1.1 Возрастные критерии

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого-педагогическим проблемам, к психологическим знаниям. Этот интерес обусловлен тем, что учителя математики в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно разрешить лишь на основе психолого-педагогических знаний, а также при условии глубокого психологического осмысления сущности этих проблем.

В процессе обучения математике непосредственно участвуют с одной стороны -- учитель, с другой -- ученик. Роли их в этом процессе представляются, по крайней мере на первый взгляд, достаточно ясными: учитель организует, направляет и руководит процессом обучения математике, а ученик должен учиться, выполнять все требования учителя.

Вот как, например, определяется процесс обучения в одном из учебников по педагогике: «Обучением называется двусторонний процесс, состоящий из деятельности учителя, когда он ученикам объясняет, рассказывает, показывает, заставляет их выполнять упражнения, исправляет их ошибки и т.д., и из деятельности учеников, которые под руководством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки».

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому " [12, 44]

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Основная роль учителя математики в современных условиях -- это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно-мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений. Обучение знаниям умениям и навыкам по математике является составной частью этого воспитания и тем процессом, в котором это воспитание осуществляется.

В настоящее время все более ощутимой становится диспропорция между степенью наших познаний природы и пониманием человека, его психики, процессов мышления. У. У. Сойер в книге "Прелюдия к математике" [20, 7] отмечает: "Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума", которая дала бы им возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать, но и ставить перед собой новые задачи.

Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной" [12, 17]

О том, что надо учитывать возрастные особенности учащихся, говорится всюду, но не всегда указывается, что это означает, какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать. Между тем, надо иметь в виду, что возрастные особенности -- это не нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определённого возраста. Сами эти особенности довольно резко меняются со временем. Скажем, возрастные психологические особенности ученика младшего школьного возраста теперь и лет 30 тому назад совсем не одни и те же. Точно также современный подросток весьма существенно отличается от подростка довоенных лет.

Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.

Ученик -- это растущий, развивающийся человек. Придя в школу в семь лет, он заканчивает её в 17 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти десять лет обучения ученик проходит огромный путь физического, психического и социально-нравственного развития.

Подростковый возраст -- это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребёнка претерпевает кардинальные изменения. Развёртывается процесс полового созревания. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости. У него возникает представление о себе уже не как о ребёнке, он стремится быть и считаться взрослым. Отсюда у подростка возникает новая жизненная позиция по отношению к себе, к окружающим людям, к миру. Он становится социально активным, восприимчивым к усвоению норм ценностей и способов поведения, которые существуют среди взрослых.

Поэтому период подросткового возраста характерен тем, что здесь начинается формирование морально-нравственных и социальных установок личности ученика, намечается общая направленность этой личности.

Подросток стремится к активному общению со своими сверстниками, и через это общение он активно познаёт самого себя, овладевает своим поведением, ориентируясь на образцы и идеалы, почерпнутые из книг, кинофильмов, телевидения.

Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому, что у него возникают такие потребности, которые он должен удовлетворить только сам (потребность в общении со сверстниками, в дружбе, в любви). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить проблемы, встающие перед подростками в связи с возникновением у них новых потребностей, между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном от родителей. Всё это зачастую болезненно сказывается на отношении учащихся к учению. Вот как характеризует это известный психолог Н.С. Лейтес: «Дети 12-13 лет в подавляющем большинстве своём относятся к учению в основном благодушно: не утруждают себя излишними раздумьями, выполняют только уроки в пределах заданного, часто находят поводы для развлечения… Ослабление связи с учителем, снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учеников на уроках. Теперь учащихся не только иногда позволяют себе игнорировать получаемые замечания, но могут и активно им противостоять. В средних классах можно столкнутся с изобретательными шалостями и проявлением самого легкомысленного поведения».

Общая картина работы учащихся-подростков на уроках по сравнению с младшими классами ухудшается. Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не выполнять задания. Тетради ведутся неряшливо. У многих учащихся меняется подчерк, он становится неразборчивым и небрежным. При решении математических задач многие подростки не проявляют нужной настойчивости и прилежания. Попытки учителя заинтересовать учеников занимательностью формы изложения или какими-либо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата.

В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков, где, казалось бы, наиболее трудные подростки охотно выполняют все указания взрослого руководителя кружка, с интересом и усердием овладевают теоретическими знаниями, нужными для выполнения практических работ.

Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспитания, которым он был в младшем школьном возрасте, к положению субъекта этого процесса, то в юношеском возрасте ученик становится (во всяком случае, должен становиться) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно-воспитательном процессе.

В то же время ученики ещё сохраняют материальную зависимость от родителей. Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной, взрослой жизни, подготовка к труду, выбор жизненного пути, профессии.

В эти годы особую значимость для учеников приобретает ценностно-ориентационная деятельность. Ученик пытается произвести глубокую самооценку своей личности, своих способностей. Растёт и развивается рефлексия, познавательный интерес к философским проблемам, юноша пытается выяснить смысл жизни; оценить наблюдаемые явления с этой точки зрения.

Особо следует отметить стремление учеников старшего школьного возраста к автономии, к эмоциональной и ценностной самостоятельности, к независимости, к самоуважению, между тем как для подростков характерна зависимость от группы своих сверстников. Подросток весьма податлив влиянию сверстников. Внутренне отойдя от родителей, он ещё не пришёл к своей индивидуальности, которая обретается в юношеском возрасте. Если подростка волнует вопрос: «Неужели я не такой, как все?», то юношу: «Неужели я такой, как все?».

Учителю всё это надо иметь в виду и учитывать в своей работе.

Мотивация процесса учения.

Выше мы установили, что ученик в процессе обучения математике из объекта этого обучения постепенно становится его субъектом. Что это значит? В чём выражается различие между объектом и субъектом обучения? Ведь в том и в другом случае ученик как-то учится, приобретает знания, умения.

Действительно, и когда ученик является лишь объектом обучения математике, и когда он становится субъектом этого процесса он выполняет задания учителя, решает задачи, повторяет изученный материал и т.д., т.е. он учится. Все различия между учением ученика в роли объекта и его же учением в роли субъекта состоят в том, ради чего он это делает.

Человек, ученик есть деятельное существо. Он всегда что-то делает, участвует в какой-то деятельности. Но ученик участвует во многих различных деятельностях, совершает разные действия. Для того чтобы ученик эффективно учился, он должен совершать не любые действия, а вполне определённые. Встаёт вопрос: почему ученик совершает именно эти действия, а не другие, что побуждает совершать эти действия, что направляет и регулирует его деятельность в процессе обучения? Иными словами, что мотивирует -- побуждает и направляет -- деятельность ученика.

Только разобравшись в этом, мы сможем понять, в чём различия между объектом и субъектом процесса обучения. Кроме того, в этом надо разобраться ещё и потому, а может быть главным образом потому, что учитель должен научиться управлять деятельностью учащихся в процессе обучения, а для этого он должен формировать у них нужную мотивацию. Ведь в противном случае, если этого не делать, становится вполне реальной опасность, о которой говорил В.А.Сухомлинский:

«Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у учащихся желания учиться.»

Поэтому учитель должен вызвать у учащихся такое желание, а это значит, что он должен формировать у них соответствующую мотивацию.

Что такое мотивация, как она формируется у человека? Под мотивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельности.

Однако когда деятельность уже началась, то она имеет определённую цель. Цель -- это то, чего сознательно хочет достигнуть человек в результате этой деятельности. Но между целью деятельности и её побуждениями не всегда существует полное соответствие. Когда оно имеется, то говорят, что эта деятельность имеет смысл; в противном случае, когда цель деятельности и вызвавшие эту деятельность побуждения не соответствуют друг другу, то говорят, что деятельность не имеет смысла, лишена для данного человека смысла.

Например, ученики решают задачу. Цель у них одна -- научиться решать подобные задачи. Побуждения же могут быть самые различные. Так, одни из них решают задачу потому, что привыкли выполнять требования учителя, у них ещё имеется достаточно стойкая установка на выполнение требований учителя, но некоторые из них, кроме того, хотят получить хорошую отметку, похвалу. Для других главное -- получить хорошую отметку; третьи решают задачу ещё и потому, что их интересует сам процесс решения, он приносит эмоциональное удовольствие; наконец, есть и такие, у которых, кроме перечисленных побуждений, есть ещё и стремление овладеть общим способом решения подобных задач. Возможно, что у некоторых учащихся и другие побуждения.

Однако независимо от мотивов, которые побуждают учащихся решать задачу, объективно эта деятельность направлена на какие-то учебные цели, например, на то, чтобы каждый из них научился решать подобные задачи. Заметим, что сама задача с психологической точки зрения выступает лишь как материал, как средство этой деятельности.

Итак, ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения, а субъектом этой деятельности он становится тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности за свои личные цели. Очевидно, что в последнем случае обучение является наиболее эффективном, только в этом случае учитель может легко и с удовольствием полностью осуществить цели и задачи обучения.

Учителю необходимо стремиться к тому, чтобы каждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения. А для этого нужно, чтобы все стороны учебно-воспитательного процесса, его содержание, организация и методы содействовали такому становлению, были прямо направлены на воспитание ученика -- субъекта своей деятельности. К описанию одного из путей построения процесса повторения математики мы и переходим.

1.2 Повышение уровня обобщённости изучаемых знаний

В настоящее время школьный курс математики далеко отстаёт от математики как науки по уровню обобщённости знаний. Если в современной математике уровень обобщённости очень высок, то в школьном курсе математики он пока ещё весьма низок. Его повышение (в разумных пределах) приведёт к повышению информационной ценности изучаемых знаний, и также к резкому сокращению времени на их усвоение.

Следует особо отметить, что только на этом пути можно избавиться от пресловутой перегрузки учащихся, ибо общими понятиями современный школьный курс математики, не только не перегружен, но явно не догружен.

Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой, ещё не разрешённой проблемой методики математики.

Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках, в разных классах показал, что лишь 15-20% учебного времени тратится на самостоятельную работу, чем старше класс, тем самостоятельных работ меньше.

Создаётся ненормальное положение: с возрастом учащиеся, конечно, становятся более способными к самостоятельной работе, а им предоставляют для этого всё меньше времени.

Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотипные, при решении которых ученик ограничивается лишь получением ответа и сверкой его с готовым ответом, то такие упражнения не направляют усилия ученика на разрешение иных нешаблонных заданий, с чем ему придётся встречаться в жизни.

Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом. В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг [17] Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto [в силу самого факта] понимание другого" [17, стр. 15.]

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Не случайно Леонид Эйлер полагал, что кроме описания результатов своих исследований, обогативших науку, ему надобно для общей пользы чистосердечно изложить ещё и процесс искания истины со всеми его исканиями и затруднениями.

Действующие учебники математики мало, чем могут помочь развитию творческих начал: в них по меткому выражению профессора Б.В Гнеденко, спрятаны все концы, дана уже готовая схема, знания представлены в статистическом состоянии, в завершённых формах. Под обобщением будем понимать распространение, какого-либо суждения от частого понятия к общему (например, от «четырёхугольника» до «трапеции, ромба…»).

Суждения полученные по аналогии, будут проблематическими и подлежат дальнейшему исследованию и доказательству.

Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путём мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.

Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приёма аналогии.

Простое применение аналогии даёт упражнение подобное, однопорядковое с исходным. От него следует отличать составление задачи обобщением, когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной.

Процесс обобщения основывается на применении аналогии, но не сводится полностью к ней.

Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; оно есть одно из самых важных средств самообучения, то есть, самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.

Для достижения глубокого усвоения нового понятия, способа решения нельзя обходиться задачами одного уровня трудности, а нужно предложить обобщённую задачу, а ещё лучше дать учащимся возможность самим обобщить решённую задачу, чтобы затем решить таковую, видоизменяя, если нужно прежний способ.

В практике обучения общее классное задание рассчитано на среднего ученика, а для расширения познавательных способностей более сильных учащихся необходимы дополнительные задания по самостоятельному обобщению и решению составленных задач.

Если, скажем готовую задачу, решают все учащиеся в основном одинаковой последовательностью рассуждений, то с обобщением уже справляется не всякий. Результат обобщения зависит не столько от суммы знаний, примерно одинаковой для всех учащихся класса, а от умения комбинировать, связывать эти знания по-новому, заглядывать дальше обычных пределов.

Характер упражнений, выполняемых в классе, должен отразится и на характере контрольных и проверочных работ; чему обучают, то и следует проверять.

Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими задачами; после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления, найти несколько направлений, в которых удаётся обобщить задачу, и найти затем решение созданных таким образом новых проблем.

Время и усилия, затраченные на обобщение знаний, окупаются той большой экономией мышления, в последующем, которые достигаются благодаря единообразным методам усвоения материала.

Выводы по 1-й главе:

1. Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом.

2.Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приёма аналогии.

3. Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; оно есть одно из самых важных средств самообучения, то есть, самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.

Глава II. Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы"Четырехугольники")

2.1 Значение повторения

Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала.

Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта.

"Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений", -- говорил Каменский.

Преподавать математику, не повторяя повседневно на каждом уроке ранее пройденный материал, это значит -- передать, пересказать учащимся определенную сумму различных законов, теорем, формул и т. п. , совершенно не заботясь о том, насколько прочно и сознательно освоили этот материал наши питомцы; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний. Работать так, это, по меткому выражению Ушинского, уподобиться "пьяному вознице с дурно увязанной кладью: он все гонит вперед, не оглядываясь назад, и привозит домой пустую телегу, хвастаясь только тем. что сделал большую дорогу".

Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия.

"Старое должно подпирать новое, а новое обогащать старое".

Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материал; воспитывает в ученике чувство ответственности.

В связи с этим особо важное значение приобретают вопросы:

Что надо повторять? Как повторять? Когда повторять?

Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель, который побуждает ученика повторять материал в том порядке, в котором он изучался. Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала.

Ушинский воспитывал против механического повторения. "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке, в каком оно было пройдено, а напротив, ещё полезнее повторения случайные, сводящие выученное в новые комбинации", -- говорил он.

Повторение пройденного материала должно стать необходимейшим элементом в преподавании математики, органической и неотъемлемой частью каждого урока.

2.2 Виды повторения

В связи с этим мы различаем следующие виды повторения ранее пройденного материала:

1. Повторение в начале учебного года.

2. Текущее повторение всего, ранее пройденного:

а) повторение пройденного в связи с изучением нового материала (сопутствующие повторению);

б) повторение пройденного вне связи с новым материалом.

3. Tематичеcкoе повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы).

4. Заключительное повторение (организуемое при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года).

Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения.

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойство памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики математики как учебного предмета, её методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: когда повторять? Оно должно осуществляться по принципу: "Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое" (В. П. Вахтеров).

Это не означает, однако, что нельзя специально отводить уроки для повторения, скажем, для таких вопросов программы, которые трудно увязать с текущим материалом.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимся материал соответствующих разделов.

К сказанному добавим еще то, то характер урока в связи с переходом учащихся из одного класса в другой значительно меняется. В старших классах существенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала. Увеличивается объем фактического материалами, выносимого на закрепление и повторение; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение, увеличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: Что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения:

1. Не следует повторять все ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2. Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3. Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4. Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом.

Третье требование к организации повторения математики должно отвечать на вопрос, как повторять, т. е. осветить те методы и приемы, которыми должно осуществляться повторение. Методы и приемы повторения должны находиться в тесной связи с видами повторения.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить те противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

Различные виды повторения тесно взаимодействуют; от своевременного и успешного проведения одного из видов повторения, например, тематического или текущего, зависит продолжительность и успешность повторения другого вида -- заключительного повторения или повторения в конце года. Перейдём к краткой характеристике видов повторения.

Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений. Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники".

Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм коллективной учебно-познавательской деятельности учащихся, формирования их диалектико-материалистического мировоззрения, закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знания при решении вопросов жизненно-практического и производственного характера.

В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов.

Прежде всего нужно добиться, чтобы учащиеся научились различать понятия "свойство фигуры" и "признак фигуры". Если дано, что фигура параллелограмм, и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры, то каждое из этих соотношений называется свойством фигуры, о которой речь идет в условии теоремы.

Например, теорема: "У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны", кратко может быть записано так:

Дано: АВСД - параллелограмм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказать: 1) АВ = СД; АД = ВС

2) А = С; В = Д

Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма.

В теореме же "Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм" указаны соотношения между элементами некоторого четырехугольника (АО=ОС, ВО=ОД) и доказывается, что при их выполнении четырехугольник будет принадлежать к классу параллелограммов (будет являться параллелограммом). В этом случае условия (АО=ОС, ВО=ОД) называют признаками параллелограмма, т. к. при их выполнении мы можем смело утверждать, что четырехугольник, для которого выполняются эти условия, обязательно будет параллелограммом (теорема).

Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство" и "признак" можно добиться, если связать их с понятиями "необходимое условие", "достаточное условие", "необходимое и достаточное условие".

Сообщаем школьникам, что любая теорема может быть записана в виде А?В, где А -- условие теоремы (что дано), а В -- заключение теоремы (что требуется доказать).

Если доказана теорема А?В, то А является достаточным для В (как только есть А, то сейчас же будет и В), а В -- необходимо для А, из А неизменно (необходимо) следует В.

