Психолого–педагогические условия повышения интеллектуальной активности младших школьников на уроках математики

По учебнику учащиеся выполняют вычисления по двум различным программам, приводящим к одинаковым выражениям, но имеющим разные результаты. В одном номере получается, что 8-3+4--9, в другом номере значение того же выражения равно 1: 8-3+4-1 (прием 1: предъявление двух противоречивых фактов). Ученики испытывают удивление (возникновение проблемной ситуации).

Учитель: Ребята, сравните выражения! (Побуждение к осознанию противоречия.)

Ученики: Выражения одинаковые, а результаты разные!

Учитель: Над каким же вопросом подумаем? (Побуждение к формулированию учебной проблемы.)

2.3 Способы развития познавательного интереса к математике

Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания необязательны для него? Во всяком случае - не принуждение. Принуждение извне может лишь угнетать, а не возбуждать мыслительную деятельность ребенка. Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.

Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду на занятиях математики может послужить интерес. Поэтому учитель должен искать и находить средства и способы возбуждения интереса детей к тем математическим, логическим заданиям, которые он предлагает в процессе работы. Вызванный у детей интерес к отдельным заданиям, к математике вообще послужит стимулом для их участия в выпуске математической газеты, создания математического уголка, активного участия в математических викторинах, экскурсиях и т.п. Происходит и обратное влияние: участие в интересных математических экскурсиях, викторинах, выпуске газет, в занятиях, на которых предлагаются занимательные упражнения, могут возбудить интерес и к самой математики.

Чтобы возбудить интерес к математике надо постараться не только привлечь внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызвать у ребенка удивление. У детей удивление возникает тогда, когда они видят, что сложившаяся ситуация не совпадает с ожидаемой. Если при этом удивление связано с возникновением некоторого удовольствия, то оно и превращается в приятное удивление. При непродуманной ситуации может быть и наоборот: возникнуть неприятное удивление. Надо учитывать, что удивление вызывает у детей более острое, сосредоточенное внимание. Удивление должно соседствовать с любопытством ребят, со стремлением их увидеть на математическом фоне что-то новое, узнать что-то до сих пор им не известное.

Удивление в сочетании с любопытством поможет возбудить активную мыслительную деятельность учащихся.

Привлечь первоначальное внимание детей к математике, например, можно разными средствами: особым, красочным оформлением классного помещения, в котором отражалось бы удивительное сочетание знакомого детям мира сказок с таинственным миром математики, необычными вступительными словами учителя, создавшего этим ситуацию, в которую включены детьми герои современных сказок и рассказов. Математика и сказки! Математика и любимые герои! Разве это не привлечет внимание ребят и не вызовет у них радостного удивления? Удивление и интерес вызывают у детей занимательно сформулированные вопросы, задачи, загадки, шарады, ребусы, несложные логические упражнения.

Интерес, как и другой вид эмоционального состояния, имеет явное внешнее выражение на лицах детей, в их поведении, словесных откликах. По этим внешним признакам учитель всегда может судить о том, вызван ли у детей интерес к данному внеклассному виду работы или нет. Однако приходится иногда сожалеть, что некоторые учителя на внеклассных занятиях в моменты повышенного интереса детей, во время вдохновенной мыслительной их работы, сопровождаемой внешним их возбуждением, бывают слишком строги к поведению ребят, стараясь заглушить в зародыше естественное внешнее проявление детьми своих чувств. С полной уверенностью мы утверждаем, что при соблюдении определенной меры на занятиях можно допускать более свободное переживание детьми удовольствий, с более свободным внешним их проявлением. Тогда у детей будет дольше сохраняться тот заряд интереса, который возник во время внеклассной работы, и служить стимулом к участию в последующих видах этой работы. Значительно лучше, скорее и прочнее запоминаются те мысли, которые были эмоциональны, вызвали живые, яркие чувства, чем те, которые оставили человека равнодушным.

Привлечь внимание детей и вызвать их удивление - это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко; труднее удержать интерес к работе по математике и сделать его достаточно стойким. Выше мы отметили, что для сохранения дальнейшего интереса к работе по математике нужно, чтобы дети не растеряли те чувства удовольствия, которые возникли у них на занятиях. Но это лишь один из приемов.

Поддерживая интерес различными приемами, надо его постепенно воспитывать: вначале как интерес к своей непосредственной деятельности во время занятий, затем чтобы он перерастал в интерес к математике как науке, в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям в области математики. Этот процесс сложный, длительный и его результаты зависят, главным образом, от педагогического мастерства учителя. В этом процессе нет готовых рецептов. Однако есть некоторые общие положения, которые не новы, но которых следует придерживаться в процессе воспитания интереса к математике. При организации работы по математике надо добиваться максимальной деятельности каждого ученика - организаторской, трудовой, особенно мыслительной для выполнения всевозможных заданий. Надо, чтобы каждый представлял себя или был действительно активным участником той ситуации, которую организовал учитель. (Это относится и к ситуации, описанной в задаче, к проводимой игре, к изготовлению наглядных пособий, к выпуску стенной газеты, плакатов, к созданию математического уголка и т.п.)

Материал, преподносимый учителем или предлагаемый отдельными учениками, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет интереса, так как будет лишен для них смысла. Для поддержания интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки. По отношению к большинству участников работы необходимо для выполнения математических заданий предусматривать оптимальные соотношения между новыми и старыми знаниями и умениями. Перегрузка заданий применением только старых знаний и умений или только новыми снижает интерес к этим заданиям. Оптимальное соотношение между указанными знаниями и умениями создает условия для достаточно длительного сохранения интереса детей к математическим заданиям.

Для облегчения перехода от известного к неизвестному в процессе занятий по математике полезно использовать различные виды наглядности: полную предметную наглядность, неполную предметную наглядность, символическую и представления по памяти, - исходя из того уровня развития в сознании учащихся, на котором находятся соответствующие математические понятия. Особенно умело и вовремя надо использовать детское воображение. Оно у них яркое, значительно сильнее интеллекта. Поэтому неудивительно, что волшебные сказки и для младших школьников еще не заметно вплетаются в действительность и служат прекрасным средством не только развлечения, но и воспитания и развития.

