Задачі на кмітливість для учнів 5-7 класів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ І. Загальні уявлення про задачі на кмітливість

1. Задачі на кмітливість. Типи задач на кмітливість

2. Коротка історіографія математичних задач на кмітливість

3. Педагогічні особливості математичних задач на кмітливість

3.1 Конкретність

3.2 Індуктивність

3.3 Можливість викликати інтерес

3.4 Здатність захоплювати

3.5 Загальнодоступність

Розділ ІІ. Приклади задач на кмітливість для учнів 5 - 7 класів

1. Особливості задач на кмітливість для учнів 5 -7 класів

2. Приклади задач

Список використаної літератури



Вступ

Зростаюча потреба суспільства в людях, які мають здібності творчо підходити до будь-яких змін, нетрадиційно і якісно розв'язувати існуючі проблеми, зумовлена прискоренням темпів розвитку суспільства, і, як наслідок, необхідністю підготовки людей до життя в швидкозмінних умовах.

Стратегія сучасної освіти полягає в подачі можливості всім учням проявити свої таланти і творчий потенціал, під яким розуміється реалізація власних планів.

Особливу увагу спеціалістів, які займаються питаннями шкільної математичної освіти, направлено на модернізацію задачного матеріалу, так як представлені в сучасних навчальних посібниках задачі, як правило, передбачають алгоритмічний спосіб розв'язування, чим значно звужують операційне та інформаційне поле діяльності учнів.

Учнів приваблюють задачі певного жанру, в спеціальній літературі позначені різноманітними термінами: проблемні, творчі, пошукові, евристичні, задачі на кмітливість, тобто задачі, спосіб розв'язування яких не знаходиться в розпорядженні того, хто розв'язує задачу - задачі нестандартні. математичний задача кмітливість здогадливість

Педагогічний досвід свідчить, що ефективно організована навчальна діяльність учнів в процесі розв'язування нестандартних задач є важливим засобом формування математичної культури, таких якостей математичного мислення, як гнучкість, критичність, раціональність, логічність; їх органічне поєднання проявляється в особливих здібностях людини, які надають можливість успішно здійснювати творчу діяльність.

Часто про розв'язуванні задач на кмітливість учні не можуть подолати труднощі при розв'язуванні цих задач, що нерідко призводить до відмови розв'язувати таку задачу. Учні не достатньо володіють вміннями, які дають змогу розв'язати таку задачу, зокрема, вмінням самостійно розробляти деяку програму дій, співвідносити її з отриманими результатами, здійснювати контроль і оцінку виконання програми дій, узагальнювати отримані результати.

Задачі на кмітливість традиційно розуміються або як задачі, спосіб розв'язування яких невідомий, або як задачі, для розв'язання яких в курсі математики немає правила, яке визначає програму їх розв'язання. Я до задач на кмітливість відношу такі задачі, які породжують для учнів напружену ситуацію, які потребують для свого розв'язання гнучкості і критичності мислення, винахідливості, розподілу уваги.

Моя курсова робота складається з двох розділів, в яких описано що таке задачі на кмітливість, які є основні види задач на кмітливість, педагогічні особливості таких задач. Також наведені приклади задач на кмітливість для учнів 5 - 7 класів, які відповідають навчальній програмі.



Розділ І. Загальні уявлення про задачі на кмітливість

1. Задачі на кмітливість. Типи задач на кмітливість

Задачі на кмітливість, як правило, конкретні і потребують не шаблонного розв'язку. По традиції, яка має педагогічну основу, їм часто надається форма тої чи іншої життєвої ситуації і вносяться елементи цікавості та гри. Остання обставина, очевидно, і є мотивом, завдяки якому задачі такого роду інколи називають «математичними розвагами», не зовсім адекватно відображаючи цією назвою їх сутність. Це - задачі, які збиралися століттями. Тут і задачі на перетворення однієї фігури на другу шляхом розрізання і перекладення частин, і фокуси, основані на розрахунках, математичні софізми и математичні ігри.

Серед математичних розваг є і такі задачі, які допускають дуже велику, а іноді і нескінчену множину розв'язків. Їхній зміст - в пошуку оригінальних, красивих прийомів розв'язку.

В такого роду задачах цікавляться зазвичай визначенням кількості можливих розв'язків, розробкою методів, які дають великі групи розв'язків. Математичний зміст ряду інших задач на кмітливість - у встановленні найменшого числа операції, необхідних для розв'язання.

До таких задач відносяться задачі типу «переправ», «розміщень», «скрутні положення» типу «Ханойської вежі» - задачі, придумані французьким математиком Е. Люка, суть яких - підрахунок числа ходів, необхідних для перенесення нанизаних на кілочок n пластинок різних розмірів на інший кілочок, використовуючи третій кілочок і притримуючи певних правил перенесення пластинок.

Також сюди відносяться і задачі про переміщення предметів при обмежених умовах. Вперше такі задачі поставив англійський фізик Тет.

До задач на кмітливість також відносяться :

· різноманітні числові ребуси і головоломки на кмітливість;

· числові курйози і цікаві послідовності: «числа Фібоначі», «фігурні» та «Піфагорові числа»;

· задачі, розв'язок яких можливо і не потребує обчислень, але основується на побудові ланцюжка точних і тонких роздумів;

· задачі, розв'язок яких ґрунтується на органічному поєднанні математичного розвитку і практичної кмітливості: вимірювання при важких умовах, виробничі задачі і т.п.;

· задачі про лабіринти и на викреслювання фігур одним розчерком;

· задачі з доміно та гральним кубиком і т.д.

Задачі даної категорії дійсно дуже захоплюючі; самостійно знайдений розв'язок задачі або навіть читання висловлювання вже кимось знайденого дотепного розв'язку зазвичай надає величезне задоволення.

Своєрідність таких задач в тому, що майже кожна з них - це маленька проблема. Звичайно, самостійне дослідження будь-якої проблеми, особливо серйозної, наукової, потребує мобілізації всіх знань і прояву винахідливості, досконалості і спритності, оригінальності мислення і вміння критично оцінювати умови або постановку питання. Але необхідними умовами успішного розв'язку солідної математичної проблеми є найперше глибина і різносторонність спеціальних знань, математична обдарованість. Знання, обдарованість не зайві і для успішних занять маленькими проблемами - задачами на кмітливість, або «математичними розвагами», але задачі, які входять в цю категорію, по змісту і формі подачі - загальнодоступні; майже завжди їх розв'язок спирається не стільки на спеціальні знання, скільки на кмітливість і винахідливість.

