Теория и методика математического развития младших школьников в учебной деятельности

Таким образом, под критериями развития математического мышления мы понимаем показатели (существенные признаки), свидетельствующие о достижении того или иного уровня развития математического мышления учащихся, а уровень - это степень осознанности изучаемого материала.

В параграфе 1.4 «Математическое развитие как процесс развития основных компонентов и качеств математического мышления» рассматриваются различные подходы понятию «математическое развитие» школьника. Так, при первом подходе «математическое развитие» школьника часто смешивается с понятием «математическое образование», где математическое развитие рассматривается как следствие обучения математическим знаниям. Данный подход в значительной мере пытались реализовать специалисты школьного обучения при создании различных учебников математики для начальной школы (Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Н.Я. Виленкин, А.М. Пышкало и др.). Второй подход к «математическому развитию» ребенка ассоциируется с его познавательным развитием, причем в значительном количестве случаев этот подход ассоциирует понятие «математическое развитие» с понятием «математические способности» (В.А. Крутецкий и др.). Третий подход к «математическому развитию» ребенка в теории и практике дошкольного и начального обучения и воспитания ассоциируется с понятием «умственное развитие», которое во многих случаях сводится к целенаправленному формированию логических приемов умственных действий и обучению ребенка оперированию формально-логическими структурами (Н.Б. Истомина и др.).

Процесс математического развития может быть обусловлен специально организованным методическим воздействием в ходе математического образования ребенка. При этом необходимо, чтобы это методическое воздействие было организовано на таком математическом материале, который помогает в наибольшей степени развивать у ребенка виды мышления, сенситивные его возрасту. Само методическое воздействие должно иметь целью формирование и развитие качеств мышления, присущих математическому мышлению. Тем самым будет решаться не только проблема усвоения математических знаний ребенком (поскольку это усвоение будет следствием развития мышления), но и проблема подготовки ребенка к успешному изучению математики в школе, поскольку на сегодня общепризнано, что недоразвитие математического мышления у ребенка является главной причиной неуспешности в усвоении содержания обучения в школе (Н.А. Менчинская, В.В. Краевский, И.Я. Лернер, Н.Ф. Талызина и др.).

Вторая глава «Математическое развитие младших школьников как психолого-педагогическая проблема» содержит результаты исследований, посвященных выявлению и определению тех оптимальных условий для детей, в которых обучение дает наибольший эффект математическому развитию.

В параграфе 2.1 «Развитие ученика как приоритетная цель учебной деятельности» рассматривается понятие «учебная деятельность» в контексте философских, психологических и педагогических изысканий (Г. Фрейденталь, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Виноградова и др.).

В «традиционном обучении» развитие ученика не было прямой целью обучения, оно было побочным результатом обучения. В целях обучения формулируется необходимость развития ученика, но на первый план выдвигается формирование набора прочных знаний, умений и навыков.

Глобальные изменения в подходах к школьному образованию были порождены сменой приоритетных целей обучения, их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятельностного подхода. С точки зрения этого подхода, целесообразным будет тот курс математики для младших школьников, который позволял бы средствами данного предмета реализовать идею развивающего обучения, и в то же время обеспечивал усвоение соответствующих знаний и умений, готовил и позволял бы уже с первых шагов творчески использовать их при решении разнообразных задач как практического, так и теоретического характера.

В настоящее время в психологии и дидактике наибольшее развитие получили следующие теории: общего развития в обучении (Л.С. Выготский, Л.В. Занков); учебной деятельности учащихся в обучении (В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин); поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина); формирования приемов умственной деятельности и учебной работы (Д.Н. Богоявленский, Е.И. Кабанова-Меллер, З.И. Калмыкова, Н.А. Менчинская и др.).

По определению И.И. Ильясова, деятельность учения есть самоизменение, саморазвитие субъекта, превращение его из не владеющего определенными знаниями, умениями, навыками в овладевшего ими. Другими словами, учебной деятельности главное - развитие ученика. Тогда приоритетной целью обучения математике в начальной школе является математическое развитие младшего школьника.

Таким образом, в качестве исходного понятия для математического развития младших школьников выделяем понятие учебно-математической деятельности, которая должна характеризоваться совокупностью взаимосвязанных основных компонентов и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. В процессе всей учебно-математической деятельности в школе должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения математических задач.

В параграфе 2.2 в историческом аспекте рассматриваются «Проблемы развивающего обучения младших школьников». Главной идеей развивающего обучения становится активизация внутренних резервов ученика для саморазвития. Меняется и ведущая функция учителя. Учитель в этом случае старается помочь ученику овладеть многообразными способами самостоятельного получения и овладения информацией, эти способы будут способствовать становлению и развитию новой способности.

Одну из первых попыток практически реализовать идеи Л.С. Выготского в нашей стране предпринял Л.В. Занков - в 1950-60-е годы он разработал принципиально новую систему начального образования, которая нашла большое число последователей. Из анализа системы развивающего обучения Л.В. Занкова вытекает, что главный недостаток традиционного обучения преодолеть не удалось. В данной системе ученик остается объектом педагогических воздействий учителя. Развитие ученика является обязанностью учителя, роль ученика в этом процессе остается прежней: следование развивающим воздействиям учителя. Но нельзя заставить развиваться человека без его желания. Проблема создания условий для саморазвития ученика в этой системе не ставилась.

Принципиальная особенность другой системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В.Давыдова заключается в том, что становится ясной позиция ученика в учебном процессе: «обеспечение условий для становления ребенка как субъекта учебной деятельности, заинтересованного в самоизменении и способного к нему...» Эльконин Д.Б. О структуре учебной деятельности // Эльконин Д.Б. Избр. психологические труды. - М., 1989. - С.212-243..

Однако следует отметить, что в теории Д.Б. Эльконина - В.В.Давыдова недостаточно детально проработан вопрос о диалектическом единстве эмпирического и теоретического мышления, о гармонии дедуктивного и индуктивного методов в обучении. Абсолютизация дедуктивного метода некоторыми последователями теории Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова привело к стремлению обучения математике от общего к частному. В исследовании Р.А. Атаханова выявлено, что отсутствие содержательного анализа (аналитический уровень, или первая ступень теоретического мышления) фиксируется у 83,3% третьеклассников, у 42,3% девятиклассников и у 40,4% студентов. Аналогичные данные были получены нами, причем у 37,2% выпускников школы отсутствует содержательный анализ.

Важнейший вклад в изучение проблем творческого мышления внесла Д.Б. Богоявленская. Она выделила показатель творческого потенциала - интеллектуальную активность. Способность к творчеству, по Д.Б. Богоявленской, является результирующей двух факторов: уровня умственных способностей и мотивационного фактора. Интеллектуальная активность - это интеллект, преломленный через мотивационную структуру.

Исследования З.И. Калмыковой связаны с формированием продуктивного (творческого) мышления в процессе развивающего обучения.

Концепция развивающего обучения Е.Н. Кабановой-Меллер связана с формированием операций мышления, которые она называет приемами учебной работы и определяет их как систему действий, служащих для решения учебных задач. В проблеме развивающего обучения Е.Н. Кабанова-Меллер выделяет два круга вопросов: показатели умственного развития и условия, определяющие это развитие, т.е. организация обучения и формирование учебной деятельности.

В работах И.С. Якиманской говорится о том, что продуктивная (творческая) деятельность является важнейшим условием построения развивающего обучения, и она оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций.

Однако, следуя требованиям к уровню подготовки оканчивающих начальную школу и обязательного минимума содержания основных образовательных программ, принятых в государственном образовательном стандарте начального общего образования по математике обучение геометрии в начальной школе сводится в основном к измерительной деятельности. Это иллюстрирует связь понятий длина и площадь с понятием натуральное число, и удовлетворяет в основном потребность в формировании практических измерительных навыков, но не решает задачу развития пространственного, логического и абстрактного видов мышления, а, следовательно, и развития математического мышления в широком смысле.

Авторы учебников по математике для начальных классов, придерживаясь обязательного минимума содержания основных образовательных программ, включают всего от 3,5% до 14,1% геометрического материала. Количественное сравнение арифметического и геометрического материала по учебникам (1-3 (4)) показано в таблице №1.

Таблица 1

Авторы учебников	Всего заданий	Всего геометрических заданий	Процент геометрических заданий
Моро М.И. и др. (1-3)	3361	116	3.5%
Моро М.И. и др. (1-4)	3884	328	8,4%
Аргинская И. И. (1-3)	2076	293	14,1%
Аргинская И. И., Е.И. Ивановская (1-4)	2231	301	13,0%
Истомина Н. Б. (1-3)	1760	200	11,7%
Истомина Н.Б. (1-4)	2233	268	12,0%
Петерсон Л.Г. (1-4)	4804	558	11,6%

Теперь посмотрим, что ожидает детей в средней школе. В 7-9 классах им придется выполнить более 3000 заданий по математике, из них более 1300, т.е. около 43% - по геометрии. В 10-11 классах процент геометрических заданий увеличивается примерно до 46%. Эти цифры показывают проблему преемственности в совершенно новом свете.

Таким образом, общеизвестный факт высокой проблемности изучения геометрии в старших классах превращается в закономерное следствие общих подходов к построению системы обучения геометрии в начальной школе.

Другой вопрос состоит в том, чтобы строить обучение в соответствии с зоной ближайшего развития каждого ученика, необходимо с каждым заниматься индивидуально, какие бы усовершенствования ни претерпевало содержание учебных планов, программ и учебников. Но при классно-урочной системе, когда все ученики класса на каждом уроке изучают один и тот же программный материал и должны укладываться в одни и те же сроки становится для учителя весьма проблематичным. Этот вопрос рассматривается в параграфе 2.3 «Дифференциация обучения как принцип математического развития учащихся».

Понятие «дифференциация» зародилось в конце XIX века в США, истоками его явились учения: инструментализм (Дьюи) и бихевиоризм (Э. Торндайк). Одной из разновидностей дифференциации обучения в американских школах явился Дальтон-план (Е. Паркхерст, 1934 г., Долтон, США). Термин «дифференциация» (от франц. - differention; лат. - differentia) - разделение, расчленение, расслоение целого на части, формы, ступени Словарь иностранных слов,18-е изд. - М.: Русский язык,1989. - 624 с..

Классно-урочная система всегда толкала учителя к ориентации на «среднего» ученика, на средний уровень обычности и средний уровень умственного развития. Два фланговых слоя учащихся либо должны были равняться на этот средний уровень, либо искать свои пути становления. Фактически учитель поставлен перед необходимостью дифференциации обучения: либо дифференцировать учащихся на группы по обучаемости, либо дифференцировать учебный материал по целям и типам заданий, либо дифференцировать формы и методы работы с учениками.

