Статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Какие бы реформы не проходили в образовании, в конечном итоге они замыкаются на педагоге, которому во все времена принадлежала ведущая роль в воспитании подрастающего поколения, способного жить в гармонии с окружающей средой и себе подобными.

На современном этапе работы школы, когда главной задачей педагогов является всестороннее содействие становлению и развитию человеческой индивидуальности, основным принципом обучения становится внимание к внутреннему миру детей, их интересам и потребностям, обогащение духовного потенциала воспитанников. Естественно выдвигается на первый план проблема обеспечения новых подходов к организации педагогической деятельности, акценты в которой должны быть сделаны на развитие и реализацию всех сущностных сил ребенка.

Появляется необходимость в учителе-профессионале, способном с учетом меняющихся социально-экономических условий и общей ситуации в системе образования выбирать наилучшие варианты организации педагогического процесса, просчитывать их результаты, создавать свою собственную педагогическую концепцию, основу которой составляет вера в реальную возможность развития личности каждого школьника, в преобразующую силу педагогического труда.

На всех этапах развития школы при усилении демократических начал в ее организации на первое место выдвигался вопрос поиска эффективных путей реализации оценочной функции учителя. Новые социальные условия, процесс обновления образовательных структур, переход их в режим развивающего обучения вновь обращают внимания ученых и педагогов-практиков на эту проблему.

Организовать любую деятельность, в том числе учебно-познавательную, без оценки невозможно, так как оценка является одним из компонентов деятельности, её регулятором, показателем результативности. Но очевидным выглядит тот факт, что сохранение прежней системы оценивания учебного труда, в рамках которой практически отсутствует учет мнения самых обучаемых, делает затруднительным переход к системе развивающего обучения.

Таким образом, переход школы в режим развития должен сопровождаться изменением стратегии обучения, и, соответственно, способов оценки учебного труда.

Объектом исследования выступает процесс оценочной деятельности знаний приобретенных учащимися средней школы.

Предмет исследования - возможности применения современных подходов в оценке получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе с помощью нечеткой логики и статистических методов.

Методы исследования. В ходе выполнения работы применялись различные методы исследования: анализ, синтез и системный подход к исследованию объектов, процессов и явлений.

Задачи исследования:

1. Проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме.

2. Рассмотреть теоретические основы оценивания знаний учащихся средней школы.

3. Апробировать статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе.

Эмпирические источники - результаты собственного исследования проводившегося на 5 курсе в период учебной и педагогической практик на базе школы № 10 г. Нижнекамска.

Структура работы

Выпускная квалификационная работа содержит введение, три главы, заключение, список литературы.

I. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

1.1 НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Пусть - универсальное множество, - элемент , а - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству , и 0 - в противном случае. Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства . В связи с этим, нечеткое подмножество универсального множества определяется как множество упорядоченных пар где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве (например, ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента подмножеству . Множество называют множеством принадлежностей. Если , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества.

Пусть - нечеткое множество, для которого

Тогда можно представить в виде:

или

,

или

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть и - нечеткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей M. Величина называется высотой нечеткого множества . Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1. При <1 нечеткое множество называется субнормальным. Нечеткое множество пусто, если . Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле .Нечеткое множество унимодально, только на одном из .Носителем нечеткого множества является обычное подмножество со свойством , т.е. носитель . Элементы , для которых называются точками перехода множества .

Примеры нечетких множеств

Пусть , . Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: его характеристики: высота = 1, носитель {3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть . Нечеткое множество "умный" можно определить:

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "знания", тогда нечеткое множество "знания", может быть определено с помощью

Нечеткое множество "умный" на универсальном множестве задается с помощью функции принадлежности на (знания), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

, где - возраст Сидорова.

Операции над нечеткими множествами

Включение

Пусть и - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что содержится в B, если .

Обозначение: .

Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A ? B, говорят, что B доминирует .

Равенство

и B равны, если .

Обозначение: .

Дополнение

Пусть , и B - нечеткие множества, заданные на E. и B дополняют друг друга, если

.

Обозначение: .

Очевидно, что .

Пересечение

- наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

.

Объединение.

- наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А так и В, с функцией принадлежности:

.

Разность.

с функцией принадлежности:

.

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

Примеры.

Пусть:

;

.

Здесь:

, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары и - пары деноминируемых нечетких множеств.

.

.

.

.

;

.

