Размещено на http://www.allbest.ru/

39

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: «Методика изучения математической логики в курсе информатики основной школы»

Введение

преподавание информатика логика математический

В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является одной из основных задач школьного обучения. Перед учителем стоит задача - не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логического мышления учащихся. При этом информатика имеет огромные возможности для реализации этой цели.

Изучение курса математической логики способствует развитию логического мышления.

Одно из приложений логики состоит в использовании ее методов для проведения и проверки рассуждений.

При решении логических задач ученикам предоставляется возможность подумать над условием, рассуждать. Обдумывание идеи задачи и попытка рассуждать, сконструировать его логически обоснованное решение - лучший способ раскрытия творческих способностей учеников.

Овладевший приемами логического мышления всегда понятен в разговоре, исключает всякую бессистемность в обработке информации. Он умеет находить рациональное зерно в чужой сбивчивой речи, оценивать доказательную силу высказываний в дискуссии, находить кратчайшие и правильные пути исправления ошибок.

Таким образом, изучение данного раздела позволяет учащимся более качественно овладеть знаниями по другим учебным предметам, а это доказывает интегрирующую роль информатики в целом и данного курса в частности.

Важную роль играет изучение элементов математической логики в курсе информатики, т. к. ее аппарат используется для анализа и синтеза переключательных схем, имеющих разнообразное применение в технике.

В частности, эти знания позволяют понять принципы работы компьютера, его возможности в преобразовании информации. Без опоры на понятия и законы математической логики невозможно осознать универсальный характер преобразования информации, возможность автоматической работы компьютера.

Важность и актуальность методического решения рассматриваемых вопросов определили выбор темы дипломной работы.

Объект исследования: процесс обучения информатике в средней школе.

Предмет исследования: изучение элементов математической логики в курсе информатики.

Из всего вышеизложенного выделяется следующая цель исследования:

Разработать методику формирования знаний, умений и навыков по математической логике при изучении курса информатики.

Для достижения поставленной цели будем решать следующие задачи:

1. Определить содержание обучения основам математической логики, в частности, в разделе, посвященном основам компьютера.

2. Обосновать общеобразовательное и практическое значение изучения логических основ компьютера.

Гипотеза исследования состоит в том, что освоение знаний и умений математической логики в курсе информатики будет эффективно и адекватно потребности изучения информатики, если:

· Содержание элементов математической логики будет отобрано, исходя из целей и задач курса информатики и будет работать на основную идею построения этого курса - «от информационных процессов к информационным технологиям»;

· Введение представлений о математической логике будет опираться на двоичную форму представления информации и универсальный характер ее преобразования в компьютере;

· Изучение логических операций будет связываться с их реализацией в логических элементах ЭВМ и возможностью сведения всех логических операций к ограниченному набору основных.

1. Причины изучения и особенности преподавания математической логики

1.1 Необходимость изучения математической логики

1.1.1 Роль образования в развитии российского общества и направление его модернизации

Важными факторами, влияющими на развитие методической системы обучения информатике, являются основные аспекты развития современного образования, а также место информатики в системе. Изучение информационных и коммуникационных технологий (ИКТ), овладение школьниками умениями и навыками применения средств ИКТ для решения учебных и практических задач является важной частью содержания школьного курса информатики.

Роль информационных технологий в жизни современного общества определяет особое положение предмета в общей системе школьного образования. При изучении данной темы ученик готовится к решению практических задач в условиях информационного общества. Вместе с другими предметами информатика создает основу для формирования способностей к аналитическому, формально-логическому мышлению, что совершенно необходимо для будущей учебной, научно-исследовательской и проектной деятельности.

Основные задачи модернизации российского образования, в соответствии с Концепцией модернизации российского образования на период до 2010 года [10] - повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает обновление содержания и создание условий для повышения качества общего образования.

Базовым звеном образования является общеобразовательная школа, модернизация которой предполагает ориентацию образования не только на усвоение учащимися определенных знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и творческих способностей. Общеобразовательная школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений, навыков, а также давать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности учащегося, то есть ключевой компетенции, определяющей современное качество содержания образования.

Развитие личности - это главный смысл и результат образования. Современные требования к образовательным результатам носят личностный характер - конечным образовательным результатом общего образования является мобильная, разносторонне развитая личность, способная адаптироваться в современном жизненном пространстве. Задача личностного развития учащихся реализуется средствами учебных предметов, каждый из которых в той или иной степени направлен на развитие определенных качеств личности. Сформированность этих качеств является основным компонентом образовательных результатов. Под образовательными результатами понимаются изменения в личностных ресурсах, которые могут быть использованы при решении значимых для личности проблем. Составляющими личностных ресурсов являются мотивационные (ценностные ориентации, потребности, запросы, которые определяют мотивы деятельности личности), инструментальные (универсальные способы деятельности, которые осваиваются при изучении, как правило, нескольких или всех предметов и носят преимущественно межпредметный характер), когнитивные (знания, обеспечивающие формирование научного мировоззрения, предметные умения и навыки).

Одним из важных и эффективных средств их реализации являются содержательные линии курса. Эти линии отражают логику, последовательность введения, развития, закрепления, использования для формирования других представлений основных, системообразующих понятий курса. Они как бы «цементируют» содержание предмета, обеспечивают его единство. А.А. Кузнецов и другие выделили шесть основных содержательных линий этого курса, среди них и линия ИКТ. Можем ли мы сказать сегодня, что эти линии в полной мере выполняют свои функции, оправдывают свое назначение? Думаем, что таких оснований нет. Большая часть разделов и тем курса выглядят и в примерной программе, и в учебниках в значительной мере изолированными, логически не связанными друг с другом. В частности, изучение ИКТ воспринимается как пользовательский курс «компьютерной грамотности» внутри общеобразовательного предмета информатики. Такая разобщенность наносит немалый вред школьной информатике, резко снижает эффективность реализации целей и задач изучения этого предмета в школе. [13]

1.1.2 Общеобразовательное и практическое значение математической логики в курсе информатики

Включение данного раздела в курс информатики связано, с одной стороны, с предоставлением учащимся информации, необходимой для изучения других тем в курсе информатики, а с другой, без этих знаний учащийся не сможет понять ни устройство компьютера, ни процессы, происходящие в нем.

Так, для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки. В основе языка лежит алфавит, т.е. набор символов. Форма представления такой информации может быть различной: знаковая (символьная), графическая, табличная. Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки. В процессе преобразования информации из одной формы представления в другую происходит кодирование. Средством кодирования служит таблица соответствия знаковых систем, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между знаками или группами знаков 2-х различных знаковых систем.

Форма представления информации в компьютере должна отвечать следующим требованиям:

· Универсальный язык (двоичная форма),

· Ограниченное число операций для преобразования информации с помощью этого языка.

Кроме того, должен существовать алгоритм преобразования информации.

Так как компьютер построен на этих требованиях, то преобразование любой информации в нем реализуется с помощью ограниченного числа операций, а следовательно, с помощью ограниченного числа логических элементов.

Целесообразно было бы построить содержание обучения ИКТ в курсе информатики на основе выделения инвариантной (научные основы ИКТ) и вариативной (навыки работы с конкретными версиями средств ИКТ) частей. При этом вариативная часть могла бы составить основное содержание практических (лабораторных) работ по этому курсу.

В качестве основных элементов содержания фундаментальных, научных основ ИКТ можно выделить три принципа: единство представления информации для всех технологий; единство в методах и средствах преобразования информации; построение ИКТ на основе алгоритмов, обеспечивающих автоматизацию обработки информации.

Анализ существующих методик изучения ИКТ в рамках курса информатики с точки зрения деятельностного подхода показал, что построение большинства методик недостаточно соответствуют основным принципам теории деятельности. В данных методиках учащиеся выступают как исполнители, которым ставят задачи, указывают способы их решения и определяют условия деятельности. Исполнительные действия преобладают над ориентировочными, не создается необходимая ширина переноса способов действий, мыслительные операции формируются на низком уровне, их развитие затруднено. Следствием данных процессов является недостаточная эффективность умственного развития учащихся и формирования личностных ресурсов в целом.

Таким образом, в процессуальном аспекте отсутствует соответствие между ведущими принципами деятельностного подхода и способами организации деятельности учащихся в большинстве из существующих методик изучения ИКТ.

Анализ минимального содержания курса информатики показывает, что при любом способе упорядочивания тем формально-логические операции будут выполняться учащимися обязательно. Нельзя не учитывать также и то, что в целях создания необходимых условий достижения нового, современного качества общего образования планируется предусмотреть введение обязательного экзамена по информационным технологиям за курс основной школы. Казалось бы, для изучения информатики достаточно практического применения логики в информатики, но с точки зрения развития личности, заявленной как одной из приоритетных задач современного российского образования, не менее важна и вторая составляющая.

Изучение логики развивает ясность и четкость мышления, способность предельно уточнять предмет мысли, внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях, умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

1.1.3 Возрастные особенности подростков

Одним из основных направлений модернизации общего образования является соответствие содержания образования возрастным особенностям развития учащихся, их возможностям на каждой ступени образования. Рассмотрим это в рамках нашего вопроса.

Интеллектуальное развитие ребенка спонтанно, оно проходит ряд стадий, порядок следования которых всегда остается неизменным. На каждом уровне достигается относительно стабильное равновесие, которое затем снова нарушается. Процесс развития интеллекта (по Ж. Пиаже) представляет собой смену трех больших периодов, в течение которых происходит становление трех основных интеллектуальных структур. Сначала формируются сенсомоторные структуры (до 2 лет) - системы последовательно выполняемых материальных действий. Затем возникают структуры конкретных операций (2-11 лет) - системы действий выполняются в уме, но с опорой на внешние, наглядные данные. Еще позже (11-15 лет) - происходит становление формально-логических операций. Формальная логика, по Ж. Пиаже, есть высшая ступень в развитии интеллекта.

Исходя из теории Ж. Пиаже, Джером Брунер пересмотрел некоторые его представления об интеллектуальном развитии. Развитие складывается не просто из ряда стадий, оно предполагает последовательное овладение ребенком тремя сферами представлений - действием, образом и символом (словом).

Большое значение для развития интеллекта Дж. Брунер культуре общества, в котором растет ребенок, общественному опыту, который он усваивает в процессе обучения. Процесс умственного развития представляет собой не просто последовательность спонтанно разворачивающихся событий, он определяется также и различными влияниями среды, особенно школьной. Обучение может стать даже ведущим фактором развития, если оно предоставит возможность ученику самому форсировать свое развитие, поставит перед ним задачи, которые будут побуждать его к пе5реходу на следующий уровень. Любой предмет, по Дж. Брунеру, может быть преподнесен в том или ином виде ребенку любого возраста.

Рассмотрим более подробно развитие интеллектуальной сферы учащегося 14-15 лет. В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление. Приобретенные в младшем школьном возрасте операции становятся формально-логическими. Подросток, абстрагируясь от конкретного, наглядного материала, рассуждает в чисто словесном плане. На основании общих посылок он строит гипотезы и проверяет их.

Подросток оперирует гипотезами, решая интеллектуальные задачи, а также способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается найти новые подходы к ее решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Он находит способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. эти умения развиваются в процессе школьного обучения при овладении знаковыми системами, принятыми в математике, физике, химии.

Развиваются также операции, как классификация, аналогия, обобщение и другие. При одиннадцатилетнем обучении скачок в овладении этими умственными операциями наблюдается при переходе из 8 в 9 класс. Устойчиво проявляется рефлексивный характер мышления: дети анализируют операции, которые они проводят, способы решения задач.

Особенности теоретического рефлексивного мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Без высокого уровня развития интеллекта был бы невозможен характерный для этого возраста интерес к абстрактным, философским, религиозным, политическим и иным проблемам. Подростки рассуждают об идеалах, о будущем, иногда создают собственные теории, приобретают более обогащенный взгляд на мир.

Становление основ мировоззрения, начинающееся в этот период, тесно связано с интеллектуальным развитием. Подросток приобретает взрослую логику мышления. В это же время происходит дальнейшая интеллектуализация таких психических функций, как восприятие и память. Этот процесс связан с усложняющимся в средних классах содержанием учебного материала.

Развитие воображения также связано с интеллектуальным развитием. Сближение воображения с теоретическим мышлением дает импульс к творчеству: подростки пишут стихи, серьезно занимаются разными видами конструирования и т.д. воображение подростка менее продуктивно, чем воображение взрослого человека, но оно богаче воображения ребенка.

Нельзя не учитывать и то, что на подростковый возраст приходится период полового созревания и психологического взросления. В самосознании происходят следующие изменения: появляется чувство взрослости, возникает желание если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым. Отстаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идет на конфликт с ними. Кроме того, подростку присуща сильная потребность в общении со сверстниками. Ведущая деятельность в этот период - интимно-личностное общение. Появляется подростковая дружба, происходит объединение в неформальные группы. Возникают яркие, но обычно сменяющие друг друга увлечения.

Личная нестабильность порождает противоречивые желания и поступки: подростки стремятся во всем походить на сверстников и пытаются выделиться в группе, хотят заслужить уважение и бравируют своими недостатками, требуют верности и меняют друзей. Благодаря интенсивному интеллектуальному развитию появляется склонность к самоанализу, впервые становится возможным самовоспитание. У подростка складываются разнообразные образы «Я», первоначально изменчивые, подверженные внешним влияниям. К концу периода они интегрируются в единое целое, образуя на границе ранней юности «Я-концепцию», которую можно считать центральным новообразованием всего периода.

Подводя итог всему вышеизложенному, можно говорить не только о возможности, но и о необходимости именно в этот период дать цельное представление об основах логики как с позиции возрастных особенностей подростков, так и с позиции важности основ логики в курсе информатики и во всей системе преподавания наук в школе.

1.2 Методические особенности преподавания математической логики

1.2.1 Анализ учебников

Рассмотрим федеральный перечень учебников, учебно-методических изданий на 2007-2008 учебный год, утвержденный приказом Минобразования России №11 от 15.01.2004. В нем содержатся следующие издания, рекомендованные и допущенные к использованию в основной и старшей школе:

1. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. «Информатика. Систематический курс». 10 класс, 2001-2003, «БИНОМ».

2. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. «Информатика. Систематический курс». 11 класс, 2002-2003, «БИНОМ».

3. Гейн А.Г. и другие. «Информатика». 10-11 классы, 2000-2002, «Просвещение».

4. Кузнецов А.В., Апатова Н.В. «Основы информатики». Учебное пособие. 8-9 классы, 1999-2001, «Дрофа».

5. Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. «Логика в информатике». Методическое пособие к учебникам. 1, 2 части.

6. Макарова Н.В. «Информатика. Учебное пособие», 10-11 классы, 2007, «Питер».

7. Под редакцией Макаровой Н.В. «Информатика. Базовый курс». Учебник 7-9 классов, 2007, «Питер».

8. Семакин И.Г. и другие. «Информатика. Базовый курс». Учебное пособие для 7-9 классов, 2001, «БИНОМ».

9. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. «Информатика. 10 класс», 2001-2003, «БИНОМ».

10. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. «Информатика. 11 класс», 2001-2003, «БИНОМ».

11. Под редакцией Семакина И.Г., Хеннера Е.К. «Задачник-практикум по информатике». 1,2 части. 7-11 классы. 2001-2003, «БИНОМ».

12. Угринович Н.Д, «Информатика и информационные технологии», 10-11 классы, 2001-2003, «БИНОМ».

13. Угринович Н.Д. и другие. «Практикум». 2001-2003, «БИНОМ».

Проанализируем данные издания на предмет содержания в них раздела «Логические основы компьютера»:

1. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. «Информатика. Систематический курс». 10 класс, 2001-2003, «БИНОМ».

2. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. «Информатика. Систематический курс». 11 класс, 2002-2003, «БИНОМ».

3. Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. «Логика в информатике». Методическое пособие к учебникам. 1, 2 части.

Концепция отражена в предисловии к учебнику 10 класса, где говорится, что информатика рассматривается как существенный элемент гуманитарной культуры человека, который вносит решающий вклад в формирование современного научного мировоззрения. Несмотря на это, в учебниках отсутствует раздел «Логические основы компьютера», но он достаточно представлен в методическом пособии.

Хорошо изложены темы «Элементы математической логики», «Элементы схемотехники». Но «Основы формальной логики» даны поверхностно. Представлена система задач, причем решение некоторых задач дается с помощью языков программирования.

Кузнецов А.В., Апатова Н.В. «Основы информатики». Учебное пособие. 8-9 классы, 1999-2001, «Дрофа».

Концепция: прочное и сознательное овладение учащимися основами знаний об информационных процессах и раскрытие роли информатики в формировании информационной картины мира.

Логические выражения встречаются только при изучении условного оператора в разделе «Основы программирования», где рассматривается несколько сложных условий в Паскале на базе логической операции and, or и not. Формальная логика в данном учебнике не рассматривается вообще.

1. 1. Семакин И.Г. и другие. «Информатика. Базовый курс». Учебное пособие для 7-9 классов, 2001, «БИНОМ».

2. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. «Информатика. 10 класс», 2001-2003, «БИНОМ».

3. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. «Информатика. 11 класс», 2001-2003, «БИНОМ».

4. Под редакцией Семакина И.Г., Хеннера Е.К. «Задачник-практикум по информатике». 1,2 части. 7-11 классы. 2001-2003, «БИНОМ».

В основе линии учебников лежит понятие «информация». Решаются три задачи: формирование научного мировоззрения, развитие мышления, подготовка к практической деятельности.

Логика рассматривается только в аспекте практического применения при построении условий поиска в базах данных (и, или, не). В дополнительных главах рассмотрены схемы, удобные для представления логических выражений и условные функции в электронных таблицах на базе логических операций и, или, не. В задачниках выделен параграф «Логическая информация и основы логики», где даны понятия высказывания, логической операции, представлены свойства и законы логики, разработан пример решения логической задачи, дана система задач по этим темам с примерами решения. Схемотехнический аспект изучения логики отсутствует.

1. Макарова Н.В. «Информатика. Учебное пособие», 10-11 классы, 2007, «Питер».

2. Под редакцией Макаровой Н.В. «Информатика. Базовый курс». Учебник 7-9 классов, 2007, «Питер».

За основу в этой линии учебников взято понятие «объект» и «системно-информационный подход», т.е. предлагается обучение целенаправленной работе с информацией об объекте на основе системного подхода.

«Логические основы компьютера» даются в виде темы «Логические основы построения компьютера», где кратко даны самые основные понятия формальной логики, математической логики и основные логические устройства компьютера. практические приложения рассматриваются при освоении среды табличного процессора и при изучении программирования в среде «ЛОГО».

1. Угринович Н.Д, «Информатика и информационные технологии», 10-11 классы, 2001-2003, «БИНОМ».

2. Угринович Н.Д. и другие. «Практикум». 2001-2003, «БИНОМ».

Основой этого комплекта является установка на общеобразовательное значение информатики, формирование основ научного мировоззрения школьника, развитие мышления и творческих способностей учащихся.

Тема «Логические основы компьютера» рассматривается отдельным блоком как в учебнике, так и в практикуме: «Основы логики и логические основы компьютера», где довольно подробно изложен материал и система задач по темам «Основы математической логики» и «Элементы схемотехники». По формальной логике даны основные понятия и система задач. Разработаны также практические приложения логики к информационной технике.

Таким образом, можно сделать некоторые выводы:

1. Содержание темы «Основы формальной логики» в учебниках представлены слабо или отсутствуют, что требует более тщательной разработки.

2. Темы «Основы математической логики» и «Элементы схемотехники» разработаны авторами учебников и пособий достаточно хорошо. Можно выделить несколько изданий для использования в практической деятельности:

· Угринович Н.Д, «Информатика и информационные технологии», 10-11 классы, 2001-2003, «БИНОМ».

· Угринович Н.Д. и другие. «Практикум». 2001-2003, «БИНОМ».

· Лыскова В.Ю., Ракитина Е.А. «Логика в информатике». Методическое пособие к учебникам. 1, 2 части.

1.2.2 Используемые методы и формы изложения учебного материала

При изложении нового материала обычно используются такие формы организации урока, как лекция или диалог (обсуждение), приемы активизации учебно-познавательной деятельности учащихся, в том числе приучает их к конспектированию излагаемого материала. Механизм восприятия выглядит следующим образом: воспринимается информация, затем в сознании происходит ее анализ, после чего информация снова выражается словами, но уже в виде конспекта. Конспект является результатом мышления учащегося, что требует от него значительного умственного напряжения. Умение слушать и одновременно конспектировать вырабатывается постепенно, поэтому объемный и сложный материал, а также основные понятия, лучше диктовать.

В ходе беседы учащиеся ориентированы на более широкое взаимодействие не только с учителем, но и друг с другом. Активность учащихся доминирует в процессе обучения. Это могут быть сообщения, небольшие доклады на заданную тему. Роль учителя сводится к направлению деятельности учащихся на достижение целей урока. Основными составляющими таких уроков являются задания, выполненные учениками. Выполняя их, школьники не только закрепляют ранее изученный материал, но в большей мере изучают новый.

Понимание сущности образовательных результатов существенно изменяет ориентиры не только содержания обучения, но и используемых методов, организационных форм и средств обучения. Это в полной мере относится к изучению в курсе информатики элементов математической логики. Теперь уже нельзя строить такое изучение в основном на тренинге типовых умений, ориентируя его на многочисленные упражнения, решение задач репродуктивного характера. Не могут остаться в стороне и такие принципы обучения, как фундаментальность, системность, сознательность в обучении. В полной мере надо задействовать и внутрипредметные связи курса, особенно разделы, связанные с представлением информации, ее обработкой, устройством компьютера. Очевидно, что придется корректировать и другие методические позиции. С точки зрения современной педагогики обученность - это готовность к определенной деятельности, в процессе которой учащиеся должны проявить знания и умения, усвоенные ими в процессе обучения.

Для успешного усвоения знаний на уроках информатики часто используется деятельностный подход. Он дает содержательное и детальное описание внутренней структуры учебной деятельности - особой формы учебной активности личности, которая включает ряд элементов: проблемную ситуацию, учебную ситуацию, учебную цель, учебно-познавательный мотив, учебную задачу, учебное действие, познавательный интерес, познавательную потребность, умение учиться, контроль и самоконтроль, рефлексию коллективно - распределенной деятельности. [13]

В соответствии с теорией деятельности главным содержанием обучения должны быть общие способы действий по решению широких классов задач, чтобы деятельность учащихся была направлена на овладение этими общими способами. П.Я. Гальперин отмечал, что все приобретения в процессе учения можно разделить на две неравные части: одну составляют новые общие схемы вещей, которые обусловливают новое их видение и новое мышление о них, другую - конкретные факты и законы изучаемой области, конкретный материал науки. Освоение общих схем требует универсальных способов действий, в то время как конкретный материал связан с узкопредметными, преимущественно исполнительными действиями. Не отрицая необходимости формирования конкретных действий, наибольшее внимание нужно уделять общим способам действий, связанным с использованием фундаментальных знаний, которые носят инвариантный характер.

В ходе изучения основ математической логики используются следующие средства обучения:

· Печатные (учебники и учебные пособия, раздаточный материал и т.д.),

· Электронные ресурсы (мультимедиа, учебные программы),

· Наглядные (плакаты, печатные таблицы).

Наиболее эффективное воздействие на обучающихся оказывают современные мультимедийные средства, учебные программы.

2. Содержание обучения основам математической логики

2.1 Основы формальной логики

Урок, посвященный изучению этапов развития логики

Цель урока: введение в предмет логики, исследование значения логики, знакомство с этапами развития логики.

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Вначале логика возникла и развивалась в недрах философии как единой науки, объединявшей всю совокупность представлений людей об окружающем мире и самом человеке, его мышлении. При этом первоначально законы и формы правильного мышления изучались в границах ораторского искусства, как одного из средств воздействия на умы людей, убеждения их в целесообразности определенного поведения.

Основателем арабоязычной логики считается сирийский математик аль-Фараби (870-950), прокомментировавший весь аристотелевский «Органон». Его логика направлена на анализ научного мышления. Аль-Фараби выделяет в логике две ступени: одна охватывает представления и понятия; другая - теорию суждений, выводов и доказательств.

В XV-XVI вв., в эпоху Возрождения, происходит активизация эмпирических тенденций в логике и методологии научного знания. В этот период происходит бурное развитие науки, она сближается с практикой. Все значительнее место среди других наук начинает занимать математика.

Применению в логике математических методов положил начало немецкий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646-1716 гг.). Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями».

С начала XX столетия формальная логика получает дальнейшее развитие. Возникла математическая логика, широко применившая метод математической формализации и специальный аппарат символов к определенному кругу логических операций. Представляют математическую логику Г. Фреге (1848-1925), Б. Рассел (1872-1970), Б. Аккерман (1896-1962) и другие мыслители. Так, Б. Рассел считал, что если гипотеза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют математику.

Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры - язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра - алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.), английского - У. Джевонса (1835-1882 гг.), американского - Ч. Пирса и др.

Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н.И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.

Основоположником первого направления явился немецкий математик и логик Г. Фреге (1848-1925 гг.). Он стремился всю математику обосновать через логику, применил аппарат математической логики для обоснования арифметики, построив первую формальную логическую систему. Кроме того, им и независимо от него Ч. Пирсом были введены в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, что дало возможность применить этот язык к вопросам оснований математики.

Представители направления, основанного голландским математиком Л. Брауэром (1881-1966 гг.) в начале XX века, предложили отказаться от рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а также от логического закона исключенного третьего. Ими признавались только такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования.

XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные математические теории множеств, выработано несколько формализаций понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н.А. Васильев, И.И. Жегалкин, А.Н. Колмогоров, П.С. Новиков, А.А. Марков, А.И. Мальцев, С.А. Яновская. Кроме того, в XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику.

Урок, посвященный изучению основных понятий логики

Цель: знакомство с формами мышления, формирование умений выделять логические характеристики понятий, суждений, умозаключений.

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Алгебра логики - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание - это любое повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo. то же такое логическое высказывание?

Так, например, предложение «6 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Рим - столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения «ученик десятого класса» и «информатика - интересный предмет». Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие «интересный предмет». Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа «в городе A более миллиона жителей», «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км» в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний «Петров - врач», «Петров - шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров - врач и шахматист», понимаемое как «Петров - врач, хорошо играющий в шахматы».

При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров - врач или шахматист», понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно».

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

2.2 Основы математической логики

Урок, посвященный изучению элементарных логических операций и таблиц истинности

Цель урока: определение основных логических операций, формировать умение строить таблицы истинности.

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. «Луна - спутник Земли» (А); «Луна - не спутник Земли» ().

Таблица истинности

x
0	1
1	0

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой «^. » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» - ложны.

Таблица истинности

x	y	x. y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» - истинны.

Таблица истинности

x	y	x v y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками «если…, то», «из… следует»,»… влечет…», называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: «данный четырёхугольник - квадрат» (А) и «около данного четырёхугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание , понимаемое как «если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка «если…, то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы», «если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин».

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»,»… равносильно…», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» истинны, а высказывания «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3» ложны.

Урок, посвященный изучению логических законов

Цель урока: знакомство с законами алгебра логики и свойствами логических операций, закрепление умения построения сложных логических формул, использование законов алгебры логики при тождественных преобразованиях.

Формы организации урока: 1-й урок - лекция, обсуждение; 2-й урок - семинар.

В алгебре логики выполняется ряд основных законов, позволяющих производить тождественные преобразования логических выражений. Таблица основных законов логики выглядит следующим образом:

Закон	Для ИЛИ	Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания

Изучение темы заканчивается одним из вариантов контроля успешности усвоения учебной программы.

Урок, посвященный изучению логических элементов компьютера

Цель урока: дать понятие об устройстве и функционировании логических элементов компьютера.

Форма организации урока: лекция, диалог (обсуждение).

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: «1» и «0».

При этом:

1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие, а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера.

Чтобы представить два логических состояния - «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения.

Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий - значению «ложь» («0»).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z=x^.y (читается как «x и y»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&» (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

Знак «1» на схеме - от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как «x или y»).

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , x где читается как «не x» или «инверсия х».

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.

Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: , где читается как «инверсия x и y».



Таблица истинности схемы И-НЕ

x	y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: , где , читается как «инверсия x или y».

Таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ

x	y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Какие логические элементы строятся при помощи этих схем?

Триггер - это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.

Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает «хлопанье». Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить («перебрасываться») из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера - так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set - установка, и reset - сброс).

Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала

На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов ().

Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие - нулем.

Таблицу истинности работы RS-триггера можно увидеть в Приложении 1.

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ Если на входы триггера подать S= «1», R= «0», то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится «0». После этого на входах нижнего вентиля окажется R= «0», Q= «0» и выход станет равным «1».