Формирование понятий о геометрических элементах у младших школьников

У. Какие же вы у меня молодцы, не дали себя перехитрить, заметили! Как же правильно нужно сказать?

Д. (хором). Круги и квадраты!

Сравнивая знакомые фигуры между собой, дети начинают осознавать, в чем заключается сходство и различие фигур. Так, они замечают, что в треугольнике меньше сторон и углов, чем в квадрате. Уже на этом этапе дети устанавливают связь между названием «треугольник» и числом углов в этой фигуре.

После установления связи между названием и числом углов треугольника необходимо продолжить эту линию и предложить детям дать другое название квадрату. Однако переключение со знакомого, привычного названия фигуры на новое может оказаться для учеников слишком трудным. В этом случае выйти на термин «четырехугольник» можно при рассмотрении произвольного четырехугольника, а затем подвести под этот термин и такие знакомые фигуры, как квадрат и прямоугольник.

Приведенная выше работа подготавливает почву для решения одного из важных аспектов решения второй задачи - формирования общего способа классификации многоугольников по числу углов. Предлагая регулярно для рассмотрения многоугольники с различным количеством углов, помогая детям найти их названия, учитель продвигает детей в осознании этого способа классификации.

Приведем соответствующий фрагмент урока.

Учитель. Как называется многоугольник, начерченный на доске?

Открыта небольшая часть доски с изображением произвольного треугольника.

Дети. Это треугольник.

У. Почему он так называется?

Д. Он так называется потому, что у него три угла.

- А еще у него три стороны.

У. Начертите в тетради любой треугольник.

Дети чертят в тетрадях разные треугольники.

- Поменяйтесь тетрадями и проверьте работы друг друга.

Дети выполняют проверку, ошибок нет ни у кого.

- А теперь посмотрите на новый чертеж на доске. Как бы вы назвали этот многоугольник?

Учитель открывает следующую часть доски.

Рисунок.

Произвольный выпуклый четырехугольник.

Д. Это, наверное, четырехугольник.

- Конечно, четырехугольник - у него ведь четыре угла!

- Я согласна с таким названием. У этого многоугольника четыре угла и четыре стороны, значит, это четырехугольник.

У. А теперь рассмотрите новый чертеж и назовите сначала номера всех треугольников, а потом всех четырехугольников.

Рисунок.

На чертеже 9 пронумерованных фигур, среди них 2 разных треугольника, 2 произвольных выпуклых четырехугольника, один невыпуклый четырехугольник, 2 прямоугольника, из них 1 квадрат, 1 пятиугольник и 1 шестиугольник. Все фигуры расположены вперемешку.

Дети выполняют задание достаточно успешно: номера треугольников все назвали верно, затруднения возникли только в работе с невыпуклым четырехугольником.

- Теперь рассмотрите внимательно те многоугольники, номера которых вы не назвали, и объясните, почему так получилось.

Д. У фигуры под номером 3 целых 6 углов и 6 сторон.

- А у восьмой фигуры - 5 углов и 5 сторон, это тоже не треугольник и не четырехугольник.

- Мы еще не назвали фигуру под номером 4. Я думаю, это вообще не многоугольник, а какая-то кривулька.

- Нет, я с Настей не согласен - ведь у фигуры есть и углы, и стороны. Это многоугольник, только необыкновенный.

- Я тоже думаю, что это многоугольник, и если посчитать его углы и стороны, то это четырехугольник.

У. Ребята, кто же прав?

Большая часть учеников, подумав, соглашается с тем, что это тоже четырехугольник. Но довольно большая группа с этим не согласна.

- Мы с вами еще не раз будем рассматривать такие фигуры, а сейчас подумайте, как вы назовете многоугольники под номерами 3 и 8.

Д. Многоугольник под номером 3 - это шестиугольник: у него 6 углов и 6 сторон.

- А многоугольник под номером 8 - пятиугольник, раз у него 5 углов и 5 сторон.

У. Молодцы, вы очень хорошо работали с многоугольниками.

Параллельно с этим происходит и подведение под общее понятие различных фигур, то есть установление связи род - вид. Основные линии этой работы можно проследить в приводимом ниже фрагменте урока.

На доске прикреплены плакаты с пятиугольником, четырехугольником и шестиугольником произвольной формы.

Учитель. Рассмотрите внимательно эти фигуры. Чем они похожи? Чем различаются?

Дети отмечают, что сходство в том, что все они составлены из отрезков и имеют углы. Отличаются же они количеством углов и отрезков. Сравнивая фигуры, дети свободно называют каждую из них - пятиугольник, четырехугольник, шестиугольник - и объясняют эти названия без побуждений со стороны учителя.

- Хорошо, вы все правильно сказали и многое заметили. А теперь я задам вам трудный вопрос: как можно назвать все эти фигуры одним общим словом?

Маша (очень неуверенно и после продолжительной паузы). Может быть, назвать их «угольники»? Ведь у них у всех есть углы.

У. Хорошо, Маша. Кто еще предложит свое название?

Дима. Я думаю, Маша правильно говорит. В названии обязательно должно быть «угольники», ведь все так называются - «треугольники», «четырехугольники» (голосом выделяет общую часть), только что-то нужно добавить. Я думаю, можно назвать «разноугольники».

У. Ребята, вам нравится Димино название?

Дети. Да, нравится, он правильно придумал.

У. Да, Дима, твое название хорошее, оно мне тоже очень нравится. А сейчас я вам скажу, как математики называют все эти фигуры, - это многоугольники.

Ира. А я слышала это слово! Мой брат, он в седьмом классе учится, все говорил - «многоугольники», «многоугольники», а я и не знала, что это такое.

У. Вот видите, какие вы уже большие и умные, только в первом классе учитесь - и тоже узнали, что такое многоугольники. А теперь подумайте, почему эти фигуры называют многоугольниками?

Алеша. Ну, наверно, потому, что у них много углов.

Юра. Разве четыре - много? Вот если сто, тогда много! Просто углов сколько угодно может быть, вот так и назвали, не придумали лучше. Дима лучше назвал! Вот и нужно этим математикам написать.

Миша. Мне тоже Димино название нравится, оно точнее.

У. Хорошо, мы можем написать письмо, но пока давайте называть фигуры так, как их называют в математике. Да и слово не такое уж неудачное, ведь здесь много - значит неизвестно сколько, но не один угол. Ведь и два по сравнению с одним - уже много, правда?

Затем учитель показывает различные фигуры, а дети устанавливают, относится ли каждая из них к многоугольникам или нет: среди фигур, кроме различных многоугольников, находятся круг, отрезок, угол, сектор. Ученики дают обоснованные ответы.

С первых уроков начинается знакомство с простейшими геометрическими фигурами - точкой и линией - на уровне наглядного восприятия моделей этих фигур как в виде изображения их на чертеже, так и в качестве элементов реальных объектов, окружающих детей.

Рассмотрим фрагмент урока в 1-м классе, посвященного знакомству с точками и линиями.

Учитель. Откройте свои маленькие тетрадки на чистой странице и возьмите простые карандаши. Прикоснитесь к бумаге карандашом. Кто скажет, что у вас получилось?

Дети. Я знаю, у меня получилась точечка!

- А у меня - маленькая закорючка, точка с хвостиком.

- Это неправильно, ты карандаш двигал, вот и получился хвостик.

- А называть надо не «точечка», а точка.

- Откуда ты знаешь, как нужно называть?

- Я от сестры слышала, у нее такой урок есть - геометрия.

У. Юля правильно говорит. Если вы только прикоснулись к бумаге карандашом, у вас получилась точка. Поставьте на листочке еще одну точку.

Дети ставят в тетрадях еще точки. Некоторые подзывают учительницу и просят разрешения поставить еще точку, так как вторая точка не получилась.

- А теперь сделайте так: поставьте точку и от нее двигайте карандаш туда, куда вам хочется.

Дети выполняют задание.

- Что у вас получилось теперь?

Д. У меня получилась полоска с точкой на конце.

- Это точка с хвостом.

- Мне кажется, это называется «линейка».

- Нет, линейка вот какая, а это, наверное, линия.

У. Молодец, Костя, ты правильно назвал получившиеся фигуры.

А теперь откройте учебник на странице 10 и найдите задание 9. Рассмотрите рисунок. Что на нем изображено?

Д. Здесь есть линии и точки.

- Одни точки на линиях, а другие - сами по себе.

У. Найдите на рисунке поставленные точки и обведите их.

Дети выполняют задание.

- Нарисуйте в строке клеток столько кругов, сколько нашли точек.

Дети работают самостоятельно.

- Кто сумел сосчитать точки?

Большая группа детей сосчитала точки и получила число 6. Но некоторые этого сделать не смогли и выполняли задание так: обводили точку и рисовали круг, затем обводили другую точку и рисовали второй круг и т.д.

- Найдите на рисунке линии и обведите их карандашом. Нарисуйте столько треугольников, сколько на рисунке линий.

Дети выполняют задание самостоятельно. Учитель проходит по рядам и проверяет правильность выполнения задания целиком.

Остановимся на особенностях изучения элементов геометрии в системе Л.В. Занкова.

Традиционно в школе изучение геометрии начинается с измерения геометрических величин. Это соответствует историческому ходу развития геометрии (об этом свидетельствует само название этой науки, которое в переводе с греческого обозначает «измерение земли»). Между тем психологи отмечают, что возраст младшего школьника наиболее благоприятен для развития пространственных представлений и пространственного мышления. Постижение геометрии у детей дошкольного и младшего школьного возраста идет в направлении от «геометрии формы» к «геометрии измерений», то есть от качественных операций по изучению формы предметов, их элементов, взаимного расположения, отношений и так далее к количественным операциям по измерению их характеристик.

Детям указанного возраста интересен объект как таковой, им необходимо выделить отдельный объект из окружающего мира, и осуществляют они это через выделение его контура. На младший школьный возраст приходится формирование проективных отношений - ребенку важен не только сам объект, но и его положение в окружающем мире, формирование отношений взаимного положения: «ближе - дальше», «за - перед», «видно - не видно», «вверху - внизу» и т.д. Формирование же метрических отношений приходится на возраст 10-14 лет. Из этого следует, что измерение геометрической фигуры должно предваряться работой, направленной на всестороннее ее изучение. Эта работа включает анализ элементов фигуры и их свойств, овладение способами графического построения и моделирования фигуры, разбиение ее на другие фигуры и осознание учащимися сущности ее измерения.

Именно такой подход в максимально возможной степени осуществляется в нашей системе и является первой особенностью изучения рассматриваемой темы.

На протяжении всего обучения в начальной школе дети занимаются сравнением и выявлением свойств различных плоскостных и объемных геометрических фигур, связей между ними, их классификацией. Такой подход к изучению материала способствует сознательному овладению знаниями и продвижению детей в развитии.

Первое задание, относящееся к этой теме, - задание 9 (1 кл., ч. 1), разобранное выше, в котором нужно выделить модели точек и линий в разные группы. Уже при его выполнении дети сталкиваются с различным расположением точек и линий, но осознанию этого положения посвящено задание 24 (1 кл., ч. 1).

№ 24. Точка А лежит на линии. Что ты можешь сказать о точке О?

Рисунок.

Произвольная кривая, на которой отмечена точка А. Под линией отмечена точка О.

Отметь еще 3 точки, которые лежат на этой линии, и 5 точек, которые на ней не лежат.

Подумай, сколько еще точек можно отметить на этой линии.

Затем дети начинают знакомиться с различными видами линий - прямой и кривой, учатся различать их, на доступном для них уровне знакомятся с основным свойством прямой - ее бесконечностью. Этому посвящены задания из учебника для 1-го класса № 31, 37, 43 (ч. 1).

№ 31. Найди на чертеже похожие линии. Обведи линии каждой группы одним цветом. Для линий разных групп используй разные цвета.

Рисунок.

Шесть прямых и кривых линий, расположенных вперемешку и по-разному на плоскости.

№ 37. Рассмотри линии. В математике их называют прямые.

Рисунок.

Пять прямых линий, расположенных по-разному на плоскости.

Прямые чертят с помощью линейки.

Дано изображение линейки без делений.

Посмотри на с. 3, как это делают.

На с. 3 даны изображения правильного письма, черчения, рисования.

Начерти несколько прямых.

№ 43. На каждой прямой линии поставь точку.

Рисунок.

Семь прямых и кривых линий, расположенных вперемешку и в разных позициях.

Как бы ты назвал линии, на которых ты не ставил точки?

В математике эти линии называются кривые.

Тебе нравится это название? Почему их так назвали?

Начерти несколько прямых и кривых линий. Прямые черти красным карандашом, кривые - простым.

Чтобы ученики представили себе такое понятие, как бесконечность прямой, мы предлагаем сначала использовать такую практическую работу: как можно более длинные, толстые и яркие нитки наматывают примерно поровну на 2 катушки. Таких пар катушек нужно заготовить вдвое меньше, чем учеников в классе. Дети выходят в коридор или на пришкольный участок, делятся на пары. Учитель дает каждой паре один из заготовленных комплектов, каждый ученик берет одну катушку, и пары становятся лицом друг к другу, туго натягивая разделяющую их часть нитки. По команде учителя пары начинают медленно расходиться в противоположные стороны, разматывая натянутую нитку.

Если у кого-то из детей кончается нитка, но есть место для продолжения движения, можно привязать дополнительный кусок нитки, но можно этого и не делать.

После завершения практической работы необходимо обсудить с детьми причины, по которым им пришлось остановиться, и что можно было сделать, чтобы продолжить движение. Таких причин две:

- закончилась нитка, и в этом случае поможет увеличение длины нитки;

- нет возможности двигаться дальше, так как на пути возникло препятствие, и в этом случае нужно представить, что препятствие убрано с пути каким-либо способом.

Возможной модификацией проведения такой работы является использование одного комплекта катушек с намотанной нитью. В этом случае работу выполняют два ученика, остальные только наблюдают за ними. В процессе деятельности учитель задает следующие вопросы: какая получилась линия? Можно ее продолжить? Как это сделать? Дети с катушками расходятся до тех пор, пока не дойдут до стен класса. Можно вывести детей в коридор и там продолжить разматывание нити.

Такой вариант работы значительно легче организовать, но он менее эффективен как с точки зрения возможности «пощупать» проблему своими руками, что очень важно для первоклассников, так и с точки зрения организации возможности двигаться в течение урока.

В качестве следующего шага можно использовать такой прием: на доске чертится часть прямой. Учитель спрашивает, можно ли эту прямую продолжить, сделать длиннее. Возможно, дети сразу догадаются, что можно. Если такой ответ получен, нужно предложить рассказать, как это можно сделать (приложить линейку к части начерченной линии и начертить дальше). Учитель выполняет эту операцию и спрашивает, можно ли еще продолжить эту прямую. Постепенно прямая продолжается до краев доски. А дальше можно? Очевидно, дети скажут, что дальше чертить нельзя. На этом этапе устанавливается, что причина не в том, что прямая не может продолжаться, а в том, что кончилась доска. Дальше учитель предлагает детям представить, какой длины можно было бы начертить прямую, если ее чертить не на доске, а на стене, на полу класса, в коридоре, на земле во дворе и т.д. Так постепенно у учащихся формируется понимание возможности неограниченного продолжения прямой.

После знакомства с прямой рассматривают фигуры, которые являются ее частями: луч и отрезок. Прямую, луч и отрезок сравнивают между собой, устанавливают отличие луча от отрезка и от прямой. При знакомстве с отрезком основное внимание уделяется его ограниченности с двух сторон, а луча - с одной стороны.

Можно использовать такой вариант знакомства с отрезком: на доске изображаются две точки. Затем формулируется задание: соединить точки линией. Учитель не должен торопиться с разъяснениями - нужно предоставить ученикам время для самостоятельного выполнения задания. Только после этого несколько учеников показывают на доске свои решения, используя одну и ту же пару точек. На доске получается чертеж, на котором две точки соединены несколькими разными линиями. Очень важно так подобрать решения детей, чтобы были выявлены все допущенные ошибки (например, вместо того чтобы соединить точки линией, ученик проводит линию через две точки, то есть концы линии не находятся в данных точках) и были представлены все принципиально разные варианты решений. Если среди них будет отрезок, учителю останется только сконцентрировать внимание учеников на этом решении, выделив его среди других, что нетрудно сделать, так как все остальные решения, очевидно, будут кривыми линиями. Кроме того, дети легко заметят, что эта линия является самой короткой. Если среди предложенных детьми решений отрезка не окажется, учитель предлагает выполнить задание № 86.

№ 86. Соедини точки при помощи линейки.

Рисунок.

Две точки на некотором расстоянии друг от друга.

У тебя получился отрезок.

Научись правильно чертить отрезки.

Рисунок.

Четыре листа бумаги в ряд. На первом изображена точка и рука ребенка с карандашом ставит вторую точку. На втором к тем же точкам приложена линейка без делений. На третьем одна рука прижимает линейку, другая ведет вдоль нее карандаш. На четвертом - повторение третьего рисунка, но карандаш стоит во второй точке.

Начерти несколько отрезков.

Затем сравнивают отрезок и прямую и устанавливают ограниченность отрезка. Отрезок имеет два конца (могут быть использованы и названия начало и конец отрезка).

Знакомство с лучом происходит при выполнении задания № 100.

№ 100. Сравни линии. Чем они похожи? Чем отличаются?

Рисунок.

На рисунке прямая, отрезок и луч.

Названия каких из этих линий ты знаешь? Обведи их зеленым карандашом.

Линия на этом рисунке называется луч.

Рисунок.

Произвольно расположенный луч.

Найди на верхнем рисунке луч, обведи его красным карандашом.

Объясни, чем луч отличается от прямой. А от отрезка?

Начерти два луча.

Дальнейшее продвижение в знакомстве с геометрическим материалом тесно связано с взаимным расположением различных линий, особенно прямых, лучей и отрезков, что приводит к знакомству с различными новыми геометрическими фигурами (углами, ломаными линиями, многоугольниками и т.д.).

Весь остальной геометрический материал изучается аналогично, начиная с основополагающего понятия и постепенно расширяя и углубляя тему. Такое построение материала является второй особенностью изучения элементов геометрии, хотя относится не только к нему.

Одним из важных направлений изучения элементов геометрии в начальной школе, начиная с 1-го класса, является работа с объемными телами (как в виде реальных предметов, окружающих учеников в трехмерном пространстве, в котором они существуют, так и в виде моделей пространственных фигур - цилиндра, конуса, шара, призмы, пирамиды).

В настоящее время многие авторы учебников математики как для начальной, так и для основной школы активно вводят работу с объемными фигурами в курс математики. Создаются и специальные пособия по геометрии для 2-6-х классов, в которых уделяется большое внимание этому материалу. Это, очевидно, продиктовано одной общей причиной - осознанием того парадоксального положения, что, существуя реально в трехмерном пространстве, ученики на протяжении первых девяти лет обучения в школе на уроках математики «живут» в двухмерном пространстве (на плоскости), теряя способность к пространственному воображению и мышлению, что создает для большинства из них непреодолимые препятствия при изучении курса стереометрии в старших классах.

Мы также считаем такое положение недопустимым, но в большинстве таких пособий есть существенный недостаток - они начинают знакомство с объемными телами с рассмотрения их изображений на рисунках, что ставит детей в ситуацию, когда основное качество таких объектов - невозможность их размещения в плоскости - явно противоречит тому, что видит ребенок.

В рамках предлагаемого курса первые два года обучения младшие школьники работают только с реальными объемными предметами и моделями основных объемных фигур - шарами, цилиндрами, конусами, призмами и пирамидами. Поэтому в учебнике для 1-го класса и в комплекте для 2-го класса отсутствуют задания, связанные с изучением этого материала. Такой подход является особенностью работы с геометрическим материалом в нашей системе.

При изучении темы в 1-м классе работа ведется в следующих направлениях:

- сравнение различных реальных предметов и выделение групп предметов, сходных по форме. Например, может быть предложен такой набор: мяч, банка, круглый карандаш, яблоко, кусок трубы, круглый воздушный шар. Их нужно разделить на две группы по какому-либо признаку. Среди предложенных решений (а их может быть много, так как дети могут ориентироваться на разные признаки - размер, массу, цвет, прозрачность и т.д.) учитель обращает особое внимание учеников на вариант, когда предметы объединены по форме. Такое предпочтение легко может быть оправдано тем, что при занятиях геометрией всегда большое внимание уделяется именно форме рассматриваемых фигур;

- подбор других подходящих по форме предметов к выделенным группам. Эта часть работы может происходить в классе с реальным набором предметов или с их названиями, либо может быть дана в качестве домашнего поручения - найти подходящие по форме предметы среди игрушек или предметов домашнего обихода;

- сравнение выделенных по сходству формы предметов с моделями объемных геометрических фигур и выбор соответствующих моделей, знакомство с названиями выбранных моделей. Так, в результате выполнения задания, приведенного выше, дети выделят две группы вещей, сходных по форме: мяч, яблоко и воздушный шар; банка, карандаш, труба. Учитель показывает несколько моделей - конус, шар, призму, цилиндр - и предлагает выбрать те, которые по форме больше всего подходят к выделенным группам. Очевидно, дети без труда идентифицируют с ними шар и цилиндр, после чего вводятся названия соответствующих геометрических фигур - шар, цилиндр. Как и всегда, прежде чем сообщить названия выбранных моделей, необходимо поинтересоваться, не знает ли их кто-нибудь из учеников. Если окажется, что это так, то названия (или одно из них) сообщает не учитель, а дети;

- выделение знакомых плоскостных фигур на поверхности объемных. Это направление позволит связать в единое целое объемные и плоскостные фигуры, где плоскостные фигуры выступят в своей естественной для трехмерного пространства роли - части объемного тела (например, круг выступит как часть поверхности конуса или цилиндра, прямоугольник - как часть поверхности призмы, треугольник - пирамиды и т.д.);

- выделение из реальных предметов сложной формы частей, имеющих форму шара, цилиндра, конуса, призмы, пирамиды;

- создание моделей объемных фигур из пластилина и композиций из этих моделей. Это направление может осуществляться не только на уроках математики, трудового обучения, но и дома.

Желательно, чтобы для создания сложных композиций моделей дети объединялись в группы. Это позволит по-разному организовать работу начиная с варианта, когда у учеников уже есть готовые вылепленные модели и группа придумывает возможную для этого набора композицию, и заканчивая случаем, когда сначала группа придумывает композицию, определяет, какие, сколько и какого размера нужно вылепить модели для ее осуществления, распределяет их изготовление между участниками и создает задуманную композицию (к последней, сложной, форме сотрудничества ученики, очевидно, придут не в 1-м, а в последующих классах. Во 2-м классе продолжаются все начатые в 1-м направления работы с объемными телами, но постепенно происходит расширение в сторону детального рассмотрения моделей пространственных фигур. В процессе изучения дети знакомятся с понятиями «основание», «ребро», «вершина», «грань», «поверхность», «боковая поверхность».

В 3-м и 4-м классах дети знакомятся с различными приемами изображения на плоскости объемных предметов, создающих иллюзию объемности. Через систему заданий дети самостоятельно подходят к выводу о том, что для этого используют художники, графики, чертежники. Художники-живописцы используют для этого игру светотени или перспективу, графики - искривление линий, чертежники - ортогональную проекцию.

Помимо этих приемов, дети знакомятся с изображением трех видов объекта (спереди, сверху, сбоку). Этот способ особенно важен для развития пространственного воображения.