Ещё более убедительное обоснование того, почему условие В считается необходимым для А, можно дать, если познакомить учащихся с вопросом о видах теорем и связи между ними. Записываем схему:

(1) А?В В?А (2)

(3) нет А ? нет В нет В ? нет А (4)

Сообщаем, что если утверждение (1) назвать прямым, то утверждение (2) будет к нему обратным, утверждение (3) -- противоположным прямому, а (4)--противоположно обратному. Далее доказывается, что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1)?(4)] и наоборот, т. е. (4)?(1).

Сообщается, что если (1)?(4), то утверждения называются эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)?(3)].

Словами формулу (1)?(4) можно расшифровать так: если из условия А следует (вытекает) условие В, то без в нет и А (из нет в нет А), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А).

А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.

Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А, достаточно доказать теорему А?В, а чтобы убедиться, что рассматриваемое свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему В?А (обратную).

Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и составляем таблицу.

Дано: АВСД - параллелограмм

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказать: 1) АВ || СД

ВС || АД

АВ = СД

ВС = АД

АО = ОС

ВО = ОД

А = С

В = Д

А + В = 1800

С + В = 1800

С + Д = 1800

А + Д = 1800

Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1-12 вытекает из того, что АВСД -- параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1-12 не следует, что АВСД -- параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1-12, взятое в отдельности, признаком параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД -- равнобочная трапеция, а не параллелограмм.

Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой деятельности.

Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать, чтобы у параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД -- параллелограмм; ?А=900) следует, что ?В=900, ?С=900, ?Д=900. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами углов параллелограмма.

Аналогично, легко доказать теорему (АВСД -- параллелограмм, АВ=ВС?АВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.

Можно не менять привычные учащимся избыточные определения, но обязательно подчеркнуть тот факт, что, чтобы убедиться, что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных сторон, а чтобы убедиться, что он будет прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов прямой.

После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.

Запишем одну из этих теорем.

Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.

Обратное к этой теореме утверждение записывается так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .

Доказать: АВСД -- прямоугольник.

Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными диагоналями. Таким образом, мы убеждаемся, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД -- параллелограмм.

2)?А=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД -- параллелограмм

Размещено на http://www.allbest.ru/

АС=ВД.

Доказать: ?А=900.

Это утверждение легко доказать. Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив внимание, что ?А + ?Д = 1800 (АВСД -- параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (?А=?Д).

Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД -- ромб.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказать: 1) ВД | АС;

2) ?ВАС =?САД.

Для этой теоремы можно составить две обратные:

Теорема 1 Теорема 2

Дано: ВД | АС Дано: ?ВАС = ?САД

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказать: АВСД -- ромб. Доказать: АВСД -- ромб.

Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда ?AВД=?ДВС.

Используя второй способ образования обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.

Имеем:

Прямая теорема: Дано:

АВСД -параллелограмм, АВ = ВС.

Доказать: ВД | АС

Обратная теорема:

Дано: АВСД -параллелограмм, ВД | АС.

Доказать: АВ=ВС

Вспоминая уточненное определение ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм -- ромб".

Аналогично формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам, то этот параллелограмм -- ромб". Аналитическое рассуждение проводится аналогично.

Схематическая запись доказательства

АВСД -- параллелограмм ?АД II ВС ? (?1 = ?3, ?1 = ?2) ?

??2 = ?3 ? (АВ=BС, АВСД - параллелограмм) ? АВСД -- ромб.

Обобщая полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из множества всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и предложить им самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромба.

Для поверки того, владеют ли учащиеся признаками параллелограмма, ставим перед ними следующую проблему:

Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба, основанные на свойствах их диагоналей, чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД -- параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

Получаем признаки:

1. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике диагонали взаимноперпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

3. Признак формулируем аналогично.

Переходя к выяснению признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является как частным случаем прямоугольника, так и ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества прямоугольников, из множества ромбов, их множества параллелограммов, из множества четырехугольников.

Если ученики осмыслили рассмотренный материал о признаках прямоугольника и ромба, то они легко ответят на поставленные вопросы и сформулируют следующие признаки квадрата:

Квадратом является:

Прямоугольник с взаимно-перпендикулярными диагоналями,

Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам.

Ромб с равными диагоналями.

Параллелограмм, у которого диагонали равны и взаимно-перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали рваны и делят угол пополам.

Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно-перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.