Исторические экскурсы на уроках геометрии в 8 классе как средство развития познавательного интереса школьников

Трехмерным симплексом называют треугольную пирамиду, именно в силу своей простоты треугольник являлся основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольника. Так возникла наука - тригонометрия - наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Из площади треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.

В Древней Греции 6 тысяч лет изучение свойства треугольника ведется очень активно.

Свойства треугольника исследовали в XV-XVI веках. Например, теорема, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математики: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника».

Огромное количество робот по геометрии треугольника проведено в - XI -XIX веке, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.

СПРАВКА: ЭЙЛЕР Леонард (приложение 14) (1707-1783), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Был адъюнктом (1726), а в 1731-1741 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-1766 иностранный почетный член). В 1741-1766 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер - ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки[18,1546]. Эйлеру приходилось заниматься картографией, техникой и даже составлением «научно обоснованного» гороскопа для царевича Иоанна IV. Но славу величайшего ученого ему принесла математика. Эйлер продолжал работу, начатую Пьером Ферма. Он доказал несколько гипотез, оставленных французским математиком, в том числе «великую теорему Ферма» для уравнений третьей и четвертой степени. Он уделил много внимания изучению бесконечных сумм и произведений, исследуя их не только для вещественных, но и для комплексных чисел. Именно Эйлер ввел для мнимой единицы обозначение i. Не было такой области математики XVIII века, в которой Эйлер не достиг бы заметных результатов. Практически во всех разделах математики можно встретить либо теорему Эйлера, либо формулу Эйлера, либо метод Эйлера. Решая математические головоломки и развлекательные задачи (например, обходя конем шахматную доску), Эйлер заложил основы теории графов. Обобщая изопериметрическую задачу он создал метод решения подобных задач, получивший название «вариационное исчисление». Сердцевиной этой науки является «формула Эйлера». Напряженная работа повлияла на его зрение. В 1735 году он ослеп на один глаз, в 1766 году на оба. Операция привела к незначительному улучшению: ученый мог лишь разбирать записи, сделанные мелом а черной доске. Но и после этого Эйлер продолжал работу диктуя ученикам свои статьи. Голова ученого оставалась ясной до последних дней жизни. Эйлер умер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. В 1957 году его прах был перенесен в Александро-Невскую лавру. [23, 312-314]

Экскурс 11: О происхождении тригонометрии

(к теме «Основные тригонометрические тождества») [19]

Слово «тригонометрия» (от греч. слов «тригон» - треугольник и «метрео» - измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии - науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной - и географии.

Астрономия - одна из древнейших наук, в свою очередь возникшая из потребности знать сроки смены времен года, измерять и считать время, иметь календарь. Одним из стимулов развития астрономии были путешествия по суше и по морю, вызванные разными потребностями, в первую очередь торговлей. Солнце днем, Луна, планеты, звезды ночью испокон веков служили человеку для определения не только часа дня и времени года, но и положения корабля в открытом море и для указания правильного пути каравана в пустыне.

Астрономия зародилась и развивалась в Вавилоне, Египте, Китае, Индии и других странах древности. В результате произведенных астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет, нельзя было измерить непосредственно, то ученые стали разрабатывать приемы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т.е. нахождение элементов) треугольников. Этим и занимается тригонометрия.

Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба. Они сумели предсказать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности.

Экскурс 12: О тригонометрических функциях

(к теме «Значения синуса, косинуса, тангенса») [4]

Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в средних астрономических сочинениях уже в IV - V вв. Заменив хорду синусом, индийцы называли вначале синус «ардхаджива», т.е. половина хорды («джива» - хорда, тетива лука), а позже - просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по- арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим образом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея ввиду sin (90 - х). от перестановки этих слов и сокращения одного из них (со - sinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620 году у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя счетной линейки.

В IX - X вв. ученые стран ислама (ал - Хабаш, ал - Баттани, Абу - л - Вафа и другие) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал - Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 году немецким математиком Т. Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок касательной), secans - секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вырабатывались на протяжении веков и вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в.

Экскурс 13: Окружность

(к теме «Окружность») [4]

Самая простая из кривых линий - окружность. Это ода из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Еще вавилоняне и другие индийцы считали самым важным элементом окружности - радиус. Слово это латинское и означает «луч». В древности не было этого термина. Евклид и другие ученые говорили просто «прямая из центра». В одной латинской рукописи XI в., названной «Искусство геометрии» и предписываемой римскому автору Боэцию, встречается впервые термин «полудиаметр». Его также употребляли Фибоначчи и Неморарий (XIII в.), Региомонтан (XV в.) и Тарталья (XVI в.).

Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» французского ученого Рамуса, изданной в 1569 г., а затем у Ф. Виета. Последний писал, что «радиус» - это «элегантное слово», которое знаменитые поэты Овидий и Виргилий употребляли в смысле «луч». Известный римский оратор Цицерон как-то сказал: «Шар образован равными радиусами (лучами), выходящими из его центра». Термин «радиус» становится общепринятым лишь в конце XVII в. Термин «хорда» (от греч. «хорде» - струна) был введен в современном смысле европейскими учеными XII-XIII вв.

Тот факт, что диаметр делит круг и окружность на две равные части, был, как говорит Прокл, открыт Фалесом Милетским. На самом деле этот факт был известен задолго до Фалеса.

Теоремы о зависимости между хордами и расстоянием от их центра изложены в III книге «Начал» Евклида.

СПРАВКА: КОПЕРНИК Николай (приложение 15) (1473-1543), польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира. Совершил переворот в естествознании, отказавшись от принятого в течение многих веков учения о центральном положении Земли. Объяснил видимые движения небесных светил вращением Земли вокруг оси и обращением планет (в том числе Земли) вокруг Солнца. Свое учение изложил в сочинении «Об обращениях небесных сфер» (1543). [18,635]

СПРАВКА: ГАЛИЛЕЙ Галилео (1564-1642), итальянский ученый, один из основателей точного естествознания. Боролся против схоластики, считал основой познания опыт. Заложил основы современной механики: выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, свободного падения и движения тел по наклонной плоскости, сложения движений; открыл изохронность колебаний маятника; первым исследовал прочность балок. Построил телескоп с 32-кратным увеличением и открыл горы на Луне, 4 спутника Юпитера, фазы у Венеры, пятна на Солнце. Активно защищал гелиоцентрическую систему мира, за что был подвергнут суду инквизиции (1633), вынудившей его отречься от учения Н. Коперника. До конца жизни Галилей считался «узником инквизиции» и принужден был жить на своей вилле Арчетри близ Флоренции. В 1992 папа Иоанн Павел II объявил решение суда инквизиции ошибочным и реабилитировал Галилея.

СПРАВКА: КЕПЛЕР Иоганн (1571-1630), немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет (законы Кеплера), на основе которых составил планетные таблицы (так называемые Рудольфовы). Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы. [18, 575]

СПРАВКА: ВИЕТ Франсуа (приложение 16) (1540-1603), французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. [18, 221]

Экскурс 14: О касательной к окружности

(к теме «Касательная к окружности») [4]

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра (1752-1833). В «Началах» Евклида дается следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

То, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было еще известно Архиту Тарентскому (430-365 гг. до н.э.).

В настоящее время некоторые историки считают Архита и автором VIII книги «Начал» Евклида, в которой изложена арифметическая теория пропорций. Одной из знаменитых задач древности, решение которой принесло большую славу Архиту, была задача об удвоении куба.

Доказательство того, что отрезки касательных, проведенных к окружности из внешней точки, равны, отсутствует у Евклида и приписывается комментаторами «Начал» Герону Александрийскому. Предложение: центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными из данной точки, содержится в одном из произведений греческого математика IIIв. Паппа.

СПРАВКА: ЛЕЖАНДР Адриен Мари (1752-1833), французский математик. Труды по теории чисел, эллиптическим интегралам, геодезии и другие. Автор классического курса элементарной геометрии. [18, 704]

СПРАВКА: АРХИТ Тарентский (около 428-365 до н. э.), древнегреческий философ, математик и астроном, государственный деятель и полководец, один из виднейших представителей древнего пифагореизма. 7 раз избирался стратегом г. Тарента, установил демократическую конституцию, спас Платона от расправы сицилийского тирана Дионисия II в 361 до н. э. Последователь пифагорейской школы. Архиту принадлежит решение задачи удвоения куба, основанное на построении пересечения нескольких поверхностей вращения; приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. [18,82]

СПРАВКА: ПАПП Александрийский, древнегреческий математик 2-й половины III в. В труде «Математическое собрание» (книги 1-8) изложил наиболее существенные результаты исследований более ранних древнегреческих авторов. [18, 976]

Экскурс 15: Рене Декарт

(к теме «Определение Декартовых координат»)[23,303-305]

ДЕКАРТ Рене (приложение 17) (латинизированное - Картезий) (1596-1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a², x^-1...). Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта). Ввел представление о рефлексе (дуга Декарта). В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту, - Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловное основоположение всего знания, по Декарту, - непосредственная достоверность сознания («мыслю, следовательно, существую»). Существование Бога рассматривал как источник объективной значимости человеческого мышления. В учении о познании Декарт - родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях. Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе...» (1637), «Начала философии» (1644).

Экскурс 16: Векторы (к разделу «Векторы») [19]

Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающим направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т.п.

Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX в. в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: v2, v5 и др.), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408 - 355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI - XVII вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статистики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90°, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для образования сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777 - 1859) в книге «Элементы статистики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй - концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек - точкой О и ее образом Оґ.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

СПРАВКА: ЕВДОКС КНИДСКИЙ (около 408 - около 355 до н. э.), древнегреческий математик и астроном. Впервые дал общую теорию пропорций. Представил движение планет как комбинацию равномерно вращающихся вокруг Земли 27 концентрических сфер. Сочинения Евдокса Книдского до нас не дошли.[18,426]

СПРАВКА: СТЕВИН Симон (1548-1620), нидерландский математик и инженер. Ввел в употребление десятичные дроби (в Европе) и отрицательные корни уравнений. Доказал закон равновесия тела на наклонной плоскости, исходя из невозможности вечного двигателя. Труды по гидростатике, навигации и др.[18,1279]

СПРАВКА: ПУАНСО Луи (1777-1859), французский механик и математик. Разработал геометрические методы исследования механических систем и построил геометрическую статику на основе теории пар сил. Вывел теорему о вращении твердого тела в отсутствие сил. Ввел понятие эллипсоида инерции. [18,1092]

Приложение 4

8 А класс (контрольный класс)

8 Б класс (экспериментальный класс)

Приложение 5

8 А класс (контрольный класс)

8 Б класс (экспериментальный класс)

Размещено на Allbest.ru