.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается AЧB и определяется так:

.

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

.

Для операций выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также , .

Замечание. При совместном использовании операций {И, З,+,Ч} выполняются свойства:

;

);

;

.

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере, для целых эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень нечеткого множества , где - положительное число. Нечеткое множество A определяется функцией принадлежности . Частным случаем возведения в степень являются:

- операция концентрирования,

- операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Умножение на число. Если - положительное число, такое, что , то нечеткое множество имеет функцию принадлежности:

.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества универсального множества E, а - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

.

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть - нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартово произведение является нечетким подмножеством множества с функцией принадлежности:

.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех определены нечеткие множества . Совокупность всех называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

,

где - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

;

;

;

;

;

.

Тогда

.

Четкое множество -уровня (или уровня ). Множеством -уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество универсального множества E, определяемое в виде:

, где .

Пример:

,

тогда ,

.

Достаточно очевидное свойство: если , то.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

, где - произведение числа ? на множество A, и ? "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

Пример:

представимо в виде:

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций , то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств , где .

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем понятие расстояния между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

- неотрицательность;

- симметричность;

.

К этим трем требованиям можно добавить четвертое:?.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

.

Очевидно, что .

Евклидово или квадратичное расстояние:

, .

Относительное расстояние Хемминга:

,

Относительное евклидово расстояние:

, .

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае, когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E четное, то

,

;

если E = R (числовая ось), то

,

.

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.

, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R", и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е., и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо и , либо и .

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

тогда и только тогда, когда А - обычное множество;

максимально тогда и только тогда, когда ?A для всех .

, если A является заострением B, т.е.

при ;

при ;

- любое при .

- симметричность по отношению к 0,5.

.

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому.

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является подмножеством с характеристической функцией:

Обычно принимают , если .

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

Здесь - линейное (хеммингово) расстояние, множитель - обеспечивает выполнение условия .

Квадратичный индекс нечеткости.

, .

Здесь - квадратичное (евклидово) расстояние.

Замечания.

1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

- линейный индекс,

- квадратичный индекс.

2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

,

;

а также , откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

,

т.е. в этом представлении становится очевидным, что .

Принцип обобщения

Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу соответствует элемент .

Когда функцию называют отображением, значение , которое она принимает на элементе , обычно называют образом элемента x.

Образом множества при отображении называют множество тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу ставит в соответствие элемент со степенью принадлежности ?f(x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение .

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком или нечетком отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть заданное четкое отображение,

а - нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество на Y с функцией принадлежности:

; ,

где .

В случае нечеткого отображения , когда для любых и определена двуместная функция принадлежности , образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество на Y с функцией принадлежности:

.

Замечание. Я не привожу примеров использования принципа обобщения. Предлагаю подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень (одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

1.2 НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей . Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае и , нечетким отношением R между множествами и будет называться функция R:(X,Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ОXґY величину . Обозначение: нечеткое отношение на XґY запишется в виде: xОX, yОY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: XґX®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0,1	0,3
x2	0	0,8	1	0,7
x3	1	0,5	0,6	1

Пусть , т.е. множество всех действительных чисел. Отношение (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого , при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа". В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в случае XRX соединяется ребром с весом , в случае XRY пара вершин (xi,yj) соединяется ребром c весом .

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: XґX® [0,1], представимое графом:

Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GМXґY, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что и .

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть .

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:

,

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: .

Пример:

Отношения R1 , R2 - отношения типа (y много больше x). При отношение R2 содержит R1 .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений и .

Объединение двух отношений обозначается R1ИR2 и определяется выражением:

.

Пример:

Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR1ИR2y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

Пересечение двух отношений

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и определяется выражением:

.

Пример:

Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.



Алгебраическое произведение двух отношений

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ЧR2 и определяется выражением:

.

Алгебраическая сумма двух отношений

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1R2 и определяется выражением:

.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

,

R1И(R2ЗR3) = (R1ИR2)З(R1ИR3),

,

,

,

.

Дополнение отношения

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма двух отношений

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R?R и определяется выражением:

.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности . Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

Проекции нечеткого отношения

Пусть R - нечеткое отношение . Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество, заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

Величина называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R1 и R2 нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в XґY нечеткие отношения и с функциями принадлежности:

при любом y, при любом x,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением и цилиндрическим продолжением .

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.

Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если , т.е. .

Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. .

Композиция двух нечетких отношений

Пусть R1 - нечеткое отношение между X и Y, и R2 - нечеткое отношение между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое , определенное через R1 и R2 выражением , называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

,

.

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если то,.

(max-*) - композиция.

В выражении для (max-min)-композиции отношений R1 и R2 операцию можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

.

В частности, операция может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

Очевидно, что из a1Ј a2 следует Ra1 і Ra2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

, 0<aЈ1,

где aЧRa означает, что все элементы Ra умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением , т.е. для каждой пары задано значение функции принадлежности .

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

.

Обозначение: .

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности ? R(x,y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

1.3 НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

a - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения a),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m A(x)) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

нечеткий множество педагогический контроль оценочный

b - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "умный", являющийся значением лингвистической переменной b = "количество баллов", одновременно есть и нечеткое множество М ("умный").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет уровень знаний учащихся с помощью понятий "низкий результат", "средний результат" и "высокий результат" выполнения тестового задания, при этом минимальный результат равен 0 баллов , а максимальный - 100 баллов.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

b - "количество баллов";

T - {"низкий результат", "средний результат","высокий результат" };

X - [0, 100];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малый или средний результат", "очень малый результат" и др.;

М - процедура задания на X = [0, 100] нечетких подмножеств А1="малый результат", А2 = "средний результат", А3="высокий результат", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А З В, АИ В, , CON А = А2 , DIL А = А0,5 и др.

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малый результат" = А1 , "средний результат"= А2, " высокий результат"= А3 .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малый или средний результат" = А1ИА1.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности , где x - действительное число, т.е. .

Нечеткое число А нормально, если , выпуклое, если для любых выполняется

.

Множество - уровня нечеткого числа А определяется как

.

Подмножество называется носителем нечеткого числа А, если

.

Нечеткое число А унимодально, если условие справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

.

Нечеткое число А положительно, если , x>0

и отрицательно, если , x<0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

Отсюда:

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) , ;

б) .

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

, pі0;

, pі 0 и т.д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. mA(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

где а - мода; a>0, b>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а1, a2, a, b), где а1 и a2 - границы толерантности, т.е. в промежутке [а1,a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры a, b нечетких чисел (а, a, b) и (а1, a2, a, b ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры aў и bў результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, a, b)LR a = b>0	a b
Малый	А = (а, Ґ, b)LR a = Ґ	a = Ґ--b
Большой	А = (а, a, Ґ)LR b=Ґ	a--b = Ґ
Приблизительно в диапазоне	А = (а1, а2, a, Ґ)LR a = b>0	a--b a1 a2
Определенный	А = (а, 0, 0)LR a = b = 0	a = 0 b = 0
Разнообразный зона полной неопределенности	А = (а, Ґ, Ґ)LR a = b = Ґ	a = b = Ґ

ГЛАВА 2. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИЙ

2.1 Функции контроля и психологические аспекты оценочной деятельности учителя

Проверка и оценка результатов обучения является важным компонентом деятельности учителя. В современной дидактике выделяют четыре основные функции контроля:

1. Информационная.

2. Диагностическая.

3. Обучающая.

4. Воспитательная.

Информационная (учетно-контрольная) функция подразумевает систематический учет результатов обучения, что позволяет учителю контролировать успеваемость каждого учащегося в течение всего учебного процесса.

Диагностическая (контрольно-корректирующая) функция необходима для обеспечения обратной связи «учитель - ученик», чтобы учитель вовремя вносил коррективы в методику обучения, перераспределял учебное время между отдельными вопросами темы, для устранения недочетов в знаниях школьников.

Обучающая функция контроля важна для закрепления и углубления знаний учащихся, поскольку в процессе проверки ЗУН школьников происходит повторение материала, а учитель акцентирует внимание класса на самом существенном в учебном материале, на важнейших мировоззренческих идеях курса, разбирает типичные ошибки, допускаемые учащимися.

Воспитательная (мотивационная) функция проявляется в стимулировании учащихся к дальнейшей учебе, совершенствованию и углублению своих знаний. Четко поставленные учебные цели и возможность проверить и оценить полученные результаты служат мотивацией в учебе, развивают у учащихся умения самоконтроля и самооценки.

