Система изучения производной в учебниках средней школы

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Анализ учебника под редакцией Колмогорова

2 Анализ учебника автора Ш.А. Алимова

3 Анализ учебника автора М.И. Башмакова (базовый уровень)

4 Анализ учебника автора М.И. Башмакова (профильный уровень)

5 Анализ учебника автора Ю.М. Калягина (профильный уровень)

6 Анализ учебника автора Н.Я. Виленкина (для углубленного изучения математики)

7 Анализ учебника автора А.Г. Мордковича (базовый уровень)

8 Анализ учебника автора А.Г. Мордковича (профильный уровень)

9 Анализ учебника автора С.М. Никольского

10 Заключение на основе анализа всех учебников

11 Предложения по совершенствованию темы «Производная и ее приложения»

ВВЕДЕНИЕ

Человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций.

Тема «Производная и ее приложения» является одним из основных разделов начал математического анализа. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время. Кроме того, материал по выбранной теме интересен с точки зрения истории. Данной темой и ее разработкой занимались такие великие ученые, как Лейбниц и Ньютон основоположники дифференциального исчисления.

Мне интересно провести собственный анализ учебников по выбранной теме, определить наиболее интересные и эффективные варианты изложения, описать свои идеи преподавания данной темы.

Цель курсовой работы - рассмотреть систему изучения производной в учебниках средней школы, выяснить соответствует ли тема в учебниках стандарту по математике, определить наиболее удачные варианты изложения материала для разных профилей, предложить методы совершенствования темы в преподавании курса математики в средней школе.

Объектом исследования явилась производная в школьном курсе математики.

Предметом исследования является методика обучения учащихся по выбранной теме исследования.

Из стандарта среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень):

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной.

Из стандарта среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень):

Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

Анализ учебников хочу провести по самым, на мой взгляд, важным моментам в этой теме, а именно:

1. Понятие производной. Определение производной.

2. Геометрический смысл производной.

3. Непрерывность функции и предельный переход.

4. Вычисления производной. Правила дифференцирования.

5. Производные элементарных функций.

6. Исследование функций. Возрастание и убывание функций.

7. Экстремумы функций.

8. Схема исследования функций.

9. Приложения производной. Применение производной в физик.

10. Приближенные вычисления.

1 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА ПОД РЕДАКЦИЕЙ КОЛМОГОРОВА

1.1 Структура учебника

§4. Производная

12. Приращение функции

13. Понятие о производной

14. Понятия о непрерывности и предельном переходе

15. Правила вычисления производных

16. Производная сложной функции

17. Производные тригонометрических функций

§5. Применение непрерывности и производной

18. Применения непрерывности

19. Касательная к графику функции

20. Приближенные вычисления

21. Производная в физике и технике

§6. Применение производной к исследованию функций

22. Признак возрастания (убывания) функции

23. Критические точки функции, максимумы и минимумы

24. Примеры применения производной к исследованию функции

25. Наибольшее и наименьшее значения функции

1.2 Понятие производной. Определение производной

Подход Колмогорова отличается от других авторов тем, что глава, посвященная производной, начинается с пункта, в котором дается определение приращения функции. Понятие приращения рассматривается на примерах. Третий пример показывает, как найти угловой коэффициент секущей через приращение. В следующем пункте автор объясняет, что такое касательная к графику функции и дает определение мгновенной скорости. Причем, определение предела не рассматривается, вместо этого Колмогоров пользуется понятием «стремится к».

Проанализировав систему ознакомления учащегося с понятием производной в этих учебниках, можно выявить следующие особенности: Колмогоров стремится вначале подвести достаточно большую базу примеров и соответствий, опираясь на более легкие по усвояемости понятия и затем приступить к вычислениям.

1.3 Геометрический смысл производной

У Колмогорова понятие касательной к графику функции начинается с аналогии. Важно установить связь у учеников между абстрактным понятием касательной и уже освоенными геометрическими объектами, интуитивные образы которых уже сформированы в сознании. Так, увеличивая масштаб графика функции, автор обращает внимание школьников на то, что график все больше становится похож на прямую. Также он указывает, что, проводя отрезки между точками графика, мы можем получить его приближенное изображение.

1.4 Непрерывность функции и предельный переход

Колмогоров дает определение понятия непрерывности функции: если f (x)>f (x₀) при x>x₀, то функцию f (x) называют непрерывной. Вообще, в этом пункте автор очень углубляется в математический анализ и разбирает свойство непрерывности и предельный переход.

1.5 Вычисление производной. Правила дифференцирования

Напомню основные правила дифференцирования: сумма:

(u + v)' = u' + v'

коэффициент:

(Cu)' = Cu'

произведение:

(uv)' = u'v + uv'

частное:

(u / v)'=(u'v - uv') / v²

В учебнике Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции (гл 2, §16):

f(g(x))' = f '(g(x))g'(x)

Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций.

1.6 Производные элементарных функций

Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны, помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.

У Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако, производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту, даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:

lim (sin (x) / x) = 1

Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина, необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.

1.7 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Колмогоров доказывает признаки возрастания и убывания на основе формулы Лагранжа:

1.8 Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов, Колмогоров методично доказывает каждую теорему.

1.9 Схема исследования функций

Ш Нахождение области определения

Ш Проверка на четность / нечетность

Ш Нахождение точек пересечения с осями

Ш Нахождение промежутков знакопостоянства

Ш Нахождение промежутков возрастания и убывания

Ш Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

Ш Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности.

1.10 Приложения производной. Применение производной в физике

Колмогоров приводит примеры использования производной в физике: нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью производной принцип действия параболических телескопов.

1.11 Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике. Автор указывает на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

Учебник соответствует стандарту общего образования базового уровня.

2 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА Ш.А. АЛИМОВА

2.1 Структура учебника

Глава V. Производная и ее применение

§22. Производная

§23. Производная степенной функции

§24. Правила дифференцирования

§25. Производные некоторых элементарных функций

§26. Геометрический смысл производной

Глава VI. Применение производной к исследованию функций

§27. Возрастание и убывание функции

§28. Экстремумы функции

§29. Применение производной к построению графиков функции

§30. Наибольшее и наименьшее значения функции

2.2 Понятие производной. Определение производной

В учебнике Алимова вначале определение производной дается через механический смысл: производная - это мгновенная скорость. Это соответствие, пожалуй, наиболее доступно для понимания школьника. Рассмотрев задачу на скорость, Алимов сразу же переходит к точному определению производной через пределы, кратко объяснив значение понятия «предел» в той же задаче применительно к мгновенной скорости. Проанализировав систему ознакомления учащегося с понятием производной в этих учебниках, можно выявить следующие особенности: короткое вступление главы о производных в учебнике Алимова дает возможность учащимся, получив минимум информации о производной, как можно быстрее приступить к вычислению производных. Далее, понятие производной обогащается новыми приложениями и свойствами и все это немедленно подкрепляется задачами.

2.3 Вычисление производной. Правила дифференцирования

Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.

Что касается сложной функции:

f(g(x))' = f '(g(x))g'(x)

Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай - линейную замену аргумента:

(f(kx + b))' = kf `(kx + b)

Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно.

2.4 Производные элементарных функций

Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а формулы производных других элементарных функций (показательной, логарифмической, тригонометрических) - после и в отдельном пункте. Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.

2.5 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Формулировка признаков возрастания и убывания представлена в начале раздела.

2.7 Экстремумы функций

Алимов делает упор на рассмотрение задач, разбирает на примере конкретной задачи.

2.8 Схема исследования функций

Исследует только на монотонность.

2.9 Приложения производной. Применение производной в физике

Приближенные вычисления автором не рассматриваются.

Стандарту общего образования соответствует

3 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА М.И. БАШМАКОВА

3.1 Структура учебника

Глава II. Производная и ее применение

Вводная беседа

Механический смысл производной

Геометрический смысл производной

Определение производной

Предельные переходы

§1. Вычисление производной

Схема вычисления производной

Правила дифференцирования

Производная степени

Линейная замена аргумента

§2. Исследование функций с помощью производной

Связь свойств функции и ее производной

Особые точки

Решение задач

Построение графика функции

§3. Приложения производной

Скорость и ускорение

Скорость криволинейного движения

Дифференциал

Дифференциал в физике

Задачи на максимум и минимум

Приближенные формулы

3.2 Понятие производной. Определение производной

В учебнике Башмакова, также как и в учебнике Алимова определение производной дается через механический смысл, как производная - это мгновенная скорость движения.

Но Башмаков же последовательно и детально рассматривает механический и геометрический смысл, рассматривая производную на разных случаях, и только потом переходит к точному определению.

3.3 Геометрический смысл производной

Геометрический смысл дается аналогично как он дается в учебнике Колмогорова, а именно устанавливает связь между абстрактным понятием касательной и уже освоенными геометрическими объектами, интуитивные образы которых уже сформированы в сознании. Также, увеличивая масштаб графика функции, Башмаков заостряет внимание школьников на то, что график все больше становится похож на прямую. Он замечает, что, проводя отрезки между точками графика, можно получить его приближенное изображение. Все это позволяет представить себе «устройство» кривых. Используется наглядная иллюстрация «вырезания» графика из бумаги - касательной в данной точке будет являться положение ножниц, когда разрез дойдет до этой точки.

3.4 Непрерывность функции и предельный переход

У Башмакова предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности.

3.5 Вычисление производной. Правила дифференцирования

Формулы, которые я упоминