Полный интерактивный курс стереометрии, предложенный компанией «Физикон», призван помочь учителю более успешно справиться с решением стоящих перед ним задач, а его использование на уроках геометрии в 10-11 классах сделает доступным сложный учебный материал более широкому кругу учащихся.

«Открытая Математика 2.5. Стереометрия» может быть использована для самостоятельного изучения стереометрии и для подготовки в вузы. Полный курс освещает темы:

· Аксиомы стереометрии;

· Параллельность и перпендикулярность прямых;

· Многогранники;

· Тела вращения;

· Объемы и площади поверхностей фигур;

· Декартовы трехмерные координаты;

· Векторы в пространстве.

Все четыре рассмотренных выше мультимедийных ресурса по стереометрии являются современными программно-педагогическими средствами обучения стереометрии и математике в целом, которые могут применяться во время учебного процесса самыми разными способами.

База успешного решения стереометрических задач закладывается в 9 классе. При изучении стереометрии широко используется аналогия с планиметрией, уделяется большое внимание обобщению и систематизации сведений, обращается внимание на соответствие чертежа условию задачи, ученики учатся проведению аргументации в ходе решения задач, обучаются умению выделять ключевые фигуры, выполнять стандартные дополнительные построения. Важно организовать использование мультимедийных ресурсов так, чтобы они естественным образом вписывались в урок, устанавливая новые связи между старыми известными звеньями, делали урок интересным для ученика, развивая его.

Кроме того, современная компьютерная математика предлагает целый набор интегрированных программных систем и пакетов программ для автоматизации математических расчетов: Derive, Eureka, Gauss, Mathcad, Mathematica, Maple 5-7, TK Solver!, и др. Роль математических систем в образовании исключительно велика. Эти системы облегчают решение сложных математических задач, особенно при изучении стереометрии.

При использовании математических систем снимается психологический барьер при изучении стереометрии, делая предмет интересным и достаточно простым.

§4.Математические системы: характеристики и возможности

Математические системы представляют собой автоматизированную систему для динамической обработки данных в числовом и аналитическом (формульном) виде [34,с.29].

Системы компьютерной математики - новые средства, автоматизирующие выполнение как численных, так и аналитических вычислений. Они аккумулируют и предоставляют пользователю возможности, накопленные за многовековой опыт развития математики, имеют прекрасную цветную графику. Позволяют готовить электронные уроки и книги с живыми примерами и представляют большой интерес для системы образования [33].

В последние годы показателем интеллектуальной мощи компьютеров, в том числе и персональных, стали уже не программы для игры в шахматы, а новейшие программные системы символьной математики или компьютерной алгебры. Созданные для проведения символьных преобразований математических выражений, эти системы были доведены до уровня, позволяющего резко облегчить, а подчас и заменить, труд самой почитаемой научной элиты мира - математиков: теоретиков и аналитиков. Уже появились открытия, сделанные с помощью таких систем [34].

Системы символьной математики долгое время были ориентированы на большие компьютеры, С появлением ПК класса IBM PC и Macintosh и с ростом их возможностей эти системы были переработаны под них и доведены до уровня массовых серийных программных систем.

Сейчас системы символьной математики (или компьютерной алгебры) выпускаются самого разного «калибра» -- от рассчитанной «на всех» системы Mathcad, поразительно компактной, быстрой и удобной для простых символьных вычислений системы Derive и до компьютерных монстров Mathematica, MATLAB и Maple, имеющих тысячи встроенных и библиотечных функций и изумительные возможности графической визуализации вычислений [42].

Грамотное применение систем в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования.

Новые версии систем позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение [42].

Системы компьютерной математики (СКМ) представлены разработками различных фирм (MathSoft, MathWorks, Maple, Wolfram и др.).

Структура, принципы работы и элементы характерны для всех систем компьютерной математики.

Ядро системы содержит коды множества быстро исполняемых функций и процедур, обеспечивающих достаточно представительный набор встроенных функций и операторов системы. Их число в ядре современных СКМ может достигать многих тысяч. Например, ядро системы Mathematica4 содержит данные о 5000 одних только интегралов, хотя для интегрирования используются только несколько встроенных функций. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений [45].

Интерфейс современных СКМ характерен для всех Windows-приложений, обеспечивает присущие им удобства работы и дает пользователю возможность обращаться к ядру со своими запросами и получать результат решения на экране.

Функции и процедуры, включенные в ядро, выполняются быстро, если их не слишком много. Поэтому объем ядра ограничивают, но к нему добавляют библиотеки более редких процедур и функций. Общее число доступных пользователю функций ядра и библиотек достигает двух-трех тысяч.

Кардинальное расширение возможностей систем и их адаптация к решаемым конкретными пользователями задачам достигается за счет пакетов расширения систем. Эти пакеты (нередко и библиотеки) пишутся на собственном языке программирования той или иной СКМ, что делает возможным их подготовку обычными пользователями. Наращивание возможностей систем с помощью пакетов расширения практически ничем не ограничено.

Ядро, библиотеки, пакеты расширения и справочная система современных СКМ аккумулируют знания в области математики, накопленные за тысячелетия ее развития. Поэтому СКМ относят к интеллектуальным программным продуктам, одно из назначений которых - предоставление пользователю знаний в области численных методов расчета и моделирования, аналитической математики и современной графики [34, с. 28-32].

Возможность применения той или иной СКМ при изучении стереометрии в решающей степени определяется не только ее аппаратными требованиями к ПК, но и функциями.

Таблица 5.

Сравнительная характеристика СКМ

Система	Назначение и достоинства	Ограничения и недостатки
Derive	Аналитические вычисления. Скромные требования к аппаратным ресурсам Наличие русифицированных версий	Слабая графика и визуализация
MuPAD	Хорошая графика. Развитые средства программирования Развитые средства форматирования документов. Умеренные требования к аппаратным ресурсам	Сложное форматирование графиков. Скромная справочная система. Малое время апробации и малая известность
Mathcad	Прекрасная графика и визуализация на всех этапах вычислений, включая ввод. Образцовый интерфейс. Ввод данных с помощью палитр математических знаков. Удачный отбор операторов и функций. Множество примеров, электронных книг и библиотек	Ограниченные средства символьной математики. Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Дороговизна электронных книг и библиотек.
Maple	Уникальное ядро символьных вычислений. До 3000 функций. Мощнейшая графика. Удобная справочная система. Развитые средства форматирования документов	Повышенные требования к аппаратным ресурсам. Отсутствие синтеза звуков. Ориентация на опытных пользователей и специалистов по математике
Mathematica	Совместимость с разными компьютерными платформами. Уникальная трехмерная графика. Поддержка синтеза звука. Развитые средства форматирования документов. Мировое лидерство	Высокие требования к аппаратным ресурсам. Чрезмерная защита от копирования. Ориентация на опытных пользователей
MATLAB	Уникальные матричные средства, обилие численных методов, описательная (дескрипторная) графика, высокая скорость вычислений, легкость адаптации к задачам пользователя благодаря множеству пакетов расширения системы	Чрезмерно высокие требования к аппаратным ресурсам. Скромные возможности символьных вычислений. Дороговизна как самой системы, так и пакетов расширения. Чрезмерная элитарность

Возможности систем компьютерной математики по решению задач в аналитическом виде (чаще всего, в численном) заметно различаются.

Тем не менее, можно назвать ряд типовых задач, которые могут решаться с их применением [42].

Большинство языков программирования имеют средства для создания программных модулей - процедур и функций с аппаратом локальных переменных и возможностью задания входных параметров. Однако правила их задания различны у разных систем. Это относится и к средствам создания управляющих структур условным операторам, циклам и переключателям.

Некоторые системы (например, Maple или Mathematica) перенасыщены операторами и функциями ввода/вывода и функциями преобразования данных. Это обусловлено их спецификой - реализацией сложных символьных операций. Однако настройка систем по умолчанию такова, что позволяет обычному пользователю забыть о большинстве указанных операторов и функций. Зато для опытного пользователя, например готовящего пакеты расширения таких систем, наличие указанных средств принципиально важно и полезно [42].

В целом надо отметить, что полноценный язык программирования характерен только для наиболее мощных систем - Maple, Mathematica и MATLAB [35; 43; 44].

Системы класса Derive имеют зачаточный уровень функционального программирования, а возможности программирования в популярных системах Mathcad иначе как скромными не назовешь. Однако они дополнены мощными средствами визуально-ориентированного программирования, облегчающими работу с этими системами и позволяющими готовить документы высочайшего качества [42].

Довольно обширен и набор специальных математических и иных функций в системах компьютерной математики. Их особенно много в системах Maple и Mathematica.

Несмотря на то что число математических функций может достигать сотен, системы компьютерной математики дают пользователю возможность задавать свои функции (а порой и операторы). Такие функции называют функциями пользователя.

Обычно их задают в форме:

имя_функции (список_параметров):=тело_функции

Телом функции является выражение, содержащее переменные, заданные в списке параметров. Такие переменные являются локальными.

Таблица 6.

Возможность использовать систему математики при изучении стереометрии в курсе средней школы

Критерии	Системы математики
	Maple	Mathematica	Mathcad	MATLAB
графика	Мощнейшая	Уникальная трехмерная	Прекрасная, визуализация	Прекрасная визуализация
Требования к аппаратным ресурсам	Повышенные	Высокие	Повышенные	Чрезмерно высокие
Стоимость	Расширенная поддержка системы Maple через Интернет, на сайте корпорации Waterloo Maple Inc. масса информационных материалов, обучающих программ и примеров применения Maple, обширные возможности в пополнении своих знаний и навыков работы с Maple 7.	Дороговизна. Чрезмерная защита от копирования	Дороговизна электронных книг и библиотек	Дороговизна как самой системы, так и пакетов расширения.
Квалификация пользователей	опытные	опытные	опытные	опытные

Анализ данных таблицы 6, показывает, что наиболее приемлемой системой компьютерной математики для изучения стереометрии, с учетом возможностей системы и стоимости, как самой системы, так и аппаратных ресурсов, является Maple 7.

Программа Maple корпорации Waterloo Maple Inc. -- патриарх в мире систем компьютерной математики. Эта система, снискавшая себе мировую известность и огромную популярность, является одной из лучших среди систем символьной математики, позволяющих решать математические задачи в аналитическом виде.

Maple 7 вобрала в себя не только обширные и мощные возможности- предшествующих реализаций системы, но и предоставила в распоряжение пользователя ряд новых возможностей. Прежде всего это целый букет пакетов: CurveFitting, PolynomialTools, OrthogonalSeries и др.