Травмирующие влияние оценки

Главным недостатком существующей системы оценок и отметок, с точки зрения психолога, - это их возможное травмирующие влияние на ребенка. Педагогам хорошо известна напряженная тишина в классе при объявлении отметок, тоскливое перелистывание тетрадей в поисках полученных баллов. Всем педагогам приходилось наблюдать и ту реакцию, которую вызывают отметки у детей: от нескрываемой радости, до слез.

Почему же отметка и оценка так важны в жизни ребенка? Прежде всего, потому, что она тесным образом связана с такими психологическими характеристиками, как самооценка, мотивация достижения, тревожность, эмоциональный комфорт, взаимоотношения с окружающими, творчество.

Психологами давно доказано, что успешно действует и достигает результатов человек, у которого сформирована адекватная высокая самооценка своей личности и менее успешны в жизни, как правило, люди с низкой самооценкой. Мнение педагога о ребенке формирует его самовосприятие. Каждый сниженный балл уменьшает в глазах ребенка его собственную ценность. Не отделяя себя от продукта своей деятельности, ребенок видит утверждение в сниженной оценке, что он плохой. И туту включаются механизмы психологической защиты: если человек не успешен в одной области, то он будет искать успеха в другой, иногда не самой лучшей (например: дворовые компании).

И, наоборот, при высоких отметках ребенок ощущает себя способным, любимым - тем самым формируется высокая самооценка.

Оценочная деятельность педагога также может оказывать воздействие и на мотивацию достижения. Мотивация достижения - это стремление к улучшению результатов, неудовлетворенность достигнутым, настойчивость в достижении своих целей.

Идя в школу трепетным первоклассником, каждый ребенок видит себя отличником и по началу искренне стремиться им стать. Однако, если учитель - сторонник строгости при выставлении отметок, уже в младших классах школьник понимает, что у него ничего не получилось, некоторое время горюет … и решает махнуть рукой. У такого ребенка потребность в достижении цели не сформируется, так как достигать чего-то любой человек стремиться только при положительной оценке своей деятельности.

Школьная тревожность, которую психологи часто выявляют у учеников, также напрямую связана с оцениванием и отметками. Причем тревожен, может быть и отличник и двоечник. Ребенок может бояться не соответствовать ожиданиям окружающих, иногда возникает страх самовыражения, страх перед конкретным учителем, с именем которого связан негативный опыт. Как показывают исследования, самый большой страх в школе - это страх проверки знаний.

Огромное влияние оказывает оценивание на развитие творческих способностей ребенка. Очень часто ребенок мыслящий нестандартно сталкивается в школе с непониманием: «Тебе что, больше всех надо?», -говорят ему одноклассники; «Ты делаешь не так, как все и не так, как я требую» - говорит учитель. Результат, отличающийся от стандарта, далеко не всегда заслуживает высокой оценки. Естественно, скоро ученику становиться понятно, что процесс хорош, если он приводит к получению хорошей отметки. Тем самым закладываются основы стиля поведения, при котором главное - цель, а средства для её достижения второстепенны, причем стандартные - лучше. Смена внутренней мотивации на внешнюю происходит очень быстро. Может быть, внешняя мотивация не так уж плоха, если приводит к повышению образовательного уровня? Но нельзя образовывать не воспитывая. Ведь заложенная в школе мотивация основной деятельности определяет качество всей последующей жизни. От этой мотивации зависит, будет ли человек делать свою работу только за зарплату или, исходя из внутренней мотивации, раскроется в полную силу своих возможностей.

И, наконец, значительное влияние оказывает оценивание на взаимоотношения детей с окружающими. Отметки могут быть и причиной высокого и низкого авторитета среди сверстников, источником конфликта и в самом страшном проявлении отметка может быть причиной суицида.

Коммуникативный фактор оценки и отметки очень важен. О чем спрашивает родитель свое чадо, вернувшееся из школы? - об отметках и оценках. О чем больше всего говорит учитель, сообщая результаты проверенных работ? - об отметках и оценках. Что большую часть времени обсуждают педагоги? - отметки и оценки. Отметки и оценки превратились в некий язык, понятный всем. Там, где от них отказались, родители часто жалуются, что им трудно понять требования педагога и представить себе уровень достижений ребенка. Казалось бы, в качестве средства коммуникации отметка имеет немало положительных качеств. С другой стороны, такое упрощение грозит потерей основного смысла общения родителей и педагога, предполагающего взаимопомощь в воспитании ребенка.

Исходя из вышесказанного, хотелось бы подчеркнуть, что в наших руках, в руках учителя великая сила, которая может двигать вперед развитие ребенка, заставить его верить в свои силы, а может и уничтожить. Поэтому особую важность приобретает психологический аспект оценивания.

Может возникнуть вопрос, что же теперь вообще плохих отметок не ставить? Нет, ставить иногда надо, но отметки и оценки должны быть объективны.

Существует ряд психологических факторов, которые могут повлиять на объективность оценивания:

- при оценивании свою роль может сыграть негативная установка. Представьте себе такую ситуацию: к Вам приходит новый ученик, его бывший учитель рассказывает вам о нем предварительно, как о лентяе, глупце. И при оценивании ребенка вы можете невольно опираться на эту оценку личности ребенка, что может найти отражение в отметках.

- существует так называемый «эффект ореола». Например, ребенок несимпатичный внешне, неопрятный, из неблагополучной среды моет в нашем сознании связаться с образом ученика неспособного.

Для того чтобы ребенок даже отрицательную отметку воспринял как справедливую, необидную, можно просто использовать простое правило: при оценивании сначала человеку говориться хорошее, то положительное, что есть в его деятельности. Затем, преподносится критика в очень тактичной форме, не затрагивая личность (нельзя говорить: «Ты глупый, ты лентяй»). Оценивается только действие, а не личность: «Ты поленился».

Здесь имеет смысл объяснить, почему именно такая отметка поставлена. И далее следует показать ребенку перспективу, то есть, что надо делать, чтобы результат улучшить и обязательно выразить веру в силы ребенка: «У тебя обязательно получится», «Я в тебя верю» - такие слова педагога способны совершить переворот в душе ученика.

Необходимо хвалить учащегося. Похвала должна возникать спонтанно, её не стоит планировать. Похвала должна быть заслуженна. Похвала должна быть точно адресована.

Обращайтесь к самолюбию. Нет людей, согласных ходить всю жизнь в неудачниках. Заставьте ученика произнести: «Я не хуже других!».

Есть еще одно психологическое правило, которое должно стать законом для любого учителя: ребенок сравнивается только с самим собой, а не с другими детьми.

Стрессовой ситуацией для детей являются контрольные работы. Травмирующее влияние можно уменьшить. Важен психологический настрой на работу.

Когда нельзя ставить отрицательные отметки:

- нельзя наказывать отметкой (ставится «2» за плохое поведение);

- если мы знаем, что у ребенка в данный момент сложная жизненная ситуация, которая сама по себе травмирующая, то относиться к отметкам надо предельно осторожно, чтобы не спровоцировать суицид или неблагоприятную спонтанную реакцию;

- если отметка спорная, то ставим в пользу ребенка.

2.2 Виды, формы и средства контроля

Педагогический контроль - это способ получения информации о качественном состоянии учебного процесса. Контроль учителя за процессом и результатом труда направлен как на деятельность учащихся, так и собственную деятельность, а также на взаимодействие учащихся и учителя.

Рассмотрим контроль с точки зрения педагогической системы:

Ц - цель;

С - содержание;

СПК - средство педагогической коммуникации;

Ф - функции контроля;

П - принципы контроля.

По цели различают следующие формы контроля:

- диагноз (что может учащийся);

- констатация (что знает и умеет учащийся);

- прогноз (чего может добиться).

В зависимости от функций, которые выполняет контроль в учебном процессе, можно выделить его виды:

1. Предварительный. Используется для установления исходного уровня ЗУН и его учета при введении нового материала.

2. Текущий (на каждом уроке). Позволяет учителю получать сведения о ходе процесса усвоения материала учащимися.

3. Итоговый (тематический по разделам, в конце года). Дает возможность оценить результаты обучения.

По средствам педагогической коммуникации контроль можно рассматривать с точки зрения:

- способов: традиционный или нетрадиционный (программированный контроль, тест);

- характера: субъективный, объективный;

- использования ТСО: безмашинный, машинный;

- формы: устный, письменный;

- времени: предварительный, начальный, исходный, текущий, поэтапный, итоговый, пообъективный;

- массовости: индивидуальный, фронтальный, индивидуально-групповой;

- контролирующего лица: учитель, ученик-напарник (взаимоконтроль), сам ученик (самоконтроль);

- дидактического материала: контроль без дидактического материала (сочинение, устный опрос, диспут), с дидактическим материалом (раздаточный материал, тесты, билеты, контролирующие программы), на основе знакомого, проработанного и усвоенного материала, на основе нового материала, сходного по форме и содержанию с усвоенным ранее материалом.

