Основы формирования математических понятий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы формирования математических понятий

педагогика понятие математический школа

Психолого-педагогические основы формирования математических понятий

Формирование понятий невозможно без мыслительной деятельности школьников.

В педагогике понятие - это «форма научного знания, отражающая объективно существенное в вещах и явлениях и закрепляемая специальными терминами или обозначениями. В отличие от чувственных образов понятие - это нечто непосредственное, взятое во всем многообразии его качественных его особенностей. Из всего этого многообразия понятие отвлекает существенное и тем самым получает знание всеобщности, в чем и состоит его главная отличительная черта» [52]. Понятие - «одна из форм мышления, высший уровень обобщения, характерный для мышления словесно-логического» [38]. Понятием называют также «мысль, представляющую собой обобщение (и мысленное выделение) предметов некоторого класса по их специфическим (в совокупности отличительным) признакам» [63].

В системе знаний об объектах и предметах окружающей действительности понятия служат опорным моментов в познании ее и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и предметов начальной школы.

Проблема формирования понятий давно привлекает внимание психологов и педагогов (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже, П.Я. Гальперин, Л.И. Айдарова, Н.Г. Салмина, К.А. Степанова, В.И. Зыкова). В исследованиях, касающихся формирования понятий авторы, часто обращаются к математике. Л.С. Выготский впервые ввел в психологию деление понятий на научные и ненаучные - «житейские», при этом он имел в виду не содержание усваиваемых понятий, а путь их усвоения. Ребенок застает сложившуюся в обществе систему понятий. Усвоение этой системы всегда происходит с помощью взрослых. До систематического обучения в школе взрослые не ведут специальной работы по формированию понятий у детей. Они обычно ограничиваются лишь указанием на то, верно или неверно ребенок отнес предмет к соответствующему понятию. Вследствие этого ребенок усваивает понятия путем «проб и ошибок». При этом в одних случаях ориентировка фактически происходит по несущественным признакам, но в силу сочетания их в предметах с существенными в определенных пределах оказывается верной. В других - ориентировка происходит на существенные признаки, но они остаются неосознанными. Именно в этой неосознанности существенных признаков Л.С. Выготский и видел специфику так называемых житейских понятий. Такое усвоение понятий не отражает всех сторон специфически человеческого способа приобретения новых знаний.

Большинство учащихся безошибочно воспроизводят определение понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но при встрече с реальными объектами опираются на случайные признаки, установленные в непосредственном опыте. И только постепенно, через ряд переходных этапов, в результате своей собственной практики учащиеся научаются ориентироваться на существенные признаки предметов. Словесное знание определения понятия не меняет, по существу, хода процесса усвоения этого понятия, что убедительно доказывает невозможность передачи понятия в готовом виде. Ребенок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.

Н.Ф. Талызина говорит о том, что знание существенных признаков понятия может изменить ход и характер познавательной деятельности только в том случае, когда эти признаки войдут в нее в качестве ориентиров, то есть будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед ребенком. Поскольку при обычной организации учебного процесса это не обеспечивается, то со стороны познавательной деятельности учащихся усвоение житейских и научных понятий, у значительной части обучаемых идет весьма сходным путем.

Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович указывают, что для усвоения понятий обязательны такие действия:

1) подведение под понятие;

2) выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта;

3) выведение следствий о принадлежности и не принадлежности объекта к понятию.

Эти действия необходимы при усвоении любых понятий.

В.Н. Осинская считает, что для овладения понятиями необходимы следующие существенные компоненты:

1) усвоение определенной системы знаний о понятии;

2) овладение специальной операционной системой действий (подведение под понятие, выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта, выведение следствий);

3) установление системы понятий и их родовидовых отношений внутри системы, взаимосвязи их признаков;

4) раскрытие генезиса понятий.

Понятие - это продукт мышления, оно отражает реальный мир, предстает в познании как средство общения, т. е. специфически человеческой активности, выражается посредством речи, записи или символом. Понятие - это вывод, итог познания реальных процессов и явлений. Мысль, в которой отражаются общие, отличительные (специфические) признаки предметов и явлений действительности

Термин «понятие» обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Источниками образования понятий являются: жизненный опыт учащихся, их повседневные наблюдения, восприятие различной информации, здравый смысл и бытующие устаревшие традиции (всё это можно отнести к стихийному образованию понятий). Специальное формирование научных понятий учителями на уроках, усвоение понятий учащимися в процессе самостоятельной работы (в этом случае не исключается использование ассоциаций, имеющих случайный характер и приводящих к ошибкам).