Maple как система компьютерной математики развивается по ряду характерных направлений. Одно из них - повышение мощности и достоверности аналитических (символьных) вычислений. Это направление представлено в Maple наиболее сильно. Maple 7 уже сегодня способна выполнять сложнейшие аналитические вычисления, которые нередко не под силу даже опытным математикам. Конечно, Maple не способна на «гениальные догадки», но зато рутинные и массовые расчеты система выполняет с блеском.

Интеграция Maple с другими программными средствами - еще одно важное направление развития этой системы. Ядро символьных вычислений Maple уже включено в состав целого ряда систем компьютерной математики - от систем «для всех» класса Mathcad до одной из лучших систем для численных расчетов и моделирования - MATLAB. Имеется целый ряд автоматизированных рабочих мест для математиков на основе ядра системы Maple: Math Office, Scientific Word, Scientific Workplace и др.

Предусмотрена и интеграция Maple 7 с Excel 2000 и MATLAB. Однако альянс Maple 7 с Excel трудно назвать удачным. Во-первых, потому, что куда более распространенная версия Excel 97 связь с Maple 7 не поддерживает. Во-вторых, введенные в Maple 7 средства работы с таблицами (в том числе новые) в большинстве случаев оказываются более удобными, чем обычные средства работы с таблицами у Excel. Достаточно отметить, что таблицы в Maple могут работать с формульными данными и построение рисунков в Maple не требует создания таблицы данных для них, как это нужно в Excel.

Существенно расширена поддержка системы Maple через Интернет. Появление на сайте корпорации Waterloo Maple Inc. массы информационных материалов, и прежде всего обучающих программ и примеров применения Maple, разгрузило саму программу и предоставило ее пользователям обширные возможности в пополнении своих знаний и навыков работы с Maple 7.

С другой стороны, резко повышены возможности Maple 7 для создания web-страниц основы Интернета. Здесь прежде всего надо отметить включение в пакеты средств поддержки языков HTML, XML и (что особенно важно) MathML [45].

Глава II. Система математики Maple как мультимедийное средство создания наглядности при обучении стереометрии

§1. Математические системы как средства наглядности

Нет нужды много говорить о значении наглядности в процессе обучения. Ее исключительная роль подтверждена всем педагогическим опытом человечества. Самые различные системы образования, самые противоположные концепции и парадигмы обучения, самые отдаленные поколения учителей объединяет требование и понимание необходимости усиления наглядности в педагогическом процессе [51].

Это требование остается в силе и сегодня, несмотря на то, что насыщенность учебного процесса наглядными образами (где стремительно, а где постепенно) приближается к достаточности. Нельзя не видеть, что уже в недалекой перспективе проблема количественного дефицита наглядности, как недостатка средств чувственного отражения действительности в обучении, имеет все шансы на успешное разрешение.

Однако это вовсе не означает исчерпание проблемы педагогической наглядности вообще. Наоборот, ее актуальность возрастает. Тут именно тот случай, когда количественные изменения сопровождаются качественными и само достижение уровня достаточности в обеспечении учебного процесса наглядными материалами порождает принципиально новые вопросы по их использованию и крайне обостряет давние, но ранее малозаметные дидактические проблемы в этой области. Имеются ввиду не только и не столько очевидные проблемы технического и художественного обеспечения оптимального физиологического режима восприятия наглядной информации (качественные характеристики звукозаписи, изображений и т.д.), сколько собственно психолого-педагогические проблемы, которые затрагивают существенные механизмы формирования знаний в учебном процессе [52,с. 4].

Важнейшая задача современной школы - гармоническое развитие личности, которое основывается на прочных знаниях, овладении определенными навыками и умение применять их на практике. Мастерство учителя основано на умении строить процесс обучения в соответствии с закономерностями этого процесса, одним из которых является принцип наглядности.

Использование наглядности в обучении имеет как сторонников, так и противников. Это свидетельствует о нечетком понимании принципа наглядности, дополненный недавно принципом моделирования.

Принцип наглядности как основной принцип дидактики был введен Я.И. Коменским. Он рассматривал чувственный опыт ребенка как основу обучения и поэтому считал, что обучение следует начинать «не со словесного толкования о вещах, а с реального наблюдения над ними» [53, с. 33].

Коменский считал, что «все, что только можно представить для восприятия чувствами, а именно: видимое - для восприятия зрением, слышимое -- слухом, запахи - обонянием, доступное осязанию - путем осязания. Если какие-либо предметы сразу можно воспринять несколькими чувствами, пусть они схватываются сразу несколькими чувствами» [53, с. 34].

Почти 350 лет прошло с того дня, когда с речью «О мастерском пользовании книгами - наилучшими инструментами развития природных дарований» выступал Я.А.Каменский [53]. Многое изменилось с тех пор и на роль «наилучшего инструмента» начинает претендовать компьютер, в том числе в качестве средства обеспечения дидактической наглядности.

Сегодня в помощь учителю приходят компьютерные технологии создания и применения наглядных материалов. Технология мультимедиа позволяет соединить в единое целое различные формы представления информации: текст, голос, музыку, графику, иллюстрации, видео и т.д.[52, с. 5]

Представляемые современными мультимедиа средствами удобство и простота в создании новых наглядных материалов нередко вводят педагога в заблуждение, создавая иллюзию неограниченных возможностей. Однако это совсем не так.

Наглядный материал - это не просто некоторая информация в чувственной форме представления, а информационная модель определенного педагогического опыта, которая должна соответствовать требованиям эстетики, эргономики, дизайна и т.д. Поскольку это учебный материал, он должен воплощать и некоторый педагогический опыт, быть на уровне методических достижений своего времени в плане структуры, содержания, формы подачи материала.

Таким образом, использование современного инструментария создания наглядности ограничивается уровнем подготовки самого учителя во многих областях деятельности [52].

Опыт вступительных экзаменов в вузы свидетельствует о том, что для многих абитуриентов «камнем преткновения» являются стереометрические задачи. В большинстве стереометрических задач при геометрических подходах к решению набольшую трудность представляет начальный этап [54]. Этот этап чаще всего основан на том, что трехмерные объекты при решении задач приходится изображать на плоском чертеже. На таком чертеже изображения элементов пространственных фигур могут выглядеть искаженно и не соответствовать действительности. Более того, некоторые важные для решения задачи линии или точки могут оказаться на чертеже слишком близкими или совпадающими. Другие важные точки могут попасть за край листа бумаги. Кроме того, при работе на бумаге трудно без следа стереть ненужную или неудачно проведенную линию. Наконец, взгляд на плоский чертеж с разных сторон дает примерно одинаковое восприятие.

Педагогам хорошо известно, что визуализация информации, содержащейся в условии геометрической задачи, зачастую играет определяющую роль в процессе ее решения. Правильно выполненное и наглядное изображение значительно облегчает отыскание нужных для решения ключевых соотношений между данными и искомыми элементами задачи, помогает сделать исследование или анализ решения [55].

По мнению Н.Н. Орловой [55], почти все школьные учебники геометрии, включенные в федеральный перечень, не предусматривают специального обучения выполнению чертежей, подразумевается, что учащийся необходимые чертежи научится строить самостоятельно, следуя образцам, приведенным в учебнике (или с помощью учителя).

Трудности, обусловленные несформированностью у учащихся пространственного мышления и воображения.

Поэтому одним из условий успешного изучения учащимися начал стереометрии является наличие у них развитых пространственных представлений (ПП).

Под пространственными представлениями понимают умственную деятельность по созданию образов и оперированию ими. Психолого-педагогические исследования ПП у школьников показывают, что у учащихся 10-х классов оно развито намного слабее, чем у учащихся 7-х классов [49].

Наиболее эффективными средствами развития пространственного воображения являются:

· демонстрирование фигур;

· моделирование;

· грамотное чтение чертежа и его выполнение.

Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе. На каждом уроке нужно искать и устанавливать связи между понятиями планиметрии, пространственными геометрическими фигурами и предметами окружающей действительности.

В не столь отдаленные времена трудности, обусловленные несформированностью у учащихся пространственного мышления и воображения достаточно удачно преодолевались систематическим использованием в обучении наглядного материала:

1) готовых проекционных чертежей (задачи на готовых чертежах),

2) геометрических конструкторов (типа стереометрического ящика),

3) различного рода готовых материальных моделей к конкретным теоремам и задачам. Увы, сегодня об этом можно только вспоминать, нередко вся наглядность, которую видит на уроке нынешний старшеклассник, представляет собой статичные готовые чертежи в школьном учебнике и на классной доске [55; 56, с. 375-380]

Иногда считают, что средства наглядности достигают своих целей в младших классах, а по мере взросления учащихся необходимость в наглядности уменьшается. Это ошибочное мнение. С каждым возрастом учащийся смотрит на модель геометрической фигуры по-новому. Становясь старше, он знакомится с теми свойствами геометрических фигур, которым он не придавал значения ранее. Исходя из этого, показ моделей необходимо повторять.

Использование при изучении стереометрии вещественных моделей для показа взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве необходимо, но недостаточно. Во-первых, не всегда просто показать расположение объектов внутри геометрических тел; во-вторых, невозможно проследить динамику построений; в-третьих, переход от вещественной пространственной модели к ее изображению на плоском чертеже затруднен для учащихся.

Справиться с этими сложностями позволяют прикладные компьютерные программы, строящие трехмерные изображения.

Но, по мнению Н.Н. Орловой этому пока препятствует отсутствие в школах:

· достаточной материальной базы;

· необходимых мультимедийных ресурсов учебного назначения;

· методических рекомендаций [55].

В методике обучения геометрии давно установлено, что чрезмерное увлечение моделями и готовыми чертежами может быть вредным для формирования пространственного воображения и мышления.

Например, Н.М. Бескин дифференцирует в обучении два случая:

1) когда ученикам даются готовые модели;

2) когда ученикам поручается изготовить модели. При этом он отмечает, что самостоятельное изготовление моделей всегда приносит пользу ученикам. «Эту пользу мы видим не в созерцании готовых моделей, а в самом процессе их изготовления. Во-первых, изготовляя модель, ученик в течение длительного времени фиксирует свое внимание на соответствующем геометрическом образе, и это содействует более прочному запоминанию. Во-вторых, изготовление каждой модели требует некоторого расчета. Например, чтобы склеить из бумаги многогранник, надо сообразить, как расположены его грани на развертке, вычислить длины ребер и т.д. Ясно, что эта работа способствует лучшему уяснению различных геометрических соотношений. Иначе обстоит дело, когда учитель злоупотребляет демонстрацией готовых моделей. Этим он избавляет ученика от необходимости напрягать воображение и таким образом мешает его развитию» [57, с. 206].

Сказанное с очевидностью переносится на использование в обучении готовых мультимедийных демонстраций.