Найбільш дотепні, оригінальні розв'язки тієї чи іншої задачі на кмітливість вигадувались інколи саме не професіоналом-математиком.

1. 

2. Коротка історіографія математичних задач на кмітливість

Процес виникнення, розвитку і неперервного поповнення задач на кмітливість супроводжує загальний процес розвитку математики, в першу чергу арифметики і геометрії, а також і процес розвитку педагогіки. Однак історики математики та історики педагогіки до цих пір не проявили спеціального інтересу до питань історії та еволюції широкої групи математичних розваг. Ігнорування літописцями подій, які відносяться до математичних розваг, призвело до втрати ряду фактів.

Зародження математичних задач на кмітливість відноситься до тієї ж далекої давнини, як і зародження математичної науки. Витоки їх - в стародавніх колекціях проблем, які прийшли до нас з Єгипту, від греків, арабів, індійців, з давнього Китаю. Ненаситна людська цікавість, прагнення до розумової діяльності та інтерес до незвичайного і курйозного, а також привабливість і сила педагогічного впливу, які присутні в задачах на кмітливість, обумовили їх життєздатність.

Дійсно, значна частина колекції математичних задач на кмітливість виявились досить довговічною, переходить із покоління в покоління в своєму початковому образі або в схожих варіантах.

Зусиллями обдарованих людей з часом «розпутувались» окремі головоломки, обґрунтовувались ігри, задачі отримували вичерпні розв'язки. І якщо одні задачі втрачали при цьому зміст головоломок або ігор і випадали з колекції таких задач, то інші, навпаки, лише набували додаткову гостроту і новий зміст, стаючи теоремами інколи з таким своєрідним доведенням, що не марно и розбиратися в ньому, а можна спробувати і самому його «відкрити».

Колекція математичних задач на кмітливість створювалась творчістю величезної кількості людей: математиків-вчених, педагогів, аматорів. «Скарбниця» колекції зберігає дари Леонардо Пізанського (Фібоначі), Кардано, Тарталля, Ферма, Лейбніца, Ейлера, Монжа, Гауса, Гамільтона та ін.

Одна з перших успішних спроб відбору задач на кмітливість, розкиданих по окремим папірусам, трактатам, манускриптам і усним переказам - це робота Алькуніна. Вона відноситься до VIII ст. Мається на увазі рукописний манускрипт «Propositiones ad acuendos juvenes»

(«Пропозиції для витончення розуму юнацтва»), автором якого історики вважають Алькуніна з Йорка (775). Збереглись записи цього твору, датованого 1000 роком.

Починаючи з останнього двадцятиліття минулого століття, великий вклад в розвиток літератури по математичним розвагам внесли професори Люка (Франція), Бол (Англія), Шуберт, Аране і Літцман (Німеччина),вчителя В.І. Обреїмов та Є.І. Ігнетєв (Росія) академік Я.В. Успенський (СРСР), професор Крайчик (Бельгія), Я.І. Перельман (СРСР).

В Росії окремі цікаві задачі почали з'являтись ще в рукописних математичних посібниках в XVII ст., а потім, починаючи з «Арифметики» Л. Магницького (1703), включались і в друковані видання навчальних керівництв для школи. Перші збірники задач математичної кмітливості на російській мові відносяться до кінця XVIII, початку XIX ст. Спочатку це були невеликі і досить примітивні книги або додаткові розділи до книг по арифметиці. Наприклад, «Здогадна арифметика для забави і задоволення»,1789, автор і видавець - І. Краснопольський. В книзі 62 сторінки і містить вона 41 задачу (арифметичні фокуси вгадування чисел, переправи, задача Йосипа Флавія, визначення дня тижня та ін.)

«Кишеньковий математик, або найлегший спосіб самому собі в найкоротший термін вивчити всі правила арифметики з додаванням різних корисних і зацікавлюючи математичних задач, створених з запитаннями и відповідями на користь російського юнацтва» (автор не вказаний), 1809 р.

Немає необхідності відтворювати в деталях всю хронологію жанру творів, присвячених математичним задачам на кмітливість. За останні півтора століття світова література, як відноситься до цього жанру літератури, розрослася до величезних розмірів. За неповними даними до 1934 року тільки про «магічні квадрати» було написано на французькій, німецькій, англійській і російській мовах біля тисячі книг і статей, які належать перу більш ніж 380 авторам. Поява статей про «магічні квадрати» в англійських, німецьких і французьких математичних журналах не завершується і понині.

Дбайливо підібрана доктором Аренсом і все ще не вичерпуюча бібліографія європейських книг, які мають відношення до математичних задач на кмітливість, доведена до 1918 року, налічує 762 назви (включаючи, правда, і повторні видання однієї і тієї ж книги). Продовжуючи цю бібліографію по 1943 рік W. L. Schaaf перерахував ще 156 книг (з них тільки одну на російськім мові) і 158 журнальних статей (за перші 43 роки двадцятого століття). До початку другої світової війни існували два літературних осередки, які об'єднували зусилля численної групи спеціалістів і аматорів, які всерйоз і не професійно займаються проблемами математичних розваг: один із них - в Нью-Йорку: журнал «Scripta mathematica», заснований в 1932 році; інший - в Брюсселі: журнал «Sphinx», заснований в 1931 році і цілком посвячений математичним розвагам. Організатор і редактор журналу «Sphinx»-- професор Крайчик. В роки другої світової війни журнал «Sphinx» перестав видаватися. Видання журналу «Scripta malheniatica» продовжується.

По ініціативі М. Крайчика були організовані два міжнародні конгресі по математичним розвагам: в 1935 році - в Брюсселі і в 1937 році - в Парижі. В Москві з 1957 року відновилось видання науково-популярних збірників «Математичне просвітництво».

3. Педагогічні особливості математичних задач на кмітливість

До найбільш характерних педагогічних особливостей математичних задач на кмітливість відносяться: конкретність та індуктивність, можливість викликати інтерес до предмету, робити цікавим процес розв'язування, здатність захоплювати та загальнодоступність. Крім того, в колекцію математичних задач на кмітливість можуть входити і задачі політехнічного змісту.

3.1 Конкретність

Початкова стадія мислення завжди конкретна. Через конкретність проходить шлях до абстракції - одному з найважливіших якостей мислення в його вищих формах. Конкретність математичних задач проявляється найперше в їхніх зв'язках з предметами і процесами реального світу, але це також і числа, фігури, дії.

Конкретність як урочних, так і позаурочних математичних задач проявляється в першу чергу в їхньому змісті.

Велике виховне значення мають ті задачі, зміст яких підказаний реальним життям, многогранною діяльність людей. У задач на кмітливість тут особливо широкі можливості. Звичайно ці можливості повинні бути використані в міру, не грубо.

Література із задач на кмітливість має визначені позитивні традиції у використанні випадків із життя для складання задач; є і нові спроби і пошуки в цьому напрямку.

3.2 Індуктивність

Підліток або дорослий, який самостійно стараються відшукати невідоме їм розв'язання задачі, нехай навіть і розв'язаної для когось, звершує елементарний творчий процес. Відправним пунктом цього розумового процесу є проста індукція - перехід від ряду часткових випадків до охоплюючи їх загальних положень. Індукція в свою чергу спирається на спостереження. Для того, щоб піддавати якусь властивість індуктивній перевірці, потрібно її спочатку примітити. Так, починаючи розв'язувати задачу, ми часто відтворюємо її зміст практично, на предметах, на кресленні, стараючись насамперед примітити ті співвідношення, які потім потрібно обґрунтувати. Засвоюючи деяке загальне положення, - правило, ми його найперше спостерігаємо на ряді часткових прикладів.

В ході розв'язання задачі процес узагальнення часто здійснюється за допомогою математичної або повної індукції, висновок, отриманий таким шляхом, вже є дедуктивним.

Проста індукція сама по собі не володіє доказовою силою, але вона забезпечує вихідні положення для дедукції.

В силу конкретності змісту математичних задач на кмітливість ми маємо в цій колекції великий набір вправ для застосування індуктивного методу, для розвитку спостережливості і вміння здійснювати узагальнення. На одну і ту ж тему можна скласти задачу або як загальнодоступну головоломку, яка допускає експериментальне розв'язання, або ряд поступово ускладнюючих задач, які ведуть до обґрунтування алгоритму, а можливо і до побудови відповідної теорії.

Саме такі теми «переправ», «переміщень», «магічних квадратів» і т.п.

Отримання висновків із спостережень, відшукання закономірностей в процесах розв'язання ряду однотипних задач, встановлення зв'язків і нових властивостей, пошуки можливих розв'язків - це все елементи математичної творчості, які сприяють розвитку математичної ініціативи, активності.

Нехай розв'язання не виконується або спостереження не піддається узагальненню, корисно самі роздуми над можливими узагальненнями і зв'язками, корисні намагання знайти розв'язок, корисне навіть активне засвоєння даного розв'язання.

3.3 Можливість викликати інтерес

«Жоден наставник не повинен забувати, що його головний обов'язок полягає в привчанні вихованців розумовій праці і що цей обов'язок більш важливий, ніж передача самого предмета. Тут Ушинський вказує, що розумова праця - майже найтяжча праця для людини.

«Хлопчик швидше готовий попрацювати фізично весь день або просидіти без думок на одною і тією ж сторінкою декілька годин і вивчити її механічно, ніж подумати серйозно декілька хвилин». Що ж може змусити такого хлопчика думати, роздумувати, розв'язувати задачу,тим більше, якщо задача не обов'язкова для його навчальних справ?Звичайно, не примушення і навіть не завжди переконання. Джерело спонукання потрібно шукати в емоціях підлітка.

Основним спонукачем до розумової праці є інтерес, який спочатку з'являється як похідна від враження, а потім вже як бажання пізнання. Інтерес, викликаний математичною задачею, пробуджує прагнення розв'язати її, залучає людину в сферу активної діяльності, яка в свою чергу сприяє зміцненню волі, наполегливості. На базі інтересу виникає і захоплення процесом розв'язання, процесом діяльності. Захоплення самим процесом діяльності - це найважливіший прояв інтересу. Разом із захопленням приходить відчуття задоволення, насолоди від виконання розумових вправ.

Захоплення діяльністю переростає в цікавість, інтерес до предмета діяльності, до виникаючих перспектив, але зростання інтересу одночасно супроводжується виникненням нових питань і бажанням отримати на них відповіді, тобто зростанням відчуття незадоволеності досягнутого,яке в свою чергу стає тепер пробуджуючою силою для подальших роздумів і пошуків нового. В цьому союзі задоволення і незадоволення, який включає в себе єднання і взаємопроникнення протиріч, у вирішенні виникаючого, таким чином, протиріччя і є основа як самого інтересу, так і пов'язаної з ним діяльності.

Значення необхідності викликати інтерес є також і в тому, що розумова діяльність, пов'язана з цікавістю, зміцнює можливості людини. Пробудження інтересу лежить в основі самого існування позаурочних задач. Вони не є обов'язковими для занять і не могли б існувати віками, якби не володіли властивістю зацікавлювати.

Вчителі середніх шкіл дуже часто зауважують, що виникнення інтересу до математики в учнів як результат їх участі в математичному гуртку, частина занять якого зазвичай посвячується і вправам на розв'язування математичних задач на кмітливість.

3.4.Здатність захоплювати

Якщо мати на увазі не просто забаву, то захопливість змісту задачі або захопливість форми її «подачі» служить таким же педагогічним цілям, як і інтерес. Справжня захопливість призначена захоплювати увагу, активізувати думки, пробуджувати інтерес до предмету і бажання ним займатися. Справжня захопливість завжди несе з собою риси дотепності і надає задачам відтінок гри.

Через захопливість проникає в свідомість відчуття прекрасного до математики, яку при подальшому вивченні предмету доповнюється розумінням прекрасного. До естетичних елементів захопливості відносяться: легкий гумор, несподіваність ситуації або розв'язки, стійкість геометричної форми, витонченість розв'язання, під якою розуміється поєднання простоти і оригінальності методів її отримання. Вказаними якостями справжньої захопливості володіють всі кращі твори колекції математичної кмітливості. Наприклад, старовинна французька задача про купчиху, яка одному покупцеві продала половину принесених яєць і ще пів-яйця, другому покупцеві продала половину яєць, які залишилися і ще пів-яйця і т.д., нарешті, коли вона сьомому покупцеві також продала половину яєць, які залишились і ще пів-яйця, то в неї нічого не залишилося.