Устойчивый интерес к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. На самих занятиях постоянно должны возникать маленькие и доступные для понимания детей вопросы, загадки, создаваться атмосфера, возбуждающая активную мысль учащихся. Учитель всегда может выявить силу возникшего интереса к математике. Она выражается в той настойчивости, которую проявляют ученики в процессе решения математических задач, выполнения различных заданий, связанных с разрешением математических проблем.

РОЛЬ ЗАНИМАТЕЛЬНОСТИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Интерес к математике в младших классах поддерживается занимательностью самих задач, вопросов, заданий. Говоря о занимательности, мы имеем в виду не развлечения детей пустыми забавами, а занимательность содержания математических заданий либо формы, в которые они облекаются. Педагогически оправданная занимательность имеет целью привлечь внимание детей, усилить его, активизировать их мыслительную деятельность. Занимательность в этом смысле на занятиях всегда несет элементы остроумия, игрового настоя, праздничности. Занимательность служит основой для проникновения в сознание ребят чувство прекрасного в самой математике. Благодаря занимательности многие древнейшие задачи (о “магических” квадратах, переправах через водный рубеж, переливания жидкостей и др.), подобно истинным творениям искусства, с любовью передаются в народе из поколения в поколение. Так, например, задача-сказка о переправе волка, козы и капусты с одного берега реки на другой уже тысячу лет служит одной из вне учебных головоломок для формирования полезных мыслительных навыков.

Стремление к занимательности в подаче задач, к тому, чтобы задачи стали более привлекательными для народа, привело еще в глубокой древности к их поэтическому оформлению. Но древние задачи в стихах из-за своеобразия языка и отдельных элементов их содержания еще непосильны для младших школьников. В начальных классах задачи в стихах на занятиях предлагаются весьма простые, с доступным пониманию детей содержанием, на темы, близкие им, связанные с жизнью и деятельностью ребят.

Разумная занимательность в работе с детьми имеет большую педагогическую ценность. Говорят, что французский математик XVII века Блез Паскаль высказал следующую мысль: “Предмет математики на столько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным”1. Однако надо избегать ложной занимательности, если она приводит к неряшливости в математических выражениях, к вульгаризации отдельных математических положений, к некорректности в изложении, к нелепым решениям и рассуждениям.

Занимательность характеризуется наличием легкого и умного юмора в содержании математических заданий, в их оформлении, в неожиданной развязке при выполнении этих заданий. Юмор должен быть доступен пониманию детей. Поэтому надо настойчиво добиваться от самих детей доходчивого разъяснения сущности легких задач - шуток, веселых положений, в которых иногда оказываются ученики во время игр, и т.д.; то есть добиваться понимания сущности самого юмора и его безобидности. Чувство юмора обычно проявляется тогда, когда находят отдельные веселые черточки в различных ситуациях. Чувство юмора, если им обладает человек, смягчает, облегчает восприятие отдельных неудач в сложившейся обстановке. Однако многие дети, особенно подростки, очень чувствительны к смеху. Они бояться выглядеть смешными. Поэтому легкий юмор должен быть добрым, создавать бодрое, приподнятое настроение. Это состояние приподнятости сохраняется в памяти детей и создает еще один из стимулов для участия их в последующих видах внеурочной работы по математике.

Атмосфера легкого юмора создается путем включения в ситуацию задач, задач-рассказов, заданий героев веселых детских сказов, включения задач-шуток, путем создания игровых ситуаций и веселых соревнований.

ИГРЫ НА ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

В работе по математике с младшими школьниками большое место занимают игры. Дидактические игры, то есть игры, содержание которых способствует либо развитию отдельных мыслительных операций, либо освоению вычислительных приемов, навыков и беглости счета и др. Целенаправленное включение игры в тот или иной вид работы повышает интерес детей к этой работе, усиливает эффект самого обучения. Создание игровой ситуации проводит к тому, что дети, увлеченные игрой, незаметно для себя и без особого труда и напряжения приобретают определенные знания, умения и навыки. Не зря Н.К. Крупская говорила, что “игре в начальной школе вообще надо уделять больше внимания, чем это часто делается. Надо не забывать, что игра для ребят - это самая настоящая учеба”.

Так как в младшем школьном возрасте у детей еще сильна потребность в игре, то пренебрежительное отношение к игровым приемам в учебно-воспитательной работе означает нарушение одного из важнейших принципов советской педагогики - учета возрастных особенностей детей. Игра делает отдельные элементы работы по математике эмоционально насыщенными, вносит бодрый настрой в детский коллектив, помогает эстетически воспринимать ситуацию, связанную с математикой: праздничное оформление класса, красочную оригинальность газеты, красоту древней легенды, включающей задачу, драматизацию математического задания, наконец, стройность мыслей при решении логической задачи.

Среди математических игр для детей имеются и ролевые. Наиболее притягательную силу для младших школьников имеют те роли, которые дают им возможность проявлять высокие моральные качества личности: честность, смелость, товарищество, находчивость, остроумие, смекалку и т.д. (роль капитана команды в клубе юных математиков или члена этой команды, роль разведчика, покупателя или продавца, “хитреца” или “молодца” и др.). Поэтому такие игры содействуют не только выработке отдельных математических навыков, но и остроты и логичности мыслей, а также воспитанию моральных качеств. В частности, игра содействует воспитанию, дисциплинированности, так как любая игра проводится по соответствующим правилам. Включаясь в игру, ученик выполняет определенные правила; при этом он подчиняется самим правилам не по принуждению, а совершенно добровольно, иначе не будет игры. А выполнение правил бывает связанно с преодолением трудностей, с проявлением настойчивости.

Учитель сам в определенной степени должен включаться в игру, иначе руководство и влияние его будет не достаточно естественным. Умение включиться в детскую игру - тоже один из показателей педагогического мастерства.

Однако, не смотря на всю важность и значение игры в процессе работы по математике, она не самоцель, а средство для развития интереса к математике. Математическая сторона содержания игры всегда должна отчетливо выдвигаться на передний план. Только тогда она будет выполнять свою роль в математическом развитии детей и воспитании интереса их к математике.

При организации математических и логических игр необходимо придерживаться следующих положений:

1. Правила игры должны быть простыми, точно сформулированными, доступными для понимания младших школьников.

Если материал посилен только отдельным ученикам, а остальные либо не понимают правила, либо слабо разбираются в содержании математической или логической стороны игры, то она не вызовет интереса детей и будет проводиться только формально.

2. Игра не будет содействовать выполнению педагогических целей, если она вызывает слишком бурную реакцию у ребят, но не дает достаточной пищи для непосредственной мыслительной деятельности, не развивает математическую зоркость их и внимание.

3. Игра не дает должного эффекта, если дидактический материал к ней для детей изготовлять сложно или использовать его во время игры не совсем удобно.

4. При проведении игры, связанной с соревнованием команд, должен быть обеспечен контроль за его результатами со стороны всего коллектива присутствующих учеников или авторитетных лиц. Учет результатов соревнования должен быть открытым, ясным и справедливым. Ошибки в учете, неясности в самой организации учета приводят к несправедливым выводам о победителях, а следовательно, и к недовольству участников игры. Особенно это заметно бывает, когда игра проводится с учениками третьих классов. Они уже хорошо разбираются, где организаторы игр объективны, а где нет, и остро реагируют на несправедливость. И если обнаруживается такая несправедливость, то у детей вместо приятных впечатлений остаются и сохраняются неприятные.

5. Для детей игры будут интересными тогда, когда каждый из них станет активным их участником. Длительное ожидание своей очереди для включения в игру снижает интерес детей к этой игре.

6. Если на уроке проводится несколько игр, то легкие и более трудные по математическому содержанию должны чередоваться; при этом наиболее легкую и более живую следует предлагать в само конце занятий.

7. Если на нескольких уроках проводятся игры, связанные со сходными мыслительными действиями, то по содержанию математического материала должны соблюдаться принципы - от простого к сложному, от конкретного к абстрактному. Это положение особенно последовательно и строго надо соблюдать при проведении логических игр.

8. Дидактические игры имеют познавательное значение, поэтому в них на первый план выдвигается умственная задача, для решения которой в мыслительной деятельности должны использовать сравнения, анализ и синтез, суждения и умозаключения. В этих играх дети должны высказывать суждения и умозаключения. Тогда они будут содействовать не только формированию логического мышления младших школьников, но и правильной, четкой, краткой речи. В дидактических играх дети должны словесно, с учетом правильной терминологии указывать в необходимых случаях признаки, понятия, взаимосвязи и отношения между понятиями.

9. В процессе игры должно быть выполнено определенное законченное действие, решено конкретное задание. Игру не следует обрывать не завершенной. Только при этих условиях она оставит след в сознании ребят.

В процессе работы полезно включать не только обычные математические игры, но и логические. Справедливо утверждает Б.А. Кордемский, что “любая игра является математической, если ее исход может быть предопределен предварительным теоретическим анализом”. Логические игры являются именно такими, в которых путем “цепочки” несложных умозаключений можно предвидеть, предугадать необходимый результат, ответ. В этом их притягательная сила.

Математические игры часто бывают связаны с определенными сюжетами. Правда, сюжеты их весьма простые, рассчитанные на детское воображение. Иногда эти сюжеты подсказываются названием игры: “Поймай рыбку”, `Борьба за цифру”, “Таблицу знаю” и др.

При организации дидактически игр с математическим содержанием необходимо продумывать следующие вопросы методики:

1. Цель игры. Какие умения и навыки в области математики дети осваивают в процессе игры. Какому моменту игры надо уделить особое внимание. Какие другие воспитательные цели преследуются при проведении игры (заинтересованность математикой, подготовить детей к организации кружка и т.д.).

2. Количество играющих. Каждая игра требует определенного минимального или максимального количества играющих. Это приходится учитывать при организации игр.

3. Какие материалы и пособия понадобятся для игры.

4. Как с наименьшей затратой времени познакомить ребят с правилами игры.

5. На какое время должна быть рассчитана игра, учитывая, чтобы дети пожелали еще раз вернуться к этой игре.

6. Как обеспечить более полное участие детей в игре.

7. Как организовать наблюдение за детьми, чтобы выяснить, заинтересовала ли их игра.

8. Какие изменения можно внести в игру, чтобы повысить интерес и активность детей.

9. Как можно использовать основу игры, чтобы применить в ней другой математический материал.

10. Какие выводы следуют сообщить детям в заключение, после игры (лучшие моменты игры, наиболее активные участники, недочеты в игре и т.п.).

Многими играми интересуются не только дети, но и взрослые, интересуются ученые-математики. А в 40-х годах прошлого века появилась даже самостоятельная отрасль математики под названием теория игр. Эта сложная теория зародилась вначале в связи с изучением с математической точки зрения таких игр, как шахматы, шашки и т.д.; а теперь уже охватывает весьма различные ситуации, рассматривает важные практические задачи экономического, стратегического, военного характера, задачи в которых сталкиваются противоречивые интересы противников, каждый из которых независимо от другого выбирает определенный способ действий - стратегию. Так постепенно развивается и само понятие игры. Следует отметить, что в некоторых занимательных детских играх встречаются простейшие элементы тех сложных игр, которые изучает математическая теория игр.

В работе над повышением интереса детей к математике необходимо, чтобы этот интерес к ней видели школьники со стороны своего учителя. Труднее вызвать интерес детей к учебному предмету, если они не видят примеров увлеченности данной наукой, примеров, которые убеждали бы их в том, что вообще существуют люди, которые со страстью отдаются такой сложной и “сухой” науке, как математика, и что ими могут быть не только взрослые, но и дети. Поэтому на занятиях, полезно знакомить младших школьников с фактами, показывающими увлеченность математикой современных школьников, у которых все еще впереди и дальнейшая судьба которых заманчива, но неизвестна. Но сами факторы убедительно доказывают детям, что среди их сверстников есть ребята, которые проявляют страстный интерес к математике, и что трудолюбие, настойчивость содействуют развитию математических способностей, начиная с детства. Делать это нужно, конечно, в доступной форме.