Поэтому заключительным этапом в методике поэтапного формирования учебно-геометрической деятельности учащихся по решению стереометрических задач на комбинации геометрических тел с использованием компьютера, которая предложена Н.Н. Орловой [56], является обучение самостоятельному построению заданных тел и их комбинаций с помощью стереометрических конструкторов, а также графических пакетов и систем. По ее мнению современные мультимедийные средства предоставляют широкие возможности для построения изображений геометрических фигур. Вместе с тем, использование этих средств при самостоятельном выполнении чертежей не освобождает пользователя от знакомства с теоретическими основами теории изображений. Поэтому курс обучения включает теоретическую и практическую части.

В теоретической части курса систематизируются и расширяются знания учащихся об изображении геометрических фигур в параллельной проекции, в частности, дается знакомство с методом Монжа (это необходимо для работы с пакетами трехмерной графики). Затем приводятся начальные сведения о линейной перспективе.

В практическую часть курса в зависимости от имеющихся в школе ресурсов и возможностей, по мнению Н.Н. Орловой [55], можно включить:

1. Построение чертежей к геометрическим задачам с помощью наиболее известной учащимся программы MS Word. Эта программа хотя и используется в основном для работы с текстовыми документами, но встроенный в нее графический пакет MS Office позволяет достаточно продуктивно работать и с изображениями. Работа с этим пакетом практически ни чем не отличается от работы с циркулем и линейкой, т.к. требует прочных теоретических знаний о методах изображений. Качество же получаемых изображений несравненно выше, чем при выполнении от руки. Основным недостатком этого варианта является то, что выполнение чертежей занимает слишком много времени, поэтому с помощью этого пакета сложно оперативно создать рабочий чертеж при решении конкретной задачи. Пакет, однако, можно прекрасно использовать для создания готовых чертежей к урокам геометрии.

2. Работу с электронными стереоконструкторами. Как показал анализ известных электронных материалов учебного назначения по геометрии, наиболее адаптивным к предлагаемой методике поэтапного обучения оказался электронный учебник-справочник «Стереометрия» (Россия / КУДИЦ)-250, разработанный авторским коллективом под руководством С.В. Станченко. Этот учебник-справочник охватывает полный курс стереометрии в объеме средней школы. Данный электронный учебник построен на широком использовании возможностей современного персонального компьютера для удобного и наглядного представления учебной информации.

При этом встроенная творческая среда «СтереоКонструктора» дает возможность учителю совместно с учащимися дополнить материал издания собственными разработками, задачами и их решениями и даже подготовить собственное мультимедийное пособие по математике [55].

3. Знакомство с графическими пакетами систем символьной математики. В первую очередь, это системы компьютерной математики Derive, Maple, Mathematica, MATLAB. Эти пакеты обладают большими возможностями программирования графики, вплоть до создания анимационных графических клипов. Однако, как показывает практика, получаемые с помощью пакетов изображения геометрических объектов не позволяют решать методические задачи визуализации. Кроме того, сами изображения не вызывают должного отклика у учащихся.

4. Наконец, как показывает практика, школьники, знакомые с методом Монжа, достаточно легко и успешно осваивают программы трехмерной графики, такие как 3D Мах и др., в которых можно создавать красивые и выразительные модели пространственных конструкций. Так, программа 3ds max позволяет учащемуся получить начальные умения и навыки в создании трехмерных объектов, их перемещении, объединении и пересечении. Результатом работы в данном графическом редакторе может стать анимированный ролик или статическое изображение, просчитанное программой. В программе 3ds max любые трехмерные объекты создаются на основе имеющихся примитивов, которые делятся на несколько разделов, один из которых «Геометрия» [55].

Возможности программы позволяют развиваться пространственному воображению и мышлению. Этому же способствует возможность вращать все виртуальное пространство в окнах проекций вместе с созданными в нем объектами.

Особый эффект в обучении достигается в сочетании мультимедийных демонстраций с использованием интерактивной доски, которая прменяется и на уроках геометрии. Использование интерактивной доски на уроках геометрии позволяет учителю решать сразу же несколько задач:

· демонстрировать заранее подготовленные чертежи и динамические модели фигур и их комбинаций;

· в короткий промежуток времени проводить дополнительные построения на готовых чертежах к рассматриваемым задачам, тем самым максимально эффективно расходовать время урока;

· самостоятельно в интерактивном режиме создавать изображения фигур; сохранять выполненные в ходе урока чертежи.

Графические пакеты и особенно стереоконструкторы позволяют изменить отношение учащихся к геометрическому объекту, созданному своим трудом. Он помнит процесс его создания, какие трудности пришлось преодолеть, прежде чем прийти к желаемому результату.

При этом, как отмечает Н.Н. Орлова, применение стероконструкторов и графических пакетов в обучении:

· развивает навыки самостоятельного мышления;

· повышает самооценку учащегося;

· выявляет заинтересованность и потребность в получении дополнительных знаний;

· пробуждает интерес к научной деятельности;

· формирует положительное и ответственное отношение к учебе, при этом прослеживается тенденция к росту успеваемости.

Курс стереометрии состоит из системы аксиом, определений, теорем и из задач, в процессе решения которых теоретический материал отрабатывается и применяется к практике.

Поэтому в курсе стереометрии необходимо добиваться, прежде всего, отчетливого осознания учащимися содержания теории и умения решать задачи на основе теории.

Понятно, что роль средств наглядности возрастает в связи с трехмерностью изучаемых в стереометрии объектов, которая порождает условность их изображения на чертежах.

Средства наглядности, поэтому должны, с одной стороны, обеспечить предъявление учащимся объемных моделей этих объектов. С другой стороны, должны использоваться соответствующие им плоские чертежи. Установление соответствия между элементами объемных и плоских моделей позволяют выполнять модели и трехмерные чертежи курса. Использование моделей в преподавании геометрии должно помогать абстрактному мышлению ученика, развивать его. Плоского чертежа или тем более, словесного описания, недостаточно.

Интерактивные модели - очень важное средство наглядности, позволяющее решать многие проблемы обучения. Иллюзия трехмерности, создаваемая на экране, позволяет сразу ввести учащихся в курс стереометрии. При этом учащиеся могут видеть не только сами стереометрические тела, но и следить за ходом рассуждений, проникая, в частности, в идейный смысл курса.

Но, использование наглядности должно ограничивается обыкновенным чувством меры. Утверждение, что наглядности не может быть слишком много, является справедливым только в условиях ее дефицита. Познание начинается с чувственного восприятия, однако не ограничивается им. Необходимо всегда помнить, что первостепенное значение для становления и развития личности имеет именно мышление и не в последнюю очередь мышление абстрактное [52,с.7].

§2. Система математики Maple как мультимедийное средство создания наглядности на стереометрии в старшей школе

Стереометрия - это одна из немногих, если не единственная область школьной математики, в отношении которой не приходится агитировать за мультимедиа технологии. Учителя всегда особенно активно использовали наглядные пособия на уроках стереометрии и готовы к их замене электронными аналогами.

И современная трехмерная графика позволяет создавать модели сложных геометрических тел и их комбинаций, вращать их на экране, менять освещенность и т.д.

Но значение таких моделей для обучения ограничено: по существу они просто иллюстрируют геометрические понятия и факты, решения задач. Этим обусловлена их важность, особенно на первых шагах изучения стереометрии. Однако в дальнейшем, при переходе к более содержательным задачам, они утрачивают свою развивающую роль. Более того, наиболее интересны как раз те задачи, где сначала нужно сообразить, как устроены рассматриваемые в них конфигурации, и потому готовые иллюстрации в них неуместны.

Новые возможности открывают программы, использующие виртуальное трехмерное моделирование и конструирование, реализующие подлинную интерактивность. Но обучающих программ такого типа в мире немного и особого распространения они не получили. По мнению В.Н. Дубровского, главная причина - сложный интерфейс, затраты на освоение которого не оправдываются достигаемыми результатами. «Отметим также и то, что за границей стереометрия вообще почти не изучается» [58].

Лидером по графическим возможностям и наглядности среди математических систем для персональных компьютеров долгое время считалась система Mathematics 3. Однако в реализации Maple 7 возможности графики системы приблизились к таковым у системы Mathematica 3 и даже Mathematica 4. Они настолько обширны, что, будь математическая графика Maple 7 единственным назначением системы, оно вполне оправдало бы ее разработку.

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Это указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов [45].

«Maple - программный пакет, система компьютерной алгебры. Создана в фирме Waterloo Maple Inc., которая основана в 1984 году и выпускает и продвигает на рынке ряд программных продуктов, ориентированных на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю» [63, с. 352].

Графика Maple 7 реализует все мыслимые (и даже «немыслимые») варианты математических графиков - от построения графиков простых функций в Декартовой и в полярной системах координат до создания реалистических образов сложных пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской. Возможны наглядные графические иллюстрации решений самых разнообразных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений.

В само ядро Maple 7 встроено ограниченное число функций графики. Это, прежде всего функция для построения двумерных графиков (20-типа) - plot и функция для построения трехмерных графиков (Зd-типа) - plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов. Для построения графиков специального типа (например, в виде векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т.д.) в пакеты расширения системы Maple 7 включено большое число различных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания [47, с. 18].

Maple 7 позволяет создавать трехмерные изображения произвольной формы методом модификации готовых примитивов. Это открывает возможность создания разнообразных иллюстрационных рисунков и графиков, часто применяемых при изучении курса стереометрии. Могут строиться самые различные объемные фигуры и поверхности - конусы, цилиндры, кубы, полиэдры и т. д. Использование средств функциональной окраски делает изображения очень реалистичными наглядными.

Рисунок 6 показывает построение цилиндра и двух граненых шаров. Цилиндр строится примитивом cylinder, а граненые шары -- примитивом icosahedron.

Другой пример (рисунок 7) иллюстрирует построение на одном графике двух объемных фигур, одна из которых находится внутри другой фигуры. Этот пример демонстрирует достаточно корректное построение вложенных фигур.

На рисунке 8 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве.

Нетрудно заметить, что графика пакета Maple приблизительно (с точностью до сегмента) вычисляет области пересечения фигур. С помощью контекстно-зависимого меню правой кнопки мыши (рисунок 8) можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т. д. В частности, фигуры на рисунке 8 показаны в перспективе.

Библиотека примитивов содержит графические образы прямой, плоскости, куба, цилиндра, конуса, сферы.

Средства для построения графиков принято считать графическими процедурами или операторами:

· графические средства Maple возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа в строке вывода или в отдельном графическом объекте;

· эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, т.е. переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции (например, с помощью функции show выводить на экран несколько графиков).

Графические функции заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без какой-либо особой подготовки. Все, что для этого нужно, это указать функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных. Однако с помощью дополнительных необязательных параметров - опций можно существенно изменить вид графиков, например, изменить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т.д. [70, с. 132]

Графические структуры трехмерной графики, используемые в стереометрии строятся функцией PLOT3D:

PLOT3D(s1,s2,s3.....o)

В качестве элементарных графических структур можно использовать объекты POINTS, CURVES, POLYGONS и TEXT, с добавлением в списки параметров третьей координаты. Пример такого построения дан на рисунке 9.