Для образования понятия необходимо знать мыслительные операции и уметь ими пользоваться. Без анализа действительности - предметов и явлений - невозможно глубоко изучить их, без синтеза - соединить разъединенные части в единое целое, без обобщения - сделать вывод, а затем сформулировать понятие. В процессе изучения реальной действительности формирование понятий - цель мысленной деятельности человека, а знание операций мышления - средство, с помощью которого достигается эта цель. Но в сложном процессе образования понятия сами мыслительные операции учащегося непрерывно совершенствуются, модернизируются, поднимаются на более высокий уровень. Это можно использовать в учебной деятельности. Теперь развитие операций мышления учащегося становится целью, а образование понятий - средством, способствующим её достижению. Понятие характеризуется содержанием, объемом, связями (и отношениями) с другими понятиями.

Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия - это множество объектов, к которым применимо данное понятие. По объему различают единичные понятия (объем их равен единице), общие понятия (их объем больше единицы) и понятия - категории - понятия самой широкой общности. Между содержанием и объемом понятия существует обратная зависимость: чем шире содержание понятия, тем уже его объем, и, наоборот, чем уже содержание, тем шире его объем.

Связи и отношения между понятиями отражают действительно существующие разнообразные связи между явлениями природы, общества и мышления человека. Одни из них являются ближними, существенными, другие - отдаленными, опосредствованными.

В логике понятия делят на единичные и общие, на конкретные и абстрактные, на относительные и безотносительные. Обобщением понятия называется переход от менее общих понятий к более общим. Оно происходит путем отбрасывания основных признаков понятия, признаков, принадлежащих всем объектам, входящим в объем обобщаемого понятия. Ограничением (конкретизацией) понятия называется, наоборот, переход от более общих понятий к менее общим, объем понятия при этом сужается, а содержание расширяется.

Понятие образуется при помощи операций анализа и синтеза, абстракции и обобщения. Содержание понятия раскрывается путем описания или с помощью определения, а объем - с помощью классификации.

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе - достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков.

К отысканию ближайшего рода следует стремиться потому, что в таком случае мы подходим ближе к определяемому понятию, его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении. Такое определение состоит из определяемого понятия, логической связки и родового понятия с видовыми признаками. Определение будет логически правильным, если между двумя его основными составными частями существует отношение равенства. Иначе говоря, по отношению друг к другу не должны быть не слишком широкими, ни слишком узкими (если упущен один из существенных признаков или включен признак, присущий не всем определяемым объектам).

Определяя понятия, руководствуются правилами:

- определение должно быть соразмерным, т. е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия;

- родовое понятие должно быть ближайшим родом по отношению к определяемому понятию;

- видовые отличия должны быть присущи только определяемому понятию;

- определение должно быть кратким и ясным.

Существуют логические формы, которые не являются определениями, но близки к определению, иногда заменяют или дополняют его. Описание понятия обычно применяется в тех случаях, если невозможно или нецелесообразно вводить определение. Таким способом вводятся первичные (основные) математические понятия. В определении определяемое понятие сводится к уже известному понятию, но самое первое понятие каждой науки не к чему сводить, поэтому ввести его через определение невозможно.

Описание понятия может не только заменять определение, но и дополнять его такой информацией, которая конкретизирует понятие, расширяет связи с другими понятиями, полнее раскрывает его содержание, помогает учащимся глубже понять и прочнее усвоить новое понятие.

Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.

Процесс формирования понятия - это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Однако часто бывает так: дается словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе, не смотря на то, что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его. Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном, двух частных примерах, вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия. Такое невнимание ведет к тому, что учащиеся главным образом обращают внимание на несущественные признаки. Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков.

Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений, а на умение определять понятия. Важно довести до сознания учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия - это лишь один из начальных этапов его формирования, а далее идет процесс развития понятия - постепенное уточнение и усвоение содержания и объема понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Для формирования научных понятий учителю необходимо знать характеристики понятия как логической категории; способы образования и развития понятий; источники их образования; показатели, уровни и условия усвоения понятий учащимися, а также критерии способов их формирования.

Выбор методов формирования научного понятия не может быть произвольным или навязанным учителю, если даже он вытекает из самого содержания учебного материала.

Для успешного усвоения известных понятий и образования новых, неизвестных для каждого предмета указываются необходимые условия и система упражнений, которые конкретизируются в зависимости от ряда факторов: сложности понятия, возможностей учащихся, их подготовленности по другим дисциплинам. К основным критериям усвоения понятий можно отнести: полноту усвоения содержания понятий (количество усвоенных учащимися признаков понятия), усвоение объема понятия, полноту усвоения связей и отношений данного понятия с другими; умение оперировать понятием в решение заданного класса задач, применять их к решению учебно-познавательных и практических задач, что предполагает активную мыслительную деятельность учащихся.

