Методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Пусть событие В зависит от события А. Уловную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р(В/А). и в дальнейшем встречаясь с такой записью, учащиеся без труда должны узнавать и понимать, что речь идет о вероятности события В, если произошло событие А.

При выведении формулы умножения вероятностей можно воспользоваться рисунком.

Событию А благоприятствуют m событий, событию В благоприятствуют k событий, событию А?В благоприятствуют r событий.

Если событие А произошло, то событию В благоприятствуют r и только r событий A_i, благоприятствующих А?В.

Р(В/А) =r\m=(r\n)\(m\n)=P(A?B) \P(A);

По аналогии формулу Р(А/В) учащиеся могут ввести самостоятельно

Р(А/В) =r\k=(r\n)\(k\n)=P(A?B) \P(B)

На основании этих формул делаем вывод: P(A?B) =Р(В) *Р(А/В) =Р(А) *Р(В/А).

Учащимся следует обратить внимание на то, что выведенное правило умножения имеет место лишь в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместны.

На формирование умений у учащихся решать задачи с применением правила умножения вероятностей предлагается решить ряд задач.

1. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

- вытянуты два валета;

- вытянуты две карты пиковой масти;

- вытянуты валет и дама;

2. В ящике 5 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

3. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все 3 вынутые детали окажутся стандартными.

§2. Описание опытной работы

В качестве основной цели опытно - экспериментальной работы была представлена апробация предложенных методических рекомендаций по изучению основных теоретико-вероятностных вопросов в школьном курсе математики в классах с углубленным изучением математике.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработать содержание цикла уроков по теории вероятностей;

- проверить целесообразность разработанных методических рекомендаций.

Основная гипотеза опытной работы: включение элементов в теории вероятностей в математическую подготовку учащихся способствует общему повышению интеллектуального уровня учащихся и качества их математической подготовки.

При проведении опытной работы мы пользовались следующими методами:

- наблюдение за процессом усвоения знаний учащимися;

- беседы с учителем математики этого класса и учениками;

- проведение диагностической контрольной работы;

количественная и качественная обработка полученных данных.

Эксперимент был проведен в средней школе № 156 города Москвы в 9 классе.

В классе 20 учащихся. Из них 5 имеют высокий уровень подготовки, материал усваивается ими без пробелов в знаниях; трое имеют низкий уровень подготовки, усвоение материала или происходят с большими трудностями; остальные учащиеся занимаются хорошо.

Ребята легко вступают в контакт с педагогом, проявляют интерес к получению знаний, охотно помогают учителю в подготовке и проведении занятий.

Учащиеся занимаются на повышенном уровне обучения математике. Для хорошо подготовленных учащихся учитель предусматривает индивидуальные задания, а со слабыми, занимается дополнительно.

При обучении учащихся математике учитель использует методы проблемного обучения, эмпирические методы (наблюдение, опыт, измерение), метод сравнения и аналогии. Часто на уроках педагог организует самостоятельную работу и придерживается индивидуализации в обучении.

Было проведено семь уроков. Ниже представлены основные содержательные компоненты теоретического материала темы, изученные на уроках;

- виды событий (достоверные, невозможные, случайные);

- вероятностное пространство;

- классическое определение вероятности;

- определение события;

- вероятность события;

- теоремы о сумме и произведений вероятности событий.

Дидактический процесс был ориентирован на усвоение выделенных теоретических основ и на формирования навыка решения типовых задач, представленных в Гл I §3.

Проектирование процесса обучения осуществлялось в направлении реализации следующих методических положений:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задач целесообразно предварить постановкой опытов;

- формулировка определений основных теоретико-вероятностных понятий, формулы сложения и умножения вероятностей полезно, наряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа важно обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводится в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительное решение специально подобранных задач способствует самостоятельному открытию учащимися теорем, их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- целесообразно использование различных форм проведения учебных занятий: лекций, уроков-практикумов и других.

На первом уроке проведенном в форме беседы с учащимися, были выделены 3 класса событий: достоверные, невозможные, случайные. Ребята с интересом приняли участие в беседе: приводили примеры событий, классифицировали предложенные учителем события, выделяли их в группы. На этом же уроке были представлены заранее подготовленные сообщения учеников на темы: "теория вероятностей как наука", "применение теории вероятностей". Было введено понятие вероятностного пространства. С целью подготовки введения этого понятия был проведен опыт, описанный в Гл III. §1.

По окончанию опыта ребята сами выдвигали гипотезу о возможных множествах вероятностного пространства одного и того же испытания. Урок был интересен учащимся, так как работа была нетрадиционной; каждому ученику, была дана возможность лично убедится, в справедливости теоретических фактов.

На втором уроке было рассмотрено классическое определение вероятности события. Урок был проведен в форме лекции, содержание которой составил материал, представленный в Гл. II. §5.

На уроке был выявлен алгоритм решения задач по классическому определению вероятности. Очень продуктивной оказалась работа по геометрическому представлению формулы нахождения вероятности события по классическому определению, что помогло учащимся хорошо ее запомнить. Дальнейшее аналогичное интерпретирование теоретического материала позволяет учащимся систематизировать свои знания по теории вероятностей и успешно применять их при решении задач.

Третий урок был посвящен решению задач по классическому определению вероятности. Дидактический материал представлен в Гл III. § 1.

На четвертом и пятом уроках были изучены теоремы о сумме и произведении вероятности событий. При проведении этих уроков были использованы дидактические материалы, представленные в Гл III. § 1.

На шестом уроке рассматривались решения задач на применение теории суммы и произведения вероятностей событий, дидактический материал для которого представлен в Гл III. § 1.

На последнем седьмом уроке была проведена разработанная контрольная работа, представленная в приложении, с целью проверки качества знаний учащихся по теме "элементы теории вероятностей".

Задания первого и второго уровней были предложены с целью проверки знаний формул теорем о сумме и произведении вероятностей событий.

Задание третьего уровня преследует цель анализа знаний по классификации событий на достоверные, невозможные и случайные.

Задание четвертого уровня направлено на проверку умения решать задачи по классическому определению вероятности.

Большинство учащихся (57%) справилось с работой на "отлично", 32% - "на хорошо", остальные 11% - "на удовлетворительно".

Анализируя результаты работы учеников, можно сделать вывод, что большая часть учащихся усвоила основные теоретико-вероятностные вопросы и умеет решать задачи с применением классического определения вероятности.

Такие результаты возможно связанны с применением в процессе обучения разработанных методических рекомендаций.

Заключение

На основе проведенного анализа психолого-педагогической и методической литературы, а так же проведенной опытно-экспериментальной работой можно сделать выводы.

1. Основной целью изучения темы "элементы теории вероятностей" в классах с углубленным изучением математики как дедуктивной системе знаний; систематизация некоторых способов решения задач; создание условий для понимания основной идеи практической значимости теории вероятностей.

2. Анализ содержания темы элементы теории вероятностей различных учебных пособий, предназначенных для изучения в школе, позволяет в качестве основного учебного пособия предложить любое пособие.

3. При изучении теории вероятностей считаем целесообразным использование следующих методических рекомендаций:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задачи предварить постановкой опытов;

- формулировки определений основных теоретико-вероятностных вопросов, формулы сложения и умножения возможностей на ряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводить в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительно подбирать задачи, способствующие самостоятельному открытию учащимися теорем их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- использовать различные формы проведения учебных занятий: лекций, уроков -практикумов и других.

Библиография

1. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе [Текст] / Я. Бродский // Математика: прил. к газ. "Первое сентября".- 2004.- 23-29 авг. (№ 31).- С. 3-4.

2. Бунимович, Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики [Текст] / Е.А. Бунимович // Математика в школе.- 2002.- № 4.- С. 52-58.

3. Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика [Текст]: 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев.- М.: Дрофа, 2002.- 160 с.

4. Бунимович, Е.А. Методические указания к теме «Статистические исследования» [Текст] / Е.А. Бунимович, С.Б. Суворова // Математика в школе.- 2003.- № 3.- С. 29-36.

5. Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях [Текст] / М. Глеман, Т. Варга - М.: Просвещение, 1979.- 176 с.

6. Глотов, Н.В. Вероятность и статистика в школе [Текст]: взгляд биолога / Н.В. Голотов, О.В. Голотова // Математика в школе.- 2002.- № 4.- С. 64-66.

7. Гольдфаин, И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии. [Текст] / И.И. Гольдфаин // Математика в школе.- 2003.- № 3.- С. 50-51

8. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель.- М. Наука, 1969.- 576 с.

9. Зубарева, И.И. Математика. 5 кл. [Текст] : учебник для общеобразовательных учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2003.- 270 c.

10. Зубарева, И.И. Математика. 6 кл. [Текст] : учебник для общеобразоват. учреждений. / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2003.- 264 c.

11. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики [Текст]: Программа для курсов повышения квалификации учителей / В.А. Булычев, Е.А. Бунимович // Математика в школе.- 2003.- № 4.- С. 59-63.

12. Кордемский, Б.А. Математика изучает случайности [Текст]: Пособие для учащихся / Б.А. Кордемский.- М.: Просвещение, 1975.- 223 c.

13. Лютикас, В.С. Факультативный курс по математике[Текст]: теория вероятностей: учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк. / В.С. Лютикас.- М.: Просвещение, 1990.- 160 c.

14. Макарычев, Ю.Н. Алгебра [Текст]: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение.- 2003.- 80 c.

15. Макарычев, Ю.Н. Изучаем элементы статистики [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Математика в школе.- 2004.- № 5.- С. 59-62.

16. Макарычев, Ю.Н. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Математика в школе.- 2004.- № 6.- С. 59-64.

17. Макарычев, Ю.Н. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Математика в школе.- 2004.- № 7.- С. 24-27.

18. Математика. 5 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Г. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Г. Шарыгина.- М.: Просвещение, 2000.- 302 c.

19. Математика. 6 класс[Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, И.Г. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Г. Шарыгина.- М.: Дрофа, 1997.- 302 c.

20. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 1997.- 288 c.

21. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 1999.- 112 c.

22. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 2000.- 287 c.

23. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.- М.: Мнемозина, 2003.- 112 c.

24. Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер.- М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1975.- 112 с.

25. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы [Текст] / отв. лицо: В.А. Болотов // Математика в школе - 2003.- № 9.- С. 2-3.

26. Плоцки, А. Вероятность в задачах для школьников [Текст]: Книга для учащихся / А. Плоцки.- М.: Просвещение, 1996.- 188 с.

27. Реньи, А. Трилогия о математике [Текст] / А. Реньи .- М.: Мир, 1980

28. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2004.- 80 c.

29. Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Г. Секей.- М.: Мир, 1990.- 240 c.

30. Селютин, В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике [Текст] / В.Д. Селютин // Математика в школе.- 2003.- № 4.- С. 63-68.

31. Селютин, В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений [Текст] / В.Д. Селютин // Математика в школе.- 2003.- № 3.- С. 51-56.

32. Студенецкая, В.Н. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы [Текст] / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева // Математика в школе.- 2004.- № 7.- С. 66-72.

33. Студенецкая, В.Н. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы [Текст] / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева // Математика в школе.- 2004.- № 6.- С. 64-70.

34. Тарасов, Л.В. Мир, построенный на вероятности [Текст]: Кн. для учащихся / Л.В. Тарасов.- М.: Просвещение, 1984.- 191 c.

35. Ткачева, М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других [Текст] / М.В. Ткачева // Математика в школе.- 2003.- № 5.- С. 41-48.

36. Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность [Текст]: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова.- М.: Просвещение, 2004.- 112 c.

37. Ткачева, М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики [Текст] / М.В. Ткачева, Е.Н. Василькова, Т.В. Чуваева // Математика в школе.- 2003.- № 9.- С. 56-61.

38. Ткачева, М.В. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы [Текст] / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова // Математика в школе.- 2003.-№ 3.- С. 36-50.

39. Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий и др.- М.: МЦНМО: Моск. учеб., 2004.- 384 c.

40. Федосеев, В.Н. Элементы теории вероятностей для VII - VIII классов средней школы [Текст] / В.Н. Федосеев // Математика в школе.- 2002.- № 4.- С. 58-64.

41. Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова.- Киров, 1994.- 61 с.

42. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст] / сост. В.И. Маркова.- Киров, 2004.- 57

Размещено на Allbest.ru