Одна из основных задач обучения математике в начальных классах - формирование у учащихся вычислительных навыков. Большое внимание этому уделяется на самих уроках.

Совершенствование навыков устных вычислений зависит не только от методики организации занятий, от форм контроля, но и во многом от того, насколько сами дети проявляют интерес к этой форме работы. Этот интерес можно вызвать, показав учащимся красоту и изящество устных вычислений, используя не совсем обычные вычислительные приемы, помогающие порой значительно облегчить процесс вычисления. Эти приемы вычислений могут быть преподнесены в виде занимательных задач на уроках или на внеклассных занятиях.

Как известно, дети любят умножать на 10, на 100, 1000. В данном случае умножение заключается в простом приписывании к числу соответственно одного, двух или трех нулей. Однако учитель не часто обращает внимание детей на то, что так же быстро и легко можно умножать число на 5, 50 и 500.

В этом случае при умножении к половине числа соответственно приписывают один нуль, два нуля или три. Особенно эффективен этот прием при умножении на эти числа четного числа.

Например:

68х5=(34х2)х5=34х(2х5)=34х10=340

68х50=34х100=3400

В этих примерах, взятых из учебника, используются известные учащимся правила умножения произведения на число и умножения числа на 10.

При умножении на 5, 50 и 500 нечетных чисел можно воспользоваться предыдущим приемом, представив число в виде суммы четного числа и единицы и затем применив правило умножения суммы на число, т.е. распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

17х50=(16+1)х50=16х50+1х50=800+50=850

При делении чисел на 5, 50, 500 все выполняется в обратном порядке:

Удваивается делимое и отбрасывается один, два или три нуля соответственно.

Например:

35х5=(135х2):(2х5)=270:10=27

Вообще, устное умножение больших чисел привлекает внимание учащихся, так как в начальных классах такое умножение обычно выполняется письменно и умение учителя умножать, например: на 25 устно заинтересовывает учащихся, вызывает их удивление и стремление узнать секрет. А секрет прост, особенно для чисел, кратных четырем, если обычное для учащихся рассуждение:

24х25=(6х4)х25=6х(4х25)=6х100=600

заменить более коротким:

24х25=(24:4)х100=600

этот способ можно распространить и на умножение нечетных чисел на 25, представив их в виде суммы или разности числа, кратного четырем, единицы (или 2):

37х25=(36+1)х25=36х25+1х25=900+25=925

35х25=(36-1)=36х25-1х25=900-25=875

38х25=(36+2)х25=36х25+2х25=900+50=950

Устный прием умножения на 25 можно распространить и в обратном направлении: умножение чисел на 26 и на 24 можно заменить умножением их соответственно на выражения 25+1 и 25-1.

Например:

36х26= 36х(25+1)=36х25+36х1=900+36=936

36х24=36х(25-1)=36х25-36х1=900-36=864

При делении чисел на 25, как и при делении на 5, все выполняется в обратном порядке по сравнению с умножением: делимое умножается на 2,т.е. на 4 и отбрасывается два нуля. Например, для нахождения значения выражения

225:25 достаточно у числа (225х2)х 2=225х4=900 отбросить два нуля, в результате получается частное 9.

Аналогично, но с еще большим внешним эффектом можно продемонстрировать умножение числа на 125, разделив его (если это возможно) на 8 и умножив на 1000, так как 125=1000:8

Например:

88х125=(88:8)х100=11000

Если данное число на 8 не делится, то пользуются одним из перечисленных приемов.

Часто приходится умножать, например, на 9, 99 и 999. В этом случае бывает удобнее представить эти числа в виде 10-1, 100-1, 1000-1, а потом использовать распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания:

678х9=678х(10-1)=6780-678=6102

577х99=577х(100-1)=57700-577=57123

34х999=34х(1000-1)=34000-34=33966

Следует отметить, что отдельные учащиеся затрудняются удерживать в памяти большие числа. В этом случае для овладения приемами устных вычислений целесообразно иногда использовать так называемые полу письменные вычисления, при которых допускается запись некоторых промежуточных результатов. Так, при вычислении первых двух произведений промежуточные результаты 6780-678 и 57700-577 могут быть записаны.

Можно использовать и другие интересные способы устных вычислений, вызывающие у детей внимание и интерес.

Вот один из таких приемов, который опирается на правило умножения числа на сумму, изучаемое в 3-м классе:

14х15=14х(10+5)=14х10+14х5=…

Не торопись вычислять значение произведения, этот результат нам не понадобится в дальнейшем, наши вычисления будут значительно проще

=14х10+7х10=(14+7)х10=21х10=210

Рассмотрев подчеркнутые выражения, можно сделать вывод (обобщение): чтобы умножить четное число на 15, надо к нему прибавить его половину и результат умножить на 10. Следует подчеркнуть, что это правило справедливо только для четных чисел. Если же надо умножить нечетное число, то пользуются уже известным приемом:

23х15=(22+1)х15=22х15+15=330+15=345

Ознакомление учащихся на занятиях с умножением разности на число позволит расширить применение данного приема. Так, умножение числа на 14 или 16 можно заменить умножением его соответственно на 15-1 или 15+1:

66х14=66х(15-1)=66х15-66х1=990-66=924

62х16=62х(15+1)=62х15+62х1=930+62=992

Результат умножения числа на 150 можно получить, проведя последовательно умножение его на 15 и 10.

Чтобы возбудить интерес учащихся к вычислениям, можно на занятии показать им необычный прием. Таким приемом, на наш взгляд, является способ умножения числа 5, оканчивающегося на себя с использованием определенного правила. Например, для случая 35х35 это правило читается так: число десятков (3) умножить на число на единицу большее (4) и к результату приписать 25, получится 1225. Этот прием является частным случаем правила: “Если два числа имеют равное число десятков, а сумма числа их разрядных единиц равна 10, то произведение находят так: к произведению числа десятков одного из них и на единицу большего числа, умноженного на 100, прибавляют произведение единиц”.

