Обучение решению элементарных задач на построение с использованием учебно-методического комплекса "Живая геометрия"

Размещено на http://www.allbest.ru/

56

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме: «Обучение решению элементарных задач на построение с использованием учебно-методического комплекса «Живая геометрия»

Оглавление

Введение

Глава 1. Научно-методические основы организации обучения решению задач на построение

§1 Общие сведения о задачах

§2 Понятие задачи на построение

§3 Анализ школьных учебников

§4 Психолого-педагогическая характеристика учащихся подросткового возраста

Глава 2. Система лабораторных работ по геометрии, направленных на обучение решению задач на построение

§1 Общие сведения о лабораторных работах

§2 Описание программы «Живая геометрия»

§3 Методические рекомендации к проведению лабораторных работ

§4 Лабораторные работы №2 и №3

Заключение

Библиография

Введение

Задачи на построение занимают особое место в курсе геометрии, так как они имеют большое образовательное значение. Задачи на построение обеспечивают развитие логического мышления школьников, с их помощью формируется навык использования чертежных инструментов. Так же задачи на построение помогают решать другие задачи, установить связь с другими науками, такими как черчение, рисование, геодезия. Задачи на построение развивают навык исследовательской и самостоятельной работы.

Опыт работы показывает, что геометрия усваивается учащимися сложно, и в частности задачи на построение вызывают большие трудности. В связи с этим нам представляется интересным и необходимым изучение задач на построение, а в частности методические приемы обучения решению этих задач.

Проблемой методики обучения решения задач на построения занимались такие авторы, как Блох А.Я., Перепелкин Д.И., Четверухин Н.Ф. и другие.

Целью дипломной работы является разработка системы лабораторных работ, направленных на обучение учащихся решению элементарных задач на построение.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:

Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, посвященную методике обучения учащихся решению задач на построение

Проанализировать действующие учебники по геометрии для 7-9 классов и программу по математике для общеобразовательных школ в части решения задач на построение.

Изучить учебно-методический комплект «Живая геометрия»

Разработать систему лабораторных работ с использованием компьютера и учебно-методического комплекта «Живая геометрия» для обучения решению задач на построение в курсе планиметрии 7 класса.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны основные его характеристики.

Глава I посвящена общим понятиям, связанным с задачами в целом и с задачами на построение в частности. В ней выявлены характерные особенности обучения решению задач на построение в курсе планиметрии основной школы. Проанализированы основные школьные учебники по геометрии и отмечены методические особенности изучения геометрических построений в каждом из них. Приведена психолого-педагогическая характеристика возраста учащихся.

В главе II рассматриваются вопросы методики обучения решению задач на построение в курсе планиметрии основной школы посредством системы лабораторных работ с использованием компьютера и комплекта «Живая геометрия». Предлагается методика изучения задач на построение на основе материала, предложенного в учебнике Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия 7-9».

Апробация предложенной методике изучения задач на построение проводилась в ГОУ Центре образования «Школе здоровья» № 943 на уроках математики и информатики.

В заключение работы приведены основные выводы и результаты исследования разработанной методики.

Глава 1 Научно-методические основы организации обучения решению задач на построение

Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы мог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи.

У.У. Сойер

... добиться того, чтобы ученик самостоятельно нашел решение задачи нового,

хотя бы и очень простого типа.

А.Я. Хинчин

§1 Общие сведения о задачах. Геометрические задачи

В современной методической литературе [10] принята классификация геометрических задач. По характеру требования:

- задачи на доказательство;

- задачи на построение;

- задачи на вычисление.

По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи). [А.А. Темербекова]

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В процессе обучения геометрии задачи выполняют разнообразные функции. Геометрические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса геометрии, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях геометрии. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением геометрии. Правильная методика обучения решению геометрических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

При обучении геометрии задачи имеют образовательное, практическое, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.

В учебнике Темербековой выделены такие основные компоненты задачи:

Условие -- начальное состояние;

Базис решения -- теоретическое обоснование решения;

Решение -- преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;

Заключение -- конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) -- математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей. [10]

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три -- проблемной.

При обучении решению задач необходимо научить учащихся разбираться в условии задач, в том, как они устроены, из каких составных частей они состоят, как и с чего начинается их решение.

Если прочитать условие любой задачи то можно выделить некий вопрос, другими словами требование, на который необходимо получить ответ, опираясь на условие. Если же внимательно изучить формулировку задачи то можно увидеть в ней определенные утверждения (то, что дано), они ещё называются условиями, и определенные требования (то, что нужно найти).

Далее рассмотрим составные части задачи и рекомендации к учащимся при их решении.

1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи (1-й этап-анализ условия). Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем:

а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче;

б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство -посылки и заключения.

в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик).

г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

2) Составление плана решения задачи (2-й этап - поиск пути решения).

Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, фактически определить метод её решения:

а) Известна ли решающему какая-либо подобная задача? Аналогичная задача? Если такая задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Другими словами можно ли применить метод сведения к ранее решенным. Но такая задача известна далеко не всегда. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.

б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую.

Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.

3) Реализация плана решения задачи (3-й этап - непосредственно решение).

План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:

а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением:

"Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны".

4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап - проверка и исследование задачи). Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи. Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата.

Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно.

Далее можно рассмотреть какой из использованных методов удобнее в данном случае. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.

§2 Понятие задачи на построение

В методической литературе [9, 10, 13] задача на построение ставится как требование из заданных элементов в соответствии с какими-то условиями, с помощью определенных инструментов построить названную геометрическую фигуру или их совокупность, удовлетворяющих указанным свойствам.

Таким образом, в любой задаче на построение следует различать:

Заданные элементы и их характеристики (условия задачи);

Инструменты, с помощью которых можно выполнить требуемое построение;

Искомую фигуру (или их совокупность) с указанными свойствами.

Выделим некоторые особенности геометрических задач на построение:

1. Заданные элементы в задачах на построение могут быть заданы в явном виде, а могут лишь названы с указанием их характеристик. В первом случае решение заканчивается построением искомой фигуры; во втором же случае необходимо еще установить условия, при которых это построение возможно. Поэтому обязательным этапом решения задачи на построение является этап анализа (или, как принято его называть, этап исследования) выполненного решения - построения искомой фигуры.

2. во всякой задаче на построение требование состоит не просто в построении какой-то геометрической фигуры, а в построении геометрической фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами. Поэтому естественно, что, после того как произведено построение искомой фигуры, нужно убедится, что она действительно обладает всеми указанными свойствами.

Перечислим основные построения, которые можно выполнить с помощью классических инструментов [Л.М.Фридман]

С помощь одной односторонней линейки можно выполнить следующие основные построения:

Л.1. Построить отрезок, соединяющий две данные (или построенные) точки.

Л.2. Построить прямую, проходящую через две данные (или построенные) точки.

Л.3. Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.

С помощь одной циркуля можно выполнить следующие основные построения:

Ц.1. Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу окружности.

Ц.2. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если даны центр окружности и концы дуги.

Кроме основных построений, считаются возможными следующие основные построения:

П.1. Построить (найти)точку пересечения двух данных прямых.

П.2. Построить (найти) точки пересечения данной прямой с данной окружностью.

П.3. Построить (найти) точки пересечения двух данных окружностей.

П.4. Взять на прямой, или на окружности, или в не их произвольную точку.

П.5. Выбрать на плоскости произвольную точку.

Если нужно решить какую-либо задачу на построение с помощью классических инструментов (циркуля и линейки), то достаточно свести решение этой задачи к последовательности указанных выше основных построений (Л.1.-Л.3, Ц.1.-Ц.2. и П.1.-П.3.).

Кроме основных построений, рассматривают еще так называемые элементарные геометрические построения, к которым обычно сводят более сложные построения, к которым обычно сводятся более сложные построения, т.е. считается, что эти элементарные построения всегда можно выполнить, и объяснять, как они фактически производятся, не принято.

К элементарным построениям обычно относятся следующие:

Э.1. Построить на данной прямой от данной точки в данном направлении отрезок, равный данному.

Э.2. Построить угол равный данному.

Э.3. Разделить данный отрезок на два равных отрезка.

Э.4. Разделить данный угол на равных угла )провести биссектрису угла).

Э.5. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.

Э.6. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.

Э.7. Построить треугольник по трем данным сторонам.

Э.8. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Э.9. построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

Э.10. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне данной окружности.

Э.11. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении задач пользуются схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении задач на построение. Рассмотрим каждый этап решения.

Анализ. Это подготовительный и в тоже время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые фигуры, примерно, в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки».иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи.

Если вспомогательные чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то следует попытаться обнаружить какую-либо часть искомой фигуры, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.

Трудность этого этапа заключается в том, что, несмотря на общие рекомендации, не представляется возможным дать правило для составления плана решения любой задачи. Умения находить способ решения задачи зависит от ряда факторов, в том числе от того, на сколько велики у учащихся опыт и тренировка в решении задач (при условии знаний соответствующего материала по геометрии).

При обучении решению задач на построение довольно часто используется эвристическая форма работы, сущность которой заключается в том, что учитель, предлагая учащимся заранее продуманные вопросы, подводит их к составлению плана решения задачи.

Периодически учителю самому следует в классе решать задачу у доски, «думая вслух», показывая этим учащимся, каков может быть ход мысли у решающего задачу, какие у него возникают предложения, суждения, как он отбирает из возникших предположений наиболее удачные, как проводится оценка этих предположений.

Для лучшего осмысливания плана решения полезно предварительное решение задачи не на одном, а последовательно на нескольких чертежах. В этом случае легче проверить, можно ли решить задачу выбранным способом и учтены ли все данные условия.

Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы зафиксировать последовательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Учащиеся должны использовать аксиомы, теоремы, следствия и свойства фигур, как это делается при решении задач на доказательство.

Исследование. Здесь следует выяснить, при любых ли данных задача имеет решение, сколько решений имеет задача, нет ли каких-либо частных случаев, требующих отдельного рассмотрения.

Исследуя задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции из которых складывается построение, и для каждой из этих операций определить всегда ли она возможна, и какое число точек, отрезков и т.д. эта операция может давать.

Исследование вводится постепенно. Сначала решаются задачи, имеющие одно решение, и лишь в конце обучения школьники проводят (по указанию учителя) полное исследование.

Как, правило, решение задачи и заканчивается исследованием. Однако в некоторых случаях полезно еще раз вернутся к решенной задачи, чтобы осмыслить ее решение в целом. При этом полезно выяснить с учащимися ряд вопросов. Например, нельзя ли упростить решение задачи? Если кто-нибудь предложит другой вариант решения, его следует рассмотреть, даже если его решение несколько сложнее первого. В этом случае можно показать преимущество первого варианта.

Для целесообразного использования времени следует ограничиваться рассмотрением наиболее интересных этапов (анализ, построение, доказательство, исследование) конкретной задачи и лишь иногда рассматривать решение в целом.

По программе в 7 классе после изучения окружности рассматриваются построения циркулем и линейкой. Начать изучение этой темы следует с рассмотрения следующих вопросов: а) структура задачи на построение; б) возможности циркуля и линейки; в) четырехэтапная схема решения задачи на построение; г) требования к решению задачи на построение в 7 классе.

При знакомстве с понятием «задача на построение» надо показать отличие задач на построение от других видов задач. Поэтому нужно объяснить учащимся, что задача на построение имеет особую структуру (по-особому устроена): в ней даны геометрические фигуры и условия, связывающие их между собой; а требования такой задачи можно разделить на две части:

- построить новую фигуру, связанную с данными фигурами некоторыми условиями;

- определенным набором инструментов.

О втором требовании учитель должен сообщить учащимся, даже если его нет в учебнике. Учителю следует подчеркнуть, что новую фигуру, которую требуется построить, называют по-другому «искомой», что в некоторых задачах инструменты указываются, а в задачах, где инструменты не указаны подразумеваются циркуль и линейка именно ими будут выполнятся теперь все построения. Разговор о структуре задачи на построение необходим и для обучения учащихся краткой записи, которую удобно делать в следующем виде:

Дано:... (указываются данные фигуры и условия, связывающие их между собой).

Построить:... (указывается вид искомой фигуры) так, чтобы: (перечисляются условия, связывающие искомую фигуру с данной). На последующих уроках в процессе решения задач следует объяснить в том числе то, что раньше считалось само собой разумеющимся, а именно: всегда можно построить точки принадлежащие и не принадлежащие построенной фигуре, а также найти общие точки построенных фигур или выбрать одну из них. Именно отсюда следуют возможности построения произвольной точки, прямой, общей точки двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей.

