Исторические экскурсы на уроках геометрии в 8 классе как средство развития познавательного интереса школьников

Подбор содержания исторических экскурсов для уроков геометрии в 8 классе. Экскурс о четырехугольниках, параллелограмме и его свойствах, ромбе. История открытия теоремы Пифагора. История происхождения тригонометрии. Касательная и окружность, векторы.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 29.01.2011
Размер файла 671,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приложения к диплому по теме:

Исторические экскурсы на уроках геометрии в 8 классе как средство развития познавательного интереса школьников

Тезаурус

Экскурс - отступление от главной темы для освещения побочного или дополнительного вопроса.

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения.

Средство - прием, способ действия для достижения чего-либо.

Развитие - степень умственной духовной зрелости, просвещенности, широта кругозора.

Познавательный интерес - особое избирательное, наполненное активным замыслом, сильными эмоциями, устремлениями отношение личности к окружающему миру, к его объектам, явлениям, процессам (Г.И. Щукина).

Интерес - внимание, любопытство, проявляемое кому- или чему-либо.

Ранжирование - расположение в определенной последовательности (убывания или нарастания) показателей, зафиксированных в ходе педагогического исследования; определение места (рейтинга) в этом ряду изучаемых объектов.

Приложение 1

Разделы и темы учебника

Атанасян Л.С.

Погорелов А.В.

Исторический экскурс

Номер экскурса

Четырехугольники

№ 1

Многоугольник

+

-

-

Параллелограмм

+

+

-

№ 2

Трапеция

+

+

-

№ 5

Теорема Фалеса

В виде задачи

+

В учебнике Погорелова есть портрет Фалеса.

№ 4

Прямоугольник

+

+

-

Ромб

+

+

-

№ 3

Квадрат

+

+

-

№ 3

Осевая и центральная симметрия

+

-

-

Площадь

Изучается в 9 классе

№ 6

Площадь многоугольника

+

-

-

Площадь квадрата

+

-

-

Площадь прямоугольника

+

-

-

Площадь параллелограмма

+

-

-

Площадь треугольника

+

-

-

Площадь трапеции

+

-

-

Теорема Пифагора

+

+

В учебнике Погорелова есть портрет Пифагора. В учебнике Атанасяна есть историческая справка и портрет Пифагора.

№ 7, 8

Теорема, обратная теореме Пифагора

+

+

В учебнике Атанасяна есть историческая справка про египетский треугольник.

№ 9

Подобные треугольники

Изучается в 9 классе

Определение подобных треугольников

+

-

-

№ 10

Признаки подобия треугольников

+

-

-

Средняя линия треугольника

+

-

-

Подобие произвольных фигур

+

-

-

Соотношения между сторонами и углами прямоуг. треугольника

+

+

-

Неравенство треугольников

-

+

-

Основные тригонометрические тождества

+

+

-

№ 11

Значение функции некоторых углов

+

+

-

№ 12

Окружность

Пройдена в 7 классе

№ 13

Касательная к окружности

+

-

-

№ 14

Центральные и вписанные углы

+

-

-

Четыре замечательные точки треугольника

+

-

-

Вписанная и описанная окружность

+

-

-

Векторы

№ 16

Абсолютная величина и направление вектора

+

+

-

Равенство и координаты векторов

+

+

-

Сложение и вычитание векторов

+

+

-

Умножение вектора на число

+

+

-

Скалярное произведение векторов

-

+

-

Средняя линия трапеции

+

-

-

Декартовы координаты на плоскости

Изучается в 9 классе

№ 15

Определение декартовых координат

-

+

Портрет Рене Декарта

Координаты середины отрезка

-

+

-

Уравнение окружности, прямой

-

+

-

Расположение прямой относительно системы координат

-

+

-

Движение

Изучается в 9 классе

Преобразования фигур

-

+

-

Свойства движения

-

+

-

Симметрия относительно точки, прямой

-

+

-

Поворот, параллельный перенос

-

+

-

Равенство фигур

-

+

-

Приложение 2

Анкета для учителей

1. По какому учебнику работаете?

2. Даете ли вы исторические экскурсы на уроках геометрии? Почему?

3. Рассказываете ли вы об ученых - математиках?

4. Какие методы используете:

- рассказ самого учителя;

- показ портрета математика;

- краткое упоминание о личности;

- сообщение учащимися;

- решение исторических задач;

- творческие задания (кроссворды, ребусы, викторины и т.п.);

- написание реферата или энциклопедических справок исторического характера

5. Есть ли внеклассные занятия по математике? Используете ли вы там исторические экскурсы?

6. Стали бы вы чаще использовать исторические экскурсы, если бы они были подобраны?

Приложение 3

Подбор содержания исторических экскурсов для уроков геометрии в 8 классе

В основу разработки содержания исторических экскурсов взят учебник Атанасяна Левона Сергеевича «Геометрия 7-9 класс».

Экскурс 1: О четырехугольниках

(к теме «Определение четырехугольников») [4]

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями одному из катетов на прямоугольные трапеции.

Экскурс 2: О параллелограмме и его свойствах

(к теме «Параллелограмм») [19]

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

Термин «диагональ» происходит от сочетания двух греческих слов «диа» (через) и «гониос» (угол), то есть прямая, проходящая через вершины углов. Однако Евклид и большинство древнегреческих математиков пользовались почти всюду, в частности для прямоугольника, не этим, а другим термином - «диаметр». Это объясняется тем, что первые геометры мыслили прямоугольник вписанным в круг. В средние века были в ходу оба термина. Фибоначчи и Региомонтан еще пользовались термином «диаметр». Лишь в XVIII в. термин «диагональ» входит в общее употребление.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII в. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

СПРАВКА: ЕВКЛИД (приложение 7), древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.[18, 426]

СПРАВКА: ПРОКЛ (412-485), древнегреческий философ, осуществил универсальную конструктивно-диалектическую разработку всей системы неоплатонизма на основе триадического метода. Ступени триады: пребывание в себе, выступление из себя (эманация), возвращение из инобытия обратно в себя. Основное сочинение - «Начала теологии».[18, 1078]

СПРАВКА: ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (Фибоначчи) (1180-1240), итальянский математик. В основном труде «Книга абака» (1202) первым систематически изложил достижения арабской математики, чем способствовал знакомству с ними в Западной Европе.[18, 711], [23, 104]

СПРАВКА: РЕГИОМОНТАН (настоящее имя Иоганн Мюллер) (1436-76), немецкий астроном и математик. Основал одну из первых астрономических обсерваторий в Европе (Нюрнберг, 1471). Автор первых печатных астрономических таблиц (1474), которыми пользовались Васко да Гама, Х. Колумб и другие мореплаватели; труды по тригонометрии.[18, 1123]

Экскурс 3: Ромб и квадрат

(к темам «Ромб» и «Квадрат») [19]

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно обозначало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается только один раз в определениях I книги, свойства ромба не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырехугольным.

Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrate - сделать четырехугольным), перевод с греческого «тетрагонон» - четырехугольник.

«Первый четырехугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат», - пишет Д.Д. Мордухай - Болтовский.

Экскурс 4: Фалес (к теме «Теорема Фалеса») [23, 211]

ФАЛЕС (приложение 8) (около 640 - около 546), древнегреческий философ и ученый, основатель так называемой ионийской (милетской) школы, родоначальник античной философии и науки; в древности почитался как один из «Семи мудрецов». Аристотель начинает с Фалеса историю метафизики, Евдем - историю астрономии и геометрии.

Происходил из города Милета в Малой Азии, принадлежа к аристократическому роду. Был близок милетскому тирану Фрасибулу и связан с храмом Аполлона Дидимского, покровителя морской колонизации. По свидетельству Диогена Лаэртского, бывал в Египте и жил у жрецов, изучая астрономию и геометрию. Видимо, Фалес использовал достижения древневосточной науки египтян, вавилонян и финикийцев. Диоген Лаэртский сообщает, что Фалес установил продолжительность года и разделил его на 365 дней. По словам Геродота, в 585 до н.э. мудрец предсказал полное солнечное затмение.

Имя Фалеса уже в V в. до н.э. стало нарицательным для мудреца. Мудрость его истолковывалась по-разному: то как практическая смекалка и изобретательность, то как созерцательная отрешенность. Предание рисует Фалеса купцом и предпринимателем, гидроинженером, тонким дипломатом и мудрым политиком, провидцем, предсказывающим погоду и затмения.

Из приписываемых Фалесу сочинений ни одно до нас не дошло. Содержание их известно только в передаче более поздних авторов. Аристотель приводит 4 тезиса, которые могут восходить к устному учению Фалеса:

1) все произошло из воды;

2) земля плавает по воде подобно дереву;

3) все полно богов или душа размешана во вселенной;

4) магнит имеет душу, так как движет железо.

Таким образом, Фалес впервые сформулировал две основные проблемы греческой натурфилософии: проблемы начала и всеобщего. Все многообразие явлений и вещей он сводил к единой основе-первоначалу, которым Фалес считал воду. Отличая душу от тела, душевную жизнь от процессов природы, Фалес, вслед за Гомером, представлял душу в виде тонкого эфирного вещества. Он считал, что душа, как активная сила и вместе с тем носитель разумности и справедливости, причастна к божественному (разумному и прекрасному) строю вещей.

По свидетельству Прокла, Фалес первый стал доказывать геометрические теоремы; ему принадлежат доказательства следующих положений:

- круг делится диаметром пополам;

- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

- при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны;

- два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

СПРАВКА: АРИСТОТЕЛЬ (приложение 9) (384 до н. э., Стагира, полуостров Халкидика, Северная Греция - 322 до н. э., Халкис, остров Эвбея, Средняя Греция), древнегреческий ученый, философ, основатель Ликея, учитель Александра Македонского. Научная продуктивность Аристотеля была необычайно высокой, его труды охватывали все отрасли античной науки. Он стал основоположником формальной логики, создателем силлогистики, учения о логической дедукции. Логика у Аристотеля - не самостоятельная наука, а методика суждений, применимая к любой науке.[23, 338]

СПРАВКА: ДИОГЕН ЛАЭРТИЙ (Лаэртский) (1-я пол. 3 в.), древнегреческий писатель, автор компилятивного сочинения по истории греческой философии.[18, 397]

СПРАВКА: ГОМЕР (приложение 10) (греч. Омирос), древнегреческий поэт. До настоящего времени нет убедительных доказательств реальности исторической фигуры Гомера. По античной традиции было принято представлять Гомера слепым странствующим певцом-аэдом, за честь называться его родиной спорили семь городов. Вероятно он был родом из Смирны (Малая Азия), либо с острова Хиос. Можно предположить что Гомер жил приблизительно в 8 веке до н.э. Гомеру приписывают авторство двух величайших произведений древнегреческой литературы - поэм «Илиада » и «Одиссея ». [18,324]

Экскурс 5: Трапеция (к теме «Трапеция») [9]

«Трапеция» - слово греческое, обозначавшее в древности «столик» (по-гречески «трапедзион» обозначает столик, обеденный стол. Сравните трапеза и трапезная).

В «Началах» Евклида термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (I в.). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл.

Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции (II в. до н.э.) на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было известно также вавилонским землемерам, оно содержится в трудах Герона Александрийского.

СПРАВКА: ПОСИДОНИЙ (около 135-51 до н. э.), древнегреческий философ-стоик, крупнейший представитель Средней Стои, глава школы на о. Родос; учитель Цицерона. Соединил стоицизм с платонизмом. Сочинения охватывали все области знания и дали завершающую форму античной натурфилософии, оказав всеобъемлющее воздействие на позднеантичную философию.[18, 1056]

СПРАВКА: АХМЕС (около 2000 до н. э.), египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии (папируса Ринда).

СПРАВКА: ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (около 1 в.), древнегреческий ученый. Дал систематическое изложение основных достижений античного мира по прикладной механике и математике. Изобрел ряд приборов и автоматов. [18,299]

Экскурс 6: Площадь фигур (к разделу «Площади фигур») [23, 178-182]

Мастер - плиточник - человек, который в процессе своей работы все время занимается измерением площадей. То есть сначала измеряет площадь стены, а потом вычисляет необходимое количество плиток. «Способ плиточника» оказывается полезным для вычислении сложных фигур. Нанесем квадратную сетку на прозрачную бумагу (палетка) и наложим ее на фигуру. Площадь многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной сетки, выражается простой формулой: , где n - количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника, а m - количество узлов сетки, лежащих на его границе (в частности, в вершинах). Она называется «Формулой Пика». Конечно же, при вычислении площадей простейших геометрических фигур - многоугольников - палетка явно ни к чему.

С развитием науки и техники возникла острая потребность вычислять площади не только многоугольников, но и произвольных фигур. Первые шаги сделали Архимед и итальянский монах XVII Бонавентура Кавальери, а окончательно решили эту проблему И. Ньютон и Г. Лейбниц, создавшие интегральное исчисление, частью которого является и вычисление площадей фигур, ограниченных заданными кривыми.

Египтяне правильно вычисляли площади прямолинейных фигур, таких как прямоугольник, квадрат, треугольник и трапеции. Например, площадь треугольника находили как длину основания треугольника делили пополам и результат умножали на длину высоты. С точными правилами египтяне использовали и приближенные. Так площадь S выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d они находили по правилу, соответствующей формуле . Треугольник получался при вырождении одной из сторон четырехугольника, и площадь его вычислялась как .

СПРАВКА: АРХИМЕД (приложение 11) (греч. Архимидис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия - 212 до н.э., там же), древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике (закон Архимеда) дал образцы применения математики в естествознании и технике. Архимеду принадлежит первенство во многих открытиях из области точных наук. До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них - «О шаре и цилиндре» (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 - открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века видел Цицерон). В трактате «Измерение круга» Архимед предлагает метод определения числа p, который использовался до конца 17 в., и указывает две удивительно точные границы числа р: 310/71<р<31/7. В «Псаммите» («Исчисление песчинок») Архимед предлагает систему счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. В «Квадратуре параболы» определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью «механического» метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем. Кроме того, Архимеду принадлежат «Книга лемм», «Стомахион» и обнаруженные только в 20 веке «Метод» (или «Эфод») и «Правильный семиугольник». В «Методе» Архимед описывает процесс открытия в математике, проводя четкое различие между своими механическими приемами и математическим доказательством. [23,182]

СПРАВКА: КАВАЛЬЕРИ Бонавентура (1598-1647), итальянский математик. Сочинение Кавальери (1635) о вычислении площадей и объемов фигур с помощью так называемых «неделимых» методов способствовало формированию интегрального исчисления.[18, 525]

СПРАВКА: ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (приложение 12) (1646-1716), немецкий философ, математик, физик, языковед. С 1676 на службе у ганноверских герцогов. Основатель и президент (с 1700) Бранденбургского научного общества (позднее - Берлинская АН). По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России. Реальный мир, по Лейбницу, состоит из бесчисленных психических деятельных субстанций - монад, находящихся между собой в отношении предустановленной гармонии («Монадология», 1714); существующий мир создан богом как «наилучший из всех возможных миров» («Теодицея», 1710). В духе рационализма развил учение о прирожденной способности ума к познанию высших категорий бытия и всеобщих и необходимых истин логики и математики («Новые опыты о человеческом разуме», 1704). Предвосхитил принципы современной математической логики («Об искусстве комбинаторики», 1666). Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.[18,705]

Экскурс 7: История открытия теоремы Пифагора.

(к теме «Теорема Пифагора») [19]

Пифагор (приложение 13) жил около 580 - 500 гг. до н.э., о жизни его до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор родился на острове Самосе. В молодости для изучения наук жрецов путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрологию и астрономию у халдейских жрецов. После Вавилона, побыв некоторое время в своем отечестве, переселился в Южную Италию, а потом в Сицилию.

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Независимо от Пифагора частные случаи его теоремы использовались также индийцами, причем последние справедливость теоремы Пифагора в частном случае усматривали непосредственно из чертежа. Доказательство Пифагора до нас не дошло. Известный немецкий историк и математик М. Кантор (1829 - 1920) полагает, что первоначальное доказательство теоремы Пифагора относилось к частному случаю, т.е. к рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника, как это делали индийцы, исходя непосредственно из чертежа.

В настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора, вполне возможно, что среди этих доказательств имеется доказательство и самого Пифагора, если он таким располагал. (Есть мнение, что теорему Пифагора открыл не сам Пифагор, а его ученики. Дело в том, что по тогдашним обычаям все, что открывалось учениками, приписывалось главе школы - учителю).

Экскурс 8: Пифагорейская школа [4]

В Сицилии Пифагор организовал пифагорейскую школу, которая внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Однако, приняв количественное отношение за сущность вещей и оторвав их от материального мира, эта школа пришла к идеализму. В политической жизни пифагорейская школа стала реакционной политической организацией рабовладельческой аристократии того времени.

Пифагор и его ученики много потрудились над тем, чтобы придать геометрии научный характер. Кроме знаменитой теоремы, носящей его имя. Пифагору приписывается еще ряд замечательных открытий, в том числе:

1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

2. Задача о покрытии, т.е. деление плоскости на правильные многоугольники (равносторонние треугольники, квадраты и правильные шестиугольники).

3. Геометрические способы решения квадратных уравнений.

Правила решать задачу: «По данным двум фигурам построить третью, которая была бы равна одной из данных и подобна другой».

Экскурс 9: Египетский треугольник [4]

(к теме «Теорема обратная теореме Пифагора»)

Частные случаи этой теоремы были известны некоторым народам еще до Пифагора. Например, в своей строительной практике египтяне пользовались так называемым «египетским треугольником» со сторонами 3, 4 и 5. Египтяне знали, что указанный треугольник является прямоугольным, что для него выполняются соотношения 32+42=52, т.е. как раз то, что утверждает теорема Пифагора.

Экскурс 10: Треугольник [23, 202-206]

Треугольник - это простейшая фигура: 3 стороны и 3 вершины. Математики его называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший.

Трехмерным симплексом называют треугольную пирамиду, именно в силу своей простоты треугольник являлся основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольника. Так возникла наука - тригонометрия - наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Из площади треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.

В Древней Греции 6 тысяч лет изучение свойства треугольника ведется очень активно.

Свойства треугольника исследовали в XV-XVI веках. Например, теорема, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математики: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника».

Огромное количество робот по геометрии треугольника проведено в - XI -XIX веке, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.

СПРАВКА: ЭЙЛЕР Леонард (приложение 14) (1707-1783), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в 1731-1741 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-1766 иностранный почетный член). В 1741-1766 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер - ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки[18,1546]. Эйлеру приходилось заниматься картографией, техникой и даже составлением «научно обоснованного» гороскопа для царевича Иоанна IV. Но славу величайшего ученого ему принесла математика. Эйлер продолжал работу, начатую Пьером Ферма. Он доказал несколько гипотез, оставленных французским математиком, в том числе «великую теорему Ферма» для уравнений третьей и четвертой степени. Он уделил много внимания изучению бесконечных сумм и произведений, исследуя их не только для вещественных, но и для комплексных чисел. Именно Эйлер ввел для мнимой единицы обозначение i. Не было такой области математики XVIII века, в которой Эйлер не достиг бы заметных результатов. Практически во всех разделах математики можно встретить либо теорему Эйлера, либо формулу Эйлера, либо метод Эйлера. Решая математические головоломки и развлекательные задачи (например, обходя конем шахматную доску), Эйлер заложил основы теории графов. Обобщая изопериметрическую задачу он создал метод решения подобных задач, получивший название «вариационное исчисление». Сердцевиной этой науки является «формула Эйлера». Напряженная работа повлияла на его зрение. В 1735 году он ослеп на один глаз, в 1766 году на оба. Операция привела к незначительному улучшению: ученый мог лишь разбирать записи, сделанные мелом а черной доске. Но и после этого Эйлер продолжал работу диктуя ученикам свои статьи. Голова ученого оставалась ясной до последних дней жизни. Эйлер умер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. В 1957 году его прах был перенесен в Александро-Невскую лавру. [23, 312-314]

Экскурс 11: О происхождении тригонометрии

(к теме «Основные тригонометрические тождества») [19]

Слово «тригонометрия» (от греч. слов «тригон» - треугольник и «метрео» - измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии - науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной - и географии.

Астрономия - одна из древнейших наук, в свою очередь возникшая из потребности знать сроки смены времен года, измерять и считать время, иметь календарь. Одним из стимулов развития астрономии были путешествия по суше и по морю, вызванные разными потребностями, в первую очередь торговлей. Солнце днем, Луна, планеты, звезды ночью испокон веков служили человеку для определения не только часа дня и времени года, но и положения корабля в открытом море и для указания правильного пути каравана в пустыне.

Астрономия зародилась и развивалась в Вавилоне, Египте, Китае, Индии и других странах древности. В результате произведенных астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет, нельзя было измерить непосредственно, то ученые стали разрабатывать приемы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т.е. нахождение элементов) треугольников. Этим и занимается тригонометрия.

Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба. Они сумели предсказать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности.

Экскурс 12: О тригонометрических функциях

(к теме «Значения синуса, косинуса, тангенса») [4]

Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в средних астрономических сочинениях уже в IV - V вв. Заменив хорду синусом, индийцы называли вначале синус «ардхаджива», т.е. половина хорды («джива» - хорда, тетива лука), а позже - просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по- арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим образом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея ввиду sin (90 - х). от перестановки этих слов и сокращения одного из них (со - sinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620 году у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя счетной линейки.

В IX - X вв. ученые стран ислама (ал - Хабаш, ал - Баттани, Абу - л - Вафа и другие) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал - Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 году немецким математиком Т. Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок касательной), secans - секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вырабатывались на протяжении веков и вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в.

Экскурс 13: Окружность

(к теме «Окружность») [4]

Самая простая из кривых линий - окружность. Это ода из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Еще вавилоняне и другие индийцы считали самым важным элементом окружности - радиус. Слово это латинское и означает «луч». В древности не было этого термина. Евклид и другие ученые говорили просто «прямая из центра». В одной латинской рукописи XI в., названной «Искусство геометрии» и предписываемой римскому автору Боэцию, встречается впервые термин «полудиаметр». Его также употребляли Фибоначчи и Неморарий (XIII в.), Региомонтан (XV в.) и Тарталья (XVI в.).

Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» французского ученого Рамуса, изданной в 1569 г., а затем у Ф. Виета. Последний писал, что «радиус» - это «элегантное слово», которое знаменитые поэты Овидий и Виргилий употребляли в смысле «луч». Известный римский оратор Цицерон как-то сказал: «Шар образован равными радиусами (лучами), выходящими из его центра». Термин «радиус» становится общепринятым лишь в конце XVII в. Термин «хорда» (от греч. «хорде» - струна) был введен в современном смысле европейскими учеными XII-XIII вв.

Тот факт, что диаметр делит круг и окружность на две равные части, был, как говорит Прокл, открыт Фалесом Милетским. На самом деле этот факт был известен задолго до Фалеса.

Теоремы о зависимости между хордами и расстоянием от их центра изложены в III книге «Начал» Евклида.

СПРАВКА: КОПЕРНИК Николай (приложение 15) (1473-1543), польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира. Совершил переворот в естествознании, отказавшись от принятого в течение многих веков учения о центральном положении Земли. Объяснил видимые движения небесных светил вращением Земли вокруг оси и обращением планет (в том числе Земли) вокруг Солнца. Свое учение изложил в сочинении «Об обращениях небесных сфер» (1543). [18,635]

СПРАВКА: ГАЛИЛЕЙ Галилео (1564-1642), итальянский ученый, один из основателей точного естествознания. Боролся против схоластики, считал основой познания опыт. Заложил основы современной механики: выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, свободного падения и движения тел по наклонной плоскости, сложения движений; открыл изохронность колебаний маятника; первым исследовал прочность балок. Построил телескоп с 32-кратным увеличением и открыл горы на Луне, 4 спутника Юпитера, фазы у Венеры, пятна на Солнце. Активно защищал гелиоцентрическую систему мира, за что был подвергнут суду инквизиции (1633), вынудившей его отречься от учения Н. Коперника. До конца жизни Галилей считался «узником инквизиции» и принужден был жить на своей вилле Арчетри близ Флоренции. В 1992 папа Иоанн Павел II объявил решение суда инквизиции ошибочным и реабилитировал Галилея.

СПРАВКА: КЕПЛЕР Иоганн (1571-1630), немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет (законы Кеплера), на основе которых составил планетные таблицы (так называемые Рудольфовы). Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы. [18, 575]

СПРАВКА: ВИЕТ Франсуа (приложение 16) (1540-1603), французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. [18, 221]

Экскурс 14: О касательной к окружности

(к теме «Касательная к окружности») [4]

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра (1752-1833). В «Началах» Евклида дается следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

То, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было еще известно Архиту Тарентскому (430-365 гг. до н.э.).

В настоящее время некоторые историки считают Архита и автором VIII книги «Начал» Евклида, в которой изложена арифметическая теория пропорций. Одной из знаменитых задач древности, решение которой принесло большую славу Архиту, была задача об удвоении куба.

Доказательство того, что отрезки касательных, проведенных к окружности из внешней точки, равны, отсутствует у Евклида и приписывается комментаторами «Начал» Герону Александрийскому. Предложение: центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными из данной точки, содержится в одном из произведений греческого математика IIIв. Паппа.

СПРАВКА: ЛЕЖАНДР Адриен Мари (1752-1833), французский математик. Труды по теории чисел, эллиптическим интегралам, геодезии и другие. Автор классического курса элементарной геометрии. [18, 704]

СПРАВКА: АРХИТ Тарентский (около 428-365 до н. э.), древнегреческий философ, математик и астроном, государственный деятель и полководец, один из виднейших представителей древнего пифагореизма. 7 раз избирался стратегом г. Тарента, установил демократическую конституцию, спас Платона от расправы сицилийского тирана Дионисия II в 361 до н. э. Последователь пифагорейской школы. Архиту принадлежит решение задачи удвоения куба, основанное на построении пересечения нескольких поверхностей вращения; приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. [18,82]

СПРАВКА: ПАПП Александрийский, древнегреческий математик 2-й половины III в. В труде «Математическое собрание» (книги 1-8) изложил наиболее существенные результаты исследований более ранних древнегреческих авторов. [18, 976]

Экскурс 15: Рене Декарт

(к теме «Определение Декартовых координат»)[23,303-305]

ДЕКАРТ Рене (приложение 17) (латинизированное - Картезий) (1596-1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a2, x-1...). Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта). Ввел представление о рефлексе (дуга Декарта). В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту, - Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловное основоположение всего знания, по Декарту, - непосредственная достоверность сознания («мыслю, следовательно, существую»). Существование Бога рассматривал как источник объективной значимости человеческого мышления. В учении о познании Декарт - родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях. Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе...» (1637), «Начала философии» (1644).

Экскурс 16: Векторы (к разделу «Векторы») [19]

Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающим направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т.п.

Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX в. в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: v2, v5 и др.), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408 - 355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI - XVII вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статистики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90°, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для образования сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777 - 1859) в книге «Элементы статистики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй - концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек - точкой О и ее образом Оґ.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

СПРАВКА: ЕВДОКС КНИДСКИЙ (около 408 - около 355 до н. э.), древнегреческий математик и астроном. Впервые дал общую теорию пропорций. Представил движение планет как комбинацию равномерно вращающихся вокруг Земли 27 концентрических сфер. Сочинения Евдокса Книдского до нас не дошли.[18,426]

СПРАВКА: СТЕВИН Симон (1548-1620), нидерландский математик и инженер. Ввел в употребление десятичные дроби (в Европе) и отрицательные корни уравнений. Доказал закон равновесия тела на наклонной плоскости, исходя из невозможности вечного двигателя. Труды по гидростатике, навигации и др.[18,1279]

СПРАВКА: ПУАНСО Луи (1777-1859), французский механик и математик. Разработал геометрические методы исследования механических систем и построил геометрическую статику на основе теории пар сил. Вывел теорему о вращении твердого тела в отсутствие сил. Ввел понятие эллипсоида инерции. [18,1092]

Приложение 4

параллелограмм ромб пифагор тригонометрия

Евклид (365 - 300 гг. до н.э.)

Приложение 5

Фалес (640 - 546 гг. до н.э.)

Приложение 6

Аристотель (384 - 322 гг. до н.э.)

Приложение 7

Гомер

Приложение 8

Архимед (287 - 212 гг. до н.э.)

Приложение 9

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)

Приложение 10

Пифагор (580 - 500 гг. до н.э.)

Приложение 11

Эйлер Леонард (1707-1783)

Приложение 12

Коперник Николай (1473-1543)

Приложение 13

Виет Франсуа (1540-1603)

Приложение 14

Рене Декарт (1596 - 1650)

Приложение 15

8 А класс (контрольный класс)

Метод

Интересен

Полезен

Рассказ учителя

1

1

Работа с учебником

2

2

Контрольная работа

4

4

Самостоятельная работа

3

3

Зачетная работа

5

5

Составление кроссвордов

6

6

Игра - соревнование

12

7

Исторические экскурсы (история геометрии, биография ученых математиков, их портрет и т.д.)

9

8

Решение исторических задач

8

9

Написание реферата

10

10

Сообщение учащихся

11

11

Математический диктант

7

12

8 Б класс (экспериментальный класс)

Метод

Интересен

Полезен

Рассказ учителя

1

1

Работа с учебником

2

2

Контрольная работа

9

3

Самостоятельная работа

4

4

Зачетная работа

7

5

Составление кроссвордов

3

11

Игра - соревнование

12

10

Исторические экскурсы (история геометрии, биография ученых математиков, их портрет и т.д.)

10

7

Решение исторических задач

6

12

Написание реферата

8

6

Сообщение учащихся

11

8

Математический диктант

5

9

Приложение 16

8 А класс (контрольный класс)

Метод

Интересен

Полезен

Рассказ учителя

1

1

Работа с учебником

2

2

Контрольная работа

3

3

Самостоятельная работа

4

4

Зачетная работа

5

5

Составление кроссвордов

6

11

Игра - соревнование

7

6

Исторические экскурсы (история геометрии, биография ученых математиков, их портрет и т.д.)

8

7

Решение исторических задач

9

8

Написание реферата

12

10

Сообщение учащихся

10

9

Математический диктант

11

12

8 Б класс (экспериментальный класс)

Метод

Интересен

Полезен

Рассказ учителя

11

1

Работа с учебником

6

2

Контрольная работа

7

12

Самостоятельная работа

2

9

Зачетная работа

5

6

Составление кроссвордов

12

11

Игра - соревнование

1

8

Исторические экскурсы (история геометрии, биография ученых математиков, их портрет и т.д.)

3

3

Решение исторических задач

4

5

Написание реферата

8

4

Сообщение учащихся

10

10

Математический диктант

3

7

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.