Например:

61х69=6х(6+1)х100+1х9=4200+9=4209

243х247=24х25х100+3х7=60000+21=60021

Интересно, что если произведение единиц двузначное число, как во втором примере, то нахождение искомого произведения состоит в простом приписывании к произведению числа десятков и на единицу большего числа произведения единиц.

Эти приемы помогут учителю в организации устного счета, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, привьют учащимся интерес к устным вычислениям, а, следовательно, будут способствовать формированию прочных, устойчивых вычислительных навыков.

Рабата по “цепочкам “ и магическим квадратам может быть проведена фронтально или индивидуально. В последнем случае учитель дает ученика минуту времени на устное выполнение действий в “ цепочке ”, или“ квадрате” после чего ученики называют результат (или результаты). При проверке учитель просит назвать промежуточные результаты только тех учеников, у которых неверен окончательный результат.

Одна из важнейших задач обучения математике в начальной школе - это усвоение алгоритмов письменного сложения и вычитания многозначных чисел на однозначное и двузначное число. Многозначные арифметические ребусы направлены, с одной стороны, на более осознанное усвоение и закрепление алгоритмов письменных вычислений, а, с другой стороны, на развитие логического мышления и сообразительности детей, так как при разгадывании ребусов ученики должны провести ряд последовательных рассуждений: они часть оказываются перед проблемой хода решения, им нередко приходится применять знания в совершенно новых условиях.

При расшифровке арифметических ребусов на сложение и вычитание многозначных чисел учащиеся, применяя знания соответствующих алгоритмов, будут проводить рассуждения, аналогичные тем, которые они проводили, решая примеры с “окошками”.

Работа с арифметическими ребусами требует, помимо всего, еще и большого внимания и сосредоточенности. На первых порах все рассуждения, связанные с разгадыванием арифметических ребусов, целесообразно проводить вслух. Обычно дети делают это с большим интересом.

Так, разгадывая ребус:

*4*

*3

___

они понимают, что начать сложение надо с разряда единиц и без особого труда называют цифру единиц первого слагаемого ( 9 ), а затем цифру десятков второго слагаемого ( 4 ) и, наконец, цифру, которая должна стоять в разряде сотен первого слагаемого ( 3 ).

Иными будут рассуждения при расшифровке ребуса:

****

- 1

_____

*** когда достаточно знать, что разность четырехзначного числа и числа 1 равна трехзначному числу только в том случае, когда задано наименьшее четырехзначное число (1000). Разность будет 999. Расшифровка арифметических ребусов в теме “Умножение и деление многозначного числа на однозначное и двузначное число” предполагает знание алгоритмов соответствующих вычислений, зависимостей между компонентами и результатом уже всех четырех арифметических действий, проведение прямых и обратных рассуждений, а в отдельных случаях и подбора цифры с опорой на особенность конкретной числовой ситуации, а иногда и догадки.

В ребусах на умножение многозначного числа на однозначное применяя алгоритм письменного умножения, расшифровку начинаем с разряда единиц. Чаще всего в ребусах неизвестен второй множитель, в то время как цифра единиц первого множителя и произведения заданы. В этих случаях неизвестную цифру (второй множитель) легко получаем, ответив на вопрос “При умножении какого числа на заданное, получаем произведение, оканчивающееся заданной цифрой? ” После чего без труда восстанавливаем пропущенные цифры первого множителя и произведения. Например, в ребусе:

**9

х *

____

6*51 второй множитель будет равен 9, так как 9х9=81, откуда следует, что в разряде десятков первого множителя будет стоять цифра 3, так как 15-8=7, а произведение, оканчивающееся цифрой 7, получаем тогда, когда на 9 умножаем число 3. Так как первая цифра произведения 6, то первой цифрой первого множителя должна быть цифра 7 (7х9=63), и ребус будет расшифрован.

739

х 9

____

6651

Однако определение цифры, записанной в неизвестном множителе, иногда требует дополнительных рассуждений. Например, в ребусе:

**45

х *

_____

*0935 сначала кажется, что в качестве второго множителя подходит одна из цифр: 1, 3, 5, 7, 9 , та как каждая из них при умножении на 5 дает произведение, оканчивающееся цифрой 5. Чтобы выбрать цифру, обозначающую второй множитель, смотрим на цифры, записанные в разряде десятков первого множителя и произведения: это цифры соответственно 4 и 3, из чего следует, что второй множитель - 3, получаем:

3645

х 3

_____

10935

Путем непосредственной проверки убеждаемся, что другого варианта решения нет.

Но есть ребусы, которые имеют не одно, а два решения. Например, в ребусе без труда определяем второй множитель (4):

**9

х *

____

15*6

Учитывая, что в произведении при умножении неизвестного числа на 4 получаем 15 сотен, можно предположить, что это число не меньше, чем 3. При умножении трех сотен на 4 получаем 12 сотен, 3 сотни перешли из разряда десятков. Но чтобы получить в разряде десятков число, которое больше 30 надо число 4 умножить на одно из чисел 8 или 9. Проверка показывает, что обе цифры подходят в данном случае, и мы получаем два решения:

399

х 4 х 4

____ _____

1596

Накопленный детьми опыт работы с различными арифметическими ребусами поможет им вести расшифровку и в более трудных случаях, в частности при умножении многозначного числа на двузначное.

Так, при разгадывании ребуса:

**3 143

х ** х 77

____ ____

10*1 1001

**** 1001

____ ____

11011 11011 дети уже без труда определяют цифру в разряде единиц второго множителя - 7. Используя найденную цифру и первое неполное произведение, определяют первый множитель (143)

Восстановив первое неполное произведение, ученики без труда восстанавливают второе неполное произведение, а по нему и цифру в разряде десятков (7) второго множителя.