Следует обсудить с учащимися также вопрос о том, в каком случае задача будет считаться решенной. Задача считается решенной, если описан ход построений и доказано, что построенная фигура является искомой, т.е. удовлетворяет всем требуемым условиям. Нужно обучить учащихся, что любую задачу необходимо решать по четырехэтапной схеме, но в начале изучения задач этого типа письменно оформлять только один этап: построение, а остальные проводить устно.

Первыми задачами на построение в 7 классе являются, так называемые, основные задачи («Элементарные задачи») - простейшие задачи на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных. В 7 классе изучаются не все, а наиболее простые элементарные задачи, которые впоследствии потребуются для выполнения изображений изучаемых далее четырехугольников. Именно на этих задачах учащиеся обучаются применению схемы решения и оформлению задачи на построение. Учитель должен подчеркнуть важность этих задач, так как они, являясь составными частями более сложных задач, будут использоваться в дальнейшем в качестве шагов построений. В связи с этим перед учащимися ставится следующие цели:

Научиться быстро выполнять построения каждой из элементарной задачи инструментами;

Уметь описать ход построения и обосновать, что полученная фигура -искомая. Это необходимо для понимания построений, без которого они быстро забудутся;

Научиться видеть элементарные задачи в более сложных задачах и уметь применять алгоритм построений в новой ситуации.

В действующих учебниках рассматриваются такие элементарные задачи: построение отрезка и угла, равных данным, деление их пополам, построение перпендикуляра к прямой, построение треугольника по трем его элементам.

При обучении решению этих элементарных задач на учителя возлагается огромная ответственность, если учащиеся не усвоят эти построения, то в дальнейшем при решении более сложных задач у них будут возникать трудности. И для большего понимания учащимися этого материала учителю необходимо продемонстрировать каждый «шаг» построения. Для этого используется методический прием, называемый «кадровкой». Он заключается в том, что каждое новое построение (вспомогательные построения) появляются на новом чертеже. Причем это последнее построение удобнее выделять новым цветом. Рассмотрим, как это можно сделать.

§3 Анализ школьных учебников

Рассмотрим два учебника, чаще всего используемые в общеобразовательных школах

Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9».- М.: Просвещение. 2001-2005.

Погорелов А.В. «Геометрия 7-9».- М.: Просвещение. 2001-2005..

В настоящем параграфе приведен анализ данных учебников «Геометрия 7-9» на наличие тем, содержащих задачи на построение, и отмечены особенности каждого из них.

А.В. Погорелов «Геометрии 7--11 классы»

В учебнике Погорелова А.В. тема о геометрических построениях рассматривается в конце седьмого класса в § 5 «Геометрические построения». На эту тему по программе отводится 6 часов. В данном параграфе рассматриваются построения методом ГМТ. Начинается тема с введения понятий: окружность (определение которой подводит учащихся к сложному определению ГМТ), ее элементов (диаметр, хорда), так же понятий окружность описанная около треугольника и вписанная в треугольник. Задачи на построение начинаются с введения основных положений, т.е. в чем состоит решение задачи на построение, в каком случае задача считается решенной, какие построения можно сделать с помощью циркуля и линейки. далее идет рассмотрение простейших задач (пункты 25 - 30):

1) построение треугольника с данными сторонами;

2) угла, равного данному;

3) биссектрисы угла;

4) перпендикуляра к данной прямой;

5) деление отрезка пополам.