Процесс обучения и усвоения знаний, тесно связанный с процессом развития учащихся, должен организовываться на основе индивидуального обучения. Индивидуализация же не может быть реализована иначе, чем через систему дифференциации обучения. Существуют различные подходы к пониманию дифференциации и индивидуализации обучения учащихся в средней школе, объясняющиеся тем, что указанные понятия были использованы разными авторами применительно к разным аспектам процесса обучения (целям и содержанию, формам и средствам обучения); следует различать понятия «дифференциация» и «индивидуализация»; каждое из этих двух понятий может быть рассмотрено с точки зрения целей, содержания образования и обучения, методов, форм и средств обучения.

Термин «дифференцированное обучение» пришел на смену термина «фуркация» в конце 50-х годов, чтобы подчеркнуть отличие фуркации в зарубежной школе от фуркации в старших классах нашей школы (Н.К. Гончаров, П. Руднев). Дифференцированным обучением был назван учебно-воспитательный процесс в старших классах, скомплектованных по направлениям и профилям производственной практики в соответствии с выраженными учащимися склонностями и интересами. Позднее под дифференцированным обучением, в частности, математике стали понимать обучение учащихся в классах с углубленным изучением ряда предметов.

В современной педагогической литературе имеются различные трактовки понятия «дифференцированное обучение», а именно:

- обучение учащихся в условиях учебно-воспитательного процесса, для которого характерен учет типичных индивидуальных различий учащихся;

- обучение, которое направлено на то, чтобы постоянно и постепенно поднимать слабых до уровня средних, средних - до уровня сильных, а сильным - давать задачи повышенной трудности, чтобы их мысль, их волевые усилия постоянно находились в активном состоянии;

- обучение, состоящее в том, чтобы, зная индивидуальные особенности каждого ученика… определить для него наиболее целесообразный и эффективный характер работы на уроке.

Под дифференцированным обучением мы будем понимать форму организации учебной деятельности школьников, обеспечивающую учителю специализацию учебного процесса для различных групп учащихся, созданных с учетом наличия у них общих качеств, существенных для учебной деятельности.

Таким образом, проблема дифференциации обучения имеет не только научное, но и важнейшее социально-практическое значение, поскольку через нее выказываются такие основополагающие особенности личности, как задатки, предпосылки и в конечном итоге способности, талант и одаренность каждого ученика.

В параграф 2.4. описывается «Методика выявления педагогических умений учителя, влияющих на математическое развитие». Стержневой основой построения педагогически эффективной системы мы считаем набор личностных характеристик школьника, на формирование которого должны быть направлены усилия всех действующих субъектов этого процесса и все используемые ими средства. Поэтому, важно оценить уровень владения учителем теми педагогическими умениями, сформированность которых является необходимым условием эффективности формирования этих подструктур личности школьника, а также уровень значимости каждого умения для успешного преподавания предмета и уровень затруднений учителя в их применении.

На первом этапе работы параллельно с изучением экспериментаторами возрастных и индивидуальных особенностей школьников проводилось создание возрастных педагогических моделей учащихся разных классов и анализ содержания учебного материала предметов, в них преподаваемых. То и другое осуществлялось методом экспертной оценки.

Исследование показало, что учителя довольно высоко оценивают почти всю совокупность предложенных им на выбор качеств, необходимость их наличия в структуре гармонически развитой личности школьника. Оценивая же возможности всего предмета в их формировании, они значительно этот набор ограничивают. Мы составили сводную таблицу совокупных возможностей разных предметов для формирования этого набора качеств. Оказалось, что одни качества могут успешно формироваться на материале практически всех учебных предметов, предоставляющих для этого самые широкие возможности, другие почти выпадают из поля зрения всего коллектива учителей, заранее закладывая основы деформированной, ущербной по отдельным параметрам личности. Это говорит о необходимости пересмотра подходов к отбору содержания учебного материала школьных предметов, основанных на худших традициях «бездетной педагогики» и не предоставляющих учителю возможностей для решения тех задач формирования личности, которые только опосредованно связаны с задачами накопления знания и отработки учебных умений.

Самооценка учителем уровня значимости ряда педагогических умений для успешности преподавания предмета и решения других задач, связанных с воспитанием и развитием школьника в процессе обучения, а также уровня их затруднений в использовании этих умений показала следующие результаты:

1. Ранжирование полученных оценок по уровню дефицита в сформированности соответствующих умений (уровню испытываемых затруднений) наиболее трудных для учителя математики показано в таблице №2. Всего было перечислено 46 умений.

2. В качестве наиболее трудных для учителя умений перечислены именно те факторы отрицательного влияния на эффективность обучения, которые косвенно влияют на математическое развитие школьника.

3. Длительность эффективной работы младшего школьника в условиях однообразной деятельности невелика. Дальше наступает утомление, резко снижающее продуктивность работы ребенка. Вместе с тем, если обеспечить возможности систематической смены видов деятельности ребенка через определенные промежутки времени, наступление стресса монотонно отодвигается или вообще предупреждается.

Таблица 2

Наименование умения	Уровень значимости	Уровень затруднений	Разница между уровнями
Умение формировать и вызывать познавательный интерес	9,5	3,75	5,75
Осуществлять индивидуальный и дифференцированный подход, оказывать индивидуальную помощь учащимся	9,75	3,5	6,25
Анализировать свою и ученическую деятельность	9,5	3,75	5,75
Осуществлять связь с жизнью, показывать практическую значимость изучаемого материала, опираться на жизненный опыт учащихся	8,75	2,5	6,25
Проводить сравнения и аналогии	8,75	3,0	5,75
Развивать творческие способности учащихся	10	3,75	6,25
Осуществлять межпредметные связи	8,95	3,75	5,2
Адаптировать материал к возрастным и индивидуальным возможностям ученика	9,4	4,1	5,3
Организовать самостоятельную работу школьников	9,8	3,6	6,2
Подключать родителей к решению педагогических задач	9,1	3,2	5,9
Снимать психологические барьеры неуверенности ученика, страха, отрицательного отношения к предмету или учителю	9,6	3,5	6,1
Умение ставить вопросы	9,1	3,8	5,3
Строить вопросы в систему	9,6	4,6	5

На втором этапе проводилась проверка эффективности предложенной системы коррекции педагогической системы в области педагогического мастерства преподавателей. Система корректирующей работы проводилась с педагогическими коллективами базовых школ. Повторное изучение состояния преподавания по окончании проделанной работы показало:

1. Устранение комплекса ошибок, отнесенных нами к тактическим (техника постановки вопросов и заданий, решение организационных вопросов, использование конкретных педагогических приемов и др.) может осуществляться без больших трудозатрат, за относительно небольшое время и сравнительно простыми способами. Эту задачу успешно решает комплекс действий, состоящих из четырех элементов: анализ допускаемых ошибок и их возможных последствий; информация о правильных способах действий и демонстрация образцов; простейшие тренировочные упражнения в действиях.

2. Устранение ошибок, условно отнесенных нами к стратегическим (определение комплексных целей урока; отбор материала, соответствующего поставленным целям и теме урока, выделение в нем главного; компоновка отобранного материала с учетом дидактических принципов; выбор оптимальных сочетаний форм и методов обучения и др.), требует длительного времени и расширения перечня возможных способов их устранения. Корректирующая система должна включать значительное количество вариативных практических работ по педагогическому конструированию уроков с предварительно заданными целевыми установками или требованиями, разработку и использование моделей-конструкций уроков разных типов. После их апробирования педагогическими коллективами они были широко внедрены в практику работы школ республики.

Большинство учителей школ в процессе обучения вводят понятия сразу (определение), в готовом виде, без предварительного разъяснения, сокращая путь формирования понятий (дедуктивный метод). Только некоторая часть учителей в процессе обучения вводят понятия поэтапно, при этом учащиеся, выполняя определенные задания, самостоятельно составляют определение этих понятий (Индуктивный метод).

В действительности на практике используются оба метода обучения - индуктивный и дедуктивный, в зависимости от темы и отводимых учебным планом часов, поэтому мы назовем их соответственно индуктивно-дедуктивный и дедуктивно-индуктивный. Распределение учащихся 4-х классов по уровням развития мышления на математическом материале (в процентах) показано в таблице 3.

Таблица 3 Э -эмпирический, А - аналитический, П - планирующий, Р - рефлексивный.

Группа (Применяемые методы в обучении математике)	Уровни математического мышления
	Э	А	П	Р
Х (Дедуктивно-индуктивный)	54	46	-	-
У (Индуктивно-дедуктивный)	3	73	24	-

Наиболее эффективным педагогическим условием, способствующим развитию математического мышления, является формирование у детей эмоционально-положительного отношения к предстоящей умственной деятельности посредством поэтапного введения математических понятий на основе индуктивно-дедуктивного метода, раскрытия логико-генетических структур математических понятий на языке мыслительных действий и операций.

Параграф 2.5. «Роль игровой деятельности в математическом развитии младшего школьника» раскрывает возможности динамических игр преследования в математическом развитии детей младшего школьного возраста. Если игровая деятельность является ведущей в дошкольном детстве, то она не может «внезапно» смениться учебной при поступлении в школу. Каждый новый вид деятельности должен быть «заложен» и подготовлен на предыдущем этапе. Значит, необходим качественный структурный анализ компонентов учебной и игровой деятельности, позволяющих реализовать преемственность в формировании и развитии условий «плавного перерастания» одного вида деятельности в другой.

Математический материал обладает наиболее значительным потенциалом для установления преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном возрасте. В нашем исследовании акцент сделан на развитии всех сквозных математических умений: умение строить идеальные объекты, умение оперировать идеальными объектами, умение моделировать, умение обосновывать, умение рассуждать и доказывать математические утверждения.

Динамические игры преследования (ДИП), основанные на близких детям сюжетах, моделирующие реальные или вымышленные процессы и явления, сочетающие простоту правил являются наиболее оптимальными средствами для использования в учебном процессе. Наиболее известна ДИП «Сонор», которая моделирует ситуации с одним «преследователем» и пятью «убегающими». Целью «убегающих», сосредоточенных в начале игры на одной стороне игрового поля, является достижение противоположной стороны, чему стремится препятствовать «преследователь». В случае поимки до пересечения игрового поля, результат пойманного «убегающего» оценивается в зависимости, в какой из трех основных зон игрового поля он пойман (правила игры разработаны Г.В. Томским в 1988 г.).

С помощью игры «Сонор» ребенок непринужденно в форме игры знакомится и овладевает основными математическими понятиями, как свойство предмета, число, состав числа, пространство, время, отсчет числа, порядковый счет и т.д. На базе ДИП разработаны логические и математические задачи разной степени трудности. Например, одним из понятий, вызывающих большие затруднения учеников не только в начальной школе, но и в старших классах является понятие пропорциональности.

Таким образом, использование ДИП способствует решению важной проблемы образования как установление преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка.

В параграфе 2.6 рассматриваются «стратегия и технология обучения математике младших школьников». В обучении наибольшую роль в образовательной среде играют следующие три основных компонента: содержание обучения; сам ученик, его личность, закономерности ее развития; все человеческое общество, с его историей, материальной и духовной культурой. Соответственно можно обозначить три основные взаимосогласованные стратегии обучения: стратегия отбора; стратегия длительного поэтапного обучения; стратегия обучения на социокультурном опыте.

Впервые эти три стратегии обучения были выделены профессором И.А. Кузьминым в программе «Социокультурные истоки» Тестов В.А. «Социокультурные истоки» в контексте развития новой образовательной парадигмы. Истоковедение. Том 7. - М., 2005. - 320 с..

В «Словаре современного русского языка» технология определяется как «совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искусстве». ЮНЕСКО дает такое определение: «Педагогическая технология (ПТ) - систематический метод планирования, применения и оценивания всего процесса обучения и усвоения знаний путем учета человеческих и технических ресурсов и взаимодействия между ними для достижения более эффективной формы образования» (1986).

Суть проектирования ПТ заключается в оптимизации временных и пространственных характеристик учебного процесса, в координации деятельности обучающих и обучаемых в пространстве и синхронизации во времени их действий, которые должны приводить к гарантированному результату.

Под технологией обучения математике в начальной школе будем понимать совокупность приемов деятельности учителя, направленных на реализацию той или иной модели уровневой дифференциации обучения.

Успешность функционирования технологии обучения, как способа передачи учебной информации, разработанного на основе технологических моделей, зависит от уровня: знаний, умений и интеллекта преподавателя; начальной информированности, подготовленности учащихся (качественного уровня их исходной базы знаний); информативности сообщения, его насыщенности. Все это в свою очередь предопределяется:

а) рейтингом класса (вектором оценок совокупного уровня развития математического мышления коллектива в целом и каждого обучаемого в отдельности);

б) исходным уровнем учебного сообщения, обеспечивающего превышение «порога» восприятия обучаемого.

Суть технологии обучения математике младших школьников состоит в следующем:

1. Изменение организации учебной деятельности учащихся на этапе изучения нового материала за счет использования возможностей каждой формы учебной деятельности. Выбор доминирующей формы учебной деятельности учащихся и соответствующего ей сочетания на рассматриваемом этапе урока осуществляется в зависимости от ряда условий согласно описанным в диссертации методикам выбора.

2. Организация учебной деятельности учащихся на этапе первичного применения знаний по каждой новой теме (независимо от выбора доминирующей на этапе изучения нового материала формы деятельности) в трех формах: Фронтальный - Групповой - Индивидуальный. Указанная взаимосвязь позволяет осуществить постепенный переход от несамостоятельной совместной деятельности учащихся с учителем - к самостоятельной коллективной деятельности учащихся в малой группе смешанного состава (звене) и затем - к самостоятельной индивидуальной деятельности каждого.

3. Изменение содержания и характера самостоятельных работ по теме, выполняемых учащимися на этапе формирования навыков и умений за счет реализации на данном этапе взаимосвязи дифференцированных и недифференцированных форм учебной деятельности.

4. Разнообразие форм и методов контроля знаний и умений. Однако итоговый контроль знаний и умений по теме (плановая контрольная работа) осуществляется только в индивидуальной форме.

5. Дифференциация домашних заданий по каждой новой теме за счет выполнения учащимися тематических дифференцированных заданий.

Системообразующими для нашей технологии является то, что если сообщаемая информация соответствует уровню знаний и умений обучаемых, а форма предъявления информации дает им возможность выбора точки зрения на предмет, то такая информация способна вызвать у обучаемых как определенные эмоции, так и интеллектуальную деятельностную активность

В третьей главе «Реализация теоретических основ математического развития младших школьников в учебной деятельности» параграфе 3.1 «Концепция математического развития ребенка младшего школьного возраста» сформулированы основные положения концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника (см. с. 13).

Результаты проведенных исследований говорят о том, что одно из главных требований к учебной деятельности - это опора на доминирующие индивидуально-типологические особенности мышления у ребенка. Поскольку учитель начальных классов в основном учит всем основным предметам, то именно он имеет большие возможности в полной мере выявить в ходе обучения чувства, интересы, мотивы, способности каждого ребенка в классе.

В параграфе 3.2 «Модель управления учебной деятельностью младших школьников на уроке математики» согласно требованиям нашей концепции математического развития младшего школьника, разработана модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

На основе этой модели нами в диссертации теоретически доказана возможность целенаправленного математического развития младших школьников в учебном процессе.

В параграфе 3.3 рассматриваются «Модели динамических игр преследования в математическом развитии младших школьников». Модель ДИП - это искусственная копия (схема) различных процессов преследования с помощью фигур (фишек), изображающих преследователей и убегающих.

С поступлением в школу детям приходится больше всего решать задачи с отвлеченными, абстрактными условиями, к которым они не всегда проявляют интерес, от чего существенно снижается их активность при решении этих задач. У них появляется мысль, будто бы задачи бывают практические (прикладные), т.е. нужные в жизни, и не практические (абстрактные, отвлеченные), которые никому, нигде и никогда не понадобятся. Для устранения таких ошибочных представлений целесообразно использовать любую возможность показа того, что абстрактная задача может быть связана с реальным миром, т.е. является математической моделью реального процесса или состояния.

С этой целью целесообразно рассматривать:

а) адекватные задачи ДИП (имеющие одну общую математическую модель) с разными сюжетами;

б) наполнение отвлеченной, абстрактной задачи практическим содержанием.

Под задачами ДИП мы понимаем задачи, поставленные вне математики и решаемые математическими средствами.

На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале, выявлены доминирующие индивидуально-типологических особенности мышления младших школьников, описанные моделях «направленности ума» В.А. Крутецкого и И.Я. Каплуновича. Формируются такие качества мышления как гибкость, глубина, критичность, обоснованность мышления.

Особенности мыслительной деятельности учащихся в процессе решения задач ДИП условно разделим на пять этапов.

1 этап. Изучение содержания задачи, выявление законов, лежащих в основе соотношений между содержащимися в ее условии понятиями из ранее усвоенного или реальной действительности.

2 этап. Производится выбор необходимого математического аппарата для перевода условий задачи с естественного языка на язык математики.

3 этап. При исследовании построенных математических конструкций и их решений на первое место выдвигаются умения, связанные с использованием логического аппарата математики.

4 этап. Полученные решения задач ДИП заставляют ребенка выйти из лабиринта математических конструкций и осмыслить степень их соответствия реальной действительности, что имеет большое значение в формировании мышления детей младшего возраста, позволяет понять универсальность математических методов, применяемых к решению задач из окружающей действительности.

5 этап. Большую роль в формировании мышления детей младшего возраста и осознания ими особенностей отражения математикой реальной действительности имеет работа по составлению простых задач ДИП на основе предложенной модели.

Возможности ДИП как средства математического развития младших школьников заключаются: в наглядно-образности и наглядно-действенности, которые являются необходимыми компонентами процесса усвоения знаний и умений; в самостоятельности ставить, принимать и решать игровые задачи; в творческом подходе к решению поставленных задач, развитии познавательных способностей, инициативе принятия решения; в применении алгоритмов и алгоритмических предписаний, при решении задач ДИП способствуют лучшему усвоению математических знаний, повышают культуру мышления; в формировании умственных действий, способности управлять собой в сложных ситуациях.

В параграфе 3.4 описывается «Методическое обеспечение математического развития младших школьников в учебной деятельности».

Задачи ДИП представляются нам комплексом, предполагающим моделирование основным способом деятельности, сама же деятельность ребенка направлена на формирование и развитие пространственного мышления посредством моделирования пространственных отношений различных типов.

На этой основе в содержательном плане у ребенка формируются геометрические представления. В то же время повышение уровня развития пространственного мышления младшего школьника будет стимулировать развитие математического мышления в целом. Усиление логической составляющей в системе логико-конструктивных заданий позволит интенсивно готовить «почву» для развития словесно-логического, понятийного мышления. Таким образом, задачи ДИП для начальных классов одновременно решают проблему организации математического развития ученика начальной школы и способствуют решению проблемы, связанной с изучением школьного курса геометрии. Это предположение подтверждает многолетняя работа большого количества учителей начальных классов по разработанным в ходе исследования материалам и проводящаяся в Республике Саха (Якутия) с 1991 года. Опыт 14 лет работы по экспериментальной проверке доступности и эффективности разработанных материалов показал, что дети из начальной школы прекрасно осваивают содержание, у них формируется высокий уровень представлений о геометрических фигурах, умение выделять их признаки, сравнивать, обобщать, классифицировать. Кроме того, дети в этих классах хорошо владеют чертежными инструментами (угольник, линейка, циркуль) и могут использовать их для решения задач на построение, хорошо справляются с чтением чертежа (в том числе три проекции объемного тела), обладают хорошо развитым пространственным воображением.

Уже сейчас становится ясным, что задачи ДИП открывают новые возможности в плане формирования знаний и умений младших школьников по математике, в плане развития геометрического пространственного мышления, логики, познавательной активности, интуиции и «математического чутья», что в свою очередь доказывает возможность управления процессом математического развития ребенка младшего школьного возраста средствами предмета «математика».

В параграфе 3.5 «Организация и результаты экспериментальной работы» представлены результаты опытно-экспериментальной работы.

В ходе поискового эксперимента был проведен анализ действующих учебников, учебных и дидактических пособий по математике с целью выяснения наличия в них задач прикладного характера, похожих по содержанию на задачи ДИП, методов их решения и влияния на формирование математического мышления учащихся.

В результате проведенного поискового этапа эксперимента было установлено, что: решение прикладных задач вызывает интерес учащихся, поскольку показывает, как применяется математика в разрешении проблем, возникающих в реальной действительности; учащиеся четко не представляют, из каких этапов состоит решение прикладных задач; учащиеся испытывают трудности на начальном этапе решения прикладной задачи, т.е. при составлении математической модели, и на завершающем этапе - интерпретации.

Нами выявлены причины затруднений учащихся при решении прикладных задач:

а) недостаточная сформированность ориентировочной основы действий по решению задач;

б) система задач, представленная в перечисленных выше учебных пособиях, не ориентирована на приложимость изучаемых математических фактов к решению задач реальной действительности, не способствует формированию специфических математических знаний и умений для решения прикладных задач, а следовательно, и развитию математического мышления.

Анализируя работу учителей начальных классов, мы пришли к выводу, что развитием мышления учащихся занимаются в основном эпизодически: не обеспечивается комплексная реализация основных психологических условий для развития мышления; не учитываются возможности содержания математики в плане познавательного интереса и не устанавливаются на этой основе взаимосвязи всех форм обучения математике; выбор методов обучения ведется интуитивно, без достаточного методологического обоснования и возможности развития мышления в каждой из форм обучения математике; в организации учебной деятельности по решению математических задач преобладает пассивная деятельность учащихся.

Основной недостаток школьного обучения математике заключается в формальном изучении материала без его направленности на математическое развитие каждого ребенка, без ориентации содержательной стороны на специфику и особенности возрастного развития ребенка.

Крен в начальном обучении математике сделан в сторону оперирования знаками и на усвоение через запоминание материала. Это служит источником формализма в знаниях учеников. Рассматриваемый возраст таков, что у учеников должно активно развиваться образное мышление и закладываться основы понятийного мышления, и если приучать их к формальному оперированию знаниями, то это нанесет большой вред дальнейшему становлению стиля мыслительной деятельности ребенка. В начальных классах преобладает деятельность учеников по применению изученных правил к выполнению операций. Ими выполняется большое число заданий. За формированием навыков теряется важная задача развития математического мышления учащихся.

Анализ материалов, полученных в констатирующих сериях опытов, показывает, что выделяется три уровня развития гибкости детского мышления. Выяснилось, что в каждой из обследуемых возрастных групп находились дети всех отмеченных уровней. Выявление этой связи опирается на умения оперировать понятиями множества. Вместе с тем растет число школьников, умеющих выделить, определить существенное, характеристическое, т.е. находящихся на третьем уровне развития гибкости. Итоги обследования по фронтальной методике на определение уровня развития математического мышления показали более высокие результаты в экспериментальных группах по сравнению с контрольными (таблица 4).

Таблица 4

Группы	Экспериментальные	Контрольные
1-й класс	30.4%	25.7%
2-й класс	50.3%	32.8%
3-й класс	64.9%	52.0%
4-й класс	70.4%	51.8%

Рост уровня развития математического мышления наблюдается и в тех, и других группах, но более активный «рост» - в экспериментальных группах. Содержанием проверки результатов экспериментального исследования было решение серий игровых математических задач испытуемыми. В процессе качественного анализа протоколов по методу констатирующего анализа выделены показатели математического мышления и уровни его проявления в экспериментальной и контрольной (группа из обычных классов) группах.

Результаты анализа протоколов тестирования школьников начальных классов из сельской местности выявили, что уровень развития математического мышления сельских детей существенно не отличается от их городских сверстников. Поэтому в таблице 5, показывающей уровень развития математического мышления, отражены общие результаты по городским и сельским группам.

Таблица 5

Показатели и уровни их проявления	Группа контрол. дошкол.	Группа эксперим. дошкол.	Группа контрол. мл.школ.	Группа эксперим. мл.школ.
Гибкость 1.	39.8	19.0	15.3	1.8
2.	49.5	52.5	73.2	62.5
3.	10.7	28.5	11.4	34.7
Глубина 1.	32.8	16.0	10.5	1.0
2.	46.1	53.6	42.9	40.9
3.	21.1	30.4	46.6	58.1
3. Обобщенность 1.	62.3	23.4	34.1	3.3
2.	28.9	47.6	51.4	53.3
3.	8.8	29.0	14.5	43.4
4. Самостоятельность 1.	45.2	24.0	47.1	28.3
2.	52.2	44.0	39.2	27.9
3.	4.6	32.0	13.7	43.8
5. Критичность 1.	49.7	15.7	33.7	16.4
2.	44.1	75.4	47.1	40.9
3.	6.2	8.9	19.3	42.7
6. Рациональность 1.	55.3	43.8	26.2	19.2
2.	38.3	47.7	58.5	37.4
3.	6.4	8.3	15.3	43.4
7. Пространственное воображение 1.	44.6	21.3	26.8	18.3
2.	49.1	51.6	58.0	40.5
3.	6.3	28.1	15.2	43.1
Логическое рассуждение 1.	57.9	23.4	45.2	4.5
2.	42.6	47.1	40.5	51.8
3.	11.5	29.5	14.3	43.7

Результаты проверочных заданий испытуемых выражены в уровневых оценках от 1 до 3 по каждому из этих показателей, презентующих качества мыслительных процессов структуры математического мышления. Для детей двух групп (экспериментальной и контрольной) было проведено 2 контрольных среза: 1-й - на начальном этапе обучения, 2-й - в конце обучения (11 лет). Необходимо было выяснить, как связано умение детей образовывать проблемные ситуации с гибкостью как свойством, проявляющимся в легкости перестройки способов действия. Для этого проведем статистическую обработку количественных данных по задачам контрольных тестов, полученных нами в начале и конце эксперимента.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

,

где, - знак суммы,

- отклонение от средней,

- средняя арифметическая оценок ответов детей, полученных нами в эксперименте по методике констатирующего эксперимента,

- отклонение от средней,

- средняя арифметическая оценка по методике изучения по компонентам математического мышления.

Для определения уровня значимости воспользуемся критерием Стьюдента:



Достаточно высокий коэффициент корреляции свидетельствует о наличии зависимости между уровнем развития показателей математического мышления и умением преобразовывать способы действия. Результаты исследования, раскрывающие возможность проявления показателей математического мышления в еще младшем школьном возрасте в процессе его становления, доказывают развитие вместе с формированием умственных действий.

В заключении подводятся итоги работы, выделяются основные результаты, приводятся данные, подтверждающие реализацию цели, задач, гипотезы исследования. В ходе проведенного педагогического исследования были получены следующие результаты:

1. Обобщены имеющиеся представления о мышлении «вообще», о математическом мышлении, об уровнях и стадиях развития математического мышления, о взаимосвязи понятий «учебная деятельность» и «развитие» младших школьников.

2. Дана характеристика понятия математическое развитие младших школьников в учебной деятельности, которая представляет собой целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности;

3. Установлена преемственная связь ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка средствами ДИП, путем перехода от игры к решению задач ДИП.

4. На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале: топологической, проективной, порядковой, метрической и алгебраической (композиционной), выявлены доминирующие индивидуально-типологические особенности мышления младших школьников, описанные в моделях «направленности ума».

5. Разработаны теоретико-методологические основания концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника, что помогает, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.

6. На основе разработанной концепции предложена модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющую учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

7. Выявлены новые методические особенности организации процесса математического развития младших школьников, ориентированного на формирование самоопределяющейся и самореализующейся личности, и основные этапы подготовки учителей к переходу на новую технологию обучения.

Выполненное исследование открывает возможность для дальнейшей разработки вопросов формирования и развития личности в процессе учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника. Проведенное теоретическое и опытно-экспериментальное исследование - лишь начало разработки поставленной проблемы и не охватывало всего круга вопросов, связанных с ее решением.

Перспективами дальнейшего исследования могут быть: в образовательной сфере более углубленное изучение феномена математического мышления и математических способностей, закладывающей основы развития и становления целостной личности; исследование проблемы интеграции математического мышления с другими компонентами мышления вообще; глубокое изучение содержания, структуры и механизмов мышления в традициях народной педагогики; разработка оптимальной технологии формирования целостной личности в процессе образовательно-познавательной деятельности.

Материалы диссертационного исследования изложены в 58 публикациях, в соавторстве - 16 публикаций. В т.ч. 2 монографии, 10 учебных пособий и методических указаний, 21 статей, 12 тезисов, общим объемом более 80 печатных листов.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора

Монографии

1. Голиков, А.И. Развитие математического мышления средствами динамических интеллектуальных игр преследования: монография / А.И.Голиков. - Новосибирск: Изд-во Наука, 2002. - 132 с. (8,25 п.л.).

2. Голиков, А.И. Теория и методика математического развития младших школьников в учебной деятельности: монография / А.И.Голиков. - М.: Изд-во Московского ун-ва, 2007. - 323 с. (20,18 п.л.).

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских исследований

3. Голиков, А.И. Теоретические подходы к феномену «Математическое мышление» / А.И.Голиков // Педагогика №7 - М.: 2007. - с. 22 - 32 (0,7 п.л.).

4. Голиков, А.И. Особенности ориентации будущего учителя математики на взаимодействие «учитель-родители» / А.И.Голиков // Вестник МГУ, серия 20, педагогическое образование №1 -М.: 2007. - с.90-93 (0,3 п.л.).

5. Голиков, А. И. Использование динамических игр преследования на уроках информатики и математики / А.И.Голиков // Информатика и образование №7 - М.: 2007. - с.99-100 (0,1 п.л.).

6. Голиков, А.И. Подготовка будущих учителей к использованию информационных технологий в общении с родителями / А.И. Голиков, П.А. Степанов // Информатика и образование №8 - М.: 2007. - с.127-128. (авторских - 1 с.; 0,1 п.л.).

7. Голиков, А.И. Преемственность ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном возрасте / А.И. Голиков // Начальная школа плюс До и После №12 - М.: 2007. - с.67-69 (0,2 п.л.).

8. Голиков, А.И. Психолого-педагогический аспект проблемы развития пространственных представлений учащихся / А.И. Голиков // Преподаватель 21 века №1 - М.: 2008. - (0,2 п.л.).

9. Голиков, А.И. Использование дедуктивного и индуктивного методов в процессе обучения математическим дисциплинам / А.И. Голиков // Вестник МГУ, серия 20, педагогическое образование №2 -М.: 2008.- с.56-59 (0,2 п.л.).

10. Голиков, А.И. Психолого-педагогический аспект проблемы изучения геометрии в общеобразовательной школе / А.И. Голиков // Сибирский педагогический журнал №1 - Новосибирск: 2008. - (0,4 п.л.).

11. Голиков, А.И. Использование информационных технологий в обучении математике в начальной школе / А.И. Голиков // Информатика и образование №4 - М.: 2008. - с.126-128. (0,2 п.л.).

Учебно-методические пособия и указания

12. Голиков, А.И. Студенческая традиция: Методические указания. / А.И. Голиков, В.В. Петров - Якутск: Изд-во «Полиграфист», 1992. - 56 с. (авторских - 28 с.; 1,8 п.л.).

13. Голиков, А.И.. О5о эйун кыра эрдэхтэн сайыннарыы. Развитие умственных способностей младших школьников: Учебно-методическая разработка на якутском языке. Пособие для воспит.,учит., студ. педагогич. профиля / Е.А. Барахсанова, А.И. Голиков, Т.Т. Саввинов - Якутск: НКИ «Бичик», 1993. - 72 с. (авторских - 24 с.; 1,8 п.л.).

14. Голиков, А.И. Фестиваль педагогических идей: Учебно-методическая разработка. Метод. помощь воспитателям / А.И. Голиков - Якутск: Изд-во ГНО, 1993. - 16 с. (1 п.л.).