З народною приказкою про ложку дьогтю в бочці меду перекликається за темою задача-жарт, розв'язок якої, однак, не дуже очевидний. В одній пляшці літр вина, в іншій - літр води. З першої в другу перелили ложечку вина, а потім з другої в першу відлили таку ж ложечку отриманого розчину. Чого тепер більше: води в першій пляшці чи вина в другій?

Чи не дивує можливість без важких обчислень визначити останні дві цифри числа, яке можна отримати, якщо 1000 раз повторити піднесення числа 7 до сьомого степеня? Викликає цікавість і така задача: наш календар побудований так, що проміжки, через які слідують один за одним числа 1 січня, не завжди постійні, але ці проміжки змінюються періодично, с періодом в 400 років. З якого ж дня частіше починається Новий рік: з суботи чи неділі?

Поетична форма захопливості. Бажання зробити задачу захопливою для отримання ефекту як художнього, так і педагогічного, бере свій початок в глибокій давнині. Пройшовши етап містики і астрології, захопливість поступово набула «світський», поетичний характер ( з'явились задачі в формі легенд і віршів), наближуючи тим самим математику до народу, що в свою чергу привело до подальшого збагачення і підсилення виховного значення захопливості за рахунок включення елементів народного епосу і життєвих ситуацій у зміст математичних задач.

Зрозуміло, що вивчаючи математику, потрібно частіше і більше говорити мовою математики, але не потрібно нехтувати особливостями поетичного тексту: він легше запам'ятовується, він емоційний, образний.

Цінність такого виду задача в тому, що вони тренують «практичну кмітливість». Як виміряти висоту недоступного предмета або ширину річки? Як визначити об'єм пляшки або товщину провідника, використовуючи тільки масштабну лінійку? Як без вимірювань і обчислень визначити, більше чи менше половини бочки займає її зміст?

Кордони захопливості. Захопливість потрібно використовувати в міру. Захопливість стає лишньою, якщо вона веде до вульгаризації математичних ідей, спрощенню викладення, до математичної некоректності.

Задача на кмітливість призначені загалом для самостійної роботи, тому спрощення тут є недопустимим, щоб в учнів не укріплювались погані звички і неправильні міркування. Захопливість не повинна переходити кордони математичної коректності.

3.5 Загальнодоступність

Одним з достоїнств задач математичної кмітливості є їх загальнодоступність, так як розв'язок більшої частини задач цієї категорії спирається на досить скромну математичну базу.

Загальнодоступність тут не тотожна з легкістю розв'язування. Розв'язок деяких задач може бути простим, доступним для розуміння, але не кожен може здогадатися, як розв'язати задачу, так як для розв'язування задач математичної кмітливості часто буває недостатньо застосування знайомих, звичних методів, а потребується прояв кмітливості, винахідливості, гнучкості мислення.

Живий розум у підлітка буває не очікувано знаходить простий розв'язок задачі.



Розділ ІІ. Приклади задач на кмітливість для учнів 5 - 7 класів

1. Особливості задач на кмітливість для учнів 5 -7 класів

Задачі на кмітливість для учнів 5 - 7 класів повинні містити наступні теми:

1) Натуральні числа, найпростіші геометричні фігури і величини.

2) Дробові числа.

3) Подільність чисел.

4) Звичайні дроби

5) Відношення і пропорції

6) Раціональні числа та дії над ними

7) Лінійні рівняння з однією змінною

8) Цілі вирази

9) Функції

10)Системи лінійних рівнянь з двома змінними

11)Взаємне розташування прямих на площині

12)Трикутники

13)Коло і круг. Геометричні побудови

Далі будуть наведені приклади задач на кмітливість для учнів 5 - 7 класів з деяких тем.

2. Приклади задач на кмітливість

1. Дії над числами

1. Уяви собі, що між сторінками книг потрібно знайти записку. Але щоб її знайти, потрібно перегорнути 1 000 000 сторінок різних книг. Перегорнути всі книги, наприклад, шкільної бібліотеки. Скільки б тобі потрібно було часу, якщо кожну хвилину пере листати по 80 сторінок, працюючи кожен день по 6 годин?

За 1 годину перегорнеш 4 800 сторінок. За 6 годин - 28 800 сторінок. Якщо тепер поділимо 1 000 000 сторінок по 28 800, то отримаємо майже 35 днів. Більше місяця потрібно для цього, без жодного вихідного дня, при цьому потрібно працювати по 6 годин, не перериваючи роботу ні на одну секунду.

2. Сашко зібрався в гості до Дмитрика й спитав у нього:

Ї В якому під'їзді ти живеш?

Ї В середньому, - відповів Дмитрик.

Ї А який номер твого під'їзду?

Ї П'ятий.

Скільки під'їздів має будинок Дмитрика?

Оскільки Дмитрик живе в п'ятому під'їзді і цей під'їзд є п'ятий, то всього в будинку 4+1+4=9 під'їздів.

3. Кожен день опівдні відправляється пароплав із Гавра в Нью-Йорк через Атлантичний океан і в той же час пароплав тієї ж компанії відправляється із Нью-Йорка в Гавр. Переїзд в тому та іншому напрямку триває рівно 7 днів. Скільки суден компанії, які йдуть в протилежному напрямку, зустрічає пароплав по дорозі із Гавра в Нью-Йорк?

Потрібно рахувати ті судна, які вже пливуть в Гавр, і також ті, які будуть відправлятися пізніше. В момент виходу пароплава із Гавра в дорозі, направляючись в Гавр, було 8 суден компанії (одне із них входить в Гавр, інше виходить із Нью-Йорка). Наш пароплав зустріне всі ці 8 суден. Крім того, протягом його семиденного плавання із Нью-Йорка вийде ще 7 суден (останнє - в момент прибуття пароплава в Нью-Йорк). Всі вони зустрінуться з нашим пароплавом. Отже, пароплав зустрінеться з 15 суднами.

4. Скільки ми отримаємо, якщо додамо наступні числа:

1) Найбільше трьохзначне і найменше однозначне;

2) Найменше двозначне, найменше трьохзначне і найменше чотиризначне?

999+1=1000; 10+100+1000=1110.

5. В двох ящиках лежали ножиці по 20 штук в кожному. Перед уроком трудового навчання вчителька взяла декілька ножиць з одного ящика, а потім з іншого взяла стільки, скільки залишилось в першому ящику. Скільки ножиць залишилось в кожному ящику?

