Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Разработка методики обучения теоретико-вероятностным вопросам в школе. Проведение апробации дидактических материалов по изучению теории вероятностей в классе с углубленным изучением математики. Психолого-педагогический анализ подросткового возраста.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 19.04.2011
Размер файла 183,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АВ и ВА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

Объединение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события е1, е2, е3, е4 а событию В элементарные события е5, е6, е7, е8.

е3

е1

е2

е4

е5

е6

е7

е8

рис.7

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события е1 … е4, е5 … е8. Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В. Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 - элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4 благоприятсвуют и А1, и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединением (или суммой) событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Такое соотношение принято обозначать символом U: С = А U В.

В общем случае: Определение 4. Объединением (или суммой) событий А1, А2, А3,…. Аn называется событие А, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех. Символически А=А1 U А2 U А3 U... . U Аn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

А U В = В U А

(А U В) U С = А U (В U С)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (А U В) U С означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В - элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события e3 e4 e5.

Логично событие С назвать пересечением (или произведением) событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ ?: С = А ? В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. Пересечением (или произведением) событий А1, A2, А3, …, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А = А1 ? А2 ?... ... ? Аn.

е1

е2

е3

е4

е5

е6

е7

Рис.8.

Примеры:

1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"

В-"входящий в подъезд человек светловолосый"

С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"

Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С = А ? В.

2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:

А - "выбранные числа кратны 2"

В - "выбранные числа кратны 3"

С - "выбранные числа кратны 6

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В - е5, е6, е7 (рис 9)

е1

е2

е3

е4

е5

е6

е7

А ? В = O

Ясно, что совместное осуществление А и В невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Определение 6. Два события А и В, пересечение которых - невозможное событие (А ? В = O), называются несовместимыми событиями.

Определение 7. Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

А1 -"выпадение герба при подбрасывании монеты"

А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"

В1 -"выздоровление больного"

В2 -"невыздоровление больного"

С1 -"появление новой кометы в текущем году"

С2 -"непоявление новой кометы в текущем году"

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:

1. Объединение событий каждой из пары - достоверное событие:

А1 U А2 = И

В1 U В2 = И

С1 U С2 = И

2. Пересечение событий каждой из пары - несовместное событие:

А1 ? А2 = O

В1 ? В2 = O

С1 ? С2 = O

Определение 8. Несовместные события А и В называются противоположными, если их объединение является достоверным событием. Пишут В=A или А=.

На языке пространства элементарных событий противоположное событие В представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

А

В

Рис.10.

Примеры.

5) А - попадание при выстреле;

A - промах при выстреле;

6) В - выпадение герба при бросании монеты;

- выпадение цифры при бросании монеты - противоположные события.

§5. Понятие вероятности события

Классическое понятие вероятности события.

Проведем эксперимент, который будет заключаться в однократном бросании игральной кости. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно, можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "когда" так много, что трудно всех их учесть.

Определение 1. Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, т.е. не появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью.

Таблица 1.

Обозначение События

Содержание события

Кол-во элементарных событий благоприятствующих данному событию

А

Выпало четное число очков

3

В

Выпало меньше трех очков

2

С

Выпало менее пяти очков

4

D

Выпало не более пяти очков

5

G

Выпало не менее трех очков

4

U

Выпало более шести очков

0

И

Выпало не более шести очков

6

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2, 4, ….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1 - "номер черного шара, кратный 3", событие В1 - "номер белого шара не больше 5".

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует три равновозможных события {6,12,18}, событию В1 тоже три {1,3,5}. Может быть А1 и B1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Событие

Содержание события

Число элементарных событий всего пространства

Число элементарных событий благоприятствующих данному событию

Отношение

А1

Появление числа кратного 3 На черном шаре

10

3

0,30

В1

Появление числа не большего 5, на белом шаре

8

3

0,375

Из таблицы 2 (представленной выше) можно сделать следующие выводы:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н (число элементарных событий всего пространства).