Среди арифметических ребусов в теме “ Деление многозначного числа на однозначное” можно выделить две группы ребусов, в одной из которых цифры, замененные звездочками, находятся легко и однозначно, например:

**9 * 369 9

- ** 41 36 41

- * 9

* - 9

____ 0

0

*** 7 406 7

86

- ** 5* - 35 58

5* 56

- ** - 56

0 0

**6 4 236 4

- ** 5* - 20 59

3* 36

** - 36

0

*** 9 423 9

- 36 ** - 36 47

6* 63

- ** - 63

0 0

В другой группе некоторые звездочки могут быть заменены несколькими различными цифрами, каждая из которых дает правильное решение. Рассмотрим примеры ребусов второй группы:

***** *

- *3 ****

8*

- **

8*

- **

0

В этом ребусе постараемся определить делитель и первую цифру частного, ответив на вопрос “Произведение каких однозначных чисел оканчивается цифрой 3?” Это могут быть пары чисел: 1 и 3, 7 и 9. пара чисел 1 и 3 не подходит, так как из дальнейших записей алгоритма видно, что делитель должен быть больше, чем 8, откуда следует, что в делителе надо записать цифру 9, а в разряде тысяч частного - 7.

Все сказанное позволяет восстановить первые три цифры делимого (638). Из второй промежуточной записи получаем вторую цифру частного (0). Далее обнаруживаем, что приведенные промежуточные записи могут быть верными и в том случае, когда в разряде десятков делимого стоит цифра 0, и в том случае, когда стоит цифра 9, при этом разными будут и цифры в разряде десятков частного (соответственно 8 и 9). В результате получаем два ответа:

63801 9 63891 9

- 63 7089 - 63 7099

- 80 89

72 - 81

81 81

- 81 - 81

0 0

Аналогично два решения получаем и при расшифровке ребуса:

***** 7

- *3 ****

- 4*

**

- **

*6

2

67258 7 67958 7

- 63 9608 - 63 9708

42 49

- 42 - 49

58 58

- 56 - 56

2 2

Заканчивая описание этого раздела, приведем еще два ребуса из темы

“ Деление многозначного числа на двузначное ”.

1) **** ** 2) ***7 **

- 4* *8* - *0 4**

*8 9*

- ** **

* 3*

- 0 - **

7 7

Две последние промежуточные записи в решении примера позволяют определить последнюю цифру частного (0) и две последние цифры

делимого (в разряде десятков делимого цифра 8, в разряде единиц - 7). Из второй промежуточной записи видим, что при делении нацело двузначного числа на двузначное частное равно 8, откуда следует, что делитель равен 11 (в другом случае либо будет остаток, либо промежуточное произведение будет трехзначным числом). Опираясь на первую промежуточную запись и найденный делитель (11), получаем, что в разряде сотен частного будет цифра 4, а делимое - 5287

Последняя промежуточная запись (3*-***=7) позволяет сделать вывод, что делитель равен 15, а в разряде единиц частного должна быть цифра 2. Вторая промежуточная запись (9*-**) подсказывает, что в разряде десятков частного будет цифра 6, откуда следует, что делимое - 6937. Таким образом, получаем в частном 482.

Очень близко к арифметическим ребусам примыкают задания вида

“ Вставь вместо “окошек” одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало верным ”

1? + 3 ? 5 ? = 111

? 0 + ? 1 + ? 2 = 273

?4 + ?1 + ?3 + ?0 + ?1 = 259

Переставляя цифры, сделай равенство верным: 73 - 25 = 58

Рассматривая первую запись, отмечаем, что одна и та же цифра записана в разряде единиц трех слагаемых, сумма которых оканчивается цифрой 1, откуда следует, что искомой будет цифра 7.

При выполнении задания 4) полезно использовать карточки с цифрами с тем, чтобы у детей была возможность выполнить его практически, перебирая различные варианты решения:

78-25=53 78-23=55

87-35=52 87-32=55

78-53=25 78-55=23

87-52=35 87-55=32

С большим интересом учащиеся выполняют задания, в которых требуется записать заданное число с использованием только одной заданной цифры, знаков арифметических действий и иногда скобок. Например: Используя знаки действий и скобки, запишем:

а) число 24 - четырьмя тройками или тремя двойками;

б) число 20 - четырьмя девятками или пятью тройками;

в) число 1000 - пятью девятками.

Выполнение этих заданий требует не только умений выполнять арифметические действия, но и смекалки, настойчивости и определенной гибкости в поиске подходов к решению. Основную трудность будет составлять то, что дети не сразу догадываются образовывать для решения двузначные ( а иногда и трехзначные ) числа, записанные с помощью одной и той же заданной цифры. Однако, иногда можно услышать, например, также рассуждения при выполнении заданий:

а) ближайшее к 24 число, которое может быть записано с помощью цифры 3, будет 33, но оно на 9 больше, чем 24 следовательно, из 33 надо вычесть 9, т.е. 3 х 3. Получаем: 24=33-3х3. Аналогично:

24=22+2

б) 20=99:9+9; 20=33:3+3х3

в) 1000=999+9:9 и др.

В начальной школе большое внимание уделяется решению уравнений на основе знания взаимосвязей между компонентами и результатом арифметических действий.

Важно объяснить детям, что “ цепочки” уравнений отличаются от примеров с “ окошками” или от уравнений тем, что в них каждая фигура обозначает одно и то же число. Принцип решения таких цепочек достаточно прост: в заданной “ цепочке” находим то, в котором есть только одно неизвестное, и находим его. Найденное число подставляем в другие уравнения, постепенно определяя таким образом числовое значение, соответствующее каждому геометрическому значку.

“ Цепочки уравнений” составлены таким образом, что они охватывают все виды простых уравнений, изучаемых в начальных классах, и их выполнение не вызывает затруднений у детей. Однако есть и такие “ цепочки”, которые требуют проведения специальных рассуждений, например:

^+ ? = 1 ^+ 0= 25 0 : ? = 25

Из первой записи делаем вывод, что возможно: ^ - 1, ? - 0 или ^ - 0,

? - 1, но из третьей записи устанавливаем, ч то ? - 1 , а не 0 ( на нуль делить нельзя), ^ - 0, 0-25.

