Методы и формы самостоятельной работы учащихся при обучении математике

1) Иногда текст учебника подсказывает возможность применения исследовательского метода.

2) Такой подход наряду с несомненными достоинствами требует чрезмерно большого времени. Хотя это дополнительное время окупается эффективностью развития творческого мышления учащихся, когда этого времени нет, естественно ограничиться применением исследовательского метода к отдельным темам, наиболее подходящим для этой цели. При такой методике и в тех случаях, когда некоторые темы будут изучаться непосредственно по учебнику, без предварительного исследования, учащиеся будут смотреть и на этот изложенный в учебнике материал как на результат некоторых исследований (проведенных другими), что будет положительно влиять на уровень его усвоения.

Фактор времени часто вынуждает применять в обучении методы, являющиеся лишь частично исследовательскими.

1.2.2 Метод проблемного изложения

Если учитель не излагает готовые научные истины (формулировки теорем, их доказательства и т. п.), а в какой-то мере воспроизводит путь открытия этих знаний, то такой метод называют проблемным изложением. По существу учитель раскрывает перед учащимися путь исследования, поиска и открытия новых знаний, готовя их тем самым к самостоятельному поиску в дальнейшем.

Проблемное изложение, как и исследовательский метод, предъявляет высокие требования к научной подготовке учителя. Он должен не только свободно владеть учебным материалом, но и знать, какими путями шла наука, открывая свои истины. (В этом плане большую помощь окажут учителю переведенные на русский язык книги Д. Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения", "Математическое открытие".)

Как будет видно далее, проблемное изложение подготавливает базу для применения эвристического метода, а эвристический метод - для применения исследовательского метода.

Необходимо отметить особую значимость методов проблемного обучения в воспитательном отношении: они формируют и развивают творческую, познавательную деятельность учащихся, способствуют правильному уяснению мировоззренческих проблем.

1.2.3 Эвристический метод обучения математике

Эвристика - молодая научная дисциплина, возникшая на стыке таких наук, как философия, кибернетика, психология и педагогика. Специалисты каждой из этих наук рассматривают эвристику со своих позиций, придают своеобразное толкование основным понятиям и положениям.

Так, кибернетики считают, что эвристика - методы и способы, связанные с улучшением эффективности системы (человека или машины), решающей задачи. Психологи считают эвристику разделом психологии, изучающим творческое мышление. Педагоги считают эвристикой науку о средствах и методах решения задач. Философы термин "эвристический" приписывают таким правилам или утверждениям, которые способствуют открытию нового.

В последние годы к эвристике относят и те исследования представителей кибернетики, которые пытаются моделировать высшие проявления интеллекта. Уже и сейчас проблемы эвристики разрабатываются инженерами и математиками, психологами и физиологами, педагогами и организаторами производства. Все же основой эвристики является психология, особенно тот ее раздел, который получил название психологии творческого, или продуктивного, мышления.

Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственные операции в качестве важного своего компонента, вместе с тем обладают некоторой спецификой. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать как такую разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человека объектов (или объектов изучаемой науки).

Попытки проникнуть в механизм этого процесса, раскрыть его закономерности предпринимали и предпринимают многие исследователи в различных отраслях науки.

В эвристике, как молодой, развивающейся науке, не все понятия достаточно четко определены. Прежде всего это относится к понятию "эвристический метод". Многие исследователи понимают под ним определенный эффективный, но недостаточно надежный способ решения задач. Он позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т. е. сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательное решение. Понятно, что это определение понятия "эвристический метод" не может быть признано удовлетворительным, так как в нем представлена лишь внешняя характеристика явления, но не раскрыты существенные его черты.

Чтобы раскрыть существо этого понятия, необходимо иметь в виду, что сам термин "эвристический" применим к явлениям двоякого рода. Во-первых, можно рассмотреть как эвристическую такую деятельность человека, которая приводит к решению сложной, нестандартной задачи, во-вторых, эвристическими можно считать и специфические приемы, которые человек сформировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит на решение других задач.

Эвристические приемы как готовые схемы действия составляют объект эвристической логики, а реальный процесс эвристической деятельности - объект психологии. Но если эвристические приемы могут быть представлены в виде определенной логической схемы, т. е. могут быть описаны математическим языком, то эвристическая деятельность на современном этапе развития науки не имеет своего математического выражения.

Начало применения эвристического метода как метода обучения - математике можно найти еще в книге известного французского педагога - математика Лезана "Развитие математической инициативы". В этой книге эвристический метод не имеет еще современного названия и выступает в виде советов учителю. Вот некоторые из них:

Основной принцип преподавания - "сохранять видимость игры, уважать свободу ребенка, поддерживая иллюзию (если есть таковая) его собственного открытия истины"; "избегать в первоначальном воспитании ребенка опасного искуса злоупотреблением упражнениями памяти", ибо это убивает его врожденные качества; обучать, опираясь на интерес к изучаемому.

Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Эвристический метод обучения рассматривался в русской школе с начала XIX века. Многие русские педагоги-математики того времени не раз пересматривали традиционные методы обучения, представлявшиеся им устаревшими, не отвечающими основным задачам математического образования.

На необходимость пересмотра традиционной программы обучения в русской школе указывал, в частности, известный педагог-математик С. И. Шохор-Троцкий. В книге "Геометрия на задачах" он писал, что нельзя излагать учащихся данный раздел математики в совершенно готовом виде. Поступать так - значит идти вразрез с основными принципами обучения и воспитания. В частности, он указывал, что "занятия геометрией могут быть для ученика занимательны только тогда, когда они требуют от него посильного и планомерного труда... требуют умственной работы, а не заучивания слов на память".

Большое значение эвристическому методу обучения в школе придавал другой русский педагог-математик Н. А. Извольский. В книге "Комбинационная работа" он писал, что "главной задачей обучения является развитие творческих способностей".

Известный методист-математик В. М. Брадис определяет эвристический метод следующим образом: "Эвристическим называется такой метод обучения, когда руководитель не сообщает учащимся готовых, подлежащих усвоению сведений, а подводит учащихся к самостоятельному переоткрытию соответствующих предложений и правил"

Определение эвристического метода преподавания дается также В. В. Репьевым. Только название метода здесь звучит несколько иначе - эвристическая беседа. "... Этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом проблему (теорему, задачу), а затем путем целесообразных вопросов приводит учащихся к решению проблемы".

Но суть этих определений одна - самостоятельный, планируемый лишь в общих чертах поиск решения поставленной проблемы.

В ходе выполнения этих этапов решающий задачу должен ответить на следующие вопросы: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Роль эвристической деятельности в науке и в практике обучения математике подробно освещается в книгах американского математика Д. Пойа. В книге "Как решать задачу". Д. Пойа пытается охарактеризовать эвристику как специальную отрасль знания. Цель эвристики - исследовать правила и методы, ведущие к открытиям и изобретениям. Интересно, что основным методом, с помощью которого можно изучить структуру творческого мыслительного процесса, является, по его мнению, исследование личного опыта в решении задач и наблюдение за тем, как решают задачи другие. Автор пытается вывести некоторые правила, следуя которым можно прийти к открытиям, не анализируя той психической деятельности, в отношении которой предлагаются эти правила. "Первое правило - надо иметь способности, а наряду с ними удачу. Второе правило - стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея". Интересна приводимая в конце книги схема решения задач. Схема указывает, в какой последовательности нужно совершать действия, чтобы добиться успеха. Она включает четыре этапа:

1. Понимание постановки задачи.

2. Составление плана решения.

3. Осуществление плана.

4. Взгляд назад (изучение полученного решения).

Не встречалась ли мне раньше эта задача, хотя бы в несколько другой форме? Есть ли какая-нибудь задача родственная данной? Нельзя ли воспользоваться ею?

Нетрудно видеть, что эта схема подчеркивает главным образом один принцип эвристической деятельности: использование в том или ином виде прошлого опыта. Но этот принцип не может считаться единственным в структуре творческой мыслительной деятельности. Понятно, что многие весьма важные компоненты продуктивного мышления в работах Д. Пойа и не могут выступить с должной отчетливостью, так как речь у него идет об учебных, а не о чисто творческих задачах.

Близка точке зрения Д. Пойа та характеристика эвристической деятельности, которая дается известным американским психологом Д. Брунером в его книге "Процесс обучения". Эвристические приемы характеризуются Д. Брунером как некоторые не вполне точные способы решения задач, с помощью которых можно прийти, а можно и не прийти к нужному результату. У Брунера понятие "эвристический" служит для характеристики лишь приемов, помогающих решать задачу, как и у Д. Пойа. Д. Брунер не исследует эвристическую деятельность человека как процесс, приводящий к формированию приемов или схемы действий. Между тем обучение деятельности - это значительно более сложная и вместе с тем гораздо более важная проблема, чем обучение готовым, сложившимся приемам решения задач.

Весьма интересна с точки зрения применения эвристического метода в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к математике". "Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет дойти до всего". Эта "дерзость ума", по словам Сойера, особенно сильно проявляется у детей. "Если вы, например, преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, - говорит Сойер, - и рассказываете, что никто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никто не решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение - того же рода, что попытка представить "корень из двух" в виде рациональной дроби p/q

Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнением до полного куба. Вот это желание исследовать является отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми он уже овладел, и всегда стремится к новым знаниям".17

Другим необходимым качеством математика является интерес к закономерностям. Закономерность - это наиболее стабильная характеристика постоянно меняющегося мира. Сегодняшний день не может быть похожим на вчерашний. Нельзя увидеть дважды одно и то же лицо под одним и тем же углом зрения. Закономерности встречаются уже в самом начале арифметики. В таблице умножения имеется немало элементарных примеров закономерностей. Вот один из них. Обычно дети любят умножать на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: при умножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5, еще проще, всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои закономерности. Если мы посмотрим последние цифры произведений: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, т.е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, то увидим, что разность между последующей и предыдущей цифрами составляет: -3; +7; -3; -3; +7; -3; -3, -3. В этом ряду чувствуется совершенно определенный ритм.

Если прочесть конечные цифры ответов при умножении на 7 в обратном порядке, то мы получаем конечные цифры от умножения на 3. Даже в начальной школе можно развить навык наблюдения за математическими закономерностями.

В книге "Прелюдия к математике" Сойер приводит много примеров наблюдений закономерностей и в арифметике, и в алгебре, и в геометрии. Итак. одним из основных методов, который позволяет учащимся проявить творческую активность в процессе обучения математике, является эвристический метод. Грубо говоря, этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом некоторую учебную проблему, а затем путем после-довательно поставленных заданий "наводит" учащихся на самостоятельное обнаружение того или иного математического факта. Учащиеся постепенно, шаг за шагом, преодолевают трудности в решении поставленной проблемы и "открывают" сами ее решение.

Известно, что в процессе изучения математики школьники часто сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам. Нередко эвристический метод выступает в практике обучения в форме так называемой эвристической беседы. Опыт многих учителей, широко применяющих эвристический метод, показал, что он влияет на отношение учащихся к учебной деятельности. Приобретя "вкус" к эвристике, учащиеся начинают расценивать работу по "готовым указаниям", как работу неинтересную и скучную. Наиболее значимыми моментами их учебной деятельности на уроке и в домашних условиях становятся самостоятельные "открытия" того или иного способа решения задачи. Явно возрастает интерес учащихся к тем видам работ, в которых находят применение эвристические методы и приемы.

Современные экспериментальные исследования, проведенные в школах, свидетельствуют о полезности широкого использования эвристического метода при изучении математики учащимися средней школы, начиная уже с начального школьного возраста. Естественно, что в таком случае перед учащимися можно поставить только те учебные проблемы, которые могут быть поняты и разрешены учащимися на данном этапе обучения.

К сожалению, на частое применение эвристического метода в процессе обучения поставленных учебных проблем требуется гораздо больше учебного времени, чем на изучение этого же вопроса методом сообщения учителем готового решения (доказательства, результата). Поэтому учитель не может использовать эвристический метод преподавания на каждом уроке. К тому же длительное использование только одного (даже весьма эффективного метода) противопоказано в обучении. Однако следует отметить, что "время, затраченное на фундаментальные вопросы, проработанные с личным участием учащихся - не потерянное время: новые знания приобретаются почти без затраты усилий, благодаря ранее полученному глубокому мыслительному опыту".

Все эти методы, которые описаны выше, а именно методы проблемного обучения позволяют активизировать самостоятельную деятельность ученика, пробуждая в нем желание заняться исследовательской и поисковой работой. Проблемное обучение нашло свое место в развивающем обучении, стало основой такого метода, как поэтапное формирование знаний, умений и навыков учащихся. В книге «Методы обучения и умственное развитие ребенка» П. Я. Гальперин отводит главную роль именно проблемному обучению: «…проблемное преподнесение заданий составило необходимую органическую часть нового способа управляемого формирования новых действий, представлений, понятий…».1

Приведем ниже пример того, какое воздействие на активизацию самостоятельной работы учащихся оказывают задачи - проблемы.

2. РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

Особое значение для активизации самостоятельной работы учащихся имеет методика решения задач - проблем и нестандартных задач.

В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, применяемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводятся практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.

2.1 Значение учебных математических задач

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

Образовательное значение математических задач.

Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием.

Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я' Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формальнологической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Воспитательное значение математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей. С введением в школу элементов математического анализа выявились более широкие возможности воспитания у учеников в процессе решения задач диалектико-материалистического мировоззрения.

2.2 Роль задач в процессе обучения математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием Задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

Обучающая роль математических задач. Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений.

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе и в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам - одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка.

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач.

4) Задачи для формирования математических умений и навыков (см. далее).

5) Обучающую роль играют и задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.

Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к такому уравнению.

Полезно вспомнить, что решение конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности стержня) приводит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, - к понятию интеграла.

Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д.

Развитие мышления учащихся при решении математических задач.

1) Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

Исследованиями психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно "обобщенные и свернутые структуры". Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую информацию позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует "обобщенные ассоциации". При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение ^ задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в IV-V классах.

В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Такие исследования необходимо включаются в решение многих геометрических задач на построение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например -при изучении действительных чисел в IX классе.

б) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лихвой окупаются.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколькими способами, выбор лучшего из них.

Вообще же полезно хотя бы знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач. Приведем пример.

Один из заключительных уроков геометрии в VIII классе учитель начал с простейшей задачи: разделить данный отрезок пополам. К огорчению учителя и учеников, обнаружилось, что полный набор чертежных инструментов имеют только 6 человек, а у некоторых учеников вообще не оказалось никакого инструмента. Тогда учитель предложил каждому решить задачу, применяя тот инструмент, который у него имеется, а тем, у кого не было инструмента, использовать прямой угол из плотной бумаги (тетрадный лист сложили по осям симметрии в 4 слоя) или его половину - угол в 45°.

В результате на уроке были рассмотрены 8 вариантов решения с помощью: а) циркуля и линейки; б) прямого угла; в) двусторонней линейки; г) чертежных угольников; д) угла величиной 45°; е) угла в 30°; ж) острого угла и односторонней линейки; з) транспортира и односторонней линейки. Польза такого обсуждения задачи несомненна. е) Составление задач учащимися. Сознательное изучение математики и развитие мышления учащихся стимулируется самостоятельным составлением (конструированием) математических задач. При этом, во-первых, воспитывается самостоятельность ( школьники оперируют изученными и изучаемыми объектами и фактами математики, т. е. рассматривают и оценивают свойства, различия и характерные особенности этих объектов); во-вторых, развивается творческая мыслительная активность учеников.

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные применяемым при обычном решении задач. Следовательно, при составлении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышление. При изучении первых понятий алгебры (например, действий с рациональными числами) следует предлагать учащимся составлять вычислительные упражнения, в которых бы для упрощения вычислений применялись законы действий, особенно дистрибутивный. Учащиеся должны свободно оперировать законами действий.

Очень полезны упражнения в составлении уравнений по заданным их корням, систем уравнений по данным решениям, задач по заданным уравнениям или их системам.

Составление задач по заданным уравнениям полезно хотя бы потому, что задачи эти бывают разнообразны по фабуле, а это убеждает в общности математических методов.

Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструированием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаблон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.

Воспитательная роль математических задач. Процесс обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.

2.3 Задачи - проблемы как средство активизации

самостоятельной работы учащихся

Математические задачи выполняют в процессе обучения различные функции. Они служат средством упрочнения приобретенных знаний, помогают проверить успехи в науке и результаты обучения, с их помощью можно давать определения математических понятий, увидеть доказательства, показать применение математики, формировать воображение, логическое мышление, а также формировать математическую активность и т.д.

При обучении математике самыми ценными могут быть такие задачи, которые обладают наибольшим числом указанных свойств. В школьной практике чаще всего имеют дело с задачами, которые выполняют только некоторые отмеченные функции. С другой стороны, трудно было бы найти задачи, выполняющие исключительно одну из вышеперечисленных функций.

В традиционных учебниках по математике классифицированы задачи на вычисление, доказательство, конструктивные.

Иное разделение - это выделение групп задач, соответствующих действиям школьной математики: задачи арифметические, задачи алгебраические, задачи геометрические и задачи тригонометрические.

Необходимо скурпулезно анализировать решение задач и выделять из многих свойств, которые имеет это решение, за главное. Обычно это наиболее необходимое свойство в данный момент обучения математике.

Г.Сивэк в концепции «Активное обучение математике» выделяет три основные группы задач, служащих пониманию учащимися понятий и утверждений на трех уровнях: задачи, провоцирующие конкретные действия; задачи, провоцирующие воображаемые действия; задачи, провоцирующие абстрактные действия. Г.Сивэк обосновал свою концепцию по двум принципам: первый из них основан на нахождении путем теоретического анализа учебного материала основных операций в каждом определении, утверждении, доказательстве; второй основан на организации проблемных ситуаций, способствующих постепенной концентрации мышления ребенка и формированию этого процесса, как специфического действия для свободного и сознательного использования усвоенных математических операций. Выясним на примере, приведенном автором и относящемся к фигурам, имеющим ось симметрии.

В теоретическом анализе понятия различают два основных действия, которые составляют основу формирования этого понятия:

- указание прямой, делящей эту фигуру на две прилегающие части;

- сгибание карточки вдоль прямой и проверка, наложимы ли взаимно части фигуры.

Определение формального действия, ведущего к утверждению, что данная фигура симметрична относительно оси, следующее:

- указание прямой, которая может быть осью симметрии;

- преобразование фигуры осевой симметрии, когда задана прямая (ось симметрии);

- проверка того, что данная фигура и ее образ, полученный преобразованием осевой симметрии, тождественны.

Действия, которые существенны для образования данного понятия в умах учащихся, должны быть даны в задачах на различных уровнях абстракции. Например, задачи на конкретные действия (указание прямой, делящей фигуру на две прилегающие части путем сгибания):

«Найдите оси симметрии данных на рисунке 1 фигур, вырезанных из картона, путем сгибания соответственно моделей этих фигур.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Укажите путем сгибания каждой фигуры по одной прямой, которая не является осью симметрии. Всегда ли можно указать такую прямую? Одна ли она для фигуры?»

Задачи на воображаемые (представляемые) действия (указание прямой, делящей эту фигуру на две симметричные составляющие части) следующие.

«Нарисуйте несколько осей симметрии фигур, представленных ниже на рисунках, и пронумеруйте их последовательно».

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сколько осей симметрии Сколько осей симметрии

имеет квадрат? имеет круг?

Задачи на абстрактные действия (указание прямой, которая может быть осью симметрии):

«Сколько осей симметрии имеет: а) точка; б) полупрямая; в) прямая; г) фигура, составленная из двух различных окружностей с общим центром? Каждый ответ обоснуйте».

При решении первой группы задач действия учащихся связаны с моделями фигур, конкретными предметами, фигурами. Ученик путем наложения фигур узнает, является ли фигура симметричной относительно оси симметрии.

Решая другую группу задач, учащийся оперирует рисунками, схемами фигур, воображает себе их преобразование и должен сделать вывод, являются ли они симметричными относительно оси.

При решении задач третьей группы учащийся преобразует, анализирует, сравнивает, отыскивает связи между фигурами, оценивает их истинность, обосновывает сформулированные гипотезы, используя определения и утверждения.

Основанием для классификации задач на конкретные, представляемые (воображаемые) и абстрактные, проведенной Г. Сивэк, послужили методы активного обучения математике. Задачи на уровне конкретных действий и представлений имеют практический характер, например, помогают вырезать из бумаги салфетки.

2.4 Роль нестандартных задач в активизации самостоятельной

работы учащихся

Каждая новая проблема далеко не всегда вызывает интерес у учащихся. Порой у ребят проявляется страх перед трудностями, неумение преодолевать их самостоятельно. В таком случае нужна задача, которая кажется на первый взгляд простой, а на деле требует нестандартного подхода. Среди таких задач есть задачи на смекалку, задачи - шутки, которые пробуждают у учащихся вкус к умственной работе. Автор популярной книги «В царстве смекалки» Е.И.Игнатьев писал: «… сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершенствуется в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».8

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от того, насколько умело будет построена учебная работа.

В 5 - 6 классах на уроках проводятся дидактические игры, а после уроков - различные математические соревнования. Но в среднем звене, 7 - 8 классах, к играм обращаются меньше, уделяя больше внимания задачам повышенной трудности. Такие задачи обычно предлагают в конце урока, когда ребята уже устают писать, считать и ленятся думать. Благодаря своей оригинальности такие задачи сами по себе побуждают учащихся к размышлениям. Получив задание на уроке, учащиеся продолжают поиск и после уроков. А учитель обычно дает неделю для того, чтобы закончить исследование. За это время в классе обязательно выделится группа, которая всерьез берется за решение. Эти ребята в течение указанного срока постоянно консультируются с учителем, выясняя, верен ли путь их рассуждений. По истечении срока один из учащихся объясняет на уроке решение всему классу, а учитель делает свои комментарии и оценивает успех докладчика отметкой в журнале.

Приведем примеры описанной работы.

В 6 классе много внимания уделяется изучению позиционной десятичной записи чисел. В это время уместно предложить следующую задачу:

«Делятся ли числа 237237, 312312, 568568, 749749 на 77 без остатка?»

Сначала ребята начинают проверять делимость с помощью калькулятора или делением «уголком». Когда выясняется, что все числа действительно кратны 77, возникает более сложный вопрос: «можно ли было вообще обойтись без операции деления больших чисел при поиске ответа?»

На этом месте урока обычно звенит звонок, и ребята додумывают ответы уже на перемене или вообще после школьных занятий. Обычно кто - то догадывается, что у всех данных чисел есть какая - то особенность. А как только возникает идея поискать в числах нечто общее, как это общее тут же и обнаруживается: числа составлены из двух одинаковых троек цифр. Учитель предлагает обозначить первую цифру любого числа буквой х, вторую - буквой у, третью - буквой с. Теперь уже сами учащиеся догадываются, что любое из данных чисел можно записать в виде хусхус. Учитель снова дает подсказку, заметив, что в позиционной десятичной системе счисления записанное выше в общем виде число можно прочитать как хус тысяч и хус единиц. Теперь уже сами ученики записывают:

хусхус = хус ·1000 + хус = 1001·хус.

Ребятам не составляет труда догадаться, что

1001·хус = 77·13·хус = 7·11·13 хус,

и, значит, числа данного вида делятся не только на 77, но и на7, на 11, на 13, на 1001.

Для 6 класса разговор о делимости вполне уместен, и его можно продолжить такой задачей:

«Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 - остаток 3, при делении на 5 - остаток 4, при делении на 6 - остаток 5, при делении на 7 - остаток 6, при делении на 8 - остаток 7, при делении на 9 - остаток 8».

Учащиеся долго пытаются найти подходящее число подбором, поскольку сначала кажется, что задача легкая и подобрать нужное число не составляет особого труда. Через несколько дней поисков, когда учитель замечает, что терпение ребят иссякло, он подбрасывает им новую идею, обратив внимание на то, что делитель каждый раз всего лишь на 1 больше остатка, т.е. искомое число можно записать следующими способами:

А = 2а + 1, А = 3в + 2, А = 4с + 3, …, А = 9у + 8.

Прибавив теперь к обеим частям каждого из равенств по 1, получим:

А + 1 = 2а + 2 = 2(а + 1), А + 1 = 3(в + 1),…, А + 1 = 9(у + 1).

Эти записи наводят на мысль, что разумнее искать не число А, но число А+1, о котором известно, что оно наименьшее из делящихся на 2, 3,…, 9. Но произведение 2·3·4·5·6·7·8·9 должно быть кратным числам 8, 9, 7, 5; а 8·9·7·5 равно 2520. Следовательно, А + 1 = 2520, А = 2519.

В 6 классе учащиеся повторяют действия с обыкновенными дробями. Поэтому для них вполне доступна следующая задача:

«Вычислите сумму

1 1 1 1

-- + -- + -- + … + ---».

1·2 2·3 3·4 19·20

Получив задание, весь класс начинает старательно складывать дроби:

1 1 2 2 1 3

-- + -- = -- , -- + -- = -- ,

2 6 3 3 12 4

Естественно, при таком подходе трудно найти более простой путь. Поэтому целесообразно предварить рассмотрение этой задачи следующими примерами:

1 1 3-2 1 1 1 1

-- - -- = -- = --, -- - -- = -- и так далее.

2 3 2·3 2·3 3 4 3·4

Учащиеся, подготовленные этими заданиями, легко находят полуустное решение основной задачи:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 19

1 - - + - - - + - - - …- - + - - - =1 - -- = -- .

2 2 3 3 4 19 19 20 20 20

Вопросы делимости и действия с дробями переплетаются в задаче на нахождение общих кратных.

«В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные оценки по математике

Сколько учеников в каждом классе?»

Задача кажется учащимся неверно сформулированной, так как неизвестны число, от которого надо найти дробь 7/17, и число, от которого требуется 2/9 искать дробь. Учитель поясняет, что не во всякой задаче все условия непосредственно перечисляются. В некоторых случаях данные приходиться додумывать, опираясь на математические и житейские факты. Здесь мы имеем дело именно с таким случаем.

Так какое же первое и самое важное условие замаскировано в этой задаче? Ребята, конечно, понимают, что число учеников каждого класса должно быть натуральным, но этот факт не кажется им важным для процесса решения. Учитель подчеркивает, что «натуральность» числа, от которого берется первая дробь, как раз очень важна, ведь это значит, что искомое число должно делиться на 17. Это могут быть числа 17, 34, 51, 68,… . Стоит ли дальше продолжать перечисление? Учащиеся отвечают отрицательно, так как они поняли, что число учеников в классе не может быть таким большим.

Остановимся пока на числе 34, т.е. предположим, что в одном классе 34 человека. Тогда в другом - 36 человек (70 - 34 = 36). Число 36 нам тем более подходит, что оно делится на 9.

Легко проверить, что остальные «подозреваемые» числа, т.е. 17, 51 и 68, условию задачи не удовлетворяют, поскольку разности 70 - 17, 70 - 51, 70 - 68 не делятся на 9.

Учащимся 6 класса уже хорошо известна задача о подсчете суммы чисел натурального ряда от 1 до n. Перед тем, как перейти к задаче, рассмотренной ниже, мы просим их подсчитать сумму:

1 + 2 + 3 + … + 124 + 125.

Ребята вспоминают решение:

(1 + 125)·125

-------- = 7875. (*)

2

Теперь настало время рассмотреть основную задачу.

«Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую - то сторону, во второй раз - на 2 см, в третий - на 3 см и т.д. Докажите, что после 125 прыжков он не может оказаться там, где начинал».

При первом прочтении ребята возмущаются простотой задачи: зачем их спрашивают такие очевидные вещи? Ясно же, что с каждым прыжком кузнечик все более удаляется от начальной точки! Что тут доказывать?

Учитель разъясняет, что «по прямой» можно двигаться в двух противоположных направлениях, т.е. как туда, так и обратно. Так что в принципе кузнечик может вернуться в исходную точку. Теперь ребята склонны посчитать задачу весьма трудной, так как они не знают, где именно кузнечик повернет назад. Некоторые предлагают свою версию событий - считать, что кузнечик сделал 15 прыжков вперед и прыгнул на расстояние 120 мм (1 + 2 + 3 + … + 15 = 120), а потом повернул назад и, прыгнув на 120 мм, достиг начальной точки. Учитель призывает ребят внимательнее прочитать условие, чтобы не делать подобных ошибок. В самом деле, на 16-м прыжке кузнечик может преодолеть только 16 мм, а не 120 мм. Приходится опять подправлять ребячьи рассуждения, объясняя, что кузнечик вовсе не обязан делать один поворот.8

Решение нестандартных задач важно не само по себе, а как средство развития учащихся и воспитанию у них исследовательских навыков, которые в свою очередь позволяют ребятам самостоятельно изыскивать решения трудных задач, тем самым повышают самостоятельную активность учащихся.

3. ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ КАК ОДИН

ИЗ ГЛАНЫХ МЕТОДОВ АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

Внеклассную работу по математике как один из методов активизации самостоятельной работы учащихся следует поставить на первое место. Во-первых, потому что во внеклассной работе нет давления на ребят отметочной системы. Без журнала, куда можно поставить плохую отметку, учащиеся чувствуют себя намного комфортнее. Во - вторых, во внеклассной работе можно сколько угодно использовать занимательный материал, уделять множество времени дидактическим играм, проведение которых благотворно влияет на активизацию и развитие у учащихся познавательного интереса к содержанию обучения. Основная цель игры - поднять интерес учащихся к учебе, и тем самым повысить эффективность обучения. В процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредотачиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Поэтому во внеклассной работе задачи представляются детям совсем в другом свете. Особый интерес вызывают задачи, требующие поисково - исследовательской работы, которая хотя и кажется ребятам трудной, но в то же время интересной и увлекательной. ученик кружек факультатив математика