16

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

РЕФЕРАТ

Самостоятельная работа учащихся по математике

Исполнитель:

Студентка группы М-33 ____________ Соловьева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Функции математических задач в обучении

2. Поиск решения текстовых задач и методика обучения учащихся их решению

2.1 Поиск решения текстовых задач

2.2 Методика обучения учащихся решению задач

3. Самостоятельная работа в учебном процессе

3.1 Сущность самостоятельной работы при обучении математике и её роль в учебном процессе

3.2 Виды самостоятельной работы и методика их проведения

4. Проблемное обучение

Заключение

Литература

Введение

Основными методами поиска решения задач являются анализ и синтез. Через анализ осуществляется целенаправленная актуализация знаний в связи с потребностью в них, определяется момент использования знаний, происходит их выбор и форма использования знаний.

При поиске решений текстовых задач с помощью уравнений используется анализ Евклида: искомая величина обозначается через , и на основе текста задачи выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено уравнение, связывающее искомую величину с данными величинами.

Поиск решения текстовых задач, решаемых арифметическими средствами, осуществляется с помощью анализа Паппа. Поиск решения таких задач начинают с вопроса задачи и определяют, какие величины надо знать, чтобы ответить на этот вопрос. Далее выясняют, являются ли эти величины известными. Если некоторые из них не даны в условии задачи, то ставится вопрос, как можно найти такие величины, что необходимо знать для этого. Подобные вопросы повторяют до тех пор, пока не обнаружится, что нахождение “промежуточных” неизвестных величин сводится к вычислению с данными величинами.

1. Функции математических задач в обучении

Задачи различают по своим функциям:

а) задачи с дидактическими функциями (вводные, тренировочные) предназначаются для обеспечения введения или закрепления изучаемых теоретических сведений;

б) задачи с познавательными функциями (теоретические, практические) содержат новую для учащихся учебную информацию. Они ориентированы на более глубокое усвоение основного материала школьного курса, в процессе их решения учащиеся знакомятся с новыми в познавательном отношении теоретическими сведениями: новыми понятиями, фактами, методами решения задач;

в) задачи с развивающими функциями имеют содержание, отступающее от основного курса, посильно осложняет вопросы программы: задачи на сообразительность, развитие числовой и геометрической интуиции, пространственного представления и воображения, логического мышления.

Например: упражнения при изучении понятия модуль числа в 6 классе.

1. Найдите модуль каждого из следующих чисел: 81; 1,3; -5,2; -1,5; 52; 0. Запишите соответствующие равенства.

2. Найдите значение выражения , если равно: -12,3; 12,3; -66; 83; 7,5.

3. Найдите расстояние от начала отсчёта до каждой из следующих точек: А(3,7); В(-7,8); С(-200); D(315,6); Е(0).

4. Найдите значение выражения:

а) , если =-64,1; =52,8;

б) , если =-54,5; =-7,6.

5. Найдите значение выражения:

а) ; б) в) г)

В этой системе первая задача имеет дидактическую функцию и направлена на первичное закрепление понятия модуля числа.

Задачи являются и средством обучения.

Например, возможны различные подходы к определению последовательности в изучении теоретического материала и решении задач:

1) изучается небольшой блок теоретического материала, затем решаются задачи, связанные с ним (традиционный подход);

2) ведётся “опережающее” изучение теоретического материала, после изучения крупного блока теории решаются задачи сразу по всему материалу этого блока;

3) ведётся “опережающее” решение задач (теоретический материал темы рассматривается вначале на ознакомительном уровне, теоремы пока не доказываются; после ознакомления с формулировками определений и теорем сразу переходят к решению задач; по мере приобретения навыков решения задач обращаются к изучению доказательств теорем теоретической части курса, причём многие из этих доказательств проводятся учащимися самостоятельно).

Различают стандартные, имеющие определённый алгоритм решения (алгоритмически разрешимые задачи) и нестандартные задачи, не имеющие общего алгоритма решения.

Нестандартные задачи имеют отчётливо выраженную развивающую функцию.

Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какими теоретическими знаниями обладают учащиеся к моменту её решения. Если учащимся известен алгоритм решения этой задачи, то её можно считать шаблонной.

Если к моменту решения стандартной задачи общий метод её решения неизвестен, то такая задача является нешаблонной (при её решении необходимо обнаружить общий метод решения или применить какой-либо искусственный приём).

Нестандартные и нешаблонные задачи объединяются в группу творческих задач.

Например: произведение трёхзначного числа а на 7 является кубом натурального числа, найти число а.

2. Поиск решения текстовых задач и методика обучения учащихся их решению

2.1 Поиск решения текстовых задач

Основными методами поиска решения задач являются анализ и синтез. Через анализ осуществляется целенаправленная актуализация знаний в связи с потребностью в них, определяется момент использования знаний, происходит их выбор и форма использования знаний.

При поиске решений текстовых задач с помощью уравнений используется анализ Евклида: искомая величина обозначается через , и на основе текста задачи выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено уравнение, связывающее искомую величину с данными величинами.

Поиск решения текстовых задач, решаемых арифметическими средствами, осуществляется с помощью анализа Паппа. Поиск решения таких задач начинают с вопроса задачи и определяют, какие величины надо знать, чтобы ответить на этот вопрос. Далее выясняют, являются ли эти величины известными. Если некоторые из них не даны в условии задачи, то ставится вопрос, как можно найти такие величины, что необходимо знать для этого. Подобные вопросы повторяют до тех пор, пока не обнаружится, что нахождение “промежуточных” неизвестных величин сводится к вычислению с данными величинами.

Задача: Теплоход прошёл 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Выяснению содержательной стороны задачи способствует вопрос: “Втекает река в озеро или вытекает из него? Нарисуйте схему движения теплохода”. Т.к. теплоход сначала плыл по озеру, а затем по течению реки, то река вытекает из озера. Известно ли время движения теплохода на всём пути? Из чего складывается это время? К составлению какого уравнения будем стремиться? Известно ли время движения теплохода на каждом из участков пути? Зная путь по озеру, можно ли выразить через время движения теплохода? Как выразить через время движения теплохода по реке? Из чего складывается скорость теплохода по течению реки? Что можно сказать о собственной скорости теплохода? Как выразить скорость движения теплохода по реке, если собственная скорость теплохода км/ч? Зная путь по реке, можно ли выразить через время движения? Какое равенство можно записать? (Проведён анализ Евклида).

Воспользуйтесь анализом Евклида для отыскания решений следующих текстовых задач:

1. На станции стояло два товарных состава. Число вагонов в первом составе в 1,5 раза меньше числа вагонов во втором составе. От первого состава отцепили 5 вагонов и прицепили их ко второму составу. После этого во втором составе вагонов стало в два раза больше, чем в первом. Сколько вагонов в каждом составе? (6 класс).

2. В одном баке 104 л бензина, а в другом 72 л. Из первого бака каждый час расходовали по 3 л бензина, а из второго - 5 л. Через сколько часов во втором баке останется бензина в 2,5 раза меньше, чем в первом? (6 класс).

Воспользуйтесь анализом Паппа при отыскании решения текстовой задачи: Пионеры прошли 75 км по местам боевой славы. В первый день они прошли этого расстояния, а во второй день - . Сколько км прошли пионеры за эти два дня? (5 класс).

2.2 Методика обучения учащихся решению задач

Существуют алгоритмы решения многих математических задач, точное выполнение которых приводит к решению любой задачи определённого класса (алгоритмы решения различных уравнений, неравенств, вычисления производных и интегралов и т.д.). Решение таких задач можно значительно облегчить, если проводить специальную работу по обучению учащихся алгоритмам решения задач.

Более интенсивному формированию вычислительных навыков учащихся помогает использование схем алгоритмов.

Ориентация в решении задач способствует ознакомлению учащихся с общими схемами решения задачи.

3. Самостоятельная работа в учебном процессе

3.1 Сущность самостоятельной работы при обучении математике и её роль в учебном процессе

“Самостоятельная работа учащихся, включаемая в процесс обучения, - это такая работа учащихся, которая выполняется без непосредственного участия учителя по его заданию в специально предоставленное для этого время. При этом учащиеся сознательно стремятся поставленной в задании цели, проявляя свои усилия и выражая в той или иной форме результаты своих умственных или физических (или тех и других вместе) действий,” - одно из возможных определений этого вида работы, предложенного Б.П.Есиповым в “Самостоятельная работа учащихся на уроке”.

Ядром самостоятельной работы П.И. Пидкосистый рассматривает задачу, которая служит началом самостоятельной деятельности ученика.

Для организации самостоятельной работы по математике необходимо понимание роли её структурных компонентов, которые определяются содержательной, процессуальной и мотивационной сторонами учебной познавательной деятельности учащихся.

Сущность:

1) без непосредственного участия учителя;

2) по его заданию;

3) предоставляется время для выполнения;

4) материал организован психологически и логически так, что позволяет вызвать и управлять познавательной деятельностью;

5) выполнение требует от учащихся усилия;

6) результаты оформляются (письменно, устно).

Роль самостоятельной работы в учебном процессе:

1) средство глубокого и прочного усвоения;

2) вырабатывает умения и навыки приобретения знаний из различных источников;

3) воспитание самостоятельности как черты характера:

а) самостоятельность мысли;

б) умение применять знания;

в) умение работать над формированием мировоззрения;

г) умение работать над самообразованием;

д) умение проявлять активность, инициативу.

3.2 Виды самостоятельной работы и методика их проведения

Наиболее часто встречаются в практике и теории обучения классификация самостоятельных работ:

1) по степени самостоятельности учащихся;

2) по степени индивидуализации;

3) по дидактическим целям;

4) по источнику знаний и т.д.

К классификации по степени самостоятельности относятся, например, виды самостоятельных работ, разработанные П.И.Пидкосистым:

1) воспроизводящие работы по образцу;

2) реконструктивно-вариативные;

3) эвристические;

4) творческие (исследовательские).

При выполнении самостоятельных работ по образцу познавательная деятельность ученика направлена на овладение способами работы, основными умениями для последующего применения в практике. Такие работы позволяют усвоить учебный материал, но не обогащают учеников опытом познавательной творческой деятельности.

Творческие работы при обучении математике - это такие работы, при выполнении которых ученик открывает новое для себя. Они служат формированию у учащихся интереса к предмету, воспитанию положительного отношения к учению, развития математического мышления. В ходе выполнения таких работ школьник учиться раскрывать для себя новые стороны изучаемых явлений, высказывает собственные суждения, на основе применения личного опыта и анализа исходных данных находит путь решения задачи, доказательства теорем, делает выводы.

К творческим работам относятся:

а) решение задачи и доказательство теоремы нестандартным, новым для ученика способом;

б) решение задач несколькими способами;

в) составление задач, примеров самими учениками;

г) математические сочинения и т.д.

Развитию творчества способствуют вариативные задания, которые содержат элементы творческой познавательной деятельности, требуют осуществления поиска, проявления более высокого уровня самостоятельности.

Например:

А) Вертолёт преодолел расстояние между городами в 510 км при попутном ветре за 3 часа, а при встречном ветре за 4 часа. Поставьте вопрос и решите задачу.

К этой задаче можно поставить два вопроса:

1) какова скорость ветра?

2) чему равна собственная скорость вертолёта?

Если к задаче поставлен второй вопрос, то задача может быть решена двумя способами:

I. 510 км : 3 ч = 170 км/ч - по ветру;

510 км : 4 ч = 127,5 км/ч - против ветра;

170 км/ч - 127,5 км/ч = 42,5 км/ч

42,5 км/ч : 2 = 21,25 км/ч

170 км/ч - 21,25 км/ч = 148,75 км/ч - собственная скорость.

II. Vвертолёта;

V= (км/ч),

т.к. Vвертолёта +Vветра, Vвертолёта - Vветра.

Б) Площади двух прямоугольников одинаковы. Длины сторон одного из них 16 и 9,6 см, а длина одной из сторон другого прямоугольника 12 см. Поставьте вопрос и решите задачу.

Творческие задания могут быть длительными по времени, например, математические сочинения, которые требуют от учащихся:

а) знания дополнительной литературы;

б) умения обобщить прочитанный материал;

в) владения определённым художественным вкусом при оформлении работы и т.д.

Например, в 5-6 классах можно предложить такие темы:

1) Простые числа;

2) Прямоугольники различного вида;

3) Где в жизни мы встречаемся с дробями;

4) Симметричные фигуры.

Для учащихся старших классов:

1) Уравнения и функции;

2) Способы решения квадратных уравнений;

3) Теорема Пифагора и способы её доказательства;

4) Развитие числа и т.д.

Методика проведения домашних сочинений по математике: для развития навыков самостоятельности в работе рекомендуется 1-2 раза в году предлагать учащимся написать домашнее сочинение (письменный зачёт) по математике на пройденную тему. Темы сочинений распределяются в шахматном порядке. Учащимся даётся план сочинения и примеры, которые надо решить. На написание сочинения рекомендуется давать не более двух недель. Написанное сочинение проверяется, и оценки выставляются в журнал.

Следует провести выборочный опрос учащихся по выполненным работам. Они должны устно ответить на некоторые вопросы по выбору учителя, решить один из примеров и построить некоторые графики из своего сочинения. Это способствует большей осознанности при выполнении работы.

Примеры см. в “Практикум по МПМ”, И.А.Новик, стр.146-147.

Остальные виды самостоятельной работы см. “Опорные конспекты”, стр.31-34.

4. Проблемное обучение

Под проблемным обучением понимают обучение, протекающее в виде снятия (разрешения) последовательно создаваемых в учебных целях проблемных ситуаций.

С точки зрения психологии - проблемная ситуация представляет собой более или менее явно осознанное затруднение, порождённое несоответствием между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи.

Осознание характера затруднения, недостаточности имеющихся знаний раскрывает пути его преодоления, состоящее в поиске новых знаний, новых способов действий, а поиск - компонент процесса творческого мышления. Без такого осознания не возникает потребности в поиске, а следовательно, нет и творческого мышления.

К признакам проблемы относятся:

а) порождение проблемной ситуации (в науке или процессе обучения);

б) определённая готовность или определённый интерес решающего к поиску решения;

в) возможность неоднозначности пути решения, обуславливающая наличие различных направлений поиска.

Они выражают отношение между задачей и теми, кому она предложена.

Например: при изучении трапеции в качестве проблемной задачи можно предложить открыть свойства её средней линии.

Проблемное обучение ориентировано на формирование и развитие способности к творческой деятельности и потребности в ней. Это достигается через систему проблем основных типов:

1) проблема математического описания, перевода на язык математических ситуаций, т.е. проблема построения математических моделей;

2) проблема исследования результата решения проблем первого типа, которая способствует развитию системы теоретических знаний путём включения в неё “маленьких теорий”;

3) проблема применения (переноса) новых теоретических знаний на изучение новых объектов.

Методы проблемного обучения

Полностью изложение курса школьной математики проблемным методом невозможно, поэтому его применение предполагается лишь к отдельным фрагментам курса: к решению задач, обобщению известных знаний. К методам проблемного обучения относятся:

I. Исследовательский метод: построение процесса обучения наподобие процесса научного исследования:

1) выявление неизвестных фактов, подлежащих исследованию;

2) уточнение и формулировка проблемы;

3) выдвижение гипотез;

4) составление плана исследования;

5) осуществление исследовательского плана;

6) исследование неизвестных фактов и их связей с другими;

7) проверка выдвинутых гипотез;

8) формулировка результата;

9) оценка значительности полученного нового знания и возможностей по применению.

Отличительные особенности:

а) учебная проблема представляет собой “переоткрытие” известной для науки истины;

б) стимулы у учащихся к проведению исследования организуются самим учителем, управляющим этим процессом в виде внутренних или внешних подсказок. Первые как-будто извлекают у учащихся их собственные мысли; вторые - оставляют учащимся лишь выполнение технической работы;

в) этот метод не универсален.

Например: изучение свойств средней линии трапеции.

1) Вспоминаются свойства средней линии треугольника.

2)

BM=MD; CN=ND; MN - средняя линия трапеции.

Как можно сформулировать определение средней линии трапеции?

3) Возникает проблема свойств средней линии трапеции.

Гипотеза:

а) параллельность средней линии трапеции основаниям (можно одному - достаточно);

б) второе свойство формулируется после подсказки учителя: каково это свойство у средней линии треугольника и “нельзя ли в трапеции образовать какие-нибудь треугольники, чтобы связать среднюю линию трапеции со средней линией треугольника?”

4) На каком основании вы утверждаете, что МК - средняя линия АВС, KN - средняя линия ACD? Что называется средней линией треугольника? Что же остаётся доказать, чтобы обосновать утверждение: МК - средняя линия АВС; KN - средняя линия ACD?

5) Для доказательства того факта, что АК=КС, воспользуемся методом от противного.

Что следует из предположения: АККС? Следует существование точки К такой, что А К= КС, после чего легко можно получить противоречие с условием (получаются две прямые, проходящие через точки М (N), параллельные ВС (AD)).

6) Продолжить исследование для установления характеристических свойств трапеции:

а) если отрезок, соединяющий середины двух противоположных параллельных сторон четырёхугольника, параллелен двум другим его сторонам, то этот четырёхугольник - трапеция;

б) если отрезок, соединяющий середины двух противоположных непараллельных сторон четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёх угольник есть трапеция.

Иногда изложение материала подсказывает возможность применения исследовательского метода: теорема о существовании окружности. Её изложение можно начать вопросом: “Вы знаете, что прямая определяется двумя точками. Сколько точек нужно задать, чтобы они определили окружность? ”, “Выясните, сколько окружностей можно провести через одну, две, три и т.д. число точек?”. После формулирования гипотезы, при дальнейшей работе последовательно решаются задачи построения окружности по одной, двум, трём и четырём точкам.

Проблемное обучение, осуществляемое с помощью системы задач, ориентированных на получение новых теоретических знаний, часто называют обучением через задачи.

II. Эвристический метод: предполагает изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся, который относится лишь к некоторым этапам процесса познания. Поэтому можно считать его частично исследовательским. При его применении учитель расчленят исследовательские задания на элементы, облегчая тем самым процесс самостоятельной творческой деятельности учащихся, и сокращает время на решение проблемной задачи.

Известной формой, в которой внешне проявляется эвристический метод, является эвристическая беседа. Взаимодействие вопросов учителя и ответов учащихся образует процесс познания. Каждый ответ - решение частной задачи или выполнение отдельного шага решения - ведёт к постановке нового вопроса. Своими вопросами учитель направляет мышление учащихся по определённому пути познания.

III. Если учитель не излагает готовые научные истины, а в какой-то мере воспроизводит путь открытия этих знаний, то такой метод называют проблемным изложением. Оно подготавливает базу для применения эвристического метода, а эвристический метод - для применения исследовательского метода.

Методы проблемного обучения формируют и развивают творческую и познавательную деятельность учащихся.

Заключение

С точки зрения психологии - проблемная ситуация представляет собой более или менее явно осознанное затруднение, порождённое несоответствием между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи.

Осознание характера затруднения, недостаточности имеющихся знаний раскрывает пути его преодоления, состоящее в поиске новых знаний, новых способов действий, а поиск - компонент процесса творческого мышления. Без такого осознания не возникает потребности в поиске, а следовательно, нет и творческого мышления.

К признакам проблемы относятся:

а) порождение проблемной ситуации (в науке или процессе обучения);

б) определённая готовность или определённый интерес решающего к поиску решения;

в) возможность неоднозначности пути решения, обуславливающая наличие различных направлений поиска.

Они выражают отношение между задачей и теми, кому она предложена.

Например: при изучении трапеции в качестве проблемной задачи можно предложить открыть свойства её средней линии.

Проблемное обучение ориентировано на формирование и развитие способности к творческой деятельности и потребности в ней. Это достигается через систему проблем основных типов:

1) проблема математического описания, перевода на язык математических ситуаций, т.е. проблема построения математических моделей;

2) проблема исследования результата решения проблем первого типа, которая способствует развитию системы теоретических знаний путём включения в неё “маленьких теорий”;

3) проблема применения (переноса) новых теоретических знаний на изучение новых объектов.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.