В серии “ Задачи на смекалку” подобраны разнообразные задачи, решение которых опирается на догадку и сообразительность детей, иногда на умение переформулировать условие или вопрос задачи, провести наблюдения, сравнения, сделать вывод, построить цепочку правильных рассуждений, а иногда и на умение провести несложные расчеты. Например:

1. Митя спросил у дедушки сколько ему лет. Дедушка ответил: “ Когда проживу еще половину того, что прожил и еще 1 год, мне будет 100 лет”. Сколько лет дедушке?

Знаний уже у детей достаточно, чтобы провести рассуждение, которое приведет к решению задачи. Из ответа дедушки следует, что 99 ( 100-1=99 ) надо представить в виде суммы двух таких слагаемых, одно из которых в 2 раза больше другого, другими словами, найти третью часть числа 99 (33), откуда 99=66+33 получаем, что дедушке 66 лет.

2. На чемпионате школы по игре в шахматы Лена сыграла 12 партий. Когда у нее спросили, сколько же партий она выиграла, Лена ответила: “ 2 партии я проиграла, а из остальных на каждые 2 партии вничью, у меня 3 выигранных”. Сколько шахматных побед у Лены?

Из того, что Лена проиграла 2 партии, следует, что у нее побед и ничьих вместе было 10. как набрать число 10 так, чтобы на каждую двойку была одна тройка (на каждые 2 партии вничью - 3 выигранных)? 2+3+2+3=10. Откуда следует, что у Лены 6 шахматных побед.

2.4 Использование приемов самоконтроля младших школьников за результатами усвоения материала

Всякая полноценная деятельность состоит из трех частей: ориентировочной, исполнительной и контрольной. В последней из них устанавливается обратная связь в системе учитель - ученик, позволяющая регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, современного диагностирования и корректирования их знаний, умений и навыков. Отсутствие контрольной части, по мнению Л.М. Фридмана, превращает учебную деятельность в случайную, нерегулируемую совокупность действий, при этом теряется цель деятельности и отсутствует представление о ее достижении.

Контроль может осуществляться как самим действующим субъектом, т.е.

учеником, так и другим субъектом, который взаимодействует с данным в их совместной деятельности. В этой связи различают три типа контроля:

- внешний контроль учителя за деятельностью учащихся;

- взаимный контроль учащихся;

- самоконтроль.

Они взаимосвязаны между собой, так как внешний контроль, при целенаправленной работе учителя, способствует развитию взаимосамоконтроля:

Внешний контроль

Взаимоконтроль

Самоконтроль

Значимость функции взаимоконтроля определяется более ответственным отношением учащихся к оценке деятельности одноклассников, нежели своей. При проведении же самоконтроля осознается правильность своих действий, что выражается в его направленности на предупреждение или обнаружение уже совершенных ошибок.

Наши наблюдения показывают, что обучение самоконтролю способствует общему развитию младших школьников, углублению их познавательной активности. У них повышается интерес к математике, воспитывается ответственное отношение к выполнению классных и домашних заданий, формируется самооценка и самокритичность в учебной деятельности.

Процесс формирования умения самоконтроля на уроках математики можно представить в виде схемы 2 .

При обучении самоконтролю особое внимание следует уделять ознакомлению и овладению приемами проведения контролирующих действий, таких как:

приемы проверки действия сложения;

приемы проверки действия вычитания;

приемы проверки решения уравнения;

приемы проверки решения задачи.

Умение контролировать свою учебную деятельность при решении учебных задач складывается из умения планировать учебные действия, контролировать результаты решения учебной задачи в целом и основных этапов ее решения, предвидеть трудности и наметить пути их преодоления. Для того чтобы сформировать у учащихся умения выполнять проверку решения задачи, нужно начиная с первого класса, знакомить их со способами проверки, а также научить включать этап проверки как обязательный в алгоритм решения задач. Первое время учитель сам предлагает учащимся правильность полученного ответа по одному из способов:

установление соответствия между числом, получаемым в результате решения задачи, и данными числами;

ИЗ ПЕРВЫХ РУК

Схема 2

ВНЕШНИЙ КОНТРОЛЬ

Побуждение Косвенное Непосредственное

учащихся Развитие развитие

к самонтролю самоконтроля самоконтроля

1. Формирование 1. Проверка 1. Выяснение

потребности учителем причин

в самоконтроле деятельности собственных

2. Разъяснение учащихся ошибок.

сущности 2. Взаимные 2. Самопроверки.

параметров проверки учащихся. 3. Предупреждение

самоконтроля. 3. Проверка ошибок.

3. Инсруктаж учащимися

по проведению деятельности

самоконтроля. учителя.

САМОКОНТРОЛЬ

составление и решение обратной задачи;

установление “границ” искомого числа;

решение задачи другим способом.

Кроме умения контролировать результат решения задач, учащиеся должны приобрести умения контролировать процесс их решения, знать, на какие этапы следует обратить особое внимание. Успешность этой работы во многом определяется тем, насколько самостоятельно и активно учащиеся решили данную задачу. Насколько осознан переход от известного к неизвестному.

Американский методист Д. Пойа предлагает следующую схему решения математических задач, которая может быть использована при решении любой учебной проблемы:

понимание постановки задачи или формулировка проблемы;

составление плана решения;

осуществление плана;

взгляд назад (изучение полученного решения).

Каждый учитель знает, что характер деятельности школьника во многом определяется мотивами его учения. Многое зависит от эмоционального настроя на самоконтроль, от необходимости этого этапа работы. Поэтому нужно стараться делать учеников соучастниками в определении целей данной учебной задачи, в планировании этапов работы.

Так, например, поставив перед учащимися цель- научиться умножать многозначное число на однозначное, учитель может предложит ученикам подумать над тем, какие из следующих произведений они могут вычислять и какие не могут, т.е. чему им предстоит научиться:

24 243 2431 24316 243095

х 2 х 2 х 2 х 2 х 2

____ _____ ______ ________ _________

В итоге появляется запись

Я умею умножать:

а) двузначное число на однозначное;

б) трехзначное число на однозначное.

Мне надо научиться:

а) умножать четырехзначное число на однозначное;

б) умножать пятизначное число на однозначное и т.д.

К заданиям, формирующим самоконтроль, относятся такие, которые требуют оценить чье-либо решение, найти ошибку.

Ученики часто сталкиваются с трудностями при делении многозначного числа на однозначное, когда в середине или на конце частного появляются нули. Вот какое задание можно предложить ученикам, чтобы научить их предвидеть возможные ошибки при выполнении этой операции.

Незнайка выполнил деление так:

95

3 6525 5 1560 3

- 15 53 - 65 905 - 15 52

9 25 6

9 - 25 - 6

0 0 0

Какие замечания сделал бы Знайка?

Найдите ошибки в решении Незнайки, если они есть, и исправьте их. Посоветуйте Незнайке, на что нужно обратить особое внимание при делении многозначного числа на однозначное.

Такие задания можно использовать на уроке математики не только при первичном закреплении и самоконтроле, но и при открытии детьми нового знания.

Другой прием, который использовался нами при формировании умения самоконтроля у учащихся начальных классов - это сверка с образцом (ответом). Ребенок может сверить результат выполнения задания с образцом такого выполнения на доске или в тетради товарища. Этот прием может быть использован учителем, начиная с первого класса, не только при выполнении заданий, но и в различных дидактических играх, например:

Игра “Сделай также”.

Варианты заданий в этой игре могут быть различны.

Учитель предлагает первоклассникам сложить из имеющихся фигур несложные узоры или рисунки:

а) узор из геометрических фигур (С - синий, К - красный):

С С К К

К К К К С С С С

С С К К

б) композицию (К - красный, С - синий, З - зеленый, Ч - черный ):

Ч

К

С К З

З

Ч Ч

Задания легко видоизменяются и усложняются. Например:

Продолжи начатый ряд и расположи одну за другой еще четыре фигуры:

Не нарушая закономерности, поставь рядом с имеющейся пятую фигуру. Сколькими способами это можно сделать?

Выполнив работу, ученики самостоятельно проверяют себя по образцу или проводится взаимопроверка.

Игра “Лесенка”.

Каждой паре учеников дается одна карточка с примерами:

8+1 4+5

9-1 3+1

4+5 7-4

9-55+2

Примеры составлены таким образом, что ответ одного является началом другого. Ответ каждого примера учащиеся записывают на соответствующей ступеньке. Чтобы ученики могли проверить, правильно ли они выполнили задание, учитель, давая инструкцию к его выполнению, сообщает прием самоконтроля. Этот прием ученики используют в процессе своей деятельности (ответ одного примера является началом другого, конечный результат равен 9).

Для развития творческих способностей можно предложить ученикам самим составить такие примеры и поменяться карточками, чтобы сосед по парте решил их. После решения провести еще и взаимопроверку.

Игра “Число-котролер”.

Ученики получают карточки с примерами:

2-1= 3-1= 0+3= 9-9=

1+1= 7-7= 5-3=

Решив данные примеры, дети могут себя проконтролировать- сумма всех ответов равняется 10.

Игра “Вычислительная машина”.

На доске нарисована схема:

ВХОД

Х3

-5 :3

+7

ВЫХОД

Вычислительная машина состоит из блоков, которые выполняют определенную работу-действие. Каждый ученик будет выполнять ЭВМ и для этого получает карточку с определенным числом. Это число нужно ввести в машину и произвести все вычисления, указанные на схеме. Полученный ответ сверяют с тем, который написан на обратной стороне карточки.

Психологическая установка на взаимный контроль и самоконтроль при обучении математике станет более действенной, если использованные игры, задания не только способствовали формированию учеников определенных умений и навыков, но и развивали их. Ниже предлагаем некоторые из таких заданий:

Среди чисел 2860, 2875, 20865 имеется верное значение произведения 125х23. Выберите его с обоснованием своего решения, а проверку сделайте вычислением данного произведения.

Найдите правильный ответ на вопрос.

“Как можно назвать следующие натуральные числа: а) 10, б) 1, в) 27 ?”.

Возможные ответы:

двузначное число;

однозначное число;

четное двузначное число.

Расшифруй поговорку:

Н (49+23):9

У (64-15):7

Л 3х(25-17)

В 2х(12+28)

К 8х9-48:6

Д 5х7+6х7

О 43-(14-14)х2

Е 25+14х15х0

У 27:27х15

64 43 8 25 7 77 25 24 15

80 25 8 25 7

Большое влияние на обучение самоконтролю оказывает составление каждым учеником своего “справочника” по математике, где записываются основные сведения из изучаемого материала. Широко используется такой справочник и при работе над ошибками, когда нужно повторить какое-то правило, формулу.

Разумеется, необходимо прививать учащимся не только навыки контроля при выполнении отдельных учебных задач, но и постепенно формировать у них умение контролировать успешность своей работы на уроке в целом или по отдельной теме. По окончании изучения определенной темы учащийся должен осознать, какие знания и умения он должен был получить, чему он научился, над чем ему следует поработать для более успешного усвоения материала.

Наши исследования показали, что процессы развития самоконтроля и осмысления учащимися изучаемого материала взаимосвязаны. При этом учебный процесс строится в виде познавательного диалога учителя и учащихся, в ходе которого учитель постоянно побуждает учеников к самостоятельным выводам, к защите полученных результатов, к критике ошибочных утверждений и умозаключений.

Мы остановились лишь на некоторых приемах, способствующих формированию умений самоконтроля. В арсенале каждого учителя, наверное, имеются и другие приемы, обеспечивающие формирование таких умений. Главное - чтобы эта сторона организации обучения и воспитания учащихся планировалась учителем, входили в систему деятельности, ибо, как отмечал В.Д. Сухомлинский, “воспитание, побуждающее к самовоспитанию, - это и есть, по моему глубокому убеждению, настоящее воспитание”.

Глава 3. ОПЫТНО-ЭСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ. ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ КОМПЛЕКСА ПСИХОЛОГО - ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ПОВЫШЕНИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