Эти пять основных и достаточно большое количество дополнительных задач на построение направлены на развитие у учащихся навыков конструктивного подхода к решению геометрических задач. В последнем пункте разбирается вопрос об углах вписанных в окружность. В учебном пособии А. В. Погорелова также имеются задачи на построение треугольников, стороны которых заданы линейными размерами, а углы - градусной мерой (например: «Постройте треугольник АВС по двум сторонам и углу между ними: АВ=5 см. АС=6 см, = и дан треугольник. Постройте одну из его медиан или постройте с помощью циркуля и линейки углы 60 и 30°».Наличие таких задач полностью соответствует целям, которые ставятся в учебном пособии, - нахождению последовательности действий, приводящих к решению задачи. В этом смысле не столь существенно, строится ли угол, равный данному, с помощью транспортира или циркуля и линейки. После этого вводится понятие ГМТ (пункт 31). В учебном пособии рассматриваются два утверждения: окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки; геометрические места точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр). К ним добавляется еще одно утверждение, выражающее свойство биссектрисы угла: точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от прямых, содержащих стороны угла. Это свойство фактически доказывается в теореме о центре окружности, вписанной в треугольник. Суть метода ГМТ рассматривается на одной из задач. Начиная с восьмого класса, задачи на построение отдельно не рассматриваются, а входят в состав изучаемых тем, что позволяет учителю самостоятельно распределять часы внутри темы, в зависимости от поставленной задачи и от уровня подготовленности учащихся класса. При изучении темы «Четырехугольники» в список задач входят задачи, требующие построить параллелограмм, ромб и трапецию. В теме «движение» рассматриваются задачи на построение, решаемые метолом симметрии и вращения. Также автор учебника знакомит учащихся с задачами на построение, которые решаются алгебраическим методом. Однако как таковой «алгебраический метод» не рассматривают. Автор предлагает учащимся выполнить построение отрезков, длина которых, задается следующими формулами: (построение гипотенузы прямоугольного треугольника); (построение катета прямоугольного треугольника); x = ab/c.

В девятом классе рассматривается тема «Подобие фигур» и при ее изучении учебник содержит блок задач на построение, решаемых методом подобия, а также методом гомотетии.

Особенности данного учебника:

- Приведено большое количество задач на метод ГМТ

- Задачи на построение методом геометрических преобразований не выделяется в отдельный класс.

Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7--9 классы»

Задачи на построение присутствуют при изучении материала на каждом году обучения.

Геометрические задачи на построение в 7 классе рассматриваются дважды. Впервые знакомство происходит во второй четверти при изучении главы 2 «Треугольники», §4 «Задачи на построение». Назначение параграфа состоит в том, чтобы дать представление о новом классе задач: построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений - и рассмотреть основные (простейшие) задачи этого типа. Задачам на построение предшествует рассмотрение окружности и ее элементов (п.21).

Изучение п.22 «Построение циркулем и линейкой» и п.23 «Примеры задач на построение» начинаются с напоминания об известных учащимся способах построения геометрических фигур с помощью различных инструментов. При этом отмечается, что при построении отрезка заданной длины использовались линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры - транспортир. Но, оказывается, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений.

В данном параграфе рассматриваются такие простейшие задачи как:

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному;

Отложить от данного луча угол, равный данному;

Построить биссектрису данного неразвернутого угла;

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка;

Построить середину данного отрезка;

Даны прямая и точка, не лежащая на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.

В результате изучения параграфа учащиеся должны:

- знать определение окружности;

- уметь выполнять с помощью циркуля и линейки простейшие построения: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы данного угла; прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой; середины данного отрезка; применять простейшие построения при решении задач.

Далее задачи на построение рассматриваются в конце учебного года в главе 4 « Соотношения между сторонами и углами треугольника», § 4 « Построение треугольника по трем элементам».

Назначение параграфа - ввести понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми, показать как они применяются при решении задач, рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам. Автор рассматривает три основные задачи на построение треугольника с помощью циркуля и линейки:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и двум прилежащим к ней углам;

в) по трем сторонам (п. 38).

В восьмом классе данная тема отдельно не выделяется, а задачи на построение рассматриваются:

При изучении главы 5 «Четырехугольники» §2 « Параллелограмм и трапеция».

Назначение параграфа - ввести понятие параллелограмма и трапеции. Рассмотреть свойства и признаки параллелограмма и закрепить полученные знания в процессе решения задач.

В §2 значительное место отводиться задачам на построение с помощью циркуля и линейки.

Задачи на построение выделены отдельно. На странице 102 учебника приведена традиционная схема таких задач и в качестве примера по этой схеме решена задача 393 (в): «Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и одной из диагоналей».

При изучении главы 7 «Подобные треугольники», §3 «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач».

Задачи на построения изучаются как практические приложения подобия треугольников (метод геометрических преобразований). В рассматриваемом учебнике отсутствует тема «Гомотетия» поэтому задачи на построение, решаемые методом гомотетии не изучаются.

В девятом классе тема задач на построение рассматривается дважды. Первый раз в теме «Правильные многоугольники». В п.109 «Построении правильных многоугольников» рассматриваются способы построения некоторых правильных многоугольников (шестиугольника, восьмиугольника) с помощью циркуля и линейки. Разбираются задачи: «Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку» и «Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник». Во второй раз задачи на построение встречаются в теме «Движение». После п.116 «Параллельный перенос» и п.117 «Поворот» рассматривается ряд задач на построение, например: «Используя параллельный перенос построить трапецию по ее основаниям и диагоналям» или «Построить прямую, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О. Задачи отдельно не выделены.

Особенности данного учебника:

Отсутствует понятие ГМТ;

Задачи на построение выделены от всех остальных задач;

Рассматриваются задачи с полной схемой решения уже в 7 классе;

Не рассматриваются задачи решаемые методом гомотетии.

Таким образом в учебниках задания представлены в разных разделах и используются разные методы построения. В учебнике Атанасяна основная цель задачи выполнить построения, в учебнике же Погорелова - это привести алгоритм построения.

§4 Психолого-педагогическая характеристика учащихся подросткового возраста

Основными психическими процессами принято считать восприятие, внимание, память и мышление. [6] В дипломной работе мы рассмотрим восприятие и мышление.

Восприятие -- это основной познавательный процесс чувственного отражения действительности, ее предметов и явлений при их непосредственном воздействии на органы чувств. Восприятие является основой мышления и практической деятельности, как взрослого человека, так и ребенка. [11]

Много полезного в понимании связанных с движениями психофизиологических механизмов восприятия внес русский физиолог И.М. Сеченов. Он напрямую связал их с работой мышечной системы. Расстояние до предметов, их глубина и высота, пути и скорости движения, писал Сеченов, все это продукты «мышечного чувства».

Восприятие является основой ориентации человека в мире и обществе. На основе восприятия человека человеком строятся отношения между людьми. Восприятие следует рассматривать как интеллектуальный процесс. В основе этого познавательного процесса лежит активный поиск признаков, необходимых для формирования образа предмета. Последовательность такого познавательного процесса, как восприятие, можно представить следующим образом:

а) выделение из общего потока информации какой-то группы сигналов и вывод о том, что эти выделенные сигналы относятся к одному предмету;

б) поиск в памяти близкого по составу комплекса ощущений признаков, затем сравнение с ним воспринятого предмета;

в) последующий поиск дополнительных признаков предмета, который позволит

У подростка «восприятие становится думающим» [Д. Б. Эльконин]. В процессе обучения, сначала в начальной школе, затем в среднем звене, восприятие ребенка становится:

а) более анализирующим,

б) более дифференцирующим,

в) принимает характер организованного наблюдения

г) изменяется роль слова в восприятии (у первоклассников слово, по преимуществу, несет функцию названия, т. е. является словесным обозначением. После узнавания предмета, у учащихся среднего звена школы слово-название является, скорее, самым общим обозначением объекта, предшествующим более глубокому анализу). [11]

Развитие восприятия не происходит само собой. Очень велика роль педагога, роль взрослого в этом процессе, которые могут специально организовать деятельность подростков по восприятию тех или иных объектов, учат выявлять существенные признаки, свойства предметов и явлений.

Как показывают психологические исследования, одним из эффективных методов организации восприятия и воспитания наблюдательности является сравнение. Те подростки, которые в полной мере овладевают этим методом, имеют более глубокое восприятие, количество ошибок у них значительно уменьшается.

В результате учебной деятельности восприятие подростков само переходит в самостоятельную деятельность, в наблюдение.

Наблюдение является осмысливающим и целенаправленным восприятием. У ребенка дошкольного и младшего школьного возраста наблюдение носит схематический характер. В подростковом возрасте наблюдение за предметами и явлениями начинает строиться на внутренней связи частей и сторон, подросток учится интерпретировать воспринимаемое, объяснять его.

Подростки уже практически полностью овладевают техникой восприятия, они уже умеют смотреть, слушать, выделять главные и существенные признаки предметов, видеть в предмете много разных деталей. У школьников, обучающихся в среднем звене, восприятие превращается в целенаправленный, управляемый, сознательный процесс.

Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно "обобщенные и свернутые структуры". [15] Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует "обобщенные ассоциации". При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

Мышление -- это творческий познавательный процесс, обобщенно и опосредованно отражающий отношения предметов и явлений, законы объективного мира. Познание человеком окружающего мира осуществляется в двух основных формах: форме чувственного познания и абстрактного мышления. Предметы воздействуют на наши органы чувств и вызывают в мозгу ощущения, восприятия, представления.[11]

Ощущения -- это отражение отдельных свойств предметов, непосредственно воздействующих на наши органы чувств. Восприятие -- целостное отражение внешнего материального предмета, непосредственно воздействующего на органы чувств.

Представление -- это чувственный образ предмета, в данный момент нами не воспринимаемого, но воспринятого ранее в той или иной форме. Путем чувственного отражения мы познаем отдельные предметы и их свойства. Законы мира, сущность предметов, общее между предметами и явлениями мы познаем посредством абстрактного мышления. Основными формами абстрактного мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Основными логическими приемами формирования понятий являются: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация. Понятие формируется на основе обобщения существенных признаков, присущих ряду однородных предметов. Для выделения существенных признаков требуется абстрагироваться (отвлечься) от несущественных признаков, которых в любом

предмете очень много. Этому служит сравнение, сопоставление предметов. Для выделения ряда признаков требуется произвести анализ, т. е. мысленно расчленить целый предмет на его составные части, элементы, стороны, отдельные признаки, а затем осуществить обратную операцию -- синтез (мысленное объединение) частей предмета, отдельных признаков, притом признаков существенных, в единое целое. Более подробно остановимся на этих операциях мышления.

Анализ -- это расчленение целостной системы на взаимосвязанные подсистемы, каждая из которых является отдельным, определенным целым, а также установление связей, отношений между ними.

Синтез -- мысленное соединение в единое целое частей предмета или его признаков, полученных в процессе анализа.

«Анализ и синтез, - писал С.Л. Рубинштейн, - «общие знаменатели всего познавательного процесса».

Анализ может выступать в двух формах:

Когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;

Когда целое расчленяют на части.

Синтез тоже может выступать в двух формах:

Когда в рассуждениях двигаются от данных задачи к искомому;

Когда элементы объединяют в целое.

К 7-8-у классу в психике учащихся уже преобладает анализ.

"Анализ решения экспериментальных задач учениками показал, что учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка математического материала, носящая характер аналитико-синтетического осмысливания материала", - писал В. А. Крутецкий.

Уже найденное известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и чётко. Однако ученику трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться её решить. Если использовать систематически анализ, у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользовался им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более сложной является задача, тем в более отчётливой форме он сможет проследить элементы анализа в своих рассуждениях.

Анализ и синтез соответствуют психическим процессам дедукции и индукции.

Дедукция и индукция. Эти методы используются в изучении учебного материала. Они неразрывны. В индукции мы идем от отдельных посылок, суждений к новому суждению большей степени общности; от отдельных конкретных явлений к обобщению.

В дедукции ход рассуждения противоположный, т. е. от обобщений к конкретным фактам.

Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал и когда в результате беседы учащиеся сами смогут сделать обобщение, заключение, сформулировать правило, некоторую закономерность (это требует творческого подхода).

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, а затем иллюстрирует его частными примерами, случаями, фактами.

Аналогия -- умозаключение о принадлежности предмету определенного признака на основе сходства в существенных признаках с другим предметом. В форме такого умозаключения осуществляется перенос отношений между предметами и понятиями.

Суждение -- форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их признаках, их отношениях. Например: Ученик Орлов -- отличник.

Умозаключения -- форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

В мыслительной деятельности учащихся в подростковом возрасте происходят существенные изменения. Достигнутый в младшем школьном возрасте уровень мышления позволяет подростку начать изучение основ наук. Для того чтобы успешно учиться в среднем звене, подросток должен хорошо обобщать, абстрагировать, сравнивать, рассуждать, делать выводы, доказывать.

Основной особенностью мыслительной деятельности подростка является нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению, изменение соотношения между конкретно-образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. При этом конкретно-образные (наглядные) компоненты мышления не исчезают, не регрессируют, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления.

В связи с этим в 7 классе, в отличии от 5-6 класса, где проводится пропедевтика задач на построение и приводятся образцы построений, приводятся алгоритмы построения, описанные общими позициями.

Глава 2. Система лабораторных работ по геометрии, направленных на обучение решению задач на построение

§1 Общие сведения о лабораторных работах

Лабораторная работа - это проведение учащимися по заданию преподавателя опытов с использованием приборов, инструментов и других технических приспособлений, т. е. это изучение каких либо явлений или новых понятий с помощью специального оборудования.

Лабораторные работы проводятся в виде фронтальных опытов, лабораторных работ, практикумов, занятий с ТСО и другим оборудованием разного типа.

Лабораторные работы часто носят исследовательский характер.

Лабораторные работы могут быть частью урока или занимать целый урок и даже более.

Лабораторные работы предназначены для практического усвоения материала. В традиционной образовательной системе лабораторные работы требуют специального оборудования, макетов, имитаторов, тренажеров и т.д. Эти возможности в дальнейшем могут существенно упростить задачу проведения лабораторного практикума за счет использования мультимедиа-технологий, имитационного моделирования и т.д.

Лабораторная работа - это практическое занятие, которое проводится как индивидуально и с группой учеников;

Цель лабораторных работ:

Овладение системой средств и методов экспериментально - практического исследования;

Расширение возможностей использования теоретических знаний для решения практических задач;

Получение новых знаний путем самостоятельного исследования и получения гипотезы с ее дальнейшим подтверждением;

Структурными основными элементами лабораторной работы являются:

- обсуждение учителем задания с группой, ответы на вопросы ее членов;

- самостоятельное коллективное исполнение задания посредствам чтения, практической деятельности, распределение частных заданий между участниками рабочей группы;

- консультации учителя в процессе обучения;

-обсуждение и оценка полученных результатов членами рабочей группы;

- письменный или устный отчет учащихся о выполнении задания;

- контрольное обследование учителя с представлением рабочих групп;

Как правило, все лабораторные занятия по определенной учебной дисциплине объединяются в единую систему и носят название «лабораторный практикум», что позволяет говорить о существовании значительного сходства между лабораторными и практическими формами проведения занятий.

Лабораторные работы - наиболее ценный метод обучения, характеризующийся тем, что учитель в целях приобретения учащимися знаний организовывает их деятельность в лаборатории. Применение лабораторных работ оказывается полезным в преподавании многих учебных дисциплин в тех случаях, когда:

- новое знание представляется сложным для словесного объяснения, но оно хорошо усваивается при самостоятельных наблюдениях учащихся над изучаемыми процессами;

- учащимся нужно усвоить знания практического характера.

Метод лабораторных работ состоит в том, что учащиеся самостоятельно воспроизводят явления, всесторонне наблюдают ход их и из своих наблюдений выводят законы, явления или что-либо определяют. Значение лабораторных работ и заключается в том, что, самостоятельно отображая явление, учащиеся становятся лицом к лицу с природой этого явления и получают возможность непосредственно наблюдать изучаемое явление. Этот метод оказывается очень полезным и в деле овладения знаниями и в приобщении учащихся к познавательной деятельности.

Лабораторные работы проводятся с различной степенью самостоятельности учащихся. При фронтальной организации учащиеся выполняют одни и те же виды и этапы работ по указанию учителя или по специальным инструктивным карточкам. При исследовательской или эвристической постановке лабораторных работ учащиеся получают вопрос, тему, задания и затем им предоставляется значительная самостоятельность в выполнении при соблюдении определенных инструкций. И в том и в другом случае успех лабораторной работы зависит от того, насколько она опирается на изученные знания по предмету и насколько тесно связана с изложением нового материала учителем. Лабораторная работа оказывается успешной, когда учитель тем или иным способом подвел учащихся к тому вопросу, ответ на который они должны получить из самостоятельно выполняемой лабораторной работы. Лабораторная работа ставится тогда, когда весь новый материал изложен учителем и требуется опытное подкрепление сформулированных им выводов.