20 ножиць.

6. Коли у Петрика запитали, скільки років його батькові, він відповів так:

Ї Я втричі молодший за тата, але зате втричі старший за сестру Маню.

В цей час зайшла Маня і сказала:

Ї Нам з татом вже півсотні років. Так сказав тато.

Скільки років татові Петрика?

45 років.

7. Які цифри потрібно поставити заміть зірочок, якщо приділенні числа на 7 в частці отримали 8 и найбільшу з можливих остач?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приділенні на 7 найбільшою остачею може бути тільки 6. Наприклад 62:7=8(остача6).

8. 1) В якому випадку сума двох чисел дорівнює першому доданку? Другому доданку?

2) Які два числа додали, якщо відомо, що їх сума більше одного з них на 24 і ця ж сума більша іншого на 16?

3) Чому дорівнює від'ємник, якщо різниця менша за зменшуване на 48?

4) Щоб знайти зменшуване, різницю збільшили на 37. Чому дорівнює від'ємник?

Якщо другий доданок дорівнює нулю. Якщо перший доданок дорівнює нулю; 24 і 16;48; 37.

9. Михайлик запропонував другові написати число 37 і запитав: «Яку улюблену цифру ти хотів би бачити в добутку?» Друг відповів: «5». «Тоді помнож число 37 на 15 і ти її побачиш». Друг помножив і отримав 555. Як Михайлик дізнався, на яке число потрібно помножити 37?

При множені числа 37 на 3 отримаємо 111. Щоб отримати число в 5 разів більше 111, потрібно і помножити 37 на число, в 5 разів більше, ніж 3, тобто на 15.

10. Маємо 16 кг муки і декілька однакових за вагою порожніх мішків. Також маємо терези, але гир немає. Як, не маючи гир зважити 8 кг? 4 кг? 12 кг? 14 кг?

Розважуємо на дві рівні частини спочатку всю муку. Потім також розділимо на дві рівні частини отримані 8 кг, потім ділимо на 2 частини 4 кг. Щоб отримати 12 кг, потрібно до 8 кг додати ще 4 кг. Щоб отримати 14 кг необхідно до отриманих 12 кг пересипати 2 кг, отриманих від розділення на рівні частини 4 кг муки.

3. Годинник і календар

1. Чи може у деякому місяці бути 5 неділь?

Для того, щоб у місяці було 5 неділь, його початок повинен припадати на неділю (якщо в місяці 28 днів), або на суботу чи неділю (якщо в місяці 29 днів), або на п'ятницю, суботу чи неділю (якщо в місяці 31 день).

2. Годинник за кожну добу спішить на 3 хвилини. Зараз він показує точний час. Через який час його стрілки знову показуватимуть точний час?

Годинник знову показуватиме точний час, коли піде вперед на 12 годин. Це трапиться через 12 діб.

3. Годинник показує першу годину дня. Знайдіть найближчий момент часу, коли годинна та хвилинна стрілки збігатимуться.

За 60 хвилин годинна стрілка проходить 1/12 кола, а хвилинна - повне коло. Тобто за хвилину кут між годинною та хвилинною стрілкою зменшується на частину повного кола. О першій годині дня кут між стрілками складає частину кола, тому стрілки збігатимуться вперше після 13:00 через хвилини, тобто майже о 13:05:27.

4. Зараз Михайликові 11 років, а Андрійкові 1 рік. Скільки років буде Михайликові та Андрійкові, коли Михайлик буде втричі старший від Андрійка?

Оскільки Михайлик буде втричі старший від Андрійка, то різниця у їхньому віці дорівнюватиме подвоєному віку Андрійка. Вікова різниця не змінюється з часом, тобто вона дорівнює 11-1=10. Отже, Андрійкові буде 5, а Мишкові - 15.

5. «Котра зараз година?» - запитав Мишко в тата. «А порахуй: до кінця доби залишилося вдвічі менше того часу, який пройшов від їх початку». Скільки тоді було годин?

4 години дня.

4. Задачі на порівняння та оцінки

1. 7 олівців дорожчі від 8 зошитів. Що дорожче - 8 олівців чи 9 зошитів?

Якщо 7 олівців дорожчі від 8 зошитів, то 1 олівець дорожчий від 1 зошита. Тоді 8 олівців дорожчі від 9 зошитів.

2. Катруся, Маруся, Михайлик і Дмитрик збирали ягоди. Маруся зібрала ягід більше від усіх , Катруся - не менше від одного з хлопчиків. Чи справедливо, що дівчатка зібрали ягід більше, ніж хлопчики?

Нехай Катруся зібрала ягід не менше від Дмитрика. Тоді Маруся зібрала більше від Михайлика. Тобто, дівчатка зібрали більше ягід, ніж хлопчики.

3. Велосипедист і автомобіліст одночасно вирушили з пункту А до пункту В. Автомобіліст їхав зі швидкістю у 5 разів більшою, ніж велосипедист. На півдорозі автомобіль зазнав аварії, і частину шляху, що залишилася, автомобіліст пройшов пішки за швидкістю, удвічі меншою ніж велосипедист. Хто з них раніше прибув до пункту В?

Велосипедист приїхав раніше, бо на другу половину шляху автомобіліст витратив стільки ж часу, скільки велосипедист на весь шлях.

4. Михайлик і Віталій купили по однаковій коробці чаю у пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві чи три чашки чаю. Михайликові коробки вистачило тільки на 41 чашку, а Віталію - на 58. Скільки пакетиків було в коробці?

Михайлик не міг використати більше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він би випив не менше 21*2=42 чашок. Віталій не міг використати менше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не більше 19*3=57 чашок. Таким чином, у коробці 20 пакетиків чаю. Розв'язання було б неповним, якби ми не вказали спосіб випити 41 і 58 чашок чаю, виходячи із 20 пакетиків. Так, Михайлик 19 разів заварив пакетик на дві чашки чаю і один раз на - три. Віталій 18 разів заварив пакетик на три чашки і двічі - на дві.

5. У гуртку, де займаються Маруся і Катруся, не менше 91% хлопців. Чи може бути в цьому гуртку менше, ніж 21 хлопець?

Дівчата в гуртку складають менше ніж 9 відсотків, тобто загальної кількості учасників, і при цьому дівчат не менше 2. Звідси кількість учасників не менша ніж , тобто більша ніж 22. Отже, у гуртку щонайменше 23 дітей, тобто не менше, ніж 21 хлопець.