Помимо существенного расширения пакета geometry в систему Maple 7 введен новый геометрический пакет geonfld. Он предназначен для решения задач в области трехмерной геометрии [45].

При загрузке пакета появляется доступ к большому (свыше 140) числу новых функций:

> with(geom3d);

Функции этого пакета обеспечивают задание и определение характеристик и параметров многих геометрических объектов: точек в пространстве, сегментов, отрезков линий и дуг, линий, плоскостей, треугольников, сфер, регулярных и квазирегулярных полиэдров, полиэдров общего типа и др. Назначение функций ясно из их названия, а характер применения тот же, что для функций описанного выше пакета geometry.

§3. Методические и дидактические материалы, примерные задания

Maple - это старейший продукт информации, который позволяет соединить между собой разные виды учебной деятельности. В связи с этим необходимо учитывать требования к современному уроку с позиции содержательного наполнения, вариативности его структуры, композиционного построения и технологической реализации.

Конструирование уроков с использованием информационных технологий связано не только с анализом дидактических возможностей средств новых информационных технологий, но и требует соблюдения определенных дидактических принципов и научно-методических положений, сформулированных в традиционной дидактике, и которые наполняются, при использовании информационных технологий, новым содержанием.

Прежде всего, это принцип системности, который предполагает рассматривать проектируемый урок:

· как элемент общей системы обучения, когда определяются его цель и задачи,

· как единое целое, состоящее из множества компонентов процесса обучения (преподаватель, обучаемый, учебно-информационное средство, учебный материал) и многообразия соединяющих их связей, которые определяют функциональное взаимодействие этих компонентов.

Урок стереометрии не является исключением. При рассмотрении иерархических уровней в педагогической системе цель выступает их вершиной и началом, являясь своего рода стратегическим проектом конечного результата деятельности. Следующие за целью задачи в этой логике выполняют функцию комплекса направлений, задающего определенный характер тактическим действиям, обеспечивающим достижение поставленной цели.

Отбор материала, порядок его изложения, организационные формы, методы, приемы, система контроля и т.д. выступают содержательным компонентом в построении урока стереометрии как целостной педагогической системы и в соответствии с тематическим планированием (Приложение № 1).

И, наконец, логически выстроенный и реализованный порядок действий учителя обуславливает успешность достижения поставленной им цели, т.е. проектируемого результата деятельности. Данная иерархическая цепочка (цель - задачи - содержание и результат) очень четко прослеживается в занятиях с использованием Maple.

Важно помнить о том, что урок - очень подвижная и достаточно гибкая форма организации занятий. Урок в среде Maple не является исключением, он может постоянно развиваться и видоизменяется в зависимости от внешних и внутренних условий.

Таким образом, учитывая принцип развития, уроки стереометрии с пакетом Maple также должен быть динамичным, гибким, способным по ходу реализации к изменениям, перестройке, усложнению или упрощению. Использование системы компьютерной математики Maple7 предлагает педагогу, располагая достаточным количеством методов, средств, форм, а также разнообразным содержанием, выбрать именно то, что нужно его ученикам, помогает им расти и развиваться.

Готовые уроки в среде Maple7 должны в полной мере отвечать требованиям современного урока. Любой учитель сможет на основе данных уроков спроектировать учебное занятие для учащихся, причем разного уровня сложности.

Например, урок «Правильные Многогранники» (Приложение №2) содержит не только материалы, отвечающие стандартам образования, но и материалы, углубляющие знания по теме, задачи не только на закрепление основного материала, но и задачи, требующие нестандартного подхода к решению.

Таким образом, в зависимости от профиля класса, задач и целей урока, учитель может спроектировать занятие, по ходу реализации которое можно будет изменить, перестроить, усложнить или упростить.

Использование средств мультимедиа технологий в учебном процессе принципиально изменило подход к оценке информационных умений педагога, в связи с этим понятна актуальность принципа информативности, практическая реализация которого связана с использованием средств информационных и коммуникационных технологий в плане развития личности обучаемого, формирования у учащихся информационно-коммуникационных компетенций.

Широкое применение в научном изучении явлений, в том числе и геометрических, получает информационный подход. Он заключается в расширении информационного пространства, совершенствования навыков самостоятельной работы.

Учитель, используя ресурсы Maple 7 может создать условия для интересной, увлекательной, разумной познавательной деятельности каждого ученика на уроках стереометрия.

Чем более эффективно осуществляется индивидуализация деятельности учащихся в процессе обучения, тем больший достигается результат в развитии личности. Эту педагогическую закономерность выражает принцип индивидуализации, который позволяет на базе средств новых информационных технологий в корне изменить методы получения нового знания посредством более эффективной организации познавательной деятельности обучаемых, что, несомненно, будет способствовать сознательности и активности учащихся.

Проектируя учебное занятие, важно, чтобы каждый преподаватель понял простую мысль: компьютер в учебном процессе - не механический педагог, не заместитель или аналог преподавателя, а средство при обучении детей, усиливающее и расширяющее возможности его обучающей деятельности.

Программное обеспечение образовательного назначения активно разрабатывается, но отношение к методике его создания и использования зачастую недопустимо небрежное. Хотя проблемы методики - один из основных факторов, препятствующих проникновению информационных компьютерных технологий в предметное обучение.

Поэтому выработка серьезного подхода к методике использования информационных компьютерных технологий, изучение и анализ существующего опыта - это «нулевой» этап их внедрения [68].

На начальном этапе важно минимизировать временные и моральные затраты учителя. Поэтому предпочтительно начать использование пакета Maple7 на факультативных занятиях с небольшой группой заинтересованных и относительно хорошо подготовленных учащихся. Используемый программный продукт должен обеспечивать активную и в основном автономную работу школьников. «В основном автономную» - потому, что диалоги учитель-ученик должны иметь место (иначе это уже не аудиторные занятия, а самоподготовка), но интенсивность их должна быть такой, чтобы учитель не сбивался с ног. Активность же работы необходима, чтобы ученик не потерял интереса и с удовольствием пришел на такие занятия в следующий раз.

Вторым может быть этап использования компьютера для сопровождения изложения нового материала. Ответственности здесь больше, это уже «штатные» уроки и учитель выступает «соло». Но, с другой стороны, это легче, чем организовать индивидуальную работу целого класса.

Третий этап - выходы в компьютерный класс на занятия, посвященные закреплению разобранного на традиционных уроках материалу: тренажу навыков, решению задач, а также, возможно, контролю знаний.

Четвертый этап связан с использованием интерактивных моделей при индивидуальной работе учащихся в компьютерном классе. Начинать использование моделей можно, внедряя их в традиционный практикум. Сначала достаточно подготовить методическое сопровождение всего одной модели, обкатать ее на нескольких группах учащихся, сделать выводы о степени успешности методики, откорректировать ее, а затем расширять компьютерную компоненту.

Со временем арсенал освоенных моделей может так расшириться, что в практикуме выделятся два блока - модельный (физический) и модельный (компьютерный). Они не заменяют друг друга, поскольку имеют разные достоинства в смысле визуализации изучаемых процессов и возможностей управления. Модели позволяют при правильном подходе глубже понять физический эффект, рассмотреть более богатый спектр управляющих параметров и более широкий диапазон их изменения, не говоря уже о возможности имитации работы с системами, которые в школьной лаборатории никогда не появятся по причинам дороговизны, небезопасности и громоздкости.

Рекомендуется следующее материальное обеспечение дисциплины «Стереометрия»

1) Компьютерный класс с интерактивной доской.

2) Цифровая видеоаппаратура.

3) Программное обеспечение SMART BOARD.

4) Пакет символьной математики Maple

Примеры решения задач начального уровня усвоения пакета Maple7 представлены в Приложении №3.

§ 4. Обоснование эффективности использования наглядности, созданной средствами Maple на уроках стереометрии

Среди технических новинок, приходящих сегодня в школу, особое место занимают интерактивные доски - комплекс оборудования, позволяющий педагогу сделать процесс обучения ярким, наглядным, динамичным, варьировать частные решения с опорой на имеющиеся готовые «шаблоны», а также более эффективно осуществлять «обратную связь».

Опыт работы с интерактивной доской с использованием пакета Maple7 показал, что наиболее эффективным оказалось использование технических средств на уроках стереометрии.

Использование интерактивной доски с использованием пакета Maple7 позволяет также повысить эффективность уроков при изучении стереометрии в 7-9 классах.

Рассмотрим, за счет чего происходит повышение эффективности урока (Таблица 7 и 8).

Конечно, есть темы, при изучении которых эффективность Maple7 и интерактивной доски не так очевидна, но использование мультимедиа ресурсов целесообразно даже в этом случае, т.к. позволяет задействовать их фрагментарно.

Следует отметить, что время на предварительную подготовку учителя при использовании Maple7 на первом этапе, несомненно, увеличивается, однако постепенно накапливается методическая база, создаваемая совместно с учениками, что значительно облегчает эту подготовку в дальнейшем.

Также следует отметить, что использование Maple7 совместно с интерактивной доской позволяет повысить внимание (заинтересованность) учеников за счет новизны способа изложения материала.

Повышается и интерес к стереометрии и математике в целом. Учащиеся активно включаются в подготовку методического материала к уроку, многие становятся заинтересованными в написании программ по информатике, что в свою очередь развивает у них навыки учебно-исследовательской деятельности и позволяет добиться лучших результатов не только в изучении стереометрии, но и информатики и мультимедиа технологий.

Заключение

Современное образование наполняется новым содержанием и поэтому перед нами учителями стоит задача пересмотра некоторых элементов педагогического процесса, создание нового содержания, форм и методов обучения. Все это вызвано обеспечить эффективность учебного процесса, направленного на обучение, развитие и воспитание ученика.

Пути осуществления данных задач заключаются в следующем: внедрение информационных технологий в учебный процесс и гармоничное сочетание их с традиционными методиками обучения.

В настоящее время компьютерные технологии проникают во все сферы жизни общества, в том числе и в систему школьного образования. Многие школы оборудованы современными компьютерами и мультимедийными проекторами, и преподавателям, учителям раскрываются широкие возможности для творческой и продуктивной работы с детьми.

Сейчас система образования и, в частности, школа ставят перед собой цель воспитания компьютерно-грамотного человека, не только знающего вычислительную технику и программное обеспечение, но и способного выбирать и использовать те программные средства, наиболее рационально решающие поставленную перед ним проблему или задачу.

Математическое направление пронизывает всю структуру школьного образования. Математическая компетентность ученика складывается из нескольких критериев: