шар вынули не из третьей урны

2.

а) Белый шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либо из первой урны вынули черный шар;

б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо из второй извлекли белый шар.

Задача 2. установите, верны ли равенства:

в) - и дайте им словесное толкование.

Ответ. Все равенства верны.

а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третью урну. По условию испытания это событие достоверное;

б) достоверное, что вынули либо черный, либо белый шар;

в) вынутый шар не может быть одновременно и белым и черным.

На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимися достаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, после которых следуют приведенные ниже упражнения.

Задача 3. Известно, что в каждой из трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок). Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугад из наугад выбранной урны. P(H₁), P(H₂), P(H₃).

Ответ. 1. - вероятность того, что выбрана первая (вторая, третья) урна.

2. - вероятность того, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.

3. - вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.

4. вероятность того, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).

Следующий этап - изучение условной вероятности, т.е. вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если прежде произошло одно из событий H_1,H_2,H_3.

В этом месте также необходимо потренироваться в правильном употреблении терминов и символов.

Задача 4. Запишите словами, в чем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.

Ответ. а) выбрали первую урну, а затем из нее извлекли белый шар, б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черный шар, ; в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой -то из них достали черный шар,

Изучив понятие условной вероятности, есть возможность перейти к формуле полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H_1,H_2,H_3, образующих полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=P(H₁)P(A\H₁)+P(H₂)P(А\H₂)+P(H₃)P(А\H₃) - формула полной вероятности.

Рассмотренная проблематика позволяет связать ее с более сложным вопросом, к которому обычно приступают много позже. Речь идет о формуле Байеса. Объединяя изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса, преподаватель достигает настоящего укрупнения дидактических единиц и получает возможность лучше разъяснить ситуации, связанные с обеими формулами. В самом деле, формула полной вероятности употребляется для подсчета вероятности предложения о том, что событие А может наступить, а формула Байеса применяется тогда, когда событие А наступило. Пусть известно, что:

а) событие А может наступить при условии появления одного из событий H_1,H_2,H₃, образующих полную систему событий;

б) известны условные вероятности P(A\H₁), P(А\H₂), P(А\H₃) события А относительно всех событий Н₁,Н₂,Н₃.

В результате испытание оказалось, что событие А произошло. Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Н_i, где I=1,2,3. другими словами, найти вероятность P(H₁\A), P(H₂\ А), P(H₃\ А).

Эту задачу решает формула Байеса:

P(H₁\A) = ,

где I= 1,2,3.

Задача 5. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять - внутри страны, а три - на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение. Событие А - первый взятый наугад заказ - внутри страны. Событие В - второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем ???

Задача 6.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 7

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 8

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные -- из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Задача 9

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача 10

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Задача 11

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 -- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Задача 12

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов -- первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Задача 13

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений -- по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Задача 14

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Задача 15

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Задача 16

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Задача 17

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Задача 18

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Заключение

В ходе исследовательской работы была проанализирована учебно-методическая литература, и на основе полученных данных был составлен факультатив по теории вероятности ориентированный на старшеклассников. Основной целью факультатива является успешная подготовка к сдаче итоговых экзаменов в школе, таких как ГИА и ЕГЭ.

В процессе изучения литературы были найдены методические советы, по заданной теме и психологические приёмы для лучшего понимания нового материала. Составлен рад задач с решением и так же подобраны аналогичные задачи для самостоятельного закрепления материала в рамках факультатива.

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики, а так же используется в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла ее роль в связи с развитием вычислительной техники. При этом теория вероятностей почти не рассматривается в школьном курсе математики. Решением данной проблемы является факультативный курс по теории вероятности.