Каждое понятие должно быть правильно понято, сознательно и четко усвоено всеми учащимися ещё на уроке. Эта цель должна достигаться уже в процессе введения понятия. Понятие должно закрепляться и повторяться на последующих уроках путем воспроизведения учащимися определения (или описания), приведения иллюстрирующих и конкретизирующих его примеров, проведение логического анализа определения и другой творческой работы, использование понятия в суждениях и умозаключениях. Контроль усвоения понятия осуществляется обычно в виде опроса учащихся, при котором нужно, как правило, требовать подтверждения определения примерами, причем не только готовыми, взятыми из учебника, но и придуманными самим учеником. Это должно стать обязательным дидактическим требованием, методическим правилом в преподавании математики в школе. Ученики должны знать его и при подготовке к занятиям дома подыскивать свои примеры к вновь введенным или повторяемым математическим понятиям.

Эта творческая мыслительная работа развивает мышление школьников и способствует сознательному, глубокому и прочному усвоению сущности, содержания и объема понятия, исключает его формальное изучение, механическое заучивание определения.

Каждый ученик должен знать определения изученных понятий, однако требовать заучивания формулировок понятий не следует, т. к. это незаметно может привести к формализму. Надо ориентировать школьников на смысловое, логическое запоминание, которое должно стать результатом осмысливания определения, его структуры в процессе изучения и применения. Выделение родового понятия и видовых признаков, подыскание нескольких своих по возможности разнообразных примеров и проверка их на предмет полного удовлетворения всем требованиям определения - эффективное средство достижения сознательного усвоения понятия и его определения. Необходимо постепенно раскрывать перед учащимися общую логическую структуру определения, учить самостоятельно, конструировать его для новых понятий.

Ученики должны знать, что дословное соблюдение формулировки, данной в учебнике, весьма желательно, хотя от её формы можно отступить, передать частично «своими словами», но всё содержание книжной формулировки обязательно сохранить точно. Когда ученик формулирует определение «своими словами», здесь скорее возможны ошибки, которые помогают выявить значение отдельных необходимых элементов определения и пробелы в усвоении понятия, с тем, чтобы неотложно устранить их. Заученная формулировка может скрывать подобные пробелы. Учитель должен учить школьников выражать мысли

«своими словами», поощрять их к этому, терпеливо подводить к самостоятельному исправлению ошибки. При дословных книжных формулировках особенно необходимо проверять сознательность их усвоения учащимися. На примерах таких формулировок, в которых нельзя опустить ни одного слова, учитель прививает ученикам вкус к логической культуре мышления и речи, учит их выражаться лаконично и точно. Важно учить школьников оттачивать собственные формулировки, доводить их до лучших образцов. Нельзя допускать поспешности при введении новых понятий, особенно если они сложны, трудны для учащихся и обладают высокой степенью абстракции. Практика показывает, что время, дополнительно затраченное при введении нового понятия на всестороннее, глубокое его изучение и сознательное усвоение, окупается в дальнейшем благодаря более легкому и результативному усвоению последующих связанных с этим понятием вопросов.

При всех видах повторения продолжается работа по дальнейшему усвоению математических понятий. Главное внимание при этом уделяется не воспроизведению определений, а различным видам творческой работы учащихся с понятиями. При обобщающем повторении полезны упражнения на классификацию понятий и составление их «родословных».

Подобные примеры, с одной стороны, лучше подчеркивают существенные элементы принятых в школьном курсе определений и соотношение понятий, а с другой расширяют кругозор учащихся и придают большую гибкость мышлению.

Мышление социально обусловленный процесс познавательной деятельности, неразрывно связанный с речью, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности.

Учебную деятельность мы определяем как процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него ЗУН, совершенствует и развивает свои способности.

Специфические особенности мышления у старшеклассников: мышление становится более глубоким, полным и разносторонним. Овладение его высшими формами способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности. Ведущее значение занимает абстрактное мышление, но роль конкретного не умаляется, степень развития теоретического мышления высока. Старшеклассники не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют его операции и приемы, и совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Учебная деятельность старшеклассников предъявляет высокие требования к их умственной активности и самостоятельности. Старший школьный возраст очень благоприятен для развития математических научных способностей. Под влиянием специфической для старшеклассника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность, характер умственной работы. В эти годы завершается формирование когнитивных процессов, мысль окончательно соединяется со словом. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.

Формирование математических понятий в средней школе

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. Слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа» (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1 (x), f2 (x). Эйлер обозначал через f: х, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s). Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны. В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 г., Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других». На основе этого определения Эйлера французский математик С.Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому». Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции. Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции. В 1834 г. в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое определение функции в 1755 г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе». Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке a Ј х Ј b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже, просто словами». Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия. Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В-значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a Ј x Ј b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики.

Дирак ввел так называемую дельта - функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40_х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28_летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта - функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца - И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и другие [32].

Размещено на Allbest.ru