Наряду с контролирующей контроль выполняет обучающую, управляющую, воспитывающую и развивающую функции. Целью контролирующей функции является установление обратной связи (внешней: ученик - учитель и внутренней: ученик - ученик), а также учет результатов контроля. Обучающий контроль дается с профилактико-предупредительной целью, а также с целью управления обучением, формирования навыков и умений, их корректировки и совершенствования, систематизации знаний.

Воспитывающая функция контроля означает максимальный учет личности учащегося, создание ему условий для формирования личностных качеств, например, дисциплинированности, трудолюбия. Развивающий контроль предназначен для развития памяти, внимания, логического мышления, интереса к предмету, творчества, мотива познавательной деятельности.

Контроль может выполнять и специфические функции в зависимости от цели: диагностирующие, констатирующие, прогнозирующие.

Основными принципами контроля являются: профессиональная направленности, валидность, надежность, системность и систематичность.

Профессиональная направленность контроля обуславливается целевой подготовкой учащегося, поэтому повышается мотивация познавательной деятельности ученика, что несомненной, положительно сказывается на подготовке учащегося.

Валидность контроля обеспечивается, с одной стороны, его адекватностью целям обучения, с другой стороны, по возможности большим количеством контрольных заданий. Под адекватностью контроля понимается его содержательная сторона, т.е. контролировать следует то, чему обучали учеников, и то, что намечено проконтролировать. К сожалению, бывает нарушение принципа.

Валидность контроля всего должна быть связана как с предметными знаниями, так и с теми видами познавательной деятельности, в системе которой эти знания должны функционировать, т.е. если изучается орфографическое правило, то изучается и его применение, тогда правомерен и контроль его применения.

Надежность контроля - это устойчивость результатов, получаемых при повторном контроле, а также близких результатов при его проведении разными учителями.

Валидность и надежность контроля - очень близкие друг к другу принципы. Если контроль имеет достаточную валидность, то он будет и надежным. Однако не всякий надежный контроль может быть валидным.

Системность и систематичность - ведущий принцип контроля. Все еще велика роль каждого учителя в планировании, организации и проведении контроля. Главное - продумать всю систему контроля от начала до конца с учетом его цели, содержания, средств педагогической коммуникации, роли ученика и своей роли, функций и принципов, видов контроля. Никогда нельзя применять контроль наспех, или, чтобы «подловить, подхлестнуть, поймать» учащихся. Такой контроль малоэффективен и неэтичен. Учащиеся должны знать содержание (что будут контролировать), средства (как будет осуществляться контроль), сроки и длительность контроля.

Опыт проведения контроля показывает:

- нельзя подвергать контролю то, что усвоено на уровне ознакомления материала, первичного представления;

- не стоит прибегать к контролю, если преподаватель уверен, что все учащиеся выполнят задание на 100%, но рекомендуется предусмотреть примерно полное его выполнение, чтобы создать у учащихся веру в себя;

- хорошо организованный поэтапный контроль снимает необходимость в итоговом;

- необходимо варьировать средства контроля, делать поэтапный контроль ученикам;

- создание спокойного психологического климата в процессе контроля способствует лучшей работе учеников и положительно сказывается на результатах контроля.

Существует два основных подхода к оценке результатов обучения школьников:

1. Нормированный.

2. Критериально-ориентированный.

В настоящее время используется нормированный подход, который предполагает сравнение учащихся друг с другом, то есть их ранжирование по уровню усвоения учебного материала в рамках устоявшихся норм выполнения заданий учащимися. Хорошим показателем считается, если 70% учащихся усвоят 70-75% учебного материала.

С введением нового образовательного стандарта, содержащего требования к результатам обучения, вводится и критериально-ориентированный подход к оценке достижений требований стандарта. Этот подход используют в итоговом контроле знаний, при переходе из одной ступени обучения в другую. Критерием в этом случае являются не нормы, а требования к уровню подготовки учащихся, зафиксированные в стандарте. Создаются условия для более объективной оценки достижений школьника. Основным итогом проверки достижения минимального и обязательного уровня облученности должно стать заключение о том, достиг или нет каждый конкретный учащийся минимального уровня обученности. Поэтому целесообразно использовать не 5-балльную шкалу отметок, а дихотомическую (двоичную, альтернативную) систему оценивания со шкалой типа «зачет» или «незачет». Это суждение должно выноситься на основе интегральной оценки, полученной учащимися за выполнение проверочной работы. Проверочный материал, ориентированный на определенные критерии достижения, не содержит дифференцированных по сложности заданий, так как сам критерий соответствует необходимому уровню обязательной подготовки, и материал должен быть усвоен в пределах 95-100% (небольшой процент отбрасывается на фактор случайности). Интегральная отметка суммирует результаты выполнения всех заданий, включенных в работу. При этом задания признаются равными по своей значимости для выявления уровня обученности, и каждое задание оценивается по дихотономической шкале.

