Упражнения:

Пример 1: При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:

если b 1, то

а) согласно теореме Виета , b (- ; - 1) ( - 1; + )

б) , решений нет

в) если b = 1, то -2х + 2 = 0; х = 1; b 1; .

Ответ: а) b (- ; - 1) ( - 1; + ); б) таких b не существует; в) х = 1.

1.При каких значениях параметра а уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) а (2; + ); б) а (- ; - 3); в) а (- 3; 2).

2. При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) b (2; + ); б) b (- ; - 1); в) b (- 1; 2).

Пример 2: При каком значении q один корень уравнения равен квадрату второго?

Решение: Если корни и уравнения связаны соотношением , то по теореме Виета

x₁ + x₁² = .

Тогда,

, ; ; .

Пример 3:

5. При каких значениях параметра с уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

6. При каких значениях параметра с уравнение

а) имеет корни;

б) не имеет корней;

в) имеет положительный корень;

г) имеет отрицательный корень?

Ответы: 1) а) При с > 8; б) при с < - 8; в) с = - 8 или с = 8.

2) а) с (- ; -) (-; + ); б) с = -); в) с (-; + ); г) с (- ; -).

Для закрепления:

1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

2. При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найти a.

4. В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найти a.

5. При каких значениях a сумма корней уравнения равна сумме квадратов корней?

6. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

7. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

8. При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

9.При каких значениях a уравнение имеет корни разных знаков?

10. При каких значениях a уравнение имеет корни x₁ и x₂ такие, что ?

Тема 3. Задачи связанные с исследованием квадратного трехчлена.

Следующим шагом формирования содержательно-методической линии задач с параметрами является системное исследование графика квадратичной функции -- параболы с одновременным рассмотрением вопроса о нахождении решений не только уравнения, но и соответствующего неравенства. В этом просматривается многоплановость трактовки графической модели: точка -- как модель некоторого числа и, одновременно, точка -- как граница некоторого множества. Данный подход реализован только в учебнике А.Г. Мордковича.

Расположение графика в зависимости от знаков первого коэффициента и знака дискриминанта, а также отвечающие этому решения квадратных уравнений и неравенств отобразим в виде таблицы.



Выделим задачи, в которых благодаря параметрам на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; уравнение имеет два различных корня, положительные корни и т.д.

Пример 1. Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение x² - 2kх + k² + 2к -1 = 0 имеет два различных корня?

Решение. Условие наличия различных корней уравнения равносильно условию положительности его дискриминанта. Поэтому, находя дискриминант: получим, что искомые значения параметра будут являться решениями неравенства. Таким образом, при любом из найденных значений параметра частное уравнение будет иметь два различных корня. Ответ: (- ; 0,5)

Пример 2. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Решение: естественно начать решение со случая а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а  0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 2а принимает значение, равное нулю, при а = .

Ответ: а = 0 или а = .

Пример 3. При каких а уравнение имеет два различных корня?

Решение: данное уравнение является квадратным относительно переменной х при а  0 и имеет различные корни, когда его дискриминант , т.е. при а < 1. Кроме того, при а = 0 получается уравнение , имеющее один корень. Таким образом, а (- ; 0) (0; 1).

Ответ: а (- ; 0) (0; 1).

Рассмотрим несколько примеров, где значения параметра расставляют «ловушки».

Пример 4. При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а  0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (- 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: или .

Пример 5. (для самостоятельного решения): При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение: Стандартный шаг - начать со случаев а = 0 и а = - 3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = - 3 решением уравнения является любое действительное число. При а  0 и а  - 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого положителен при а > - .

Опыт решения предыдущего примера подсказывает, что из промежутка ( -; + ) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = - 3.

Ответ: а = - 3, или - < а < 0 или а > 0.

Неотрицательность дискриминанта квадратного трехчлена есть необходимое и достаточное условие наличия корней этого трехчлена. В свою очередь его отрицательность -- необходимое и достаточное условие сохранения знака значений при всех значениях переменной.

Представим критерии того, что квадратный трехчлен принимает значения одного знака на всей числовой прямой.

Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен (а² -1)х² + 2(а-1)х + 2 положителен для любого х.

Решение. Согласно приведенной выше таблице, условия, задающие искомые значения параметра, следующие:

 Т.о. получаем систему неравенств

Первое неравенство системы -- условие положительности старшего коэффициента квадратного трехчлена, второе -- условие отрицательности его дискриминанта. Следует отметить, что только условие отрицательности дискриминанта квадратного трехчлена при решении неравенства отнюдь не означает отсутствие решений этого неравенства.

Ответ: .

Тема 4. Задачи на расположение квадратного трехчлена.

Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена.

Первый тип - задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки.

Теорема 1. Пусть f(x) = ах² + bx + с - квадратичная функция, х₁, х₂ -действительные корни, N - какое-нибудь действительное число. Для того чтобы корни квадратного трехчлена были меньше, чем число N, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число M, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Теорема 3. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число К, а другой больше числа К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие af(K)< 0.

Второй тип - задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно числового промежутка.

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число N (M < N), необходимо и Достаточно, чтобы выполнялись условия:

Теорема 5. Для того чтобы только больший корень квадрата трехчлена лежал в интервале MN (М < N), необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия:

Теорема 6. Для того чтобы только меньший корень квадрата трехчлена лежал в интервале MN (М < N), необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия:

Теорема 7. Для того чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем N, а другой больше, чем N (М< N), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Обратите внимание: при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера. Если корни квадратного трехчлена выражаются простыми формулами, то, возможно, ими будет легче оперировать.

Упражнения

Пример 1. При каких значениях параметра а корни уравнения ах²-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1?

Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+3а-1 больше 1?

Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.

В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а?0) были больше числа d (х₁; х₂ > d) необходимо и достаточно выполнение условий:



Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе?

Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:

1.

2. а=0

=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Остается только решить эту систему неравенств (1) при а(1; )

Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x₁>1, где x₁ - меньший корень уравнения.)

Пример 2. При каких значениях а корни уравнения х²-2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?

Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)

Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?

Пример 3. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х²-ах+2=0 удовлетворяет условию 1<х<3?



Пример 4. Найти а при которых один из корней уравнения х² +2ах+а -4а+3=0 меньше -2, а другой больше -2 т.е. при каких a корни квадратного трехчлена лежат по разные стороны от х=-2? Что для этого необходимо и достаточно?

Очевидно, что решать эту задачу другим методом, рассматривая неравенства: x₁<-2: х₂>-2 очень сложно.

Пример 5. Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х²+2ах+4а²-а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.

Пример 6. При каких а, уравнение 3sinх²+(4-2а)sinх+1 -а² =0 имеет корни разного знака?

Sinх=t; |t| ? 1

3t² - (4 - 2а)t +1 - а² = 0

Ответ: а(1,2).

Задания на расположение корней квадратного уравнения:

1. При каких значениях уравнение имеет решения, удовлетворяющее условию ?

2. При каких значениях уравнение имеет корни разных знаков?

3. При каких значениях уравнение имеет корни и такие, что ?

4. Найдите все значения , при которых корни уравнения меньше, чем 1.

5. Найдите все значения , при которых один из корней уравнения меньше 1, а другой больше 1.

Тестирование

Тест состоит из 5-ти заданий, последнее из них более сложное. Для каждого задания предлагается три ответа, один из которых правильный, а два другие - неверные. Каждому ученику дается карточка с заданиями.

1. Решите уравнение относительно х.

а) , при m 0.

б) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m 0 ;

в) 1) при m = 0 корней нет;

2) при m 0 .

2. Решите уравнение относительно х.

а) 1) при ;

2) при корней нет;

3) при

б) 1) при ;

2) при корней нет;

3) при

в) 1) при ;

2) при корней нет;

3) при ;

4) при

3. При каких значениях b уравнение имеет отрицательное решение?

а) при b < 1; б) при b > 1; в) при b < -2.

4. При каких значениях а произведение корней уравнения равно нулю?

а) при ; б) при ; в) при .

5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

а) таких значений нет; б) при ; в) при .

Ответы

Номер задания	1	2	3	4	5
Код верного ответа	в	б	б	б	в

2.3 Конспект урока по теме «Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки на оси абсцисс»

Цели:

Образовательные: Отработка навыков решения задач формата ЕГЭ для 9 классов(часть а) на зависимость внешнего вида параболы(графика квадратичной функции) и ее расположения от коэффициентов квадратного трехчлена. Учить решению задач с параметром, связанных с исследованием расположения корней квадратного трехчлена относительно точки на оси абсцисс.

Развивающие: развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой при подготовке к ЕГЭ и тем самым развивать чувство коллективизма, ответственности, навыки самостоятельного труда и самоконтроля

Воспитательные: прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки, показать познаваемость мира и его закономерности.

Дополнительные материалы и наглядные пособия: раздаточный материал, презентация, ПК.

Ход урока

1. Организационный момент (начало урока) - 2 мин;

2. Мотивационный этап (формулировка целей и задач урока) - 3 мин;

3. Подготовительный этап. Решение экзаменационных задач формата ЕГЭ (1 часть) (Эвристическая беседа, а так же использование таких методов как наглядный, практический и поисковый). 7 мин;

Слайд № 2

Слайд № 3

Слайд № 4

Слайд № 5

Слайд № 6

Слайд № 7

4. Частично-поисковая работа обучающего характера с раздаточным материалом в виде таблиц (Приложение № 1) с целью отыскать системы условий, от которых зависит расположение корней квадратного трехчлена относительно точки на оси абсцисс - 10 мин;

5. Обобщение результатов, полученных в группах и вывод их на экран. На этом этапе для интерактивной работы рекомендую использовать

Слайд № 8

Слайд № 9

Слайд № 10

Слайд № 11

Слайд № 12

Слайд № 13

При этом заполнение слайдов учащимся или учителю (при отсутствии интерактивной доски) можно выполнять маркером из программы презентаций PowerPoint.(только при закрытии презентации сохранять изменения не надо).

6. Демонстрация учителем примера решения задачи с использованием вновь полученных систем условий - 5 мин;

7. Самостоятельное решение учащимися типовой задачи на расположение корней квадратного трехчлена относительно точки на оси абсцисс - 9 мин;

8. Подведение итогов.

Слайд № 18

Слайд № 19

2 мин;

9. Домашнее задание. Приложение 2 - 2 мин;

Дополнительные задачи для самостоятельного решения учащимися:

1. При каких значениях параметра а число 1 лежит между корнями уравнения

Ответ:

2. При каких значениях параметра а число 2 лежит между корнями уравнения

Ответ:

Для проверки решения можно использовать

Слайд № 14

Слайд № 15

Слайд № 16

Слайд № 17

2.4 Конспект урока по теме: «Решение задач, содержащих параметр»

Тип урока: Повторение, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

Образовательная: обобщить, систематизировать изучение на предыдущих уроках.

Воспитательная: показать, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи; формировать эстетические навыки при оформлении записей; умение выслушивать других и умению общаться.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность; умение анализировать, обобщать, продолжить формирование математической речи.

Оборудование:

1) Литература;

2) Доска;

3) Приложения у каждого ученика.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учеников.
Этап 1. Организационный момент. 1 мин.
Сообщение темы и целей урока ученикам.	Сообщают об отсутствующих
Этап 2. Проверка домашнего задания. 2 мин.
Отвечает на вопросы учеников по домашнему заданию.
Этап 3. Актуализация знаний. 5 мин.
Индивидуальная работа по карточкам (приложение № 1). Проверка осуществляется “дублерами”. “Дублеров” и учащихся у доски оценивает учитель. 3) Что значит решить уравнение с параметром? 4) Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней. а) х2 - 10х + 21 = 0 б) х2 + 9х + 14 = 0 в) х2 - 7х - 18 = 0 г) 2х2 - 5х + 7 = 0	Два человека самостоятельно работают у доски по карточкам и два человека (дублеры) с этими же карточками на местах. Остальные учащиеся принимают активное участие в устной работе. Решить уравнение с параметром - значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения. a) один корень - положительный, второй - отрицательный. б) два корня отрицательные. в) один корень - положительный, второй - отрицательный. г) корней нет
Этап 4. Решение задач. 13 мин.
1) При каких значениях а корни уравнения являются действительными, а сумма кубов этих корней равна их удвоенной сумме? Следит за верностью решения и записью на доске. Оценивает работу учащегося. Следит за верностью решения. Корректирует замечания учащихся.	Двое учащихся работают на боковых досках независимо друг от друга. Затем учащиеся класса оценивают их работу. Решение: Пусть и - корни данного уравнения. Согласно условию задачи составим систему уравнений:
Этап 5. Работа в парах. 19 мин.
1) При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна? 2) При каких значениях m оба корня уравнения отрицательные? Найдите все значения а, при которых уравнение имеет два различных корня, меньших -1. Обсуждает совместно с учащимися ход решения, следит за грамотностью рассуждений и верной записью решения.	Учащиеся работают в парах. У каждой пары имеется рабочий лист с заданиями. По истечении времени учащиеся демонстрируют свое решение (приложение № 2) Один ученик у доски, остальные записывают в тетрадях. Решение: так как уравнение должно иметь два различных корня, то должно выполняться неравенство D = Так как коэффициент при больше нуля, то для того чтобы оба корня были меньше -1, должно выполняться два условия: абсцисса вершины параболы графика функции должна быть меньше -1 и значение функции в точке -1 должно быть положительным f(-1) = 1 - a + 9 = - a +10 > 0 Следовательно, число а удовлетворяет условиям задачи тогда и только тогда, когда а удовлетворяет системе неравенств:
Этап 6. Итог урока, постановка домашнего задания.
Подведение итогов. Выставление оценок. Домашнее задание 1. При каких значениях b уравнение х2 + 2(b + 1)x + 9 = 0 имеет два различных положительных корня? 2. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х2 + 2mx + m - 1 = 0 минимальна? (приложение № 3) 3) Используя дополнительную литературу подобрать 2-3 квадратных уравнения, содержащих параметр (рассмотреть различные случаи содержания параметра в коэффициентах квадратного трехчлена) и уметь их решать. Поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке. Задание № 3 будет оценено дополнительно.	Внимательно выслушивают учителя, записывают домашнее задание.

Заключение

Данная дипломная работа была посвящена проблеме разработки методического инструментария для реализации принципов дифференцируемого обучения математики в классах математического профиля.

В процессе исследования, были решены следующие задачи:

1. Изучена и проанализирована литература по теме исследования.

2. Изучено состояние и перспективы развития дифференциации в обучении (как прошлых периодов так и современного этапа).

3. Изучены психолого-педагогические характеристики учащихся и основы профильной дифференциации.

4. Изучены элективные курсы и курсы по выбору учащихся в профильном обучении и их методическое обеспечение.

5. Разработано содержание элективного курса по теме «Использование свойств квадратного трехчлена для решения задач с параметрами», ориентированного на учащихся классов математического профиля.

6. Разработаны методические рекомендации для учителя для организации изучения элективного курса по теме «Использование свойств квадратного трехчлена для решения задач с параметрами».

7. Разработаны примеры конспектов уроков элективного курса «Использование свойств квадратного трехчлена для решения задач с параметрами».

Таким образом, можно сделать вывод о том, что цель исследования - разработка элективного курса по теме «Использование свойств квадратного трехчлена для решения задач с параметрами», была достигнута, задачи исследования решены.

Основные выводы, которые мы сделали в процессе исследования следующие:

1. Вводить обучение по направлениям (профилям) следует после того, как школьники получат единое базовое математическое образование.

2. На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений (профилей) обучения.

3. При составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности учащихся, учитывать уровневый подход.

4. Разработка элективных курсов является важной задачей современного образования, так как данный вид курсов позволяет учитывать различные интересы школьников, выбравших определенный профиль.

В процессе исследования, как было уже сказано выше, был разработан элективный курс по теме «Использование свойств квадратного трехчлена для решения задач с параметрами».

Элективный курс был разработан с учетом выявленных в процессе исследования требований к разработке элективных курсов и оформлен в соответствии с выявленными требованиями к оформлению элективных курсов. Элективный курс содержит «Пояснительную записку», «Содержание», «Тематическое планирование», «Перечень основных знаний по курсу», и «Методические рекомендации». К данному курсу разработана система упражнений, самостоятельных работ и задач с решениями.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы студентами-практикантами, учителями математики, методической службой школ для возможной доработки и внедрения данного курса в практику школ математического профиля.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Антология педагогической мысли России второй половины 19 века [Текст] / Сост. П.А. Лебедев. - М.: Педагогика, 1985. - 608 с.

2. Антология педагогической мысли России первой половины 19 века [Текст] / Сост. П.А. Лебедев. - М.: Педагогика, 1985. - 559 с.

3. Антология педагогической мысли России 18 век [Текст] / Вступ. ст., ?биогр. оч., сост. и прим. И.А. Соловков; Редкол.: Г.Н. Волков и др. - М.: Педагогика, 1985.- 479 с.

4. Александров Б.И., Максимов В.М., Лурьев М.В., Колесниченко А.В., Пособие по математики для поступающих в ВУЗы. М.: Изд-во МГУ, 1972.-608с.

5. Бабанский, Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект [Текст] / Ю.К. Бабанский. - М.: Педагогика, 1977. - 250 с.

6. Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.

7. Боярчук, В.Ф. Межпредметные связи в процессе обучения [Текст] / В.Ф. Боярчук. - Вологда, 1988 - 74 с.

8. Бутузов, И.Г. Дифференцированное обучение - важное дидактическое средство эффективного обучения школьников [Текст] / И.Г. Бутузов. - М., 1968.

9. Бутузов, И.Г. Дифференцированный подход к обучению учащихся на современном уроке [Текст] / И.Г. Бутузов. - Новгород: ЛГПИ, 1972. - 72 с.

10. Выготский Л.С. Собрание сочинений. В 6 т. [Текст] / Т6. М.: Педагогика. 1984. - с. 5-90.

11. Гусев, В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе [Текст]: Автореферат дис. на соискание ученой степени канд. док. наук: 13.00.02. - М., 1990. - 39 с.

12. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С., Задачи с параметрами. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.-336с.

13. Дорофеев, Г.В. Дифференциация в обучении математике [Текст] / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, В.В. Фирсов // Математика в школе. - 1990. - №6 - с. 15-21.

14. Зуев, Д.Д. Проблемы школьного учебника: ХХ век: Итоги / Д.Д. Зуев. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.

15. Иванович, К.А. Дифференциация профессиональной подготовки учащихся средних общеобразовательных школ по научно-техническим направлениям. В сб. основные направления производственного обучения в средней школе [Текст] / К.А. Иванович, Д.А. Эпштейн. - 2 -е изд., перер. и дополнен. - М: АПН РСФСР, 1963. - С. 5-19.

16. Калмыкова, З.И. Психологические принципы развивающего обучения [Текст] / З.И. Калмыкова. - М.: Знание, 1997. - 49 с.

17. Кирсанов, А.А. Индивидуальзация учебной деятельности школьников [Текст] / А.А. Кирсанов. - Казань: Тат. кн. изд-во, 1980. - 207 с.

18. Крутецкий, В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1980. - 352 с.

19. Ланков, А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики [Текст] / А.В. Ланков. - М.: Учпедгиз, 1951. - 152 с.

20. Мерлина, М.А. Опыт дифференцированного обучения в советской школе [Текст] / М.А. Мерлина // Советская педагогика. - 1962. - № 9. - С. 98-109.

21. Министерство образования Российской Федерации Письмо № 14-51-277/13 от 13.11.2003 Элективные курсы (курсы по выбору).

22. Мухина, В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учебник для студ. вузов [Текст] / В.С. Мухина. - М.: Издательский центр «Академия», 1999. - 456 с.

23. Оганесян, В.А. Методика преподавания математики в средней школе: Уч. пособие для студ. физ.-мат. фак.пед. ин-тов [Текст] / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. - М.: Просвещение, 1980.

24. Педагогическая энциклопедия: В 2 т. [Текст] / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.1. - 832 с.

25. Педагогическая энциклопедия: В 2 т. [Текст] / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.2. - 912 с.

26. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы [Текст] / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.: Дрофа.-2004. - 320 c.27.

27. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентом мат. спец. пед. вузов и ун-тов [Текст] / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 223 с.

28. Стандарты и мониторинг в образовании. [Текст] // Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. - 2002. - № 5.30.

29. Унт, Э.И. Индивидуализация и дифференциация обучения [Текст] / Э.И. Унт. - М.: Педагогика, 1990. - 192 с.

30. Циганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры. - Математика.- 1999. № 5- с. 4-9.

31. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.

32. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. - М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003. - 64

33. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах.- М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2009. 248с.: илл. 5-64.

34. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986.-128с.

Приложение №1

Карточка №1

При каких значениях k, уравнение 3х² + kx +1 = 0 не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.

Решение: Уравнение не имеет корней, если D < 0.

D = k² - 12 < 0

(k -)(k +) < 0

k (-; ).

Ответ: (-; ), 1.

Карточка №2

Найдите все целые значения k, при которых уравнение kx² - 6x + k = 0 имеет два корня.

Решение: Уравнение имеет два корня, если D > 0, k ? 0.

D = 36 - 4k² > 0

36 - 4k² > 0

9 - k² > 0

(3 - k)(3 + k) > 0

k < -3

k > 3. Ответ: -2; -1; 1; 2.

Приложение №2

Рабочий лист группы

1. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + (2 - m)x - m - 3 = 0 минимальна?

Решение: Найдём х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = (m - 2)² - 2(-m - 3) = m² - 4m + 4 + 2m + 6 = m² - 2m +10 = m² - 2m + 1 + 9.

Наименьшее значение трёхчлена m² - 2m +10 достигается при m =1.

Ответ: 1.

2. При каких значениях m оба корня уравнения (m² - 4)x² + (2m - 1)x + 1 = 0 отрицательные?

Решение: При m = 2 уравнение обращается в линейное и иметь двух корней не может.

Д = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 16 = - 4m + 17 > 0, m < 4,25 и m2.

Так как х₁ + х₂ = и х₁• х₂ = , а х₁ < 0, x₂ < 0, то

Учитывая, что m < 4,25 и , приходим к выводу, что m(2; 4,25)

Ответ: (2; 4,25).

Приложение №3

1. При каких значениях b уравнение х² + 2(b + 1)x + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Решение:

х₁ > 0, x₂ > 0, Д > 0.

Д = 4(b + 1)² - 36 > 0

(b + 1)² - 9 > 0

b₁ = 2

b₂ = - 4

b > 2 или b < -4

Ответ: b < -4.

2. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + 2mx + m - 1 = 0 минимальна?

Решение: Найдём х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂

х₁² + х₂² = 4m² - 2(m - 1) = 4m² - 2m + 2 = 4 = .

Трёхчлен 4m² - 2m + 1 достигает минимального значения при m = .

Ответ: .

Приложение №4

Данный материал относится к конспекту урока по теме «Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки на оси абсцисс».



Приложение №5

Домашнее задание

1.

2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4.

Ответ:

3. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения не больше 1.

Ответ:

4. Решить уравнение .

5. *Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения больше, чем а.

Ответ: .

1.

2. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4.

Ответ:

3. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения не больше 1.

Ответ:

4. Решить уравнение .

5. *Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения больше, чем а.

Ответ:

Размещено на Allbest.ru