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 2. Вероятностью случайного события называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р(И)=n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р(O)=0/n=0, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию - равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен от геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1/6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение m/n назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1 раз; статистическая частота Р1 = m1/n;

при подбрасывании кости n+1 раз шестерка выпала m2 раз: статистическая частота Р2 = m2 /(n+1);

при подбрасывании кости N раз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN = mN /N.

Заметим, что для статистических частот р1, р2, р3,…. РN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1/6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметим такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1/6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1/n; m2/(n+1); ... .; mN/N - статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты) Определение 3. Вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний. Это - статистическое определение вероятности случайного события.

Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник АВС. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А)=m/n.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

Аксиомотическое определение вероятности

Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А .

§6. Теоремы сожжения вероятностей

Определение 1. Несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

1 появление 1,2,4 очков при бросании игральной кости;

2) попадание и промах при одном выстреле - несовместимые события.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(АВ) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для двух случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности n случаев.

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =m/n; P(B) =k/n.

Так как события А и В несовместны, то Р(АВ) = (m+k)/n.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события АВ буквой D и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что:

Р(АВС) =Р(DС) =Р(D) +Р(С) =Р(АВ) +Р(С) =Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,..., Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,..., Аn, An+1

Обозначим: А1+А2+...+ Аn =C

Имеем: Р(А1А2...АnAn+1) =P(CAn+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…+Р(Аn), откуда Р(А1А2...АnAn+1) =P(A1) +P(A2) +...+P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(Аi) =?P(Ai) i=1…n.

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле - полные группы событий.

Следствие 1. Если события А1, А2,..., Аn, образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ?P(Ai) =1.

Доказательство. Так как события А1, А2,..., Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них - достоверное событие.

P( А1 А2... Аn) =1

Т. к. А1, А2,..., Аn - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P( А1 А2... Аn) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ?P(Ai),

откуда ?P(Al) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятие "противоположных событиях".

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А A=И, Р(И) =1, АA= ?, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А A) =Р(А) +Р(A), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события A, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(A).

Теорема 2. Для любых двух событий справедливо равенство:

Р(АВ) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)

Доказательство. Положим всего исходов N, благоприятствующих событию А - К? благоприятствующих событию В - L, а благоприятствующих совместному появлению А и В - М. Следовательно благоприятных исходов для события АВ : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

§7. Теорема умножения вероятностей

Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.

Перед тем как излагать теорему пересечения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

Определение 1. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.

Определение 2. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А изменяется в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Примеры.

1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

А - «появления герба на первой монете»

В - «появление герба на второй монете»

В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

А - «появление белого шара у первого лица»

В - «появление белого шара у второго лица»

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна , если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной , из чего заключаем что событие А зависит от события В.

Определение 3. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А/В) = Р(А).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)

Доказательство.

Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям.

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события А и В несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = =L/n; P(A) =m/n

Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.

Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\m.

Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так:

Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В) (2).

Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А).

Будем предполагать, что Р(А) ?0.

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) =Р(А)*Р(В/А),

Р(АВ) =Р(В)*Р(А/В), откуда

Р(А)*Р(В/А) =Р(В)*Р(А/В) или согласно условию (2)

Р(А)*Р(В/А) =Р(В)*Р(А).

Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:

Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство: Р(АВ) =Р(А)*Р(В) (3)

Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)

По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(А)*Р(А/В). (5)

Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(А), то придем к (3), причем если Р(В) ? 0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) и (5) следует, Р(А)*Р(В) = Р(А/В)*Р(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.

Пример 2.

В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

А - появление двух белых шаров.

Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=А1А2, где А1 - появление белого шара, при первом вынимании, А2 - появление белого шара при втором вынимании.

По теоремам умножения вероятности Р(А)=Р(А1)*Р(А2/А1) =2\5*1\4=0,1.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Определение 4. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем - теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ?P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1АН2А…НnA.

Так как гипотезы Н1, Н2, …, Нn, несовместны, то комбинации Н1А, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+…+Р(НnA)=?P(Hi)*P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) что и требовалось доказать.

Пример 1.

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

Н1 - выбор первой урны

Н2 - выбор второй урны

Н3 - выбор третьей урны

Н1Н2Н3 - полная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3) =1\3

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Ответ: 23\36

Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменится вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(AНi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P(Hi/A) =P(Hi)*P(A/Hi)/P(A),(i=1,2,3,... . n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi)*P(A/Hi)/?P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,3,... . n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. На фабрике 30% продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции - машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Решение.

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1 - изделие произведено машиной I

H2 - изделие произведено машиной II

H3 - изделие произведено машиной III

P(H1)=0,30; Р(Н2)=0,25; Р(Н3)=0,45

Р(А/Н1)=0,01,

Р(А/Н2)=0,015

Р(А/Н3)=0,02

Р(А)=0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,01575,

Р(Н1/А)=(0,01*0,30)/0,015=0, 20

Ответ: 20% всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§9. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p = p(A) , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q = P(A) = 1-p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения

Глава III. Методические особенности изучения основ теории вероятностей

§1. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Виды событий

Изучение теории вероятностей начинается с введения понятий событий: достоверных, невозможных и случайных. Это можно сделать следующим образом: в жизни вы часто слышали или употребляли в разговоре следующие фразы: "Важное событие", "Вот это событие", и т.д. А что же такое событие? Как вы понимаете это слово? Приведите примеры событий. После этого учитель может подвести итог, введя определенные события (это исход наблюдения или опыта).

Рассмотрим следующие события:

1) при понижении температуры до 0° вода превращается в лед;

2) при понижении температуры вода закипает;

3) при бросании монеты выпал герб.

Охарактеризуем эти события: насколько достоверно каждое из них? Вероятно ли то, что они утверждают? Первое верно, т. к вода обязательно замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие называется достоверным. Второе никогда не произойдет, поэтому оно называется невозможным. К какому же виду событий следует отнести третье? Всегда ли оно имеет место? Нет! Может случится, что выпадет решка и сто выпадет герб. Поэтому это событие называется случайным. Вводится определение случайного события (это такой исход наблюдения или эксперимента, который может произойти, а может не произойти).

После беседы учащимся целесообразно предложить устную работу. Ее содержание может быть следующим:

1. Определить вид следующих событий.

При нагревании проволоки ее длина увеличилась;

При бросании игральной кости выпало 4 очка;

При бросании монеты выпала решка;

При осмотре почтового найдены 3 письма;

При бросании игральной кости количество выпавших очков есть натуральное число;

При стрельбе по мишени стрелок дважды попал в цель.

2. Являются ли следующие события невозможными?

Получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике;

Замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма.

3. Приведите примеры событий, которые вы считаете:

Достоверными;

Невозможными

Случайными

Целесообразно подготовить сообщения учеников на темы:

1) Теория вероятности как наука.

2) Применение теории вероятности.

Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.

Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: "Какое из событий вероятней? ".

Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.

Например. Что вероятнее - появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?

Решение.

Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.

Следовательно, эти события равновероятные.

После изучения данного материала, ученики должны уметь:

Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;

Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;

Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

Вероятностное пространство

При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.

Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.

Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.

В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:

1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аk -выпадение k очков;

2. {В0, В1}, В0 - выпадение четного числа очков, В1 - выпадение нечетного числа очков;

3. {C1,C2}, С1 - выпадение очков меньше или равно 4, С2 -выпадение очков больше или равно 5.

Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1 - выпадение нечетного числа очков, С2 - выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!

Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать "единицу измерения". Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.

С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.

Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1/n, где n - число исходов.

Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.

Полезно выполнить следующие упражнение:

Вероятностное пространство задано следующей таблицей:

Исход

Х1

Х2

Х3

Х4

Вероятность

0,2

0,1

0,5

0,4

Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?

Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.

Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.

1. Классическое определение вероятности.

Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.

Алгоритм:

1) обозначить событие (Н1)

2) сосчитать число всех исходов (n)

3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m

4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.

Задача 1. В урне 3 красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?

Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий

"выпало 3 очка"

"выпало 6 очков"

"выпало четное число очков"

"выпало простое число очков"

"число выпавших очков кратно 3".

Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?

Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =m\n, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)

Рис.15.

Н - случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.

Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:

1) если А некоторое событие, то 0?Р(А) ?1;

2) P(И) =1, где И-достоверное событие;

3) P(V) =0, где V-невозможное событие.

2. Статистическое определение вероятности.

Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.

Теоремы сложения

Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.

Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.

Задача 1. Экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Решение.

Пусть событие А - номер работы кратный 10. Событие В-номер работы кратный 11, тогда событие АВ состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =9\90 (1), и Р(В) =8\90 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(АВ) =17\90 (3).

Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события АВ и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(АВ) =Р(А) +Р(В)

Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся могут самостоятельно ее сформулировать.

Решение задачи может быть использовано для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.

1) подсчет числа всех исходов испытания

2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;

3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события АВ.

Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.

n - число всех исходов испытания.

Р(АВ) =Р(А) +Р(В)

События

Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события

Вероятность события

А

m

m\n

B

k

k\n

AB

m+k

(m+k)\n

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k - величины площадей нарисованных фигур.

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 рублей?

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

Алгоритм

Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму

Ввести обозначение для заданных величин

А - выигрыш не менее 25 рублей

А1 - выигрыш равен 25 рублям

А2 - выигрыш равен 100 рублям

А3 - выигрыш равен 200 рублям

Подобрать формулу

Т. к. куплен один билет, то А=А1UA2UA3

Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому

Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3)

P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001

P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061

Ответ

0,061

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) = P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.

Для решения в сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:

1) обозначить событие A - "выпадение герба не состоялось"

2) найти вероятность этого события Р(A) = ?

3) И = AUA - достоверное событие

4) Р(И) = Р(AUA) = P(A) +P(A) =1 - по теореме 1.

5) Р(A) =1 - Р(A) = 1 - 1\4 =3\4.

Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.

Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.

С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.

Задача 4. Стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.

Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.

Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:

Р(А) =m\n, P(B) =k\n, P(A?B) =L\n.

Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: "произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе" и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-L\n=m\n+k\n-L\n Подставляя значения получим:

P(AUB) =P(A) +P(B) - P(A?B)

Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы

Р(AUB) =P(A) +P(B)

Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Р(AUB) =

Где m,k,L,n - величины площадей изображенных фигур.

Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.

Будем продолжать работать по алгоритму.

Алгоритм

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

Ввести обозначения для заданных величин

А-появление герба при подбрасывании монеты;

В-появление герба при подбрасывании второй монеты. Найти С=AUB

Подобрать формулу

Т. к. АиВ - совместные события, то Р(С) =Р(AUB) =P(A) +P(B) - P(A ?B)

P(A) =1\2,P(B) =1\2,P(A?B) =1\4

P(C) =1\2+1\2-1\4=3\4

Ответ

3\4

Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.

Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать

Р(АUBUC) =P(A) - P(B) - P(C) - P(A?B) - P(A?C) - P(B?C) +P(A?B?C)

Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.

Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).

I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).

1. в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.

3. Консультационный пункт института получает пакеты С контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А = 0,7; из города В = 0,2. найти вероятность того, сто очередной пакет будет получен из города С.

II. (на применение теоремы о вероятности противоположного события)

1. Вероятность того, что день будет дождливый р равна 0,7. найти вероятность того, что день будет ясным.

2. В денежно-вещевой лотереи на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

3. Берется на удачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

III. (на применение теоремы о вероятности суммы событий, которые могут быть совместными)

1. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) двух орудий.

2. Подбрасываются две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

После изучения теорем о вероятности суммы событий учащиеся должны уметь: вычислять вероятность случайного события, используя правила вычисления вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных.

Для этого удобно пользоваться алгоритмом, который ученикам рекомендуется зафиксировать в тетрадь:

1. Ввести обозначение для всех количеств. Присвоить имена событиям, участвующим в задании. Те вероятности, которые указаны в задаче явно, сразу выписать (если доля задана в процентах - заданные проценты поделить на 100).

2. Те вероятности, которые заданы не в явном виде сосчитать и выписать. Указание к шагу.

Считать вероятности по следующим правилам.

А) Если задано общее число исходов n и число благоприятных событию А исходов m (или их можно сосчитать), то Р(А) =m\n;

Б) Если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса - полное пространство событий ?), то нарисовать ее, а внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятным событию А, вычислить площади фигур А и ?, сосчитать отношение этих фигур P(А) =S(A) \S(?);

В) Если по заданным в задаче вероятностям надо сосчитать вероятность еще одного события (С), то надо выписывать формулу связи этого события с теми событиями, вероятность которых известны. (А, В,). После этого воспользоваться формулами:

С=А=>Р(С) =1-Р(А);

С=А+В=>Р(С) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ).

Для закрепления этого алгоритма в системе задач, следует предусмотреть задачи, связанные с геометрическим определением вероятности. Примером такой задачи может быть следующая.

Задача 6. в квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате - равновозможное, окажется внутри второго квадрата.

Согласно алгоритму, учащийся должен выполнить рисунок и заполнить таблицу, подобрав к алгоритму конкретное содержание.

Алгоритм

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

Ввести обозначения для заданных величин

а-длинна стороны квадрата;

а/2-длина стороны второго квадрата;

S(?) - площадь квадрата;

S(A) - площадь внутреннего квадрата;

А-точка попала во внутренний квадрат;

S(?) =а2, S(A) =a2\4, найти Р(А) ?

Подобрать формулу

Р(А) =S(A) \ S(?) = a2\4\a2=1\4=0.25

Ответ

0,25

На контрольно-коррекционном этапе изучения теорем о вероятности суммы независимых событий считаем возможным предложить самостоятельную работу, с целью проверки умения учащихся применять изученные формулы в конкретных ситуациях, атак же для выявления пробелов в знаниях.

Перед самостоятельной работой целесообразно провести устную работу с целью повторения правила сложения вероятностей событий и основных формул.

Обсуждение следует сориентировать:

на выяснение правила сложения вероятности несовместных событий;

на определение несовместных событий, с приведением учениками достаточного числа примеров;

на выяснение обобщенного правила сложения вероятностей;

на выяснение символической записи правила сложения вероятностей 2,3-несовместных (совместных) событий;

на выяснение формулы выражающей связь между вероятностями противоположных событий;

Содержание самостоятельной работы может быть следующим:

1. на военных учениях летчик получил задание "уничтожить" 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй 0,008, в третий 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

2. подбрасывается игральная кость. Чему равна вероятность того, что на гранях выпадет 4 и 6 очков.

3. найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате является равновозможным.

4. бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одной цифры.

Цель задания 3: выявить способности учащихся решать задачи, в которых события описываются с помощью геометрических фигур.

Цель задания 4: выявление пробелов в знании формулы сложения двух несовместных событий.

Условная вероятность. Формула умножения

Изучению формулы умножения следует предварить беседу о зависимости одного события от другого, и об условной вероятности. Это можно осуществить на опыте: из ящика в котором 5 белых и 3 черных шара, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность вынуть второй шар белый?

Проводя опыт, учащиеся сталкиваются с двумя ситуациями: когда вероятность вынуть второй шар белый зависит от того, вынут в первый раз шар белый или черный.

Следует пояснить учащимся, что в таком случае будем говорить, что одно событие зависит от другого, а вероятность появления зависимого события условная.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены