Методы и формы самостоятельной работы учащихся при обучении математике

Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.

Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия); работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Говоря о первом направлении внеклассной работы, отметим следующее.

Этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике с необходимостью должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае -продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.

Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.

Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.

1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучаемости.

2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).

3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа.

6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.

Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике-занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера:

4. Воспитание высокой культуры математического мышления.

5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства.

7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о ведущей роли советской математической школы в мировой науке.

8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной работой.

9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими учениками, в пропаганде математических знаний среди других учащихся).

Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида.

Вместе с тем "Между учебно-воспитательной работой, проводимой на уроках, и внеклассной работой существует тесная взаимосвязь: учебные занятия, развивая у учащихся интерес к знаниям, содействуют развертыванию внеклассной работы, и, наоборот, внеклассные занятия, позволяющие учащимся применить знания на практике, расширяющие и углубляющие эти знания, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однако внеклассная работа не должна дублировать учебную работу, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия.

Говоря о содержании внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, отметим следующее.

Традиционная тематика внеклассных занятий ограничивалась обычно рассмотрением таких вопросов, которые хотя и выходили за рамки официальной программы, но имели много точек соприкосновения с рассматриваемыми в ней вопросами. Так, например, при изучении в 6 классе признаков делимости натуральных чисел на занятиях математического кружка рассматривались признаки делимости чисел, не предусмотренные программой (признак делимости на 7, на 11 и т. д.); при изучении геометрических задач на построение циркулем и линейкой на занятиях математического кружка рассматривались геометрические построения при помощи одной линейки и т. п. Также традиционным для рассмотрения на внеклассных занятиях по математике были исторические экскурсы по той или иной теме, математические софизмы, задачи повышенной трудности и т. д.

За последние десятилетия в математике возникли новые направления, имеющие не только большое практическое значение, но и большой познавательный интерес. Экспериментальные исследования, проведенные в ряде школ показали, что многие вопросы так называемой современной математики (в объеме своих начальных понятий) вполне доступны и весьма интересны для изучения их учащимися, даже начиная с 5 класса. На это справедливо указывал Н. Я. Виленкин, предлагая на внеклассных занятиях по математике знакомить учащихся с элементами вычислительной математики, производной и интегралом, основными понятиями математической логики, современной алгебры, комбинаторики, теории информации и т. д. Н. Я. Виленкин рекомендует обращать внимание и на практическую направленность внеклассных занятий и ее занимательность, которые можно реализовать рассмотрением соответствующих задач.17

Отметим, что многие из этих вопросов уже нашли свое отражение в программе факультативных занятий по математике; вместе с тем некоторые из них могут быть интересными и доступными для учащихся IV-VI классов.

Происходящее сейчас обновление содержания основного курса математики привело к возникновению тенденции обновления содержания внеклассных занятий по математике, однако это не означает, что следует полностью отказаться от тех или иных традиционных вопросов, которые составляли до сих пор содержание внеклассных занятий и вызывают у учащихся неизменный интерес (например, функции и графики, математические парадоксы и софизмы, неопределенные уравнения, логические и исторические задачи и т. д.).

Можно рекомендовать следующие формы проведения внеклассной работы с учащимися, особо интересующимися математикой:

математические кружки;

математические викторины, конкурсы и олимпиады;

математические вечера; математические экскурсии;

внеклассное чтение математической литературы;

математические рефераты и сочинения;

школьная математическая печать.

Говоря об олимпиаде, следует отметить, что до сих пор эта форма внеклассной работы с учащимися являлась своеобразным итогом проделанной работы (чаще всего кружковой). Олимпиада - соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся в смысле их математического образования, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость - желание не отстать от тех, которые успешно справляются с олимпиадным заданием; часто именно участие в олимпиаде и подготовка к ней побуждает учащихся самостоятельной работе, вырабатывает умение работать с научно - популярной литературой и т. д.

Математические олимпиады проводятся на различных уровнях: школьные, районные, городские, областные, республиканские, общесоюзные и международные. Олимпиады также оказывают положительное влияние и на общий уровень преподавания математики, во многом позволяют выявить качество математических знаний учащихся и, кроме того, в какой-то степени ориентируют учителя, характеризуя уровень той математической подготовки, которая считается высокой.

Однако следует обратить внимание на то немаловажное обстоятельство, что олимпиады не являются серьезным источником новой, интересующей учащихся информации и потому не могут считаться основной формой углубленной математической подготовки молодежи.

В последнее время все большую популярность среди учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности, завоевывают такие формы углубленной специальной математической подготовки, примыкающие к внеклассной работе, как юношеские математические школы (ЮМШ), заочные математические школы (ЗМШ), школы и классы с математическим уклоном специально для подготовки программистов-вычислителей.

Имея в виду, что каждая из выше перечисленных форм достаточно полно представлена в методической литературе, мы ограничимся здесь лишь краткой характеристикой основных форм этого вида работы: математического кружка, внеклассного чтения математической литературы, школ и классов с математическим уклоном.

3.1 Кружковые занятия по математике и методика их проведения

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.

Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики, чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).2

На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п.).

Занятия кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать "атмосферу" свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна. В тематике кружковых занятий для 5-11 классов находят место вопросы, связанные с историей математики, жизнью и деятельностью российских и зарубежных известных математиков.

Работа учащихся с дополнительной литературой при обучении математике

Перед школой стоят задачи повышения общего уровня развития учащихся, подготовки школьников к дальнейшему образованию и самообразованию и к практической творческой деятельности по любой специальности. Для решения этих задач учителю математики необходимо не только обеспечить определенный запас знаний у школьников, но и выработать умение добывать эти знания, развить в учениках стремление и способности к самостоятельному приобретению новых знаний.

Среди различных источников новых знаний по математике одно из первых мест занимает книга. Всю литературу, знакомящую школьников с основами математики и с их применением, можно разделить на учебную (стабильные учебники, дидактические материалы, сборники задач, справочники) и дополнительную (научно-популярные книги и статьи, сборники задач олимпиадного характера).13

В процессе обучения математике учащиеся весьма широко используют основную учебную литературу; однако дополнительную литературу по математике все еще читают весьма немногие, причем это чтение не носит организованного характера. Между тем обучающее значение работы учащихся с дополнительной литературой по математике весьма велико, так как именно эта работа способствует не только повышению качества знаний учащихся, но и развитию у них устойчивого интереса к математике.

Немалое обучающее и развивающее значение имеют также умения и навыки работы с математической литературой.

Опыт, приобретаемый школьниками в процессе работы с учебной литературой, оказывается недостаточным для успешной работы с дополнительной литературой. Поэтому умения и навыки работы школьников с математической литературой необходимо целенаправленно развивать, причем развивать систематически. Этому, в частности, способствует:

1) возможно более полное соответствие изучаемой литературы направлениям познавательных интересов школьников;

2) систематическое использование учителем и учащимися дополнительной литературы в процессе обучения математике (на классных занятиях и в домашней работе учащихся);

3) целенаправленная деятельность учителя по обучению учащихся общим приемам работы с математической литературой;

4) постановка специальных заданий школьникам, требующих привлечения дополнительной литературы по математике и контроль за их выполнением;

5) постоянное использование дополнительной математической литературы на факультативных занятиях и т. д.

Эффективность самостоятельной работы учащихся с учебной или дополнительной литературой вообще (и математической в частности) зависит и от некоторых психологических факторов (установка, вдохновение, интерес, волевое усилие, самостоятельность, трудолюбие и т.п.).

Одним из важнейших условий успешной работы с книгой является наличие особого состояния деятельности, называемого установкой

Под установкой понимается готовность к действию в определенном направлении, т. е. своеобразное состояние психики, возникающее при единстве мотива деятельности (потребности в ней) и ситуации, которая ему соответствует.

Экспериментальные исследования, проведенные психологом Д. Н. Узнадзе и другими, показали, что наличие четкой установки к деятельности значительно повышает ее эффективность.

Применительно к работе с книгой такая установка способствует активизации внимания и памяти, способствует точности восприятия содержания, помогает выделять в тексте главную мысль, развивает способность творчески воспринимать получаемую информацию и т. д., т. е. способствует выработке умений и навыков самостоятельного приобретения новых знаний в процессе работы над литературой.

"Процесс формирования всякого навыка есть выработка и фиксация у субъекта установки на осуществление определенного действия.

Учение - определенная форма поведения, управление которым достигается установкой индивида. Установку следует считать опорой нормального функционирования механизма обратных связей в организме у каждого учащегося".

Поэтому целенаправленность работы учащихся с дополнительной (и учебной) литературой, наличие сильной мотивации (соответствия познавательных интересов и деятельности) во многом определяют эффективность этого важного вида учебной деятельности.

К числу основных компонентов, определяющих выработку умений и навыков эффективной самостоятельной работы учащихся с научной (математической) литературой, относятся:

1) умение логически (структурно) осмыслить текст;

2) умение читать с пониманием;

3) умение выделить и запомнить главное;

4) умение акцентировать свое внимание на той или иной основной мысли, выраженной в тексте;

5) умение творчески перерабатывать информацию (в том числе "читать между строк");

6) умение составить план, конспект на тему, сделать из него выписки;

7) самостоятельность и критичность восприятия;

8) усилие воли, чтобы заставить себя работать и в случае возникновения трудностей и неясностей (что особенно характерно для работы с математическим текстом);

9) настойчивость в преодолении трудностей.

В перечне этих условий заложена своеобразная программа обучающей деятельности учителя математики при организации самостоятельной работы учащихся с книгой.

Для формирования и развития рассмотренных выше умений и навыков полезно применять определенную систему специальных учебных заданий.

1. Задания, формулирующие и развивающие умение выборочного чтения дополнительной литературы по математике. Такие задания обычно выражены в форме вопросов, ответы на которые явно или скрыто содержатся в данной для изучения дополнительной литературе. Таковы, например, задания по наведению справок исторического характера, задания типа "Установить, какая фигура называется ромбоидом", "Найти в данной книге одно - два предложения, эквивалентных аксиоме параллельности Евклида" и т. д.

2. Задания, формулирующие способность сопоставления новых знаний, полученных при чтении дополнительной литературы, с уже усвоенными знаниями.

Так, например, после самостоятельного изучения учащимися преобразования инверсии по дополнительной литературе учащимся предлагаются задания: "Сравнить свойства инверсии со свойствами гомотетии" и т. п.

3. Задания, формирующие способность применения новых знаний, полученных при чтении дополнительной литературы. Так, например, при изучении какого-либо нового метода решения задач учащимся предлагается применить этот метод к решению уже известной задачи или самим подобрать (составить) задачи, решаемые этим методом.

4. Задания, формирующие умение свести прочитанное в определенную целостную систему. Таковы, например, задания:

а) подготовить доклад по прочитанному материалу;

б) прореферировать данную книгу (главу книги); в) составить какую-либо таблицу (диаграмму, схему) по прочитанному материалу и т. д.

3.3 Факультативные занятия по математике и методика их

проведения

Факультативные занятия по математике ведутся в школе с 8 класса со следующим числом недельных часов: 8 класс -1 час, 9 - 2 часа, 10 - 2 часа и 11-2 часа.

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствий с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.17

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - "дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие".

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна 'занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.

В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. "Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения. Листочки с заданиями, размноженные на машинке, на каждое занятие выдаются всем ученикам"

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:

а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики"; б) изучение специальных математических курсов. Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе".

В качестве конкретного примера постановки факультативного курса рассмотрим объединенную тему "Множества и операции над ними. Бесконечные множества". Содержание программы по этой факультативной теме явно ориентирует на то, чтобы общие понятия о множествах, элементах множества и операциях над множествами возникали из рассмотрения конкретных примеров множеств решений уравнений, неравенств и их систем.

Такая постановка вопроса не соответствует той роли, которую играет понятие множества вне рамок учения об уравнениях и неравенствах как в математике, так и за пределами этой науки. Поэтому не исключено, что после изучения этой темы учащиеся не заметят первоначального объективного источника возникновения понятия о множестве и не поймут фундаментального значения этого понятия для всей математики. Для того чтобы указанная тема наиболее полно способствовала углублению математических знаний учащихся, у них должно быть сформировано представление о понятии множества как о первоначальном понятии математики, из которого развивается наука-математика. Здесь не идет речь о строгом логическом обосновании математики. Достаточно показать на конкретных примерах, как проявляются понятия множества, отношения между множествами и операции над множествами в различных разделах математики - арифметике, алгебре, геометрии, в учениях о функциях, уравнениях и неравенствах. Вот эта линия и должна последовательно проводиться на факультативных занятиях.

Объем материала по теории множеств, изучаемого на факультативных занятиях в девятых классах, зависит от того, изучались или не изучались элементы теории множеств на факультативных занятиях в восьмых классах.

Если эта тема изучалась в 9 классе, то некоторые из входящих в нее вопросов рассматриваются лишь в порядке повторения (полезнее - при решении соответствующих задач); если же эта тема не ставилась ранее, то в целях сокращения материала некоторые из более элементарных задач или упражнений следует опустить. Рассмотрение универсального множества имеет важное значение в развитии функционального мышления учащихся. Раскрытию содержания этого понятия, его относительного характера должно быть уделено большое внимание. В 9 классе для обоснования свойств отношений между множествами и операций над множествами вполне достаточно применение кругов Эйлера. В 10 классе кругами Эйлера целесообразно иллюстрировать результаты аналитических обоснований.

Если учитель дополнит алгебру множеств сведениями из математической логики (логические функции, область истинности предиката), то это без сомнения будет способствовать более углубленному и осознанному усвоению учащимися многих вопросов школьного курса математики, в частности вопросов теории уравнений, неравенств и их систем.

При изучении вопроса о бесконечных множествах даже на факультативных занятиях нет возможности основательно ознакомить учащихся с арифметикой трансфинитных чисел. Да в этом, на наш взгляд, и нет необходимости. Важно лишь, чтобы учащиеся осознали главные особенности конечных и бесконечных множеств, проявляющиеся в специфике арифметики натуральных и трансфинитных чисел.

Уже после первого занятия учащиеся систематически получают задания для самостоятельного изучения соответствующего материала.

На самих занятиях качество усвоения теории проверяется в процессе решения задач и примеров. Здесь совершенно недопустимы такие формы работы, которые сковывали бы инициативу учащихся. Занятие начинается с постановки упражнения для всех учащихся. За время, которое отводится на выполнение задачи или примера, учитель успевает проследить, кто и как справляется с заданием. Не следует торопить учащихся. Обычно, если не все, то некоторые из них выполняют задание в запланированное учителем время, а затем начинается разбор и теоретическое обоснование решений. Инициатива в оценке способов решения, в исправлении ошибок, в постановке вопросов представляется самим учащимся. В процессе этой работы достигается логическая точность в формулировках определений понятия или их свойств. В заключительном слове учитель дает мотивированную оценку знаний учащихся. Помимо указанной формы контроля знаний, целесообразно проводить кратковременные 15-20-минутные проверочные работы. Занятия по курсу 9 класса полезно завершить часовой контрольной работой.

На занятиях в 10 классе полезно практиковать постановку докладов учащихся. Темами докладов могут, например, быть: "Понятие об универсальном множестве", "Декартово произведение множеств", "Мощность и порядковый тип вполне упорядоченного множества".

При подготовке к докладам учащиеся используют различную дополнительную литературу, указанную учителем. Не следует увлекаться большим количеством докладов, в противном случае у учителя просто не хватит времени для хорошей подготовки докладчиков. Проверка и оценка знаний учащихся девятых классов осуществляется так же, как это делается в восьмых классах.

4. РОЛЬ ВНЕКЛАССНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ В АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

В одной школе был поставлен эксперимент, для исследования влияния внеклассных мероприятий на активизацию самостоятельной работы учащихся при обучении математики. А именно: в феврале месяце организовался кружок «Я и математика», в который пришли заниматься 5 учеников одного 8 класса, но с разным уровнем подготовки. Основой организации такого кружка стал принцип строгой добровольности. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу, которая уже не может проходить по строго намеченному плану для ребят одного уровня подготовки. Работа в кружке, где занимаются дети с разным уровнем подготовки, требует индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.

Ребят объединяло одно желание - улучшить свои знания математики.

Для того, чтобы оценить уровень их подготовки, ребятам было предложено решить ряд задач.

Задача 1.

