Методика преподавания ученикам основной школы темы "Преобразование плоскости"

Размещено на http://www.allbest.ru/

- 9 -

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

§1. Теоретические сведения

1. Понятие движения

1.1 Отображение плоскости на себя

1.2 Понятие движения

1.3 Наложения и движения

2. Параллельный перенос и поворот

2.1 Параллельный перенос

2.2 Поворот

§2. Методическая часть

1. Общие рекомендации

2. Поурочное планирование

Урок №1

Урок №2

Урок №3

Урок №4

Урок №5

Урок №6

Урок №7

Урок №8

Урок №9

Урок №10

Урок №11

Урок №12 (контрольная работа)

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Геометрические построения в математическом образовании являются важным средством геометрических исследований. Задачи на построение удобны для закрепления нового и систематического повторения пройденного материала по любому разделу школьного курса геометрии. Они позволяют учащимся обстоятельнее и глубже разобраться в известных теоретических сведениях, прививают навык целеустремленно припоминать, дисциплинировать внимание, приучают проявлять настойчивость в достижении намеченной цели, инициативу и изобретательность, способствуют развитию логического мышления и пространственных представлений. Таким образом, геометрические задачи на построение не только дают возможность основательно изучить геометрию, но и прививают такие навыки и способности, которые полезны каждому, так как облегчают изучение других предметов и помогают решать различные вопросы науки, техники, искусства и обыденной жизни.

Программа по геометрии предусматривает знакомство учащихся с наиболее важными задачами на построение - это задачи на построение треугольников по трём элементам, построение перпендикуляра к прямой и биссектрисы угла. Ограниченность времени не позволяет рассмотреть интересные задачи на построение, познакомиться с историей возникновения и развития проблемы геометрических построений с иллюстрацией её несколькими классическими задачами. Программа данного курса по выбору составлена таким образом, чтобы в той или иной степени решить эту задачу.

В 8 классе учащиеся изучают тему «Геометрические построения» и кратко знакомятся с методом геометрических мест точек, в 9 классе они изучают геометрические преобразования, но метод геометрических преобразований при решении задач на построение не рассматривается. Поэтому изучение данного курса именно в 9 классе является своевременным и целесообразным.

Объект исследования - процесс организации учебной деятельности учеников основной школы при изучении преобразований плоскости.

Предмет исследования - методика обучения учеников основной школы теме «Движение».

Цель данной курсовой работы - совершенствование методики обучения учеников основной школы теме «Движение».

Цель исследования потребовала решения ряда конкретных задач:

- обобщить и систематизировать теоретический материал по теме «Движение»;

- рассмотреть примеры решения задач по теме «Движение».

- составить план-конспект занятий по теме «Движение»

Решение этих задач потребовало применение следующих методов исследования:

- анализ научной и учебной литературы по теме «Движение»,

- обобщение и систематизация теоретического и практического материала по теме исследования,

- ознакомление с современным опытом учителей основной школы.

Практическая значимость данной курсовой работы состоит в возможности использования данной работы учениками для подготовки к практическим, контрольным работам.

геометрическое построение преобразование плоскость движение

§1. Теоретические сведения

1. Понятие движения

1.1 Отображение плоскости на себя

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя - вспомним осевую симметрию.

Две точки и называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет так же одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, равносторонний треугольник.

Две точки и называются симметричными относительно точки О, ели О - середина отрезка . Точка О называется симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центр симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О), у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигур, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Она дает нам пример такого отображения. В самом деле, пусть - ось симметрии (рис. 1). Возьмем произвольную точку М, не лежащую на прямой , и построим симметричную ей точку относительно прямой . Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой и отложить на прямой МР отрезок , равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 1. Точка и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой , то симметричная ей точка совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка этой же плоскости. При этом любая точка оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 1.

Рис. 1

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости. Пусть О - центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка , симметричная точке М относительно точки О (рис. 2).

Рис. 2

Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.



1.2 Понятие движения

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством -- это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Поясним, что это значит. Пусть М и N -- какие-либо точки, а и - симметричные им точки относительно прямой (рис. 3). Из точек и проведем перпендикуляры и к прямой . Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам:

и

(объясните, почему эти катеты равны).

Рис. 3

Поэтому гипотенузы MN и также равны. Следовательно, расстояние между точками M и N равно расстоянию между симметричными им точками и (Другие случаи расположения точек М, N и , представленные на рисунке 4, рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях ).



Рис. 4

Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением). Итак, движение плоскости -- это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Ее можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси . На рисунке 5 показано, каким образом происходит такой поворот.

Рис. 5



Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 6, убедитесь в этом самостоятельно).

Рис. 6

Докажем следующую теорему:

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство:

Пусть при заданном движении плоскости концы M и N отрезка MN отображаются в точки и (рис. 7). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок .

Рис. 7



Пусть Р -- произвольная точка отрезка MN, - точка, в которую отображается точка Р. Тогда

.

Так как при движении расстояния сохраняются, то

, и . (1)

Из равенств (1) получаем, что

,

и, значит, точка лежит на отрезке , если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство

.

Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка .

Нужно еще доказать, что в каждую точку отрезка отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Докажем это. Пусть - произвольная точка отрезка и точка P при заданном движении отображается в точку . Из соотношений (1) и равенства

следует, что

,



и, значит, точка P лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч - на луч, а угол - на равный ему угол.

1.3 Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре , если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не дается. Под наложением фигуры Ф на фигуру мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру . Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определенную точку плоскости, т. е. наложение -- это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения -- это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах:

Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Любой угол можно совместить наложением с равным ему углом двумя способами:

так, что луч совместится с лучом , а луч - с лучом ;

так, что луч совместится с лучом , а луч - с лучом .

Любая фигура равна самой себе.

Если фигура Ф равна фигуре , то фигура равна фигуре Ф.

Если фигура равна фигуре , а фигура равна фигуре , то фигура равна фигуре .

Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура , состоящая из точек А и Б, равна фигуре , состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что (аксиома 6), т. е. при некотором наложении фигура отображается в фигуру . Но это невозможно, так как наложение - это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки и . Тогда отрезок АВ отображается на отрезок (аксиома 1), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку . Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Теорема. Любое движение является наложением.

Доказательство:

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой ) и докажем, что оно является наложением. Возьмем какой-нибудь треугольник ABC. При движении он отображается на равный ему треугольник А1В1С1. По определению равных треугольников существует наложение , при котором точки А, B и С отображаются соответственно в точки , и .

Докажем, что движение совпадает с наложением . Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдется хотя бы одна такая точка М, которая при движении отображается в точку , а при наложении -- в другую точку . Так как при отображениях и сохраняются расстояния, то

АМ=А1М1, АМ=АгМ2,

Поэтому

,

т. е. точка равноудалена от точек и (рис. 8).

Рис. 8

Аналогично доказывается, что точки и равноудалены от точек и . Отсюда следует, что точки , и лежат на серединном перпендикуляре к отрезку . Но это невозможно, так как вершины треугольника не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения и совпадают, т. е. движение является наложением. Теорема доказана.

Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.



2. Параллельный перенос и поворот

2.1 Параллельный перенос

Пусть - данный вектор. Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку , что вектор равен вектору (рис. 9).

Рис. 9

Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть при параллельном переносе на вектор точки М и N отображаются в точки и (рис. 9). Так как

, , то .

Отсюда следует, что

и ,

поэтому четырехугольник - параллелограмм. Следовательно,



,

т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками и (случаи, когда точки M и N расположены на прямой, параллельной вектору , рассмотрите самостоятельно). Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.

2.2 Поворот

Отметим на плоскости точку о (центр поворота) и зададим угол (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку , что

и угол равен (рис. 10). При этом точка О остается на месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении - по часовой стрелке или против часовой стрелки. На рисунке 330 изображен поворот против часовой стрелки.

Рис. 10



Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Докажем это. Пусть О - центр поворота, - угол поворота против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точки М и N отображаются в точки и (рис. 11). Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними:

,

и угол MON равен углу (для случая, изображенного на рисунке 11, каждый из этих углов равен сумме угла и угла ).

Рис. 11

Из равенства этих треугольников следует, что MN=M1N1, т. е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками и (случай, когда точки О, М и N расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки о на данный угол .

§2. Методическая часть

1. Общие рекомендации

В современной системе образования существует множество различных учебников и программ, составленных для данного учебника. Самый распространенный учебник по математике на Кубани - учебник «Геометрия» под редакцией Атанасян Л.С. По программе, составленной для этого учебника, на изучение темы «Геометрические преобразования плоскости» отводится 9 часов:

Пункт 113. Отображение плоскости на себя1

Пункт 114. Понятие движения2

Пункт 115. Наложения и движения2

Пункт 116. Параллельный перенос1

Пункт 117. Поворот2

Контрольная работа1

Причем пункт «Наложения и движения» необязателен для рассмотрения, и учителя часто не рассматривают эту тему, отдавая час на один из предыдущих пунктов.

В данной работе предлагается вводить геометрические преобразования плоскости через движение. Тематический план будет выглядеть так.

Пункт 1. Отображение плоскости на себя2

Пункт 2. Понятие движения и его свойства3

Пункт 3. Наложения и движения2

Пункт 4. Поворот2

Пункт 5. Параллельный перенос и его свойства1

Пункт 6. Существование и единственность

параллельного переноса1

Пункт 7. Равенство фигур1

Контрольная работа1

Всего 13 часов. Данный порядок следования тем углубляет ввод понятий «Преобразования плоскости» и «движение». Так же углубляется обучение решению задач на построение через свойство движения.

2. Поурочное планирование

В данном пункте приведены поурочное планирование и краткие планы уроков, а так же рекомендуемые задания для решения в классе и во вне урочное время.



Урок №1

Тема: Понятие об обратной функции.

Цель: 1. Ввести понятие обратимой, обратной и взаимно обратной функции.

Развитие логического мышления.

Воспитание трудолюбия, ответственности.

Тип урока: изучение нового материала.

План:

Организационный момент (3 мин);

Изложение нового материала(30 мин);

Постановка домашнего задания (5 мин);

Итог урока (2 мин).

Содержание: Данный урок рекомендуется провести в качестве беседы. На данном уровне вводится понятие обратимых, взаимно обратных функций на примере линейной, кубической функции, а так же само определение обратных и обратимых функций. Дети учатся находить обратные функции к данным (на простейших примерах) по определению. Кроме того, обращается внимание, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (биссектрисы I и III четвертей). Все понятия рекомендуется вводить конкретно-индуктивным методом.

Ход урока

1. Приветствие. Проверка готовности класса. Подготовка детей к уроку.

2. У.: Выполним задание: Найти значение функции

в точках



(Выполнение примера).

Данный пример легок и вы все умеете это делать. Но часто в ходе исследования различных функций приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения аргумента, при которых функция принимает данное значение . Некоторые функции принимают различные значения в каждой своей точке, а некоторые (как, например, периодические функции) при различных значениях аргумента принимают одинаковые значения.

Например, найдем значения аргумента, при которых функция

принимает значения

;

Функция

принимает значения

.

Во втором примере мы нашли множество значений аргумента, удовлетворяющих условию. То есть задача «найти значения аргумента, при которых функция принимает данное значение » не всегда решается однозначно. Функции, для которых данная задача решается однозначно, то есть значения функции различны для всех аргументов, называются обратимыми. Если функция обратима, то можно найти однозначную зависимость от . Для функции

мы можем найти такую зависимость. Выразим

:

Последнее выражение является функцией, в котором - аргумент. Вернемся к привычному обозначению функции:

Функция будет обратной к функции , то есть значения одной являются аргументами для другой и наоборот.

Решим пример:

№1. Из соотношений через и выразить каждую из переменных:

1.

В ответе мы получили две функции:



Если в обоих выражения за обозначить аргумент, а сами функции обозначить и , получим

Каждая функция является обратной для другой. Такие функции называются взаимно обратными, а произведенная нами операция - построение взаимно обратных функций.

3. У.: На сегодня мы закончим урок. На дом: построить взаимно обратные функции из выражений:

1.

2.

4. У.: На этом уроке мы познакомились с понятиями обратимой, обратной и взаимно обратных функций. На следующем уроке мы изучим условие существования обратной функции, а так же свойства взаимно обратных функций. До свидания.

Урок № 2

Тема: Существование обратной функции.

Цель: 1. Научиться находить обратную функцию. Найти условия существования обратной функции.

2. Развитие логического мышления, аналогового мышления.

3. Воспитание точности, целеустремленности.

Тип урока: изучение нового материала.

План:

Организационный момент (2 мин);

Актуализация базовых знаний (3 мин);

Проверка домашнего задания(5 мин);

Изложение нового материала(25 мин);

Постановка домашнего задания (3 мин);

Итог урока (2 мин).

Содержание: Данный урок рекомендуется провести в качестве лекции. На данном уроке должна быть рассмотрена теорема об обратной функции, а так же примеры на доказательство существования обратной функции. Ввод понятий рекомендуется провести абстрактно-дедуктивным методом.

Ход урока

1. Приветствие. Подготовка класса к уроку. Постановка темы урока.

2. Фронтальный опрос: Какая функция называется обратной? Какие две функции называются взаимно обратными? Когда мы можем найти обратную функцию?

3. Проверка домашнего задания. Исследование решения.

4. У.: На прошлом уроке мы находили обратную функцию на интуитивном уровне. Сегодня мы рассмотрим вопрос о существовании обратной функции, а так же некоторое свойство взаимно обратных функций. Этот урок мы проведем в форме лекции.

Лекция:

Пусть - произвольная обратимая функция (то есть, предположим, что существует обратная функция). Для любого числа из ее области значений имеется в точности одно значение , принадлежащее области определения , такое, что



Поставив в соответствие каждому это значение , получим новую функцию с область определения и областью значений . Например, для обратимой функции

значение новой функции в произвольной точке задается формулой

Выбирая для аргумента функции привычное обозначение , находим, что

Если функция в каждой точке области значений обратимой функции принимает такое значение , что

,

то говорят, что функция - обратная функция к .

Как показано выше, функцией, обратной к функции

,



является функция

.

Теорема (об обратной функции). Если функция возрастает (или убывает) на промежутке , то она обратима. Обратная к функция , определенная в области значений , также является возрастающей (соответственно убывающей).

Докажите, что функция имеет обратную на указанном промежутке. Построить график функции и обратной:

,

Решение: По теореме об обратной функции, если функция возрастает на промежутке , то она имеет обратную на этом промежутке. Функция

нам знакома и мы знаем, что она монотонно возрастает. Выразим через :



Проведем замену на привычное обозначение, получим

Функция является обратной для функции по теореме об обратной функции. Ее областью определения является промежуток , область значения - .

Заметим, что графики симметричны относительно биссектрисы I четверти. Действительно, это выполняется, так как область определения одной функции является областью значений другой, и наоборот.

5. На этом наша лекция закончена. Домашнее задание: Докажите, что функция имеет обратную на указанном промежутке. Построить график функции и обратной

1., ;

2., ;

Данные задания выполнить так же, как задание, решенное в классе. График обратной функции построить по свойству симметрии.

6. Проверка присутствия. Разрешение вопросов, возникших у учеников.

Урок № 3

Тема: Показательная функция.

Цель: 1. Ввести понятие показательной функции. Изучить ее свойства.

2. Развитие аналогового мышления.

Воспитание точности, целеустремленности.

Тип урока: изучение нового материала

План

Организационный момент (2 мин);

2. Проверка домашнего задания(5 мин);

3. Изложение нового материала(15 мин);

4. Практическая часть (10 мин);

5. Постановка домашнего задания (3 мин);

6. Итог урока (2 мин).

Содержание: Данный урок проводится по стандартной схеме, как он проводится всегда. На данном уроке вводится понятие функции

, где , , ,

а так же изучаются ее свойства и график. В начале урока рекомендуется вспомнить свойства степени.

Ход урока

Приветствие. Подготовка класса к уроку. Постановка темы урока.

Разбор решения домашнего задания.

3. У.: Зафиксируем положительное число и поставим в соответствие каждому числу число . Тем самым получим числовую функцию

,

определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую свойствами степени с рациональным показателем. При функция



постоянна, так как

для любого рационального.

Нанесем несколько точек графика функции

,

предварительно вычислив с помощью калькулятора значения на отрезке с шагом , а затем с шагом . Продолжая мысленно такие же построения с шагом , и т.д., мы видим, что получившиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения в рациональных точках

.

Построив достаточно большое число точек графика функции

,

можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция, отличие состоит в том, что функция



убывает на R.

Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа для каждого иррационального, что функции, задаваемые формулами

и ,

будут непрерывными, причем функция возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой.

Определение. Функция, заданная формулой

(где,),

называется показательной функцией с основанием .

Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса).

1.Область определения - множество R действительных чисел.

2. Область значений - множество R всех положительных действительных чисел.

3.При функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает на множестве R.

4. При любых действительных значениях и справедливы равенства



Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Свойства 3 и 4 означают, что для функции

,

определенной на всей числовой прямой, остаются верными свойства функции

,

которая сначала была определена только для рациональных степеней

4. Решим несколько примеров:

Перечислить свойства функций и построить эскизы графиков:

1. ;

Решение: Даная функция является показательной. Следовательно, область ее определения - вся числовая прямая , область значения - .

Так как основание степени больше единицы, то функция является возрастающей.

График данной функции проходит через точку .

4. Данное задание выполнить для следующих функций:

; ; ;

5. Домашнее задание: Перечислить свойства функций и построить эскизы графиков

; ; ; .

6. На этом наш урок закончен. Проверка присутствия. Разрешение вопросов, возникших у учеников.

Урок № 4

Тема: Показательная и логарифмическая функции.

Цель: 1.Закрепить понятия показательной функции, ее свойства. Изучить логарифмическую функцию, ее свойства.

Развитие аналогового и ассоциативного мышления.

Тип урока: комбинированный.

План

Организационный момент (3 мин);

Проверка домашнего задания (5 мин);

Самостоятельная работа (12 мин);

Изучение нового материала (15 мин);

Постановка домашнего задания (3 мин);

Итог урока (2 мин).

Ход урока

Приветствие. Сообщение темы урока.

Проверка домашнего задания. Разбор решения.

Самостоятельная работа:

Перечислить свойства функций и построить эскизы графиков:

I вариант:

II вариант:

4. У.: Функция

, где , ,

обладает свойствами, которые гарантируют существование обратной функции:

1. Область определения .

2. Область значения .

3.Функция

возрастает при и убывает при .

Эти свойства обеспечивают существование функции, обратной показательной, определенной на и имеющей областью значений .

Эта обратная функция обозначается



(игрек равно логарифм числа по основанию ) и называется логарифмической. Здесь (основание логарифма) - равно числу - основанию степени. Итак, логарифмическая функция

, где и

- это функция, обратная к показательной функции .

Из теоремы о существовании обратной функции вытекают свойства логарифмической функции:

1. Область определения .

2. Область значения .

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Функция возрастает на при , убывает на при .

5. Грацик функции

симметричен графику функции

относительно прямой

.



Решим такую задачу: Записать обратную функцию для функции

.

Решение: данная функция - показательная. Ее обратная функция - логарифмическая, вида

Основание логарифмической функции равно основанию исходной

Получаем, обратная функция имеет вид

5. На дом задается аналогичное задание: Записать обратную функцию для функций

1.;

2.;

3.;



4.;

5.

6. Конец урока. Проверка присутствия.

Урок № 5

Тема: Логарифмическая и показательная функции.

Цель: 1. Изучение логарифмической и показательной функций; построение графиков логарифмической и показательной функции. Подвести к понятию «логарифм».

2. Развитие логического мышления.

Тип урока: урок поиторения.

План

Организационный момент (2 мин);

Актуализация базовых знаний (3 мин);

Практическая часть (15 мин);

Проверочная самостоятельная работа (13 мин);

Итог урока (2 мин).

Содержание: На уроке повторяются свойства функций

и

Строятся графики функций. Так как детям еще неизвестно понятие «логарифм» и методы его вычисления, то график функции



строится не по точкам, а по симметрии с графиком функции

Ход урока

1. Приветствие. Подготовка класса. Постановка темы.

2. Фронтальный опрос: какая функция называется показательной, логарифмической? Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции?

3. Решить примеры: построить обратную функцию, построить графики:

4. Проверочная работа:

1. Какая функция называется показательной, логарифмической?

2. Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций?

3. Построить обратную функцию, построить графики функций:

5. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников.

Урок № 6

Тема: Определение логарифма. Его свойства.

Цель: 1. Ввести понятие логарифма, изучить его свойства, научиться вычислять логарифмы любых чисел.

2. Развитие логического мышления, креативности, аналогии.

3. Воспитание точности, трудолюбия.

Тип урока: изучение нового материала.

Организационный момент (2мин);

Изучение нового материала (33 мин);

Постановка домашнего задания (2 мин);

Итог урока (3 мин);

Ход урока

Приветствие. Подготовка класса. Постановка темы.

У.: На прошлых уроках мы рассматривали логарифмическую функцию, не задаваясь вопросом «что такое логарифм?». Рассмотрим функцию

Зная значение показателя , мы находим значение степени. Когда мы рассматриваем обратную функцию, мы знаем значение степени , а находим показатель .

Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени в которую необходимо возвести , чтобы получить число . Обозначается

Например:

.

Здесь 9 - значение степени, 2 - показатель степени. Тогда



Запишите с помощью логарифма выражения:

; ; ; .

Проверьте справедливость равенств;

Решим пример: вычислить

Решение: логарифм - это показатель степени, в которую необходимо возвести основание 2, чтобы получить число 8. Такое число 3. То есть

Аналогично найти логарифм чисел 125, 5, 0.2 по основанию 5; 16, 0.25 по основанию 2 (вызываются к доске).

Теперь рассмотрим запись



Здесь число - основание степени, - показатель, - степень. Число - показатель степени, в который надо возвести , чтобы получить то есть

Если в виде логарифма в выражении

,

получится основание логарифмическое тождество:

.

Задание: используя логарифмическое тождество, упростить выражения

Замечание: На практике часто используются логарифмы по основанию 10. их принято обозначать . То есть

3. Домашнее задание:

№1. Запишите с помощью логарифма выражения:



№2. Найдите логарифм чисел по основанию :

25, 5, при

64, , 2 при

16, , при

27, , при

№3. Используя логарифмическое тождество, упростить выражения:

а)

б)



в)

г)

4. Итог урока.

Урок № 7

Тема: Определение логарифма. Его свойства.

Цель: 1. Изучить свойства логарифмов, научиться вычислять логарифмы любых чисел. Ввести понятие «логарифмирование»

2. Развитие логического мышления, креативности, аналогии.

3. Воспитание точности, трудолюбия.

Тип урока: изучение нового материала.

План

1. Организационный момент (2мин);

2. Проверка домашнего задания (3 мин);

3. Изучение нового материала (30 мин);

4. Постановка домашнего задания (2 мин);

5. Итог урока (3 мин);

Ход урока

1. Приветствие. Подготовка класса. Постановка темы.

2. Проверка домашнего задания. Разбор решений.

3. Вводится понятие операции «логарифмирование»: логарифмирование - операция взятия логарифма по определенному основанию какого-либо выражения, переход от показательного вида выражения и логарифмическому.

Вводятся свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытесняющие из свойств показательной функции:

При любом

и любых положительных и выполнены равенства:

Для любого действительно .

Решим примеры;

№1. Прологарифмируйте по данному основанию:

по основанию 3.

Решение: Зная свойства логарифмов, имеем:

№2. Найдите , если:



Решение: Упростим правую часть тождества:

Получаем:

Отсюда

4. Домашнее задание:

№1. Прологарифмируйте по данному основанию:

При : ; ; .

При : ; ; .

№2. Найдите , если:

.

5. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников

Урок № 8

Тема: Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Цель: 1. Ознакомиться с видами уравнений и неравенств. Научиться решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

2. Развитие логического и аналогового мышления.

3. Воспитание терпимости.

Тип урока: комбинированный.

1. Организационный момент(2 мин);

2. Самостоятельная работа (15 мин);

3. Изучение нового материала(10 мин);

4. Практическая часть (8 мин);

5. Постановка домашнего задания (3 мин);

6. Итог урока (2 мин).

Ход урока

1. Организационный момент: проверка готовности класса, приветствие, сообщение темы урока.

2. Самостоятельная работа:

1) Найти :



I вар.

II вар.

2) Вычислить (используя свойства логарифмов):

I вар.

II вар.

3. Изучение нового материала.

У.: На этом уроке мы переходим к решению показательных уравнений. Рассмотрим простейшее показательное уравнение:

,

где и .

принимает только положительные значения, поэтому при



уравнение не имеет решений.

Пусть

Тогда, в силу монотонности функции

,

уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, необходимо представить в виде

Очевидно, что является решением уравнения

Пример 1. Решим уравнение

Решение:

, а .



Получаем:

и , то есть .

Пример 2. Решить уравнение

.

Так как

, то

пришли к квадратному уравнению, решениями которого являются числа 3 и -1.

Пример 3.

Сделаем замену переменой

Тогда получим

Решениями этого уравнения являются



Решая уравнения

и ,

Получаем

4. Решить уравнения:

1)

2)

Решить систему:

5. Домашнее задание:

Решить уравнения



Решить систему

6. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников

Урок № 9

Тема: Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Цель: 1. Ознакомиться с видами уравнений и неравенств. Научиться решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

2. Развитие логического и аналогового мышления.

3. Воспитание терпимости.

Тип урока: комбинированный.

План:

1. Организационный момент(2 мин);

2. Изучение нового материала(5 мин);

3. Практическая часть (13 мин);

4. Самостоятельная работа (15 мин);

5. Постановка домашнего задания (3 мин);

6. Итог урока (2 мин).

Ход урока

1. Организационный момент: проверка готовности класса, приветствие, сообщение темы урока.

2. Теперь мы переходим к решению показательных неравенств. Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве функции



она возрастает при

и убывает при

Пример 1. Решим неравенство

Тогда

Так как

убывает, данное неравенство равносильно неравенству

,

откуда . Ответ .

Все остальные неравенства решаются методом сведения к простейшим.

3. Решить неравенства:



1) ;

2)

3)

4)

4. Самостоятельная работа:

1) решить уравнения:

2) решить неравенства:

5. Домашнее задание:

1) решить неравенства:



6. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников

Урок № 10

Тема: Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Цель: 1. Ознакомиться с видами уравнений и неравенств. Научиться решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

2. Развитие логического и аналогового мышления.

3. Воспитание терпимости.

Тип урока: изучение нового материала

План:

1. Организационный момент(2 мин);

2. Изучение нового материала (10 мин);

3. Практическая часть (18 мин);

4. Постановка домашнего задания (3 мин);

5. Итог урока (2 мин).

Ход урока

1. Организационный момент: проверка готовности класса, приветствие, сообщение темы урока.

2. рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение



Методы решения логарифмических уравнений не отличаются от методов решения показательных уравнений: представляем как

,

Тогда

- решение данного уравнения. Но при решении данного уравнения необходимо найти область определения подлогарифмической функции либо проверять найденные решения.

Пример 1. Решить уравнение

.

Так как

,

мы можем перейти к решению уравнения

.

Его корни



.

Проверка покажет, что оба корня удовлетворяют уравнению.

Пример 2. Решить уравнение

Пример 3. Решим неравенство

Число равно

.

Поэтому данное неравенство равносильно:

.

Логарифмическая функция с основанием убывает, поэтому второму неравенству удовлетворяют такие, что

, откуда

Это уравнение определено для тех значений , при которых выполнены неравенства



.

Для этих данное уравнение равносильно уравнению

,

из которого находим, что

.

Го число

не удовлетворяет условию

.

Следовательно, уравнение не имеет решения.

3. Решить уравнения:

Решить неравенства:



4. Домашнее задание

1) Решить уравнения

2) Решить неравенства:

3) Решить систему:

6. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников



Урок № 11

Тема: Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Цель: 1. Ознакомиться с видами уравнений и неравенств. Научиться решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

2. Развитие логического и аналогового мышления.

3. Воспитание терпимости.

Тип урока: комбинированный.

План:

1. Организационный момент(2 мин);

2. Проверка домашнего задания (3 мин);

3. Практическая часть (15 мин);

4. Самостоятельная работа (15 мин);

5. Постановка домашнего задания (3 мин);

6. Итог урока (2 мин).

Ход урока

1. Организационный момент: проверка готовности класса, приветствие, сообщение темы урока.

2. Разбор решения домашнего задания.

3. решение примеров:

1) решить уравнения:



2) решить системы:

4. Самостоятельная работа

1) решить уравнения:

2) решить неравенства:

5. Домашнее задание: «Просмотреть материал последних двенадцати уроков и подготовиться к контрольной работе».

6. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников.



Урок № 12

Тема: Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Цель: 1. Проверить усвоение знаний, их уровень.

2. Развитие логического и аналогового мышления.

3. Воспитание точности, трудолюбия, серьезности.

Тип урока: контролирующий.

План:

1. Организационный момент(2 мин);

2. Контрольная работа (35 мин);

3. Итог урока (3 мин).

1. Приветствие. Подготовка к контрольной работе.

2. Контрольная работа.

№1.Найти обратную функцию и построить их графики:

.

№2.Доказать:

№3.Решить уравнения:



.

№4.Решить неравенства:

.

№5.Решить систему:

3. Подведение итогов урока. Разрешение вопросов учеников

Примечание: В связи с тем, что детей ждет сдача единого государственного экзамена, контрольную работу можно провести в форме ЕГЭ (в целях подготовки).



Заключение

По большинству программ на изучение темы показательная и логарифмическая функция отводится от 13 до 15 уроков для общеобразовательного класса. Предложенная программа не отличается от остальных и рассчитана на 13 уроков (1 час - «запасной»). Изложение теоретического материала можно вести по учебникам А.Н.Колмогорова, М.И.Башмакова.

В процессе работы была произведена попытка оптимизации программы отдельно взятой темы. При написании работы использовались данные эксперимента, произведенного в СОШ№7 ст. Полтавской Красноармейского района в 1999-2000 учебном году. Эксперимент проводился в общеобразовательном классе (11 «В»). Для сравнения взяли классы 11 «А» (класс углубленного изучения математики) и 11 «Б» (общеобразовательный), в которых изучение материала велось по традиционной программе. По итогам контрольной работы 11 «А» класс показал средний балл 4,4; 11 «Б» - 3,9; 11 «В» 4,3. Результаты эксперимента показали, что данная система изучения темы «Показательная и логарифмическая функции» может с успехом применяться в школе: средний оценочный балл при использовании данной системы на 10,25% выше, чем при использовании стандартной программы (в общеобразовательном классе) и на 2,33% меньше, чем в профильном классе.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 кл. общеобразовательных учреждений под ред. Колмогорова А. Н. - М.: Просвещение, 2002г. - 384 с.

2. Ж. «Математика в школе» №6 - 2003, №4, 5, 6 - 2002.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 кл. общеобразовательных учреждений под ред Башмакова В. И. - М.: Просвещение, 1998г. - 362с.

Размещено на Allbest.ru