Исследования педагогов и психологов, наблюдения за детьми дома, в детском саду и школе показали, что формирование понятия натурального числа у детей дошкольного и младшего школьного возраста происходит на основе оперирования совокупностями предметов: набором палочек, геометрических фигур (кругов, квадратов, кубов), предметами быта (два стула), игры (три куклы), питания (две морковки). Еще до школы дети приобретают знания о количестве и количественных отношениях из разных источников, среди которых особое значение имеют слово и действия взрослых, которым малыши активно подражают.

Ребенка окружают предметы, различающиеся размерами, формой, цветом, количеством. С помощью взрослого малыш учится называть и различать их, пользоваться ими. По мере развития ребенка изменяются его взаимоотношения с окружающим миром, у него формируются новые понятия.

В раннем детстве происходит первое элементарное познание количества, являющееся необходимой ступенькой познания действительности. С первых дней жизни ребенок попадает в мир предметов, явлений, воспринимает разнообразные количества не только предметов, но и звуков, движений.

У малыша формируются хаотические, неупорядоченные представления о количестве. Взрослые помогают систематизировать эти впечатления, учат детей различным действиям с отдельными предметами и с группами предметов, обогащают их речь специфическими словами, относящимися к нечисловой характеристике количеств и количественных отношений, учитывая особенности восприятия совокупностей.

Исследования А.М. Леушиной показали, что сначала учить детей надо не числу, а сравнению (способствовать формированию у них представлений о количественных отношениях), а затем уже знакомить со счетной деятельностью, пользуясь числительными.

Преждевременное обучение ребенка числу и счету приводит к тому, что представление о числе приобретает у негой формальный характер. Окружающая нас действительность представлена как дискретными (прерывными), так и недискретными (непрерывными) множествами. Первое из них определяется посредством счета, а второе -- посредством измерения. Соответственно этому в категории количества выделяются два основных понятия: число и величина, и следовательно, содержание ее представляет собой единство этих понятий.

Число является результатом определения мощности множества дискретной совокупности объектов. Величина -- это результат измерения непрерывного количества (например, каких-либо непрерывных признаков), которое получает выражение в числе.

В математике существуют два понятия числа: количественное и порядковое, то, и другое отражают объективные свойства дискретного количества.

Категория количества -- одна из наиболее абстрактных категорий мышления человека. Познание количества, количественных отношений осуществляется детьми в основном в наглядно-образной форме, в процессе предметной деятельности. Ребенок имеет дело с конкретными количествами предметов (например, различного вида игрушками). Он выделяет из группы отдельный предмет (выбирает один карандаш из всех находящихся в коробке, одну машину из всех стоящих в игровом уголке), объединяет предметы (складывает кубики в ящик, надевает на стержень колечки пирамидки), отделяет часть от других предметов (из всего строительного материала берет только кирпичики, чтобы ставить забор).

Действуя с предметами, ребенок сравнивает их количество и сообщает об этом: «Вот у меня сколько!», «А у меня больше!». Практические действия под руководством взрослых со множеством вещей, восприятие звуков, движений и последующее обозначение их количества соответствующим словом создают необходимую основу для формирования у дошкольника понятия числа.

Натуральный ряд чисел характеризуется рядом закономерностей:

- понятие числа возникает при необходимости давать количественную характеристику разным совокупностям, величинам;

- развитие данного понятия происходит при практическом овладении такими операциями, как счет, измерение, сложение, вычитание величин;

- понятие числа развивается в диалектической связи с другими математическими понятиями (система счисления, арифметическое действие, величина).

Отечественные психологи, педагоги, методисты, занимавшиеся проблемой формирования числовых представлений, утверждали единство восприятия множества и овладения счетом при усвоении понятия числа. Такие психологи и педагоги, как М.В. Вовчик-Блакитная, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.М. Леушина, Н.А. Менчинская, Л.А. Яблоков, рассматривают формирование математических понятий как сложную познавательную деятельность ребенка.

Представления о совокупностях формируются у детей благодаря накоплению однородных восприятий: слуховых, двигательных, зрительных. Малыши вслед за взрослыми повторяют числительные, а затем овладевают счетной деятельностью.

Ребенок первого года жизни реагирует на множество иначе, чем на один предмет: он замечает большое количество однородных предметов. Перед девочкой (1 г. 10 мес.) положили 10 сушек, а в стороне -- одну большую баранку. Она замечает только сушки, а на баранке ее взгляд не задерживается. Сушки же малышка не просто рассматривает, а берет в руки и передает сидящему напротив взрослому до тех пор, пока не отдаст все.

Ребенок рано начинает отличать один предмет от группы предметов и употреблять существительные во множественном числе (в дневниковых записях Н.А. Менчинская отмечает это у детей в 1 г. 10 мес., А.Н. Гвоздев -- в 1 г. 9 мес., В.С. Филатов -- в 1 г. 6 мес.).

Но такое отличие не является свидетельством о знании числа, так как множественное число существительных одинаково характеризует группу в 2 и в 22 предмета (2 куклы и 22 куклы). Речь идет о неопределенной множественности, и только число указывает на количественное различие.

Дети раннего возраста употребляют слова-числительные. Кроме существительных множественного числа, ребенок употребляет слова много, мало, подтверждающие, что он обращает внимание на количественную сторону предметов. Малыш употребляет выражения «еще, еще...», «вот, вот...», показывающие, что он выделяет отдельные предметы из представленных ему групп предметов.

Для того чтобы научиться считать их, объединять в количественные группы, детям необходимо иметь эти предметы, уметь их называть, знать значение, ознакомиться с их качествами, свойствами.

Играя со взрослыми, ребенок учится объединять, разделять группы предметов (производить операцию анализа и синтеза). Например, игры с куклами. Взрослый просит ребят собрать всех кукол вместе, затем отобрать самых маленьких из них. Позже малыши получают следующее задание: посадить рядом кукол в платочках и т. д.

Как видим, куклы разделены на группы по размеру и наличию головных уборов, цвету одежды. Если дети умеют произвести такой анализ, их можно научить сравнению: каких кукол много (маленьких или больших), каких мало или поровну.

Для ответа не нужен счет с помощью слов-числительных. Позже такие сравнения: много -- мало, больше -- меньше, поровну -- вызывают у детей желание называть числа предметов сравниваемых совокупностей. Появляется возможность обучить их счету, умению ответить на вопрос: «Сколько предметов и каких?»

Чтобы сформировать у детей понятие числа, нужно, чтобы в раннем возрасте они видели, слышали, осязали, сравнивали разнообразные предметы, звуки, движения.

Учитывая особенности восприятия количеств, формируя представления о них, можно научить детей считать.

Счетная деятельность заключается в умении практически установить взаимно однозначное соответствие между элементами двух групп и определить их равенство и неравенство, не называя числа. На этом этапе ребенок овладевает собирательным значением последнего итогового числа.

Для понимания числа дети должны научиться сравнивать множества. Прежде чем обучать их числу, необходимо дифференцировать различные множества путем сопоставления входящих в них элементов. Для ребят важно уяснить, что множества бывают разные. Чтобы установить их различия, надо узнать количество элементов, т. е. сосчитать их. Тогда детям станет яснее смысл счетной операции и значение слов-числительных.

Понимание результатов сравнения, сознательное выполнение действий развивает элементарное математическое мышление у детей уже в младшем дошкольном возрасте.

При формировании понятия числа большое значения имеет слово. С раннего возраста мы помогаем детям овладеть правильными речевыми оборотами в соответствии с конкретными действиями и представлениями о множестве. Этому способствует планирование работы по словарному запасу на занятиях по математике, работа над специальным словарем, которым постепенно овладевают дети. У дошкольников конца второго -- начала третьего года жизни появляется стремление самим собрать воедино множество предметов. Они любят перекладывать вещи, перетаскивать их с одного места на другое, собирать все игрушки в коробку, а затем высыпать их. С большим удовольствием малыши наблюдают, как они рассыпаются. К концу второго года жизни дети уже не безразличны к словам сколько и посчитай. Малыши прислушиваются к вопросу «Сколько?», осмысливая его, присматриваются к игрушкам, но уже не действуют с ними (не катают, даже не трогают). Некоторые дети называют отдельные числительные: два, пять, четыре, семь, заимствуя их из речи взрослых и не соотнося с соответствующими количествами предметов. Такое поведение малышей свидетельствует о зарождении у них мысли в связи с заданным вопросом.

До двух лет идет накопление опыта восприятия разных количеств: предметов, звуков, движений, действий. Затем у детей формируется способность различать группы, где много предметов и один. В этот период они осваивают слово много. У детей начала третьего года жизни зарождается тенденция к различению большого и малого количества. В словаре ребенка появляется слово мало. В активном словаре детей оно появляется позже, чем слово много. К третьему году жизни дети правильно употребляют имена существительные в единственном и множественном числе, имена прилагательные, глаголы. Они охотно выполняют просьбы взрослого: «Дай одну уточку», «Поставь много уточек», отвечают на вопрос: «Сколько уточек поставил?»

Дети третьего года жизни в разных условиях понимают и правильно соотносят слова много, мало, один (в пределах пяти предметов). Умение применять знания является одним из существенных показателей уровня умственного развития ребенка.

Способность дифференцировать совокупности с большим и меньшим количеством предметов развивается к трем годам. В этом возрасте появляется умение различать по количеству не только предметы, но и звуки.

Чтобы помочь детям сосредоточить внимание на количестве, используются предметы одинаковых размеров. Дети замечают, прежде всего, размеры предметов, а не их количество. На вопрос: «Каких матрешек больше?» -- они отвечают: «Больших!» На вопрос: «Каких матрешек меньше?» -- отвечают: «Маленьких!»

На третьем году жизни дети могут самостоятельно составлять группы предметов. Они овладевают способом сравнения двух совокупностей предметов, накладывая или ставя один предмет на другой. У малышей появляются первые попытки определить отношения неравенства. В результате сравнения они видят оставшиеся предметы, которые взрослый называет лишними. Дети начинают усваивать понятия больше -- меньше.

Подчеркнем: в начале третьего года жизни при сравнении двух групп предметов дети воспринимают каждую совокупность изолированно от другой и называют их словами много -- мало. К концу третьего года жизни у малышей появляется способность воспринимать и определять результаты сравнения -- видеть неравенство двух групп предметов, отвечать на вопросы: «Чего больше?», «Чего меньше?»

У дошкольников начинают развиваться анализирующая мыслительная деятельность и элементарное понимание количественных отношений.

Наиболее доступны для различения и осмысливания сочетания предметов в количестве 1 и 3, 2 и 4, 5 и 2, 5 и 3.

Малыши своеобразно воспринимают группы в 2 и 3 предмета. Употребляя числительное два, они обозначают им 2 и 3 предмета. Дети третьего года жизни еще не понимают, что названное число должно указывать на общее количество сосчитанных предметов.

В то же время совокупности в 2 и 3 предмета в сравнении с 5 воспринимаются детьми как малое множество. Они именуют их словом мало, а 5 -- много.

Однако группа предметов может характеризоваться ребенком по-разному, в зависимости от того, с каким количеством сравнивается. Если сравнивается с 5, то 3 -- это мало, а в сравнении с 1 - 3 уже много.

При систематическом обучении у детей появляется умение соотносить не только предметы между собой, но и звуки с предметами.

К трем годам происходят значительные качественные изменения в восприятии количества предметов. У детей развивается анализирующее восприятие и постепенно происходит выделение признака количества независимо от свойств и качеств предметов.

Постепенно дети учатся отвечать жестом, словом на вопросы различного содержания: «Сколько?», «Где много? (мало?)», «Чего много? (мало?)», «Чего (где) больше? (меньше?)»; производить элементарный анализ, синтез различных количеств предметов; высказывать простейшие суждения.

Они не только различают предметы, звуки по количеству, но могут самостоятельно создавать различные качественные группы и соответственно употреблять наречия много, мало, числительное один, выражение вот сколько. У ребят формируются начала произвольного внимания, являющиеся серьезными предпосылками для умственного развития.

Действия ребенка с различными предметами имеют большое значение для его общего развития. Воспитание целенаправленности действий (а в процессе действий -- и мышления) начинается с раннего возраста.

В этом возрасте дети могут овладевать понятиями правой, левой руки. К концу третьего года у них начинает вырабатываться навык выполнения действия правой рукой в направлении слева направо. У детей (в разных видах деятельности под непосредственным наблюдением взрослого) следует развивать умение различать и называть правую и левую руки.

В раннем возрасте закладывается основа этого навыка, который закрепляется в последующие годы. Раскладывая предметы левой рукой, дети обычно действуют ею слева направо, правой -- справа налево. Подобный стереотип движения складывается к трем годам и сохраняется долго, если на это не обратить внимания. Порою он сохраняется и в младшем школьном возрасте, что ведет к характерным ошибкам в написании букв, цифр, в выполнении вычитания.

Следовательно, уже в работе с детьми третьего года жизни надо формировать движения правой руки и глаз в направлении слева направо. Этому следует уделять внимание на занятиях математикой и в последующие возрастные периоды.

Первые математические представления формируются у ребенка на основе практической деятельности с множествами. Внимание малышей полутора-двух лет привлекают различные множества предметов, движений, звуков. Манипулируя с предметами (накладывая, надевая, переставляя их), дети сопровождают свои движения словами: «Вот.., вот.., вот...», «Так.., так.., так...».

Важно, что каждому действию соответствует одно слово, которое помогает не только выделить отдельный предмет, но и отметить увеличение их количества. Такой комплекс действий ребенка служит пропедевтическим началом развития счетной деятельности.

На третьем году жизни у ребенка развивается интерес к сравнению количеств разных предметов: пониманию равенства (много, тоже много) и неравенства (больше, меньше).

Операция счета формируется у детей на основе практического установления взаимно однозначного соответствии между элементами множеств. Дошкольник выполняет ряд практических действий. Разложив группу предметов в определенном порядке (обычно в ряд слева направо), он затем располагает другую группу таким образом, чтобы каждый новый предмет соответствовал предмету первой группы. Так малыш на практике убеждается в равенстве или в неравенстве двух групп разных предметов (множеств). Он может объединить одну совокупность с другой, убрать часть предметов из одной совокупности и т. д. Практические преобразования реальных объектов помогают дошкольнику усвоить отношения равенства и неравенства совокупностей. Ребенок, рассаживая кукол на стулья, замечает, что на каждый стул посажена одна кукла, а стульев и кукол равное количество. Или, помещая уточек в «домики» (на кружки), обнаруживает, что есть лишние «домики» (кружки), значит, их больше, чем уточек.

Важно, чтобы дети умели показать лишние предметы и где их не хватает. Действия по сравнению разных групп предметов в до-числовой период обучения помогут ребенку в последующем точнее понять и усвоить счет с помощью чисел. На этапе овладения счетными действиями дошкольнику важно научиться соотносить названное число с каждым предметом. Отсутствие такого умения приводит к неправильному результату счета (если дети пропускают предмет или, взяв предмет, называют два числа).

При правильном обучении детей подводят к пониманию сущности итогового числа. Они начинают отличать итог счета от процесса счета и постепенно усваивают, что одним и тем же числом именуются равночисленные группы, а там, где совокупности неравные, называются разные числа.

Четырехлетние дети овладевают счетом в пределах пяти, а более старшие -- десяти. В основном дети к шести годам овладевают счетом до десяти, усваивают значение итогового числа, но у них сохраняется особенность допускать ошибки при определении количества, когда наглядные признаки (например, изменение расположения на столе, размеров предмета) препятствуют его правильному определению. Таким образом, очень важно начинать подготовительную работу по формированию количественных представлений уже в младшем дошкольном возрасте.

3. Место и роль игр в формировании математических представлений и развитии личности ребёнка

дидактическая игра математика дошкольник

Исключительное значение в воспитательном процессе придается игре, позволяющей ребёнку проявить собственную активность, наиболее полно реализовывать себя. Игра основывается на свободном сотрудничестве взрослого с детьми и самих детей друг с другом, становится основной формой детской жизни.

Основная задача воспитателя - наполнить повседневную жизнь группы интересными делами, проблемами, идеями, включить каждого ребёнка в содержательную деятельность, способствовать реализации детских интересов и жизненной активности. Организуя деятельность детей, воспитатель развивает у каждого ребёнка стремление к проявлению инициативы, поиски разумного и достойного выхода из различных жизненных ситуаций.

В процессе игр закрепляются количественные отношения (много, мало, больше, столько же), умение различать геометрические фигуры, ориентироваться в пространстве и времени.

Особое внимание уделяется формированию умения группировать предметы по признакам (свойствам), сначала по одному, а затем по двум (форма и размер).

Игры должны быть направлены на развитие логического мышления, а именно на умение устанавливать простейшие закономерности: порядок чередования фигур по цвету, форме, размеру. Этому способствуют и игровые упражнения на нахождение пропущенной в ряду фигуры.

Необходимым условием, обеспечивающим успех в работе, является творческое отношение воспитателя к математическим играм: варьирование игровых действий и вопросов, индивидуализация требований к детям, повторение игр в том же виде или с усложнением.

Воспитатель должен знать не только как обучать дошкольников, но и то, чему он их обучает, то есть ему должна быть ясна математическая сущность тех представлений, которые он формирует у детей. Широкое использование специальных обучающих игр так же важно для пробуждения у дошкольников интереса к математическим знаниям, совершенствования познавательной деятельности, общего умственного развития.

Активность ребёнка, направленная на познание, реализуется в содержательной самостоятельной игровой и практической деятельности, в организуемых воспитателем познавательных развивающих играх.

Взрослый создаёт условия и обстановку, благоприятные для вовлечения ребёнка в деятельность сравнения, сосчитывания, воссоздания, группировки, перегруппировки и т.д. При этом инициатива в развёртывании игры, действия принадлежит ребёнку. Воспитатель вычленяет, анализирует ситуацию, направляет процесс её развития, способствует получению результата.

Ребёнка окружают игры, развивающие его мысль и приобщающие его к умственному труду. Например, игры из серии: "Логические кубики", "Уголки", "Составь куб" и другие; из серии: "Кубики и цвет", "Сложи узор", "Куб-хамелеон" и другие.

Нельзя обойтись и без дидактических пособий. Они помогают ребёнку вычленить анализируемый объект, увидеть его во всём многообразии свойств, установить связи и зависимости, определить элементарные отношения, сходства и отличия. К дидактическим пособиям, выполняющим аналогичные функции, относятся логические блоки Дьенеша, цветные счётные палочки (палочки Кюизенера), модели и другие.

Играя и занимаясь с детьми, воспитатель способствует развитию у них умений и способностей:

- оперировать свойствами, отношениями объектов, числами; выявлять простейшие изменения и зависимости объектов по форме, величине;

- сравнивать, обобщать группы предметов, соотносить, вычленять закономерности чередования и следования, оперировать в плане представлений, стремиться к творчеству;

- проявлять инициативу в деятельности, самостоятельность в уточнении или выдвижении цели, в ходе рассуждений, в выполнении и достижении результата;

- рассказывать о выполняемом или выполненном действии, разговаривать с взрослыми, сверстниками по поводу содержания игрового (практического) действия.

4. Практическое использование занимательного материала на занятиях математики