Математика конечных количеств - логическая основа гармонизации базового образования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математика конечных количеств - логическая основа гармонизации базового образования

1. Некоторые примеры математики пространственных материальных форм, иллюстрирующих идеи алгебра и геометрии

конечное количество геометрическая фигура

Могут ли пространственные материальные формы стать средством пропедевтики основных идей алгебры, геометрии и анализа в дошкольной математике? Так ли необходим счет в дошкольном периоде? Может процесс геометрического конструирования необходим в большей степени? На все эти вопросы читатель найдет ответы в нашей статье. А пока рассмотрим 3 примера.

Пример 1. Возьмем в качестве дидактического материала красные и синие квадратики со стороной 3 см. Будем строить красный и синий квадраты. Затем соединять эти построенные квадраты в красно-синюю фигуру. Возникает вопрос: всегда ли красно-синяя фигура тоже будет квадратом?

Перед дошкольником поставлена исследовательская задача. Поставлена она в детском саду в возрасте 3-6 лет хотя ее не ставят сегодня даже в начальной школе. Но каков содержательный смысл поставленной задачи?

Собирая квадраты и соединяя их ребенок приходит к выводу, что только соединяя красный квадрат из 9 квадратиков и синий квадрат из 16 квадратиков мы получим красно-синий квадрат из 25 квадратиков.

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см. Можно ли на сторонах треугольника построить такие квадраты, что большой квадрат получается соединением меньших? Мы видим, что сделать это можно и это открывает для себя сам ребенок. Что он открыл? Теорему Пифагора и сделал это открытие не нарисованном треугольнике, как это делало наше поколение.

О чем это говорит? Только о непонимании самого простого уровня в изучении теоремы Пифагора-сенсорного познавательного уровня. Возникает вопрос: это случайное открытие теоремы или общий принцип? Рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Возьмем кубик и соединяя его построим столбики различной длины. Затем соединим столбики и построим квадратные и прямоугольные плитки разной величины. Наконец, соединяя плитки, построим кубы и ящики различного объема.

Дидактический материал подготовлен. Теперь начинаются задачи. Можно ли построить квадрат из двух разных по величине квадратов и двух равных по величине прямоугольников (начиная со столбиков)? Мы видим реализацию формулы квадрата суммы двух чисел в алгебре

И это не единственный пример того что символическому познавательному уровню предшествует сенсорный познавательный уровень. Чтобы показать, что вся алгебра может быть проиллюстрирована так рассмотрим еще пример.

Пример 3 Возьмем весы с двумя чашками. На правую чашку положим несколько кубиков. Теперь на левую чашку нужно положить квадратную плитку и 4 прямоугольных плитки такие что они могут быть приложены к 4 сторонам квадратной плитки. При этом вторая сторона прямоугольника нам дана. В результате весы должны быть в равновесии.

Мы рассмотрели способ решения квадратного уравнения в натуральных числах. Больше того, алгебра не выше третьей степени может быть изучена именно на пространственных материальных формах системно.

Для этого необходим инструмент. Таким инструментом становится математика конечных количеств.

2. Конечное количество и его роль в гармонизации дошкольного образования

Конечным количеством авторы называют конечное множество. Словом «количество» подчеркивается тот факт, что элементы множества считаются одинаковыми в том или ином смысле, а потому единичными. Совокупность таких единиц называется конечным количеством.

Если элементами конечного количества являются слоги, представляющие соединение гласной и согласной то математика конечных количеств превращается в математику развивающегося чтения потому что выражение 1+1 становится словом состоящим из двух слогов, а знак «+» становится знаком соединения.

Если элементы конечного количества представлены музыкальными звуками то перед нами математика различных музыкальных фраз. Если элементы количества представлены геометрическими фигурами то мы получаем математику геометрических форм.

Для оживления математики геометрических форм можно считать квадрат-шоколадной долькой. Тогда соединение таких долек вместе создает шоколадки квадратной и прямоугольной формы. Если назначить цену дольке-1 монета то величина шоколадки определит ее стоимость и мы получаем, что при игре в магазин (с должными конструкциями денег) игра «Купи шоколадку» превращается в изучение таблицы умножения без использования символов (авторами уже сконструирована компьютерная образовательная игра «Купи шоколадку»)

Вместо шоколадки можно использовать и другие продукты, а вместо квадратной единицы использовать треугольники разных видов. Тогда комплексы, построенные из таких единиц, не только представят основные геометрические фигуры, но и научат находить их величины в натуральных числах и показывая эту величину «на пальцах»

Возьмем за основу изучения геометрическую плоскую фигуру, построенную из равных по величине плоских фигур. Будем изучать свойства конечного количества по отношению к такой фигуре.

3. Связь между двумя величинами геометрических фигур

,

где -натуральные числа. Сегодня эта теорема доказывается весьма хитрым методом «от противного». Мы же познакомили с ней уже дошкольников.

Решение таких задач формирует функциональное мышление дошкольника и он учится находить меру связи между величинами. В частности он понимает что величина равнобедренного прямоугольного треугольника составляет половину величины квадрата, а величина четырехугольной пирамиды (развертка пирамиды приводится в приложении) составляет треть величины куба потому что куб можно составить из трех таких пирамид.

4. Изменение величины геометрической фигуры в последовательности геометрических фигур

Построим ряд из квадратов и отметим величину каждого квадрата следующим образом. Из маленьких квадратов построим фигуры от 1 до 9 квадратов и дадим им название по тому образу, который они представляют. Десять квадратов сложим в виде пирамиды (четыре квадрата, на них три квадрата, на них два квадрата, на них один квадрат). Двузначное число будем изображать парой: несколько пирамидок положенных друг на друга представят нам число десятков. Рядом с пирамидами положим фигуру, содержащую от 1 до 9 квадратов. Это будут наши образные представления единиц и десятков.

Выстроенная нами последовательность представляет таблицу квадратов натуральных чисел от 1 до 100. Теперь называя некоторое количество пирамид и фигуру из квадратов мы либо найдем такой квадрат в последовательности, либо нет. Например, существует если квадрат, около которого столько же пирамид сколько и квадратов в рядом стоящей фигуре. Очевидно, что мы имеем дело с двузначным числом, у которого число единиц совпадает с числом десятков. Мы видим что такого квадрата не существует.

Что мы сейчас сделали с точки зрения пропедевтики алгебры? Мы решали квадратное уравнение с двумя неизвестными в натуральных числах и оно имеет вид

.

Можно построить ряд из прямоугольников, у которых длина вдвое больше ширины. Опять поставим наши пирамиды и фигуры. Снова зададим тот же вопрос, но теперь относительно прямоугольника. Мы придем а решению уравнения

.

Можно рассмотреть и ряды из треугольников с тем же вопросом. Сегодня такие задачи не решаются не только в начальной школе, но даже в средней школе. Почему? Потому что рассматриваются только 2 вида числовой последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Нахождение таких фигур в ряду по заданным числам формирует операционное мышление, как способность создавать операции.

5. Организация величины геометрической фигуры

Одно и то же количество одинаковых фигур можно сложить в разные геометрические формы. Так создается пропедевтика равновеликости геометрических фигур. Выясняется, что два прямоугольника могут быть равновелики и при этом иметь разную форму.

Можно ли из одного и того же количества равнобедренных прямоугольных треугольников построить квадрат и такой же треугольник? Можно ли из некоторого количества равнобедренных прямоугольных треугольников построить равносторонний треугольник? Такие задачи развивают структурное мышление.

Допустим, что мы хотим представить число 35 в некоторой системе счета в классе единиц, причем там будет 2 старших разряда (содержащих квадрат) и 2 младших разряда (единицы). Тогда наша задача равносильна решению уравнения в натуральных числах. Понятно, что такого решения не существует.

6. Конструирование величины геометрической фигуры

Если мы захотим представить некоторое конечное количество в виде квадрата то это не всегда возможно. С точки зрения алгебры мы имеем решение уравнения и в случае невозможности представления знакомим дошкольника с существованием иррационального числа . С корнем кубическим мы знакомим том случае когда хотим конечное количество представить в виде некоторого куба.

Таким образом, процесс конструирования конечного количества в заданной форме приводит нас к проблеме возможного и невозможного в таком конструировании. В случае возможности построения конструкции ребенок должен привести алгоритм такого конструирования. В случае невозможности конструирования он интуитивно должен показать такую невозможность.

В ситуации конструирования решаются и комбинаторные задачи. Вот одна из таких задач. Как сконструировать фигуру из 5 равнобедренных прямоугольных треугольников, которая будет многоугольником с наименьшим количеством углов. В этом случае ребенок перебирает все варианты при отсутствии интуитивного мышления или находит сразу нужный вариант при наличии такого мышления.

Умение выбрать оптимальный вариант из большого количества вариантов притом за кратчайшее время станет главной задачей человека будущего, который окажется в ситуации быстрых качественных изменений. Поэтому в алгоритмическом мышлении уже сегодня следует заложить основы такого оптимального мышления.

7. Систематизация величины геометрической фигуры

Рассматривая логику развития геометрической фигуры на плоскости и в пространстве мы видим следующие базовые фигуры. На плоскости такими фигурами являются: равнобедренный прямоугольный треугольник и равносторонний треугольник. В пространстве такими фигурами являются: треугольная призма, треугольная пирамида и тетраэдр-пример правильного многогранника.

Конструируя из базовых элементов другие фигуры ребенок видит весь процесс рождения геометрической формы и потому процесс развития величины геометрической фигуры на плоскости и в пространстве. Такой подход формирует системность при изучении геометрических форм.

Последовательность правильных многоугольников приводит к кругу, последовательность усложняющихся призмы приводит к цилиндру и так далее. Такой подход более логичен чем показ ребенку в детском саду уже готовых круглых тел.

Представляя круглые тела в виде некоторого результата предела последовательности мы формируем аналитическое мышление, показывая связь многоугольных тел с круглыми телами. Тогда ребенок начинает понимать содержательный смысл угла-мера движения, при которой развивается сложность геометрической фигуры.

Выводы

1. Конечное количество создает возможности гармонизации базового образования.

2. Работа с конечными количествами, содержащими геометрические формы, создает пропедевтику для изучения алгебры.

Размещено на Allbest.ru