Любая проверка и оценка - это измерение, то есть сопоставление с эталоном.

Среди измерителей результатов обучения (формы контроля) можно выделить:

1. Устный опрос:

а) индивидуальный;

б) фронтальный;

в) уплотненный.

2. Самостоятельная и контрольные работы.

3. Экзамен.

4. Тестирование.

Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся является важным структурным компонентом процесса обучения и в соответствии с принципом систематичности, последовательности и прочности обучения должна осуществляться регулярно в течение всего года. Этим обуславливаются различные виды проверки и оценки знаний. Основными из них являются:

1. Текущая проверка и оценка знаний, проводимая в ходе повседневных учебных занятий.

2. Четвертная проверка и оценка знаний, которая проводится в конце каждой учебной четверти.

3. Годовая оценка знаний, то есть оценка успеваемости учащихся за год.

4. Выпускные и переводные экзамены.

Повседневное наблюдение за учебной работой учащихся позволяет учителю составить представление о том, как ведут себя учащиеся на занятиях, как они воспринимают и осмысливают изучаемый материал, какая у них память, в какой мере они проявляют сообразительность и самостоятельность при выработке практических умений и навыков, каковы их учебные склонности, интересы и способности. Не меньшее значение имеет изучение домашних условий жизни и учебной работы школьников, степени их усидчивости и регулярности в овладении знаниями. Если по всем этим вопросам у учителя накапливается достаточное количество наблюдений, это позволяет ему более объективно подходить к проверке и оценке знаний учащихся, а также своевременно принимать необходимые меры для предупреждения неуспеваемости.

Сущность устного опроса заключается в том, что учитель ставит учащимся вопросы по содержания изученного материала и побуждает их к ответам, выявляя, таким образом, качество и полноту его усвоения. Поскольку устный опрос является вопросно-ответным способом проверки знаний учащихся, его еще иногда называют беседой.

При устном опросе учитель расчленяет изучаемый материал на отдельные смысловые единицы (части) и по каждой из них задает учащимся вопросы. Но можно предлагать учащимся воспроизводить ту или иную изученную тему полностью с тем, чтобы они могли показать осмысленность, глубину и прочность усвоенных знаний, а также их внутреннюю логику.

Будучи эффективным и самым распространенным методом проверки и оценки знаний учащихся, устный опрос имеет, однако, и свои недостатки. С его помощью на уроке можно проверить знания не более 4 учащихся. Поэтому в школьной практике применяются различные модификации этого метода и, в частности, фронтальный и уплотненный опрос, а также поурочный балл.

Сущность фронтального опроса состоит в том, что учитель расчленяет изучаемый материал на сравнительно мелкие части с тем, чтобы таким путем проверить знания большего числа учащихся. При фронтальном, его также называют беглым, опросе не всегда легко выставлять учащимся оценки, так как ответ на 1-2 мелких вопроса не дает возможности определить ни объема, ни глубины усвоения пройденного материала.

Сущность уплотненного опроса заключается в том, что учитель вызывает одного ученика для устного ответа, а 4-5 школьникам предлагает дать письменные ответы на вопросы, подготовленные заранее на отдельных карточках. Уплотненным этот опрос называется потому, что учитель вместо выслушивания устных ответов просматривает (проверяет) письменные ответы учащихся и выставляет за них оценки в классный журнал, несколько «уплотняя», то есть, экономя время на проверку знаний, умений и навыков.

Практика уплотненного опроса привела к возникновению методики письменной проверки знаний. Суть её в том, что учитель раздает учащимся заранее подготовленные на отдельных листках бумаги вопросы или задачи и примеры, на которые они в течение 10-12 минут дают письменные ответы. Письменный опрос позволяет на одном уроке оценивать знания всех учащихся. Это важная положительная сторона этого метода.