Новое направление в рассмотрении объемных фигур - сравнение моделей различных наименований. Весь данный материал изучается на ознакомительном уровне. Например, сравнивая модели шара, цилиндра, конуса, дети отмечают, что общее для них - это способность к качению (катится). Различие в том, что шар катится произвольно, цилиндр - по прямой, конус - по кругу, в центре которого находится его вершина. Различия этих тел также в том, что у шара нет ни вершин, ни оснований, у цилиндра - два основания, но нет вершин, у конуса - одно основание и одна вершина. Аналогично рассматриваются и сравниваются призма и пирамида, цилиндр и призма, пирамида и конус и т.д.

Вариантом такой работы является сравнение объемных фигур одного наименования. Например, детям предлагается сравнить несколько разных призм. При выполнении задания выявляются признаки сходства и различия.

Признаки сходства: все призмы имеют два основания-многоугольника, ребра и вершины, боковые грани у них - прямоугольники (в начальной школе мы рассматриваем только прямые призмы).

Признаки различия: основаниями являются разные многоугольники, число вершин и ребер различное, длины ребер разные.

Можно предложить ученикам найти призмы, имеющие только один или другое число признаков различия и обсудить, почему это так.

Глава II. Формирование понятий о геометрических элементах младших школьников

Одной из важнейших задач, стоящей перед современной школой, является обеспечение умственного развития учащихся на основе целенаправленного формирования творческого воображения. Развитие воображения не только способствует усвоению школьниками системы знаний* но и играет важную роль в формировании мышления детей и к воспитания у них многих ценных качеств личности.

Среди различного вида представлений и воображения особое место занимают образы пространственных представлений и воображения, связанных с восприятием пространственных форм действительности. Работа по развитию пространственных представлений и воображения школьников отвечает задаче гармоничного развития личности, способствует подготовке учащихся к творческой деятельности в различных областях науки, техники и производства. Кроме того, овладение пространственными представлениями является необходимым условием и опорой усвоения учебного материала, развития у учащихся познавательных способностей и формирования у них мировоззрения.

Формируются пространственные представления при изучении различных учебных предметов, в процессе разнообразной деятельности, однако ведущая роль в их формировании принадлежит геометрии.

Особенности геометрии как учебного предмета, усвоения знаний о | пространстве учащимися младшего школьного возраста обуславливает необходимость тесной взаимосвязи изучения геометрического материала в начальных классах и развития у учащихся пространственных представлений и воображения. Однако вопрос о начальном обучении геометрии до настоящего времени остается спорным, ведутся дискуссии о содержании и последовательности изучения геометрического материала.

Объем геометрического материала, предлагаемый для изучения в 1-4 классах, столь незначителен, что он не может оказывать серьезного влияния на развитие пространственных представлений и воображения учащихся. Об этом свидетельствует уже тот факт, что ныне действующая программа предусматривает для знакомства учащихся первого класса геометрический материал в меньшем объеме и менее трудный, чем тот, с которым знакомятся дети в детских садах на 5-м году жизни. Развитие пространственных представлений, формирование геометрических понятий, приобретение учащимися» начальных классов элементарных умений и навыков в черчении и измерении носят, в основном, случайный характер, так как школа не обеспечивает в достаточной мере целенаправленного руководства этим процессом. В программах и учебниках по математике, если говорить о геометрическом материале, не в полной мере учитываются умственное развитие ребенка, его возрастные особенности, его интерес к геометрической* деятельности в этом возрасте, «богатый геометрический опыт детей» (И.Ф. Шарыгин).

Недооценка возможностей усвоения геометрического материала учащимися младшего школьного возраста обуславливает и неоправданно низкие требования к отбору его содержания.

Так, лишь в 4 классе учащиеся знакомятся с фигурами трех измерений. Это снижает уровень обучения геометрии в целом, так как учащиеся лишаются возможности использовать предметы реального мира, в кoтoром они живут, учатся и творят, для формирования у них правильных пространственных представлений. А усвоение геометрических понятий в 4 старших классах без прочного фундамента развития пространственных представлений и воображения учащихся в начальных классах будет формальным и непрочным.

Психолого-педагогические основы формирования пространственных представлений и воображения раскрываются в исследованиях Б.Г. Ананьева, Е.Н. Кабановой-Меллер, Б.Ф. Ломова, Ж. Пиаже, И.А. Каплунович, И.С. Якиманской, Ф.Н. Шемякина, Л.А. Шифман и др.

Выявлению особенностей восприятия пространства и формирования пространственных представлений при изучении различных учебных предметов в начальных классах посвящены исследования: О.И. Галкиной (рисования), М.Д. Гузевой (труда), Л.А. Кладницкой (физкультуры), B.C. Кузина (изобразительного искусства), Н.Ф. Титовой (чтения), И.С. Якиманской (геометрического материала) и др.

В многочисленных методических исследованиях, посвященных проблеме формирования пространственных представлений и воображения у младших школьников, рассматриваются как содержательные, так и процессуальные аспекты их обучения элементам геометрии (A.M. Пышкало, В.А. Гусев, С.Л. Альперович, И.И. Барбул, М.В. Богданович, До Чунг Хиеу, Е.В. Знаменский, Ф.Н. Ибрагимов, Н.Д. Мацько, Т.Я. Нестеренко, М.В. Пидручная, Д.М. Нурмагомедов, И.А. Кочеткова, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др.)

Однако, проведенные исследования в основном направлены на формирование двумерных пространственных представлений. Основное внимание из структуры пространственных представлений уделяется формированию представлений о форме и величине. Недостаточно уделяется внимания другим важным направлениям, связанных с развитием пространственных представлений и воображения на основе пространственной размещенности объектов, усвоения определенных отношений и ориентировочных действий в реальном окружающем пространстве. Наблюдается отсутствие системного подхода к организации процесса формирования пространственных представлений и воображения. Это противоречит установленным в психологических У исследованиях положениям о системности механизма восприятия пространства, формирования пространственных представлений и воображения (Б.Г. Ананьев, С.Л. Рубинштейн, Ж Пиаже, И.С. Якиманская и др.).

Эти исследования не оказали существенного влияния и на практику изучения геометрического материала в начальных классах. Напротив, в последние годы наблюдается тенденция уменьшения без того незначительного внимания к этой работе, отсутствие целенаправленного отбора материала, способствующего формированию пространственных представлений и воображения, сравнительная бедность этого материала не только в количественном, но и качественном отношении, что не могло не оказать отрицательного влияния как на развитие младших школьников, так и на их подготовленность к изучению систематического курса геометрии.

Содержательный геометрический материал в курсе математики начальных классов, несмотря на разнообразие существующих сегодня систем обучения, практически отсутствует. Обучение элементам геометрии в начальной школе сводится, как правило, к ознакомлению с простейшими плоскими фигурами и измерению геометрических величин инструментальными средствами.

Но математика едина, а геометрия составляет ее органическую часть. Ослабление геометрической подготовки в общеобразовательной школе не только разрывает эту органическую связь, но и делает проблематичным ознакомление школьников с математическими методами познания реальности, затрудняет решение важнейшей задачи общего математического образования - формирование культуры мышления.

С момента организации первых школ в России начальное обучение геометрии неизменно включается в учебные планы элементарных школ. Необходимость начального обучения геометрии в этих школах была общепризнанной, и споров вокруг этого вопроса не возникало.

Основной целью курсов, предназначенных для этих школ, было привитие учащимся умений и навыков в приложении геометрических знаний к решению практических задач, так как после окончания элементарной школы учащиеся должны были включиться в производственную деятельность в той или иной отрасли хозяйства.

Курс начального обучения геометрии излагается во многих работах, предназначенных для элементарных школ. Первой такой работой в России является «Краткое руководство по геометрии» М.Е. Головина, написанное им по поручению «Комиссии об учреждении училищ», созданной в 1782г.

Одной из основных научно-методических проблем XVIII века являлась проблема создания учебных руководств нового типа по всем разделам математики, соответствующих новым требованиям жизни, достижениям науки и техники, научно-методическим достижениям. В их создании приняли участие крупнейшие математики мира (Л. Эйлер, А.К. Клеро, A.M. Лежандр и др.). Был сделан переход от полуэнциклопедических изданий к специальным учебникам по отдельным разделам школьного курса математики. Их отличительной особенностью являлось: систематичность расположения материала в соответствии с логикой предмета, ясность изложения, простота и доступность языка учебника, обоснованность выводов. Большое внимание в этих учебниках уделялось вопросам применения теории к решению практических задач.

В дальнейшем потребности практики вызвали необходимость реформы системы народного образования в России, в том числе математического образования.

Со второй четверти XIX века началась интенсивная разработка методических вопросов, в которой большую роль сыграли университетские преподаватели (Н.И. Лобачевский, Д.С. Чижов и др.). Ими были составлены инструкции для средней школы, где излагались правила и приемы, которыми должны руководствоваться учителя школ при изучении геометрического материала. Эти документы сыграли определенную роль, но все же, в основном, оставались в рамках установившихся методических традиций.

Инициатива создания учебника геометрии принадлежит академику С.Е. Гурьеву. Для преподавания геометрии СЕ. Гурьев составил свой собственный, оригинальный план. По этому плану учащиеся вначале должны были пройти подготовительный курс «детской арифметики и геометрии»: начальные правила арифметики, черчения простейших фигур, склеивания бумажных моделей. После этого приступить к изучению геометрии, а затем арифметики.

В своем «Рассуждении о математике и ее отраслях», С.Е. Гурьев рисовал следующий план системы изучения математических наук. Из действия тел на наши чувства мы видим, что первыми свойствами тел являются «протяжность и движимость, исследование которых и должно быть первым учением человека» [62, С.38]. Поэтому первое место среди разделов математики занимает геометрия. Процесс отвлечения приводит далее к науке исчисления с ее ответвлениями.

По инициативе С.Е Гурьева была создана в начале XIX столетия комиссия при морском корпусе, ставившая себе целью - найти наиболее рациональные методы обучения математике и, в частности, геометрии.

В 1798 году издается трактат С.Е. Гурьева по методике математики «с опытом усовершенствования элементов геометрии». В этом трактате есть указания и о «детской геометрии», содержащей «.правила для черчения геометрических фигур и составления из бумаги геометрических тел» [62]. «Молодые люди, - замечает Гурьев, - сделав из сего для себя род забавы, нечувствительным образом подготовляются к слушанию и удоборазумению настоящих элементов геометрии, как объясняющих сопряжения и оттуда происходящие свойства знакомых им предметов» [2, С.38]. Как видим, С.Е. Гурьев в качестве пропедевтики вводит курс детской геометрии, преследовавший цель скорее развить в учащихся конструкторские способности, чем дать основные геометрические понятия.

По плану, предложенному академиком С.Е. Гурьевым, изучение геометрии предшествует изучению арифметики. Такой план был принят в американских школах в начале XX века. Однако, в российских средних школах эти мысли академика не нашли своего отражения [8, С.34]. Догматические методы преподавания, характерные для школы XVIII века, стали постепенно уступать место методам индуктивным, эвристическим. С появлением учебника геометрии А.П. Киселева (1893г.), ставшего надолго классическим, потребность в пропедевтическом курсе наглядной (доступной всем) геометрии стала актуальной. Актуальность такого курса поддерживалась также планируемыми уже с начала XX века (и законодательно оформленными в 1911 г. в Государственной Думе) переходом школы к начальном всеобучу, а также существенным расширением сети гимназий и реальных училищ в России. Такие курсы были созданы и начали распространяться в народных школах [15, С.16].].

На наш взгляд, идеи академика Гурьева С.Е. являются ценными с точки зрения пропедевтики геометрии. Важно отметить, что курс наглядной геометрии был в то время явно фу сионистским, т.е. объединяющим элементы планиметрии и стереометрии. Целесообразность такой постановки курса объяснялась многими причинами: во-первых, предполагалось, что начальная школа дает автономное образование (многие окончившие школу сразу перейдут к овладению какой-либо профессией, не будут учиться дальше);

во-вторых, объединение планиметрического и стереометрического материала обеспечивает тесную связь изучения геометрии с окружающей ребенка жизнью, и тем самым делает первое знакомство с геометрией наглядным;

в-третьих, геометрическая пропедевтика реализуется с далеким «прицелом» (создание правильных пространственных представлений обеспечивает успешность дальнейшего изучения планиметрии и стереометрии);

в-четвертых - предоставляет возможность активной учебной деятельности, связанной с моделированием, т.е. с осознанным конструктивным изучением различных свойств геометрических фигур.

Таким образом, рассматриваемый период создания учебника геометрии был временем накопления часто незавершенного опыта, методических исканий, ошибок, серьезных постановок оригинальных методических вопросов и попыток их первого решения [11, С. 168].

Много внимания стало уделяться системе расположения учебного материала, был проведен глубокий анализ начальных понятий геометрии. Значительные усовершенствования были сделан и в вопросах арифметизации геометрии (М.В. Остроградский, Ф.И. Буссе и др.). Более широко стали излагаться начала стереометрии, поставлен вопрос о применении фузионизма, необходимости «детской геометрии» (пропедевтического курса).

Основными недостатками научно-методических исканий в построении учебника геометрии в этот период являются неправильная оценка психологических особенностей восприятия у детей в процессе обучения геометрии, большой объем учебника, слабо отработанный математический язык учебника, многословие и т.д. [19, С 169].

Математики одними из первых среди педагогов обратили внимание на проблему школьного учебника, на совершенствование школьных учебников (В. Дементьев, 1860г.). Вопросу построения школьного математического учебника уделялось много внимания на различных съездах, в научных обществах, в выступлениях в печати ученых-математиков и педагогов.

Обсуждались вопросы пропедевтического курса геометрии (Косинский, Ефремов и др.), наглядности в преподавании геометрии, отрабатывался язык учебника, задачи для самостоятельного решения стали неотъемлемой частью учебника геометрии. В большом числе издавались сборники практических упражнений по геометрии. (Е. Пржевальского, В.П. Минина и др.). Выпускается задачник по геометрии, полностью посвященный практическим приложениям геометрии (М. Фишер. «Практические задачи на вычисление площадей и объемов».- М., 1888.).

Уточняется терминология, совершенствуются определения, более четким становится язык учебника, значительно повышается его научный и методический уровень.

В начале 90-х годов XIX века в России ставится вопрос о реформе преподавания всего курса математики в школе.

В конце XIX века передовые ученые-математики и педагоги выступили за коренной пересмотр содержания, системы и методов преподавания математики в школе и, следовательно, за соответствующую переработку учебной литературы.

В результате деятельности ученых-математиков и педагогов (особенно плодотворной во второй половине XIX века) были выработаны принципы в вопросах построения школьного учебника геометрии. Был дан и общий план их построения: перед изложением систематического курса геометрии нужен наглядный пропедевтический, а сам систематический курс должен быть переработан в духе основных идей предлагаемой реформы.

Значительным влиянием в западноевропейской методике математики пользовалось реформистское движение, возглавляемое английским инженером Д. Перри. Подвергнув суровой критике формально-логическое изучение математики, Д. Перри предлагал в геометрии шире применять ряд геометрических положений без доказательств с тем, чтобы уделять основное внимание самостоятельному решению задач, используемых в технике, организовать лабораторные занятия по опытному изучению свойств и особенностей геометрических образов. Сторонники этого движения решающее значение в преподавании придавали наглядности, считали, что необходимо свести к минимуму знание логических доказательств. Это движение имело некоторое влияние и в России.

Положительным моментом движения Д Перри явилось осознание еще большей необходимости вводного курса «конкретной геометрии» (пропедевтический курс), который должен предшествовать систематическому курсу геометрии.

Русские педагоги объективно и строго подошли к различным западным течениям в методике преподавания математики, принимали активное участие в решении этих вопросов. Так, А.Р. Кулишер популяризировал и защищал использование идеи движения как в начальном, так и в систематическом курсе геометрии, поддерживал и идею фузионизма (слияние планиметрии и стереометрии в преподавании) в обучении геометрии.

П.М. Новиков отмечал, что успех математической подготовки учащихся зависит не только от объема курса, программ, но и от характера преподавания. По его мнению, строго аксиоматическое изложение школьного курса геометрии не представляет педагогической ценности. Образовательное значение геометрии он видел в том, что «в ней все ясно и не подлежит возражению». Он считал, что положения, которые понятны ученикам, должны указываться без доказательства: ясность изучения курса от этого только выиграет. Таким образом, образовательное значение геометрии по П.М. Новикову, состоит не в том, чтобы все содержание геометрии «было нанизано на нитку, начинающуюся аксиомами», а в том, чтобы приспособить изучение геометрии к уровню развития учащихся, освободив «их время и силы для решения различных задач».

Профессор Киевского университета Д.М. Граве считал, что при преподавании геометрии важно развить у учащихся навыки ясного пространственного представления, и находил нецелесообразным увлекаться «особенной строгостью и систематичностью изложения» [13, С.580].

Поиски усовершенствования методов преподавания находят отражение и в практике работы школ. Обсуждаются и внедряются различные методы и приемы преподавания математики, активизирующие работу учеников, направляющие их учебную деятельность на доступное и сознательное усвоение материала [6, С.58].

2.1 Комплекс досуговых занятий по формированию понятий о геометрических элементах

Методика формирования познавательных интересов младших школьников через использование творческих заданий при работе над понятиями «Объёмные тела»

Изучив существующие методики по формированию понятий у младших школьников, мы разработали систему заданий, направленных на формирование у учащихся понятий по теме «Объёмные тела».

Понятия -- одна из форм абстрактного мышления. У младших школьников преобладает наглядно-образное мышление. Поэтому, учитывая возрастные особенности младших школьников, при формировании понятий необходимы наглядность, практические действия, игры, связь изучаемого с реальным миром.

При подборе заданий мы опирались на теорию поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина:

I. Этап практических материальных действий;

II. Материализованные действия;

III. Этап громкой речи;

IV. Этап внутренней речи;

V. Действия в умственном плане.

Формирование умственных действий осуществляется в ходе учебной деятельности.

Важной составной частью учебной деятельности является её мотивация.

Мотивом может быть необычный вид задания, желание получить похвалу от учителя или хорошую отметку и т.д.

Вторая составляющая -- сами учебные действия.

В заключение обязательна рефлексия. Это подведение итогов урока учащимися, ответы на вопросы: «Чем занимались?», «Что у вас хорошо получалось?», «Что пока ещё получается не очень хорошо?».

Рефлексия может проводится в виде самостоятельной работы в конце урока, когда учитель называет правильные ответы, а дети сами исправляют ошибки.

Формирование понятия происходит по следующими этапам:

I. Подготовительный этап.

II. Знакомство с понятием.

III. Закрепление.

IV. Обобщение.

Знакомство с объёмными телами на уроках геометрии может происходить в такой последовательности:

I. Знакомство с шаром, его свойствами.

II. Знакомство с цилиндром и его свойствами.

III. Знакомство с конусом и его свойствами.

IV. Обобщение по темам «Шар», «Цилиндр», «Конус».

V. Знакомство с призмой, её свойствами; знакомство с параллелепипедом и кубом.

VI. Знакомство с пирамидой, её свойствами.

VII. Обобщение по темам «Призма», «Пирамида»; введение понятия «Многогранник».

VIII. Обобщение и закрепление знаний по темам «Шар», «Цилиндр», «Конус» и«Многогранник».

При формировании этих понятий используются творческие задания. При формировании каждого понятия даётся исторический материал; выясняются «отношения» между понятиями: какое является родовым, т.е. какое «старше», «главнее»; даются названия элементов.

Итак, системы заданий для формирования понятий.

Шар

I. Цель: познакомить с шаром. Ввести понятие «форма».

Оборудование: предметы шарообразной формы, набор фотографий и рисунков предметов шарообразной формы, цилиндр, конус, круг.

Рассматривание группы предметов. Что это? (Глобус, теннисный мячик, надувной шарик, мяч, бусинки, горошины. Посмотрите, чем все эти предметы отличаются друг от друга?

по цвету;

по размеру;

по материалу, из которого изготовлены;

сделаны человеком или созданы природой;

по назначению;

по тяжелости;

по прозрачности и т.д.

Что объединяет, чем похожи? (Если «круглые», то показать круг. Круг -- круглый, а эти предметы?) Это -- шары. Итак, что общего у всех этих предметов? (Форма)

Что ещё? (Сравнить нарисованный мячик и мяч). Мяч можно обхватить руками, посмотреть на него со всех сторон, то есть шар -- объёмный, его можно «обнять».

Что ещё общего у этих предметов? Посмотрите, они не хотят лежать на столе. Они все (катаются. Мяч катается? Значит, он шар. Горошина катается? Это тоже шар. Показать цилиндр и конус. Катаются? Значит, тоже шары?

Попробуйте, покатайте. Как катаются эти фигуры и как катается шар? (Шар катится во все стороны.)

Сделать вывод. Что общего у всех этих предметов? (Шарообразная форма, объёмность, способность кататься в разных направлениях.) Как можно одним словом назвать все эти предметы? (Шар).

Посмотрите вокруг себя. Есть шары в классе? Вспомните, где вы видели предметы шарообразной формы дома, на улице? (Ёлочные украшения в форме шара, плафоны, ягоды, клубки и т.д.) Посмотрите на фотографии и рисунки.

Про что вы ещё забыли?

Давайте нарисуем в тетрадях шар и подпишем. Чтобы шар на рисунке не получился плоским, нарисуйте тень и закрасьте тёмные места. Вот так.

А вы знаете, почему шар называется шаром? Слово «шар» произошло от греческого слова о????? , что означает «мяч».

Домашние задания -- записать в тетрадях названия предметов шарообразной формы, про которые мы в классе не вспомнили.

II. Цель: закрепление понятия «шар», его свойств.

Оборудование: набор предметов разной формы для игры в «Чёрный ящик»; геометрические тела и плоские фигуры из цветной бумаги, шары, пластилин.

С какой геометрической фигурой познакомились? (Шар.) Какими обладает свойствами?

Поиграем в игру «Молчанка». Вы мне должны молча показать, изобразить шар руками, показать все его свойства. У кого лучше?

Возьмите пластилин и слепите каждый свой шар. У всех получились шары?

Посмотрите, какие получились шары разные. Чем они отличаются? (Цвет, размер.) Что общего?

Положите справа самый большой шар, слева -- самый маленький. Положите зелёный шар, а за ним -- красный, перед ним -- синий.

У доски -- предметы различной формы, фигуры, вырезанные из цветной бумаги. Показать только шары.

Раздели предметы на две группы: в одну -- шары, в другую -- все остальные предметы. Как назвать все предметы первой группы? (Шары, или предметы, имеющие шарообразную форму).

У доски два предмета шарообразной формы, конус, цилиндр и круг из

бумаги. Дети закрывают глаза, учитель убирает один предмет. Дети открывают глаза, если исчез шар, хлопают в ладоши.

Давайте поиграем в игру «Чёрный ящик». Перед вами чёрный ящик. В нём лежит много разных предметов. Ваша задача -- достать шар, определив, что это шар на ощупь.

Цилиндр

I. Цель: познакомить с фигурой «цилиндр», с его свойствами. Оборудование: предметы цилиндрическойформы, цилиндры, фотографии, рисунки.

Рассматривание группы предметов. Чем отличаются?

по цвету;

по размеру;

по назначению;

по тяжелости;

по прозрачности и т.п.

Чем похожи? (Объёмные, катятся взад-вперёд, похожи по форме). Все эти предметы имеют цилиндрическую форму. У всех есть два основания. Основания какой формы? (Круглой). Они одинаковые? (Да). Эти фигуры называются цилиндры. А знаете, почему они так называются? Очень давно, когда не было ещё машин и тракторов, и никакой другой техники, люди, чтобы перетащить тяжёлый груз с одного места на другое, использовали катки из дерева. Они подыскивали прямое дерево и отрезали от него кусок. Этот кусок и служил катком.

Слово «цилиндр» произошло от греческого слова ????????? . Означало оно «каток», «валик». Где вы встречаете цилиндр дома, в школе, на улице?