6. 9 тістечок коштує дешевше, ніж 10 гривень, а 10 тих же тістечок дорожчі ніж 11 гривень. Скільки коштує одне таке тістечко?

Одне тістечко коштує дешевше ніж гривні, тобто не дорожче ніж 1 гривня 11 копійок. З іншого боку, тістечко коштує дорожче, ніж гривні, тобто 1 гривня 10 копійок. Отже, ціна тістечка - 1 гривня 11 копійок.

5. Подільність чисел

1. Учні двох шостих класів, у кожному з яких не менше 30 школярів, купили 737 підручників. Кожен учень купив однакову кількість книжок. Скільки було шестикласників і скільки книжок купив кожен?

Розкладемо число 737 на прості множники: 737=67*11. З умови задачі випливає, що шестикласників було 67, а книжок - 11.

2. На дошці записане число *****7*. Михайлик і Віталій по черзі витирають будь-яку зірочку і на її місце записують деяку цифру. Якщо отримане число ділиться на 4, то перемагає Віталій. Чи зможе він перемогти, якщо починає гру?

Згідно з ознакою подільності дане число ділиться на 4, коли число 7* ділиться на 4. Тобто Віталію Потрібно першим ходом останню зірочку замінити на 2 або 6. Тоді він переможе за будь-якої гри Михайлика.

3. Чи ділиться число 12312312354 на 12? А на 6?

На 12 діляться ті числа, які діляться на 3 і на 4. На 4 діляться числа, дві останні цифри яких утворюють число, яке ділиться на 4: 54 на 4 не ділиться. Отже, число 12312312354 не ділиться на 12.

На 6 діляться числа, які діляться на 2 і на 3. На 2 діляться числа, які закінчуються парним числом. Наше число ділиться на 2. На 3 ділиться числа, сума цифр яких ділиться на 3. Сума цифр числа дорівнює 27. Отже, наше число ділиться на3. Значить, число 12312312354 ділиться на 6.

4. Капітан Флінт, Джек Горобець та Чорний Сільвер зібралися у портовому трактирі на острові Тортуга. Їх кораблі незабаром вирушать у плавання.

Ї Гарна в нас підібралася компанія! Коли ж нам ще доведеться так зустрітися?, - спитав капітан Флінт.

Через який час пірати знову зможуть зустрітися, якщо корабель капітана Флінта заходить на Тортугу кожні 24 дні, корабель Джека Горобця - кожні 20 днів, а корабель Чорного Сільвера - кожні 30 днів?

Для розв'язання цієї задачі, потрібно знайти найменше спільне кратне для чисел 20, 24 і 30. НСК(20,24,30)=120. Тобто, пірати зможуть зустрітися через 120 днів.

5. Маленькі мавпочки втекли із зоопарку і прибігли до продуктового магазину . Там вони знайшли два ящика бананів - великий і маленький. У великому ящику було 210 бананів, а в маленькому - 108 бананів. Вони змогли поділити порівну банани і з великого, і з маленького ящиків. Скільки було мавпочок, якщо їх було більше чотирьох?

Щоб розв'язати дану задачу, потрібно знайти найбільший спільний дільник чисел 210 і 108, а для цього розкладемо ці числа на множники.

210=2*105=2*3*5*7 і 108=2*54=2*2*27=2*2*3*9=2*2*3*3*3. Найбільшим спільним дільником НСД (210, 108)=6. Отже, мавпочок було шестеро.

6. У коробці лежать білі, сині, червоні та зелені кульки. Білих кульок у чотири рази менше ніж синіх, червоних і зелених разом. Синіх кульок у шість разів менше ніж білих, червоних і зелених разом. Доведіть, що кількість кульок у коробці ділиться на 35.

Якщо білих кульок а, то всіх кульок 5а; якщо синіх кульок в, то всіх кульок - 7в. Таким чином, загальна кількість кульок ділиться на 5 і на 7, тобто на 35.

7. Дві команди розіграли першість школи в спартакіаді. За перемогу в кожному виді змагань команда отримувала 4 очка, за нічию - 2 очка і за програш - 1 очко. Обидві команди разом набрали 46 очок. Скільки було нічиїх?

За змагання, у якому зафіксовано нічию, обидві команди разом отримують 4 очка, за змагання, в якому одна з команд перемогла, обидві команди разом отримують 5 очок. Позначимо кількість нічиїх через х, а кількість змагань, у яких одна з команд отримала перемогу - через у. Тоді повинно ділитися на 5, тобто Відповідь: 4 або 9 нічиїх.

6. Дроби та відсотки

1. Два лісоруби, Микита та Павло, працювали в лісі і сіли снідати. У Микити було 4 млинці, у Павла - 7. Тут до них підійшов мисливець.

Ї Ось заблудився в лісі, до селища ще дуже далеко, а їсти дуже хочеться. Поділіться зі мною хлібом-сіллю.

Ї Ну що ж сідай: чим багаті, тим і раді, - сказали Микита та Павло.

11 млинців були розділені між трьома порівну. Після сніданку мисливець знайшов у кармані 11 копійок і віддав лісорубам.

Микита говорить, що гроші потрібно поділити порівну, а Павло не згодний з ним, він говорить, що за 11 млинців 11 копійок, отже за 1 млинець 1 копійка. В нього було 7 млинців, значить йому потрібно віддати 7 копійок, а Микиті за його 4 млинці - 4 копійки. Хто з лісорубів помиляється в обчисленнях?

І Микита і Павло роблять неправильні обчислення. 11 млинців розділені між трьома порівну, значить кожний з'їв 11\3 млинців. У Павла було 7 млинців, значить він віддав 10\3 млинців. У Микити було 4 млинці, значить він віддав 1\3 млинців. Мисливець з'їв 11\3 млинців і заплатив за них 11 копійок, значить за кожен млинець він заплатив по 1 копійці. У Павла він взяв 10 третіх, у Микити - 1 третю млинців. Значить, Павло має взяти 10 копійок, а Павло 1 копійку.

2. Розділити порівну 5 печив між 6 хлопчиками, не розрізаючи це печиво на 6 рівних частин.

Якщо ми із 5 даних печив 3 розріжемо пополам, то отримаємо 6 рівних частин. Віддамо ці частини 6 хлопчикам. Потім ті 2 печива, що залишились, розріжемо на 3 рівні частини кожний. Отримаємо ще 6 рівних частин, які поділимо між хлопчиками.

3. Старий чоловік, який мав трьох синів, розпорядився, щоб після його смерті поділили його стадо верблюдів між синами, так, щоб найстарший забрав половину, середній - третину, а молодший - дев'яту частину. Батько помер і залишив 17 верблюдів. Сини почали поділ, але виявилось, що число не ділиться ні на 2, ні на 3, ні на 9. За допомогою вони звернулися до мудреця. Він приїхав на власному верблюді і поділив верблюдів за заповітом. Як це йому вдалося?

Мудрець зробив одну хитрість. Він прибув на власному верблюді і добавив його до стада, верблюдів стало 18. Тоді він поділив їх за заповітом

. Мудреця забрав свого верблюда назад ( 9+6+2+1=18). Секрет тут в тому, що дробові частини, на які по заповіту повинно було ділитися стадо, в сумі не дорівнює 1:

4. Коли велосипедист проїхав шляху, лопнула шина. На шлях, що залишився, він пішки витратив удвічі більше часу, ніж на їзду на велосипеді. У скільки разів велосипедист їхав швидше ніж ішов?

Шлях, який залишився, удвічі коротший від шляху, який велосипедист проїхав, а часу на подолання цього шляху він витратив удвічі більше. Отже, його швидкість пішки в 4 рази менша від швидкості на велосипеді.

5. Три землекопи за 2 години викопали три ями. Скільки ям викопають шість землекопів за 5 годин?

З умови випливає, що шість землекопів за 2 години викопають шість ям. Шість землекопів за 1 годину викопають три ями. Отже, шість землекопів за 5 годин викопають 15 ям.

6. Михайлик, Віталій та Дмитрик зібрали горіхи та лягли спати. Вночі прокинувся Михайлик і з'їв свою порцію ( частину). Після цього прокинувся Віталій і з'їв третину тих горіхів, що залишилися. Нарешті прокинувся Дмитрик і з'їв третину нового залишку. Вранці з'ясувалося, що залишилося 16 горіхів. Скільки горіхів було зібрано друзями, скільки з'їв кожен і як справедливо поділити горіхи, що залишилися?

Почнемо розв'язувати задачу з кінця. 16 горіхів, що залишилися, - це дві третини того, що побачив Дмитрик; тобто Дмитрик побачив 24 горіхи, з яких з'їв 8. 24 горіхи - це дві третини того, що побачив Віталій; отже, Віталій побачив 36 горіхів, із який з'їв 12. У свою чергу 36 горіхів - це дві третини всіх горіхів; отже, хлопці зібрали 54 горіхи, з яких Михайлик з'їв 18. Оскільки кожен із них мав з'їсти по 18 горіхів, то Михайлик з'їв всю свою порцію; Віталій повинен був узяти собі ще 6 горіхів, а Дмитрик - 10. Відповідь: усього 54 горіхи, з яких Віталій повинен узяти ще 6 горіхів, а Дмитрик - ще 10.

7. Ринкова ціна картоплі спочатку зросла на 20%, а потім знизилась на 20%. Як змінилась ціна картоплі порівняно з початковою?

Якщо ринкова ціна картоплі зросла на 20%, то вона складала 120% від початкової ціни. Зниження на 20% від 120% складає 0,2*120%=24%. Отже, нова ціна дорівнює 96% старої ціни. Відповідь: зменшилась на 4%.

8. Кількість розумних людей на 40% більша від кількості красивих, а 25% розумних людей мають привабливу зовнішність. Який відсоток розумних серед красивих?

Якщо красивих людей то розумних - Чверть розумних є також красивими, тобто - і красиві, і розумні. Відповідь:35% красивих є розумними.

7. Переливання, зважування та переправи

1. Маємо дві посуди місткістю 3л і 5л. Як за допомогою цих посудин набрати 4л води?

Розв'язування задачі можна подати у вигляді таблиці:

Ходи	1	2	3	4	5	6	7	8
5 л	Ї	3	3	5	Ї	1	1	4
3 л	3	Ї	3	1	1	Ї	3	Ї

2. Маємо три мішка з монетами, в двох із них справжні монети вагою 10 г кожна, в одному фальшиві монети вагою 9 г кожна. Є терези, які показують загальну вагу покладених на них монет. Як за допомогою одного зважування знайти, в якому мішку фальшиві монети? Зважувати одну монету з якого-небудь мішка не варто, так як можливо потрібне буде ще одне зважування. Зважувати три монети - по одній монеті із кожного мішка - не потрібно, їх вага відома: 10+10+9=29 (г). Вигадайте ще який-небудь спосіб зважування, щоб розв'язати задачу.

Візьмемо з першого мішка 1 монету, з другого - 2 монети, з третього - 3 монети. Можливі три випадки:

1) Фальшиві монети в першому мішку, тоді вага взятих монет 1*9+2*10+3*10=59 (г);

2) Фальшиві монети в другому мішку, тоді вага взятих монет 1*10+2*9+3*10=58(г);

3) Фальшиві монети в третьому мішку, тоді віга взятих монет 1*10+2*10+3*9=57 (г).

Зауважимо, що в першому, другому і третьому випадках вага взятих монет на 1, 2, 3 г відрізняється від ваги такої ж кількості справжніх монет, тобто від (1+2+3)*10=60 г. Це означає, що зважуючи 6 монет і отримавши результат 59, 58, 57 г, ми будемо знати, скільки грамів не вистачає до 60, - це число вказує нам номер мішка з фальшивими монетами.

3. Алюмінієва каструля до країв наповнена водою. Як відлити половину каструлі, не використовуючи ніякої іншої посуди та вимірювальний приладів?

Що відлити половину каструлі, потрібно нахилити її так, як показано на малюнку.

4. Селянину потрібно перевезти через річку вовка, козу і капусту. Але в човні може поміститися тільки селянин і або вовк, або коза, або капуста. Але якщо залишити вовка з козою, то вовк з'їсть козу, а якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту. Як поступити селянину?

Зрозуміло, що потрібно починати перевозити козу. Селянин перевозить козу, залишає її на другому березі і повертається за вовком, якого перевозить на інший берег, але забирає козу із собою. Тут він залишає її і перевозити капусту до вовка. Нарешті, селянин повертається за козою і перевозить її на другий берег: переправа завершується успішно.

5. По каналу один за одним пливуть три пароплави: А, Б, В. Назустріч їм пливуть ще три пароплави: Г, Д, Е. Канал такої ширини, що два пароплави розійтися не можуть, але в каналі є залив, в якому може поміститися тільки один пароплав. Чи можуть пароплави розійтися так, щоб продовжити далі свій шлях?

Пароплави Б і В відходять назад (вправо), А входить в залив; Г, Д, Е проходять по каналу повз А; А виходить із заливу і пливе своєю дорогою (вліво); Е, Д, Г відступають на своє місце (наліво). Тоді з Б повторюємо всі дії, які виконували з А. Таким же чином пропливає В. Всі пароплави пливуть своєю дорогою.

6. Загін солдат підходить до річки, через яку потрібно переправитися. Але міст зламаний, а річка глибока. Як бути? Командир помічає двох хлопчиків, які катаються на човні недалеко від берега. Але човен настільки малий, що може витримати тільки одного солдата або тільки двох хлопчиків - не більше. Однак, всі солдати переправилися на інший берег саме на цьому човні. Як це було зроблено?

Діти перепливли через річку. Один з хлопчиків залишився на березі, а інший доставив човен до солдатів та виліз. Тоді сів солдат і переправився на інший берег. Хлопчик, який залишався на цьому березі, сів в човен, переплив на берег із солдатами і забрав свого друга, доставив його на інший берег і приплив на човні до солдатів. Після цього він виліз і інший солдат переправився через річку. Таким чином - після кожного з двох перегонів човна - переправлявся один солдат. Так переправилися всі солдати.

8. Задачі - жарти

1. Ішов дідусь до Києва й зустрів трьох бабусь. Кожна з них несла три торби, у кожній торбі - по три кішки. Скільки істот рухалось до Києва? (Один дідусь, бо інші йшли в протилежному напрямку)

2. Двоє пішли - дві гривні знайшли, четверо підуть - скільки грошей знайдуть?(Дві гривні)

3. Скільки кінців у трьох олівців? (6)

4. Горіло вісім свічок. Одну загасили. Скільки свічок залишилося? (Одна, бо інші згоріли)

5. Гарбуз важить 2 кг і ще пів гарбуза. Скільки важить два таких гарбузи? (Півгарбуза важать 2 кг, тоді цілий гарбуз важить 4 кг. Два таких гарбуза - 8 кг)

6. Яблуко та груша разом коштують 17 копійок. П'ять яблук та дві груші - 55 копійок. Скільки коштує одне яблуко та одна груша? (Груша коштує 10 копійок, яблуко - 7 копійок)

7. Половина моїх грошей та ще четвертина моїх грошей, та ще 4 гривні - це і всі мої гроші. Скільки в мене грошей? (16 грн)

8. П'ять курок за 5 годин знесли п'ять яєць. Скільки курок несуть 100 яєць за 100 годин? (5 курок)

9. Два лижники вийшли одночасно назустріч одне одному. Перший йшов до зустрічі дві години. Скільки часу йшов до зустрічі другий лижник з першим? (Дві години)

10. Один хлопчик проходить за годину 5 км. Яку відстань пройдуть три хлопчики за годину, якщо вони вийдуть одночасно та йтимуть з тією ж швидкістю? (5 км)

11. О третій годині дня обласне радіо повідомило, що на найближчий тиждень збережеться безхмарна погода. Чи може через 10 годин по області світити сонце? (Ні, через 10 годин у цьому місті буде ніч)

12. Літак долає відстань від Києва до Одеси за 1 год 10 хв. На зворотній шлях витрачає 70 хв без зміни початкової швидкості. Як це пояснити? (1 год 10 хв=70 хв)

13. Який годинник показує правильний час лише двічі на добу? (Зіпсований)

14. Вулицею йдуть два батьки і два сини, а всього троє осіб. Як це пояснити? (Дідусь, батько, син)

15. Термометр показує три градуси морозу. Яку температуру покажуть два таких термометри? (Три градуси морозу)

16. Як число 1888 поділити на дві частини, щоб у кожній було по 1000? (Розрізати навпіл)

17. Який рік 20-го століття не зміниться, якщо його поставити на голову? (1961)

18. Росло дві верби, на кожній вербі по 2 гілки. На кожній гілці по 3 груші. Скільки всього груш? (Груші на вербі не ростуть)

19. На яке дерево сідає ворога під час зливи? (На мокре)

20. Що легше: кілограм вати чи кілограм заліза? (Вага однакова - по кілограму).

21. Число 666 збільшити в півтора рази, не виконуючи ніяких арифметичних дій. (Записати це число і потім перевернути його на 180, отримаємо 999).



Список використаної літератури

1. Труднев В.П. Считай, смикай, отгадывай! М., «Просвещение», 1970, 128 ст.

2. Таунсенд Ч.Б. Самые трудные головоломки из старинных журналов. - М.: АСТ - ПРЕСС, 1998, 96 ст.

3. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: задачи на смекалку: Учеб. Пособие для 5 - 6 классов. - М., Просвещение, 1995, 80 ст.

4. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. М., Просвещение, 1958, 117 ст.

5. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М., Просвещение, 1958.

6. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. М., «Омега», 1994.

7. Харт-Дэвис А. Удивительные математические головоломки. М. - «Астрель», 2003г, 93 ст.

8. Богданович М.В. Математичні джерельця: Наук. - худож. Книга. К.: Веселка, 1988. - 168 ст.

9. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. - М., Просвещение, 1980. - 79 с.

10. Поліщук О.Р., Чайчук О.Р. Математична логіка, 5 - 6 класи. - Х.: «Основа», 2007. - 112 с.

11. Перельман Я.І. Жива математика. - К., «Техніка», 1969. - 152 с.

12. Дышинський Е.А. Игротека математического кружка. М., «Просвещение», 1972.

13. Басанько А.М., Романенко А.О. За лаштунками підручника з математики. Збірник задач для учнів 5 - 7 класів. - Тернопіль: Підручники та посібники, 2004. - 128 с.

14. Скляренко О.В. Математика, 5 клас. Задачі для розвитку мислення. - Х.: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2006. - 96 с.

15. Скляренко О.В. Математика, 6 клас. Задачі для розвитку мислення. - Х.: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2006. - 96 с. Размещено на Allbest.ru