За первый год было построено 8/27 дороги от колхоза к шоссе, за следующий год построили 4/9 дороги, а за третий год - остальные 5,25 км. Какой длины дорога?

Задача 2.

Фермер привез на мельницу 3 мешка пшеницы. В первый мешок вошло 5/18 всей полученной пшеницы, во второй - 1/3 всей пшеницы, а в третий на 10 кг. Больше, чем во второй. Сколько килограммов пшеницы привез фермер на мельницу? Сколько килограммов муки получилось из этого зерна, если 9% ушло в отходы?

Задача 3.

Двум машинисткам было поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка перепечатала 3/7 всей рукописи, а вторая 5/14 всей рукописи. Сколько страниц было в рукописи, если первая машинистка перепечатала на 7 страниц больше, чем вторая? Вся ли рукопись была перепечатана?

Задача 4.

Типография израсходовала за два дня 60% всей полученной бумаги, причем во второй день было израсходовано бумаги в 1,2 раза больше, чем в первый день. Сколько бумаги израсходовала типография в первый день, если было получено 6,6 т. бумаги?

Задача 5.

За день было продано 75% всего завезенного картофеля. Картофель, проданный до обеденного перерыва, составляет 5/7 картофеля, проданного после обеденного перерыва. Сколько картофеля продано до перерыва и сколько после перерыва, если было завезено 3,2 т. картофеля?

Задача 6.

Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из А в В и шел со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шел со скоростью v км/ч. Поезда встретились через t часов после выхода первого поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при t = 7; t = 6.

Задача 7.

Известно, что точка Р(-9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида y = k/x. Найдите значение k.

Задача 8.

Какие из точек А(-4;1), В(8;0,5), С(0;0), D(0,01;-400), E(16;1/4), G(1000;

-0,004), К(-0,004; -1000) принадлежат графику функции у = -4/х?

Задача 9.

Решить уравнения: а) 5(х-7) = 3(х-)-7

б) 3х + 2(2х-3) = 8-(х-2)

в) 4(х-3) - 16 = 5(х-)

г) 3(2х-5) + 4х+5(х-3) + 27

д) (х-0,8)/(х+0,2) = 6,3/7,3

е) 10,5/(у-3,6) = 51/(у+1,8)

ж) (х-1,2)/3,2 = (х-3,45)/1,7

з) (2х- 3,2)/3,2 = (5х-6)/0,5

Задача 10.

Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 смІ, то площадь оставшейся части будет 85 смІ. Найдите сторону квадрата.

Задача 11.

Площадь квадрата больше площади круга на 12 смІ. Найдите сторону квадрата, если площадь круга равна 36 смІ.

Задача 12.

Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Задача 13.

В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Задача 14.

Моторная лодка, cкорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. На путь по течению она затратила столько же времени, сколько на путь против течения. Какова скорость течения реки?5

Задачи подбирались по темам, которые ученики начали изучать, еще в 6 классе. Именно в это время закладывается основной «фундамент» знаний, который требуется для дальнейшего изучения математики. Поэтому важным является поиск «пробелов» в знаниях учеников, полученных в 6 классе.

Время, данное на решение этих задач, не ограничивалось. Однако следует отметить, что за 2 часа работы двое ребят справились с 8 задачами, остальные справились только с 6 задачами. Причем задачи, которые требовали составления уравнений, не решил ни один ученик. Таким образом, был намечен план работы:

1) повторение и закрепление задач с дробями и процентами;

2) решение задач, требующих составления уравнений;

3) решение задач повышенной сложности.

Кроме того, что работу в таком кружке необходимо было проводить по особому плану, к ребятам должен был быть особый индивидуальный подход. В связи с этим было принято решение: дать ребятам самостоятельно выбирать задания, которые они хотели бы решить.

Занятия кружка проводились в субботу. Время работы не было ограничено. Ребята сами решали, когда следует завершить работу, так как иногда решение одной трудной для ребят задачи продолжалось около часа. Это происходило потому, что задачу решали ребята сами методом проб и ошибок, учитель же только направлял ход их мыслей в более правильное русло, а точнее, создавал проблемную ситуацию, которую необходимо было преодолеть.

Сначала ребята боялись высказывать свои мысли вслух, наверно срабатывал рефлекс: скажешь не впопад - получишь соответствующую оценку. Но отсутствие таковых вскоре раскрепостило их мышление. Детям показалось даже удивительным то, насколько продуктивно они могут мыслить.

Работа в кружке строилась таким образом: сначала ребята задавали вопросы, которые возникали у них на уроке математики, затем разбирались задачи, выбранные самими ребятами, и в конце предлагались задачи повышенной сложности или задачи из занимательной математики. Успехи ребят специально не оценивались, для того, чтобы дети чувствовали себя не как на уроке, а как в обыкновенной компании, где все занимаются общим делом. Однако можно отметить, что за это время ребята не только усвоили материал, в котором у них были «пробелы», но и достигли определенных навыков в решении задач различной сложности.

Результаты работы кружка также можно определить по успеваемости на уроках математики. Ребята, которые до занятий в кружке имели отметки «5» и «6», то уже после одного месяца занятий они без проблем получали отметки «7» и «8». Уровень роста успеваемости ребят можно показать в таблице:

Номер ученика	Отметки в феврале	Отметки в марте	Отметки в апреле	Отметки в мае
1	«4»,«5»	Не ниже «6»	«6», «7»	«7»,»8»
2	«5», «6»	«6», «7»	«6», «7», «8»	«7» - «9»
3	«6», «7»	«7», «8»	«7», «8»	«7» - «9»
4	«6», «7»	«7», «8»	«7», «8»	«8» , «9»
5	«4», «5», «6»	«6», «7»	«6», «7», «8»	«7», «8»

Здесь также следует отметить, что за период работы кружка у ребят также возрос уровень самооценки. Если оценить рост самооценки оценить по десятибалльной шкале, то можно сделать вывод, что самооценка ребят возросла на три пункта.

Номер ученика	Самооценка в феврале	Самооценка в мае
1	5	8
2	5	8
3	6	9
4	6	9
5	5	8

Результаты работы кружка оценивались (как было уже сказано выше) с помощью различных соревнований. Например, проводились «математические регаты» (проверка самого себя) и «математические бои» (соревнования между учениками).

В «математической регате» ребята работали в команде. Каждый тур представляет собой коллективное письменное решение трех задач. Команда имеет право сдать только один вариант решения каждой задачи. После объявления итогов тура команда имеет право на повторную попытку решения задач.

«Математический бой» - соревнования между ребятами в решении математических задач. Сначала ребята получают условия задач, на решение которых отводится определенное время. При решении задач ребята могут использовать любую литературу, но не имеют право общаться по поводу решения этих задач ни с кем, кроме учителя. По истечении отведенного времени начинается собственно «бой», когда ребята рассказывают друг другу решения задач в соответствии с данными правилами. Далее идет обсуждение решений, в результате которого находится наиболее допустимое решение. В зависимости от этого ребята сами оценивают правильность своих решений.

Занятия в кружке настолько увлекли ребят, что те в свою очередь предложили свою собственную подготовку заданий. Например, один из учеников настолько увлекся поиском задач, что отыскал и предложил всем членам кружка увлекательные математические игры. Причем не только предложил их решить, но и разъяснил, каким образом это сделать. В этих играх предполагается, что игроки не делают ошибок, то есть играют наилучшим образом. Для доказательства чьей - то победы или ничейного исхода используются следующие основные идеи:

- соответствие - наличие удачного ответного хода (может обеспечиваться симметрией, разбиением на пары, дополнением до определенного числа);

- решение с конца- последовательно определяются позиции выигрышные и проигрышные для начинающего (очередная позиция является выигрышной, если из нее можно получить ранее определенную проигрышную позицию, и является проигрышной, если любой ход из нее ведет к попаданию в ранее определенную выигрышную позицию);

- передача хода - выигрыш обеспечивается, когда можно по своему желанию попасть в некоторую позицию либо заставить противника попасть в нее.

Пример1.

Двое кладут по очереди монеты на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередную монету. Кто выиграет?

Выиграет первый, он кладет монету в центр симметрии стола, после чего на любой ход второго у первого есть симметричный ответ.

Пример 2.

В куче 25 камней. Игроки по очереди могут взять из кучи 2 камня, 4 камня или 7 камней. Проигрывает тот, который не сможет сделать очередной ход. Кто победит?

Решаем с конца. Если остается 0 камней или 1 камень, то эти ситуации проигрышны для того, кто должен сделать очередной ход. Поэтому остатки 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 камней для него выигрышны (своим ходом он может перевести игру в позицию, проигрышную для противника). Аналогично остатки 6 или 9 камней для него проигрышны, поскольку из них можно перейти только в позицию, выигрышную для противника. Рассуждая аналогично, легко установить периодичность выигрышных (В) и проигрышных (П) позиций.

П	0; 1; 6; 12; 15; 18; 21; 24.
В	2; 3; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22; 23; 25.

Ответ: победит первый игрок.

Пример 3.

Докажите, что в игре крестики - нолики на бесконечной доске у ноликов отсутствует выигрышная стратегия.

Пусть у ноликов есть выигрышная стратегия. Тогда этой стратегией могут с тем же успехом воспользоваться крестики, игнорируя свой начальный знак. (Когда крестикам приходится ходить на поле, где крестик уже стоит, они ходят куда угодно.)

Заключительным этапом работы кружка «Я и математика» стало веселое командное соревнование, сочетающее в себе решение несложных математических задач и элементы спортивного ориентирования - математическое ориентирование.2

Для проведения подобных соревнований необходимо на пересечении местности создать контрольные пункты (КП), аналогичные тем, которые применяются в спортивном ориентировании, и для каждых двух КП измерить азимут (направление, в котором надо двигаться, чтобы попасть с одного КП на другой) и примерное расстояние между ними. Количество КП и их удаленность друг от друга можно варьировать в зависимости от возраста соревнующихся и их туристической искушенности. Как правило, устанавливается 6-9 контрольных пунктов, расстояние между которыми 50-250 метров, причем КП либо нумеруются, либо каждому из них присваивается определенная буква. В составе каждой команды 3 или 4 человека, причем они могут быть как одного, так и различного возраста, и иметь различную математическую подготовку. Для каждой команды организаторы устанавливают свой порядок прохождения КП и, исходя из него, составляют математические задачи. Эти задачи могут иметь различную тематику ( соответствующую подготовке участников), но обязательно должны носить вычислительный характер, то есть в результате их решения школьники должны получить два числа, одно из которых укажет им азимут (в градусах) на следующий ориентир, а другое - расстояние до него, выраженное в метрах. Текст каждой задачи маркируется номером команды, для которой эта задача предназначена, и эти тексты раскладываются по соответствующим контрольным пунктам.

Команды, взяв с собой компасы, ручки и блокноты, выходят на маршрут поочередно, с небольшим временным интервалом, чтобы не мешать друг другу. Порядок выхода команд на маршрут, как правило, определяется жребием. На старте каждая команда получает одну из задач и, решив ее, определяет, каким образом ей искать первый из предназначенных для нее КП. Найдя его, она выбирает среди лежащих там текстов задачу со своим номером и, решив ее, получает возможность двигаться к следующему КП и так далее. На финише каждая команда предъявляет список КП в порядке их прохождения. Для того, чтобы стать победителем соревнования, необходимо пройти все КП в нужном порядке за наименьшее время, поэтому успеха добиваются не те, кто быстро бегает, а те, кто лучше думает.

Задания математического ориентирования.

Во всех случаях: r - расстояние (в метрах), б -азимут (в градусах).

1. Решите систему уравнений:

{	(r + б)/2 = 190,
	(r - б)/2 = 80.

2. Найдите r и б, если известно, что НОК (0,1 б; 0,1 r) = 210, причем 0,1 б и 0,1 r - два последовательных натуральных числа, записанных в порядке возрастания.

3. Подберите r и б, угадав числовую закономерность: 28/49; 46/81; 64/121; 82/169; r/б.

4. Решите уравнение: хІ - 170х + 5200 = 0. r - больший корень уравнения, б - меньший.

5. Основания трапеции имеют длины 70 и 280, а одна из боковых сторон - 140. В каких границах может изменяться длина боковой стороны? Нижняя граница численно равна значению б, а верхняя - значению r.

6.Найдите r и б, если б численно равна площади треугольника со сторонами 70, 125 и 55, а r - сумма длин этих отрезков.

7.Найдите положительные решения системы уравнений:

{	бІ - 3rб -10rІ =0;
	б + r + 360.

8.Петя, проснувшись, обнаружил в своем мешке с чистыми носками ровно 11 носков.

а)Найдите, сколькими способами Петя может выбрать себе пару чистых носков, и вы получите численное значение б.

б)Пока Петя считал количество возможных вариантов, Вася обнаружил у него под кроватью еще 9 носков и доложил их в Петин мешок, но Петя рассердился, сказав, что две пары носков (среди найденных Васей) - грязные. Найдите вероятность ( в процентах) того, что Петя с первого раза вытащит из мешка пару чистых носков, округлите ее до десятков, и вы получите численное значение r.

Соревнования проводились между учащимися 8-9 классов, причем команды представляли собой сборные отличников. Конечно же ребята - члены кружка «Я и математика» также принимали участие отдельной командой «Эрудит».

Результат превзошел все ожидания - к финишу команда «Эрудит» не только пришла первой, но и обогнала своих соперников на 30 минут во времени.

Эксперимент показал, что для того, чтобы активизировать самостоятельную работу учащихся на уроках математики, необходимо (просто жизненно важно) проводить нестандартные математические мероприятия: различные игры, олимпиады, КВН-ы. Известно, что учебный процесс - не просто совокупность предметов, а единство функций обучения, развития и воспитания в процессе изучения той или иной дисциплины. Преодоление «барьеров», возникающих в процессе обучения, возможно без стрессов только в том случае, если учебная информация предъявляется в необычном виде: на высоком уровне эмоций, в развлекательной игровой форме, с использованием нестандартных заданий.

Необходимо оживить и разнообразить школьную жизнь детей, использовать нетрадиционные и активные методы обучения.

Игра нужна для поддержания или создания интереса к предмету, для стимулирования деятельности (мотивация), для развития познавательных процессов (воображения, памяти, наблюдательности, восприятия, сообразительности, скорости мышления и т. д.)

Интеллектуальные игры могут быть полезны подросткам, испытывающим трудности в учении: в понимании и осмыслении нового материала, усвоении и обобщении, установлении связей между понятиями, выражении собственных мыслей и речи.

Эти игры могут помочь:

- активизировать учебную работу в классе, повысить активность и инициативу школьников;

- дать ощущение свободы и раскованность, особенно нервным, слабым и неуверенным в себе детям;

- улучшить взаимоотношения учителя с классом после конфликта (если таков был);

- укрепить дружеские отношения в классе.18

Учебные игры создают разнообразие форм учебной деятельности, содержат элементы развлекательности, включают элементы психотренинга, рациональной работы с текстами, ролевой игры, приемов самосовершенствования, соревнований, генерации идей и т. д., что в свою очередь способствует активизации самостоятельной работы учащихся.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении следует отметить, что результаты проведенного эксперимента лишь подтвердили высказывания известных ученых в отношении обучения детей математике. Е.И.Игнатьев писал: «… сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершенствуется в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».

На необходимость пересмотра традиционной программы обучения в школе указывал, в частности, известный педагог-математик С. И. Шохор-Троцкий. В книге "Геометрия на задачах" он писал, что нельзя излагать учащимся данный раздел математики в совершенно готовом виде. Поступать так - значит идти вразрез с основными принципами обучения и воспитания. В частности, он указывал, что "занятия геометрией могут быть для ученика занимательны только тогда, когда они требуют от него посильного и планомерного труда... требуют умственной работы, а не заучивания слов на память".

Новые методы и новые подходы в обучении математике необходимо искать ежедневно, равняясь на индивидуальные качества учащихся. Легче всего изучить эти качества во внеклассной работе, так как дети на уроках более замкнуты и скованны. Это объясняется тем, что ребята боятся высказываться вслух, так как боятся получить плохую отметку, поэтому предпочитают «отсиживаться» на уроках. При организации и проведении внеклассных мероприятий учащиеся проявляют больший интерес к предмету, потому что они не думают ни о журнале, ни об отметках. Их возбуждает сам процесс поиска нужного материала, возможность самим «открыть» ту или иную истину и определенный момент поразить всех присутствующих своей эрудицией.