Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

«Методика преподавания комплексных чисел при углубленном изучении математики в средней школе»

Введение

Овладение практически любой современной профессией требует определенных математических знаний. Представления о роли математики в современном мире стали необходимым компонентом общей культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

Поэтому основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества.

Углубленное изучение математики, наряду с решением основной задачи, предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Стремительное развитие современного общества, пополнение новой информацией различных сфер деятельности человека требует от образовательных структур новых подходов к обучению подрастающего поколения, применения новых методов и технологий.

Теоретический анализ существующих технологий и методов позволил выделить среди них модульное обучение как наиболее технологическое в силу того, что оно предполагает жесткое «прописывание» всех компонентов дидактической системы и этапов учебного процесса, последовательное представление содержания обучения.

Следует отметить что, особенности математической науки (логичность, структурность, универсальность) наилучшим образом отвечают технологии модульного обучения, что подтверждает целесообразность его использования.

В данной работе предполагается разработка методических положений по преподаванию комплексных чисел с использованием технологии модульного обучения и методов проблемного обучения. Это и составляет проблему исследования, которая определяет его цели:

- создание методических положений по рассматриваемой теме;

- разработка электронного пособия по теме «Комплексные числа»;

Объектом исследования является учебно-познавательный процесс в старших классах на уроках математики при изучении комплексных чисел.

Предметом исследования служит методика изучения комплексных чисел в школах и классах с углубленным изучением математики.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

- обоснование выбора модульного обучения;

- систематизация комплекса учебных материалов и рекомендаций о числовых системах;

- исследования психолого-педагогических особенностей старшеклассников;

- создание обучающее-контролирующей программы по теме «Комплексные числа» для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

В ходе исследования применялись следующие методы:

- теоретический анализ психолого-педагогической, учебно-методической литературы и нормативно-правовых документов по средним образовательным учреждениям;

- обобщение педагогического опыта по проблеме;

- педагогическое проектирование процесса обучения по теме работы.

Практическая значимость состоит в том, что разработаны учебно-методические материалы для изучения комплексных чисел, которые могут быть применены учителями и преподавателями школ с углубленным изучением математики.

1. Психолого-педагогические и методические основы изучения темы «Комплексные числа» в школах и классах с углубленным изучением математики

1.1 Психолого-педагогические аспекты обучения старшеклассников

Особенности мышления старшеклассников

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности, как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно-исследовательского, преобразовательного и познавательного характера, как социально-обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового. Сущность его в том, что оно перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике [13; 7].

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана.

Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.

Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, так как они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл.

Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное значение, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [1].

Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности [12].

Учебная деятельность старшеклассников

Учебная деятельность представляет собой процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него знания, умения и навыки, совершенствует и развивает свои способности. Такая деятельность позволяет ему приспосабливаться к окружающему миру, ориентироваться в нем, успешнее и полнее удовлетворять свои основные потребности интеллектуального роста и персонального развития [17].

Содержание учебной деятельности определяется учебными планами и программами, разработанными для каждого года обучения с учетом возрастных особенностей психики школьника и его физических возможностей [8].

Целью учебной деятельности является познание, сбор и переработка информации об окружающем мире, в конечном итоге выражающиеся в знаниях, умениях и навыках, системе отношений и общем развитии.

Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника. Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности. Для того, чтобы достаточно глубоко усваивать программу, необходимо развитие теоретического мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего, связаны с неумением учиться в этих новых условиях.

Причина трудностей, которые испытывают некоторые ученики - старшеклассники, заключается, по мнению В.А. Сухомлинского, в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются. Поэтому возникает необходимость широко использовать методы активного и проблемного обучения, которые устанавливают исследовательский характер учебно-познавательной деятельности [14].

Старшие ребята сами отмечают, что многие из них плохо подготовлены к обучению в X-XI классах. У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами, они не умеют обрабатывать материалы, поступающие из других, внеучебных источников.

Это противоречие между уровнем учебной деятельности, который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах, и является движущей силой умственного развития старших школьников.

Ученики взрослеют, обогащается их опыт; они понимают, что стоят на пороге самостоятельной жизни. Растет их сознательное отношение к учению, которое приобретает непосредственный жизненный смысл. Старшеклассники отчетливо сознают, что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний, умений и навыков, полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания, или, как говорят, самообучаться. Потребность в знаниях - одна из самых характерных черт современного старшеклассника. В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отметить избирательное отношение к учебным предметам, причина этому - наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов, связанных с их профессиональной направленностью [7].

Специфические особенности мышления у старшеклассников: мышление становится более глубоким, полным и разносторонним. Овладение его высшими формами способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности. Ведущее значение занимает абстрактное мышление, но роль конкретного не умаляется, т.е. степень развития теоретического мышления высока. Старшеклассники не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют его операции и приемы, и совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Учебная деятельность старшеклассников предъявляет высокие требования к их умственной активности и самостоятельности. Старший школьный возраст очень благоприятен для развития математических научных способностей. Под влиянием специфической для старшеклассника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность, характер умственной работы. В эти годы завершается формирование когнитивных процессов, мысль окончательно соединяется со словом. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.

математика профильный обучение старшеклассник

1.2 Особенности преподавания математики в школах и классах с углубленным изучением математики

В отличие от программы по математике для общеобразовательных школ, программа для углубленного изучения курса предусматривает большее учебное время. В настоящее время в классах с углубленным изучением математики рассматриваются три предмета общего курса: математический анализ, алгебра и геометрия.

Алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, полностью отсутствующие в программе массовой школы. Среди них комплексные числа, многочлены от одной и нескольких переменных, комбинаторика, теория вероятностей.

Изучение математического анализа и геометрии предусматривает более глубокое знакомство с теорией пределов и наличие отсутствующей в массовой школе темы «Дифференциальные уравнения». В целом курс математики в школе с углубленным изучением дисциплины шире, чем в общеобразовательной школе.

К изучению математики в таких школах привлекается разнообразная литература. Используются различные пособия, предусмотренные программой, учебники для общеобразовательных школ, сборники задач. Нередко интенсивность использования дополнительных материалов такова, что работа с учебником уходит на второй план. Он используется как источник основных определений, теорем, используемых при дальнейшей самостоятельной работе.

Иногда обучение ведётся по материалам, разработанным учителем, научными работниками или студентами, работающими в данном классе.

За время существования математических классов сложился определённый подход к обучению математики в них. Он характеризуется интенсивной самостоятельной работой учеников и использование некоторых вузовских методов преподавания. Но необходимо учитывать общность курсов математики в специализированных классах и массовой школе. Эти курсы обладают: 1) единой системой содержательно-методических линий, вокруг которых концентрируется изложение материала (линия изложения числовых систем, функциональная линия и т.д.); 2) единой понятийной основой; 3) близкими приёмами изложения материала обучения; 4) тождественной системой межпредметных связей.

При изучении каждой из математических дисциплин школьники знакомятся с огромным количеством новой для них информации. Обилие рассматриваемого материала не должно скрывать от них наличия в каждом курсе ведущих идей, методов, приёмов, которые наиболее важны для их усвоения. Для выделения и специального направленного изучения наиболее важного материала используется весь комплекс методических средств, находящихся в распоряжении учителя.

Наиболее удобная форма изложения ключевых идей лекционная. После анализа одной или нескольких вводных задач и выявления интересующей нас структуры целесообразно изложить доступный ученикам фрагмент теории, затем рассмотреть разнообразные приложения как к задачам, так и к организации теоретического материала.

Углубленный курс математики, как и обычный, не может быть построен с «максимальной» строгостью изложения материала. Вместе с тем следует добиваться осознанного отношения учеников математических классов к приведению доказательств и в более широком плане ясности понимания ими структуры математической теории, роли доказательств в ней. Необходимо учесть, что в курсе алгебры доказательства, как правило, «сами собой» получаются достаточно строгими, если только основные свойства арифметических операций сформулировать как аксиомы.

Следует отметить также о требованиях, которые нужно предъявить к выполнению учениками задач и упражнений. Записи должны быть логичными, четкими как и речь. Не следует допускать злоупотребления символикой. Необходимо формировать в учениках чувство формы и меры.

Ещё один немаловажный факт о преподавании математики в специализированных классах. Первые уроки во вновь набранном классе нередко приводят к представлению о значительно более высоком уровне математического развития учеников, чем это выясняется в дальнейшем. При этом учитель рискует взять слишком высокий темп изучения материала или предъявить слишком высокие требования. Ученики и сами подчас дают повод для такого мнения, им свойственно преувеличивать свои возможности. В этом случае следует доказать им необходимость более медленного (по их мнению) продвижения - убедить на примерах ошибок, допускаемых ими в работах. Для учащихся, которые действительно показывают хорошие результаты, целесообразно разработать индивидуальные задания.

1.3 Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов

Любой факультативный курс конструируется таким образом, что несет в себе выполнение основных образовательных функций: психолого-педагогическую, познавательную и практическую.

Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.

Важнейшая задача обучения математике - пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т.д. - такими логическими умениями должен овладеть школьник.

Решение выдвинутых задач возможно на факультативных занятиях по математике, учитывая их специфику: это и малочисленность группы учащихся, и их заинтересованность в посещении таких занятий, а также присутствие интереса к «новым открытиям», которые трудно реализовать в полном объеме.

Факультативный курс должен способствовать формированию и развитию самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности учащихся.

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике. Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности, разработанный А.Н. Леонтьевым и С.Л. Рубинштейном. Его суть состоит в том, что человеческая психика проявляется и формируется в деятельности - трудовой, учебной, игровой.

Какими бы природными задатками ни обладал от рождения человек, они смогут получить свое развитие лишь в процессе деятельности. Важно, чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним. Задача преподавателя заключается в том, чтобы работа эта была насыщена элементами самостоятельности, творчества, только тогда ученики смогут направлять свою интеллектуальную активность и ранее усвоенные знания на «открытие» важных существенных признаков новых понятий и применять их в своей дальнейшей познавательно-практической деятельности. Развивает не само знание, а специальное его конструирование. Факультативный курс должен не просто излагать систему знаний, а особым образом организовывать познание ее ребенком.

Здесь очень многое зависит от учителя, задача которого состоит в создании психолого-педагогических условий, стимулирующих учащихся к использованию и выбору наиболее рациональных, личностно-значимых способов.

При таком подходе в центре внимания оказывается не усредненный ученик, а каждый школьник, как личность в своей самобытности, уникальности.

При разработке факультативного курса нужно учитывать самостоятельность и индивидуальный подход в обучении.

Хорошо известно, что все люди разные. Выявляются различия в типе темперамента, в психических свойствах и в скорости протекания нервных процессов. Люди рождаются с различными задатками, которые развиваются в различные способности.

При значительном разбросе индивидуальных особенностей учеников и их численности, обычно учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого, и учебный процесс строится в расчете на среднего ученика, который только и чувствует себя более или менее комфортно при таком обучении. Но учитель всегда должен учитывать индивидуальные особенности учащихся.

Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий самостоятельности в обучении. Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня.

При разработке факультативного курса нужно учитывать и возрастные особенности учащихся.

Школа занимает большое место в жизни старших подростков, но у разных детей проявляется по-разному, несмотря на осознание важности и необходимости учения. Известно, что дети различаются по некоторым важным параметрам: отношение к учению, общему развитию, способам усвоения учебного материала. Учет перечисленных различий дает более полноценное усваивание новых знаний школьниками.

Для старших подростков обучение в 10-11 классах это период выработки жизненной позиции, сознательного отношения к выбору профессии. Таким образом при обучении старшеклассников имеется возможность использовать специфические достоинства возраста: возросшие моральные и интеллектуальные силы и их продолжающийся рост; рост произвольности психических процессов, лежащих в основе умения управлять собой; формирование обобщенных форм самосознания, отношение к себе как к реально взрослым; умение увидеть сильные и слабые стороны своего развития.

Самообразование главным образом связано с выбором будущей профессии. Кроме того, возникает потребность в саморегуляции, т.е. в управлении и развитии личности.

Все большее значение для старшеклассника наряду с конкретным занимает абстрактное мышление. Учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умение аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другую. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретно выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.

Учащиеся старших классов умеют абстрагировать и обобщать материал, происходит формирование теоретического мышления. Теоретическое мышление характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними

умение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части

умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое

умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т.к. многие математические понятия являются абстрактными объектами

умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному)

умение конкретизировать - может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [36].

Формирование у учащихся способности к выполнению умозаключений влечет за собой развитие логического мышления. Развитие интеллекта в юношеском возрасте тесно связано с развитием творческих способностей. Старшеклассники не просто усваивают информацию, а проявляют интеллектуальную инициативу, стремятся к созданию чего-то нового, любят исследовать и экспериментировать. Все это создает благоприятную основу для развития творческого мышления. Результат такого мышления не просто применение известных представлений, понятий и операций, а создание новых образов, значений и способов решения задач. В юношеском возрасте происходит активный процесс формирования мировоззрения. Молодые люди стремятся свести все принципы в определенную целостную систему, понять окружающий мир, оценить его, определить свое отношение к нему. Поэтому старшеклассники в большей степени интересуются предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией. Для них на этот период времени целесообразнее сосредоточить свое внимание на избранных науках, чем изучать все подряд в ознакомительных целях. Поэтому одной из важнейших задач является формирование у старшеклассников правильных представлений о той роли, которую играет тот или иной раздел обучения в жизни общества.

Факультативный курс должен способствовать появлению у учащихся умения решать задачи.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач. При этом все учащиеся решают одни и те же задачи. Но в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин является то, что одни ученики вникают в процесс решения задачи, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи решаются лишь ради получения ответа. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Все это можно реализовать на факультативе. Во-первых, время преимущественно распределяет сам преподаватель, во-вторых, он вправе выбрать тот оптимальный ход урока, который будет способствовать не только прочному усвоению новых знаний, но и выработке умения решать задачи. Главный принцип здесь - научить учащихся такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение - как объект конструирования и изобретения.

Факультативный курс должен вызывать интерес учащихся к содержанию и процессу обучения.

Только благодаря появлению эмоционального переживания возникает интерес к предмету, отдельному явлению, появляется потребность в деятельности. Без интереса ученик не учится, без потребности по той или иной причине он не решает задачи, без устойчивости этих сопровождающих деятельность потребностей невозможно формирование системы ценностей. Поэтому изучаемый материал должен вызывать интерес у учащихся.

Как бы ни старался учитель, к каким бы методикам не прибегал, какой бы техникой не владел - повысить эффективность обучения, не вызывая у обучающихся интереса к учебному материалу, невозможно.

При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности:

развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; обращать внимание учащихся на межпредметные связи; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся; создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

1.4 Технология модульного обучения и проблемные методы при изучении комплексных чисел

Сущность и преимущества технологии модульного обучения

Отметим, что педагогическая технология - это совокупность психолого-педагогических установок, определяющих специальный набор и компоновку форм, методов, способов, приёмов обучения, воспитательных средств; она есть инструментарий педагогического процесса.

Сущность модульного метода обучения состоит в том, что обучающийся почти самостоятельно мог работать с предложенной ему индивидуальной учебной программой, включающей в себя целевой план занятий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей.

Модульное обучение применяется в основном в высших учебных заведениях. В данной работе модульное обучение используется при изучении комплексных чисел в школах и классах с углубленным изучением математики.

Термин «модуль» в теории модульного обучения понимается как относительно самостоятельная часть какой-нибудь системы, несущая определённую функциональную нагрузку, то есть это определённая «доза» информации, достаточная для формирования тех или иных профессиональных знаний либо навыков будущих специалистов.

Обучающий модуль - это логически завершённая форма части содержания учебной дисциплины, включающая в себя познавательный и профессиональный аспекты, усвоение которых должно быть завершено соответствующей формой контроля знаний, умений и навыков, сформированных в результате овладения обучаемыми данным модулем.

Модуль имеет познавательную и профессиональную характеристики, в связи с чем можно говорить о познавательной и деятельностной частях модуля. Задача первой - формирование теоретических знаний, функции второй - формирование практических умений и навыков на основе приобретённых знаний.

Основным ядром модуля является информационное обеспечение, реализуемое в форме изучения нового материала, практических занятий и самостоятельной работы учащихся. Завершающий этап работы - конкретные рекомендации учащимся по использованию предложенного материала.

Строение модуля имеет следующий вид:

Наименование модуля.
Теоретические занятия.
Практические занятия.
Самостоятельная работа.
Результат обучения
Теоретические занятия.
Практические навыки.

Цель разработки модулей - расчленение содержания курса или каждой темы на компоненты в соответствии с педагогическими и дидактическими задачами, определение для всех компонентов целесообразных видов и форм обучения, согласование их во времени и интеграция в едином комплексе.

Обычно весь курс делят на несколько модулей и по каждому из них проводятся какие-либо формы контроля. Каждый модуль обеспечивается необходимым дидактическим и методическим материалом, перечнем основных понятий и умений, которые необходимо усвоить в ходе обучения. Модуль может снабжаться списком используемой литературы.

Модульное обучение курса даёт ряд значительных преимуществ и является одним из эффективных путей интенсификации учебного процесса, особенно в условиях целевой интенсивной подготовки специалистов.

К числу преимуществ данного метода обучения относятся:

обеспечение методически обоснованного согласования всех видов учебного процесса внутри каждого модуля и между ними;

системный подход к построению курса и определение его содержания;

гибкость структуры модульного построения курса;

эффективный контроль за усвоением знаний учащимися;

выявление перспективных направлений научно-методической работы преподавателя;

быстрая дифференциация учащихся: различаются «усредненные» группы отличников, успевающих и слабых учащихся, вместо которых появляются первый, второй, десятый, сотый и т.д. учащиеся класса;

Модульное формирование курса дает возможность осуществлять перераспределение времени, отводимого учебным планом на его изучение, по отдельным видам учебного процесса расширяет долю практических занятий, а также самостоятельной работы учащихся. Возникает необходимость в новых формах ведения занятий, при которых наряду с фундаментальной подготовкой учащийся получал бы необходимые навыки и знания в области общей методологии проектирования и эксплуатации оборудования, разработки современных прогрессивных технологий.

Взаимосвязь различных форм обучения при модульной организации учебного процесса позволяет целенаправленно управлять научно-методической работой преподавателя и определять узкие места методического или программного обеспечения. Кроме того, наглядность структуры курса «проявляет» перспективные направления их совершенствования и позволяет научно обоснованно планировать работу всего педагогического коллектива.

Модульный подход в обучении позволит более полно удовлетворить потребности творческой личности в образовательской деятельности, поскольку появится осознанная заинтересованность в получении тех или иных знаний; возможность изменять специализацию или получать несколько специализаций; форсировать или продлевать срок изучения в целом при известной конечно цели; индивидуализировать процесс обучения, осуществлять сотворчество с преподавателем, снизить фактор неудовлетворенности индивида в образовании.

Модульной структурой обусловлено усиление мотивации обучения, поскольку учащийся заинтересован в получении информации, посещении занятий. Он сам решает вопрос поэтапного контроля, более того, заинтересован в нем как в определенной ступени на пути продвижения к конечной цели. Оценка знаний при этом обычно рейтинговая по индивидуальному интегральному индексу (ИИИ). В результате подобной оценки знаний повышается заинтересованность учащихся в обучении, появляется возможность форсировать изучение дисциплины, что незамедлительно придаст процессу обучения индивидуальный характер.

Не станет стрессовых ситуаций, присущих экзаменационной системе; процесс контроля знаний превратится в интересные беседы, дискуссии по насущным проблемам науки.

Таким образом, модульная система обучения и связанные с её введением интенсификация информационно-деятельностного процесса обучения, система контроля знаний и профессиональной пригодности может в значительной мере повысить эффективность и качество подготовки специалистов, обеспечить целенаправленность творческой деятельности личности.

Внедрение модульного обучения определённой организационной перестройки учебного процесса. Но возникновение этих проблем не должно сдерживать внедрения новой формы обучения.

Применение проблемных методов и технологии модульного обучения при изучении комплексных чисел

Под проблемным обучением понимают обучение, протекающее в виде разрешения последовательно создаваемых в учебных целях проблемных ситуаций.

С психологической точки зрения проблемная ситуация представляет собой более или менее явно осознанное затруднение, порождаемое несоответствием между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей задачи.

Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемной задачей.

Не всякое затруднение может вызвать проблемную ситуацию. Оно должно порождаться недостаточностью имеющихся знаний, и эта недостаточность должна быть осознана учащимся. Но и не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Это характерно для ситуаций. Когда путь решения проблемы непосилен для учащихся на данном этапе обучения.

Не имеет смысла ставить вопрос, например «Является ли задача «Решить уравнение » проблемной?» - безотносительно к тому, кому она предложена. На этот вопрос нельзя однозначно ответить. Если эта задача предложена до того, как учащиеся прошли теорию квадратных уравнений, то для них она является проблемой. Если же предложена после усвоения соответствующих алгоритмов решения, то для учащихся она проблемой не является.

Осуществление проблемного метода естественно начинать с рассмотрения проблемных задач, подготавливая этим самым почву и для постановки учебных проблем.

Для разрешения проблем, возникших вне математики, используется их математическое описание, т.е. создание математических моделей. При исследовании классов таких моделей развивается система теоретических знаний, которые впоследствии применяются для решения новых проблемных ситуаций или задач.

Если использовать только проблемное обучение, то для этого потребуется намного больше времени, чем возможно выделить на обучение математике. Поэтому применение проблемных методов в чистом виде практически не встречается. Процесс формирования знаний, умений и навыков происходит с большим успехом при сочетании методов проблемного обучения с другими. Также необходимо осуществлять отбор отдельных фрагментов курса для осуществления проблемного обучения. Изложение учебного материала в школьных учебниках, пособиях редко приспособлено для этого метода обучения. Но учебные тексты могу быть легко переработаны.

Можно рассматривать методы проблемного обучения используя какую-либо одну педагогическую технологию. В данной работе используется технология модульного обучения, применяемая ранее только в высших учебных заведениях.

Модульный подход в обучении позволит более полно удовлетворить потребности творческой личности в образовательской деятельности, поскольку появится осознанная заинтересованность в получении тех или иных знаний; возможность изменять специализацию или получать несколько специализаций; форсировать или продлевать срок изучения в целом при известной конечно цели; индивидуализировать процесс обучения, осуществлять сотворчество с преподавателем, снизить фактор неудовлетворенности индивида в образовании.

Проблемные методы в технологии модульного обучения позволят в наибольшей степени активизировать умственную деятельность учащихся математических классов и школ.

К методам проблемного обучения относятся: исследовательский метод, эвристический метод и метод проблемного изложения.

Исследовательский метод предполагает построение процесса обучения наподобие процесса исследования (в упрощённой, доступной для учащихся форме). Выявляются неизвестные факты, подлежащие исследованию, уточняется и формулируется проблема, выдвигается гипотеза, составляется и затем осуществляется план исследования.

Важная особенность исследовательского метода состоит в том, что в процессе решения одних проблем постоянно возникают новые.

Другой метод - эвристический, сочетает изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся. Этот поиск здесь относится лишь к некоторым этапам процесса познания. При использовании этого метода учитель расчленяет исследовательские задания на элементы, облегчая тем самым процесс самостоятельной творческой деятельности учащихся, и сокращает время на решение проблемной задачи. При этом некоторые этапы исследования излагаются учителем и с помощью вопросов и подсказок учащиеся продолжают исследование самостоятельно. Таким образом, изложение учителя и поисковая деятельность учащихся определённым образом чередуются. Известная форма эвристического метода - эвристическая беседа. Взаимодействие вопросов учителя и ответов учащихся при беседе образует процесс познания [23].

Из вышеприведённых методов проблемного обучения к изучению темы «Комплексные числа» наиболее применимыми являются: эвристический метод и метод проблемных ситуаций. В этом случае изучение нового материала начинается не с объявления темы, а с беседы о ситуации, решение которой невозможно без привлечения новых теоретических знаний. Перед учащимися ставится глобальная проблема, разрешение которой влечёт за собой построение совершенно новой теории - теории комплексных чисел.

Использование этого пути требует от учителя знакомства с приложениями изучаемой теории в различных областях её применения. В случае с комплексными числами это электротехника, радиотехника и некоторые другие области электродинамики.

Введение понятий алгебраической формы комплексных чисел и операций выполняемых над ними в этой форме не должна вызвать особых затруднений, поскольку все используемые операции идентичны действиям, производимым над действительными числами. Поэтому целесообразно рассмотреть этот блок с помощью эвристической беседы.

Возведение комплексных чисел в степень не выше пятой не вызовет трудностей. Но если перед учащимися стоит задача возведения комплексного числа в степень превышающую число пять, то возникшее в связи с этим затруднение порождает проблемную ситуацию, разрешимую только после введения тригонометрической формы изучаемых чисел.

Таким образом, оперируя методами проблемного обучения, можно сформировать у учащихся довольно яркое и ясное представление о комплексных числах [23].

2. Проектирование процесса обучения старшеклассников теме «Комплексные числа» в школах и классах с углубленным изучением математики

2.1 Цели изучения темы «Комплексные числа»

Тема «Комплексные числа» углубляет и расширяет знания учащихся о числовых системах и о решениях алгебраических уравнений в комплексных числах [6]. Рассматриваются также и некоторые «внутренние» вопросы теории комплексных чисел, в том числе показательная и тригонометрическая функции комплексного переменного. Предполагается, что учитель сосредоточит внимание учащихся на тех или иных вопросах в зависимости от их интересов и условий подготовки. Однако в любом случае продемонстрировать учащимся возможности применения теории комплексных чисел к решению задач, близких к школьному курсу. Учащиеся должны овладеть теорией настолько, чтобы понимать приведённые решения и уметь решать задачи аналогичного содержания [20].

Изучение этой темы преследует следующие цели:

образовательные:

1) учащиеся должны знать:

v определения и понятия алгебраической формы комплексного числа (мнимая единица, модуль и аргумент комплексного числа, понятие сопряжённого числа, операции над комплексными числами);

v геометрическую интерпретацию комплексных чисел, их суммы и разности;

v тригонометрическую форму комплексного числа; правила действий над комплексными числами, заданными тригонометрической формой;

v формулы Муавра;

v алгоритм решения алгебраических уравнений; применение этого алгоритма к нахождению корней многочлена;

v показательную форму комплексного числа;

v формулы Эйлера;

2) учащиеся должны уметь:

v выполнять действия над комплексными числами, заданными различными формами;

v строить комплексные числа, их сумму и разность на плоскости;

v находить геометрическое место точек с заданными условиями;

v осуществлять переходы из одной формы комплексных чисел в другую;

v возводить в степень и извлекать корни из комплексных чисел;

v находить корни многочленов и алгебраических уравнений с комплексными и целыми коэффициентами;

v разложить многочлены на множители в комплексных числах;

воспитательные:

v воспитывать положительное отношение к процессу обучения и развивать интерес к математике как науке;

v повышать культуру математического мышления;

развивающие:

v привитие навыков исследовательского характера;

v развитие математических способностей;

v формирование навыков самоконтроля;

обучение умениям ставить промежуточные цели в учебной работе, планировать последовательность действий.

2.2 Анализ содержания учебных пособий

Существует достаточное количество пособий по комплексным числам. Рассмотрим поподробнее, как изложен в них учебный материал по комплексным числам.

В пособии для факультатива А.А. Абрамова, Н.Я. Виленкина содержится глубокий традиционный курс: построение комплексных чисел в виде , далее идет знакомство с тригонометрической формой комплексных чисел. Рассматривается показательная, логарифмическая и тригонометрическая функции комплексного переменного. Большое место в пособии занимают приложения комплексных чисел: рассматривается основная теорема алгебры многочленов и ее следствия; применение комплексных чисел для описания всевозможных перемещений плоскости; затронуты и дифференциальные уравнения [1].

В пособии под редакцией В.А. Жарова исследуется расширение понятия числа, комплексные числа представлены через вектора [16].

В пособии А.П. Иванова и В.М. Кондакова рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа и соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Решение алгебраических уравнений n-ой степени выделены в виде приложений комплексных чисел. Объем изложенного материала с текстом упражнений занимает всего 10 страниц, что говорит о чрезмерной краткости [15].

В пособии Лисичкина сначала вводится понятие мнимой единицы, а только потом идет определение комплексного числа. Далее рассматриваются действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, а затем показательная форма комплексного числа. На этом знакомство с комплексными числами заканчивается [40].

В пособии Л.А. Калужнина сразу вводятся только целые комплексные числа. Дальше определяются операции над ними. Потом следует определение нормы целого комплексного числа. Рассматриваются взаимосвязи между простыми гауссовыми и простыми рациональными числами. Поднимается вопрос о том, когда же положительное целое рациональное число является нормой некоторого целого гауссова числа [17].

Учебник алгебры и математического анализа для учащихся 11 классов с углубленным изучением математики Н.Я. Виленкина и др. также содержит тему «Комплексные числа». Первоначально комплексные числа представлены упорядоченными парами, а далее учащимся предложено перейти к алгебраическому виду. Основные сведения по комплексным числам даны обзорно и в минимальном объеме. Из приложений можно выделить лишь применение основной теоремы алгебры многочленов [10].

Задача предложенного курса изучения комплексных чисел - определить понятия комплексного числа, возможные формы записи комплексных чисел, правила выполнения действий над ними и т.д.

2.3 Тематическое планирование

Тематическое планирование материала строится таким образом, чтобы каждая последующая тема была связана с предыдущей по смысловому содержанию.

Необходимо учесть, что программой для школ и классов с углубленным изучением математики на тему «Комплексные числа» предоставляется 18-20 часов при пяти часах в неделю. Таким образом, предлагается следующее тематическое планирование по учебному пособию для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики Виленкина Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11-х классов. // Учебное пособие для школ. - М.: Просвещение, 1995.

Таблица №1

Вид занятия	Тема	Кол-во часов
Уроки 1 -4	Модуль 1. Алгебраическая форма комплексного числа.	4
Урок 1	История развития числовых множеств. Мнимая единица. Множество комплексных чисел. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Урок 2	Степени мнимой единицы. Натуральная степень комплексного числа, заданного в алгебраической форме. Корень из комплексного числа, заданного в алгебраической форме. Уравнения и системы уравнений в комплексных числах.
Урок 3.	Решение задач по теме «Алгебраическая форма комплексного числа».
Урок 4	Самостоятельная работа.
Уроки 5 -6	Модуль 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.	2
Урок 5	Комплексная плоскость. Точки и векторы, изображающие комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Урок 6	Решение задач по теме «Геометрическая интерпретация комплексных чисел». Самостоятельная работа (15 мин.).
Уроки 7-9	Модуль 3. Тригонометрическая форма комплексного числа.	3
Урок 7	Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Перевод комплексного числа из алгебраической формы записи в тригонометрическую и обратно. Изображение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, на комплексной плоскости.
Урок 8	Решение задач по теме «тригонометрическая форма комплексного числа».
Урок 9	Самостоятельная работа.
Уроки 10-13	Модуль 4. Степени и корни комплексных чисел.	4
Урок 10	Первая формула Муавра. Извлечение корней из единицы. Вторая формула Муавра.
Урок 11	Решение задач по теме «Первая формула Муавра».
Урок 12	Решение задач по теме «Вторая формула Муавра».
Урок 13	Самостоятельная работа.
Уроки14-18	Модуль 5. Алгебраические уравнения.	5
Урок 14	Решение квадратных уравнений. Уравнения высших степеней. Основная теорема алгебры. Целые корни уравнения.
Урок 15	Разложение многочленов на множители.
Урок 16	Решение задач по теме «Уравнения высших степеней; целые корни уравнения»
Урок 17	Решение задач по теме «Разложение многочленов на множители».
Урок 18	Самостоятельная работа.
Урок 19	Подготовка к итоговой самостоятельной работе.	1
Урок 20	Самостоятельная работа по теме «Комплексные числа».	1
Факультативные занятия 1-2	Модуль 6. Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера.	2
Занятие 1	Показательная форма комплексного числа. Формулы Эйлера. Применение показательной формы комплексного числа в геометрии.
Занятие 2	Решение задач по теме «Показательная форма комплексного числа».
Итого		22

По предложенному тематическому планированию на изучение темы «Комплексные числа» необходимо 22 часа. Из них семь уроков изучения теоретического материала, семь уроков - практические занятия по закреплению материала, уроки текущего контроля знаний и умений после изучения каждого модуля; урок обобщения и систематизации при подготовке к самостоятельной работе и урок контроля уровня знаний изученного материала - самостоятельная работа по теме «Комплексные числа». Итоговая самостоятельная работа может быть проведена в форме тестирования по данной теме на ЭВМ. Вопросы теста охватывают изученный теоретический и практический материал.

Также запланировано проведение двух факультативных занятий, на которых будет изучена и закреплена тема «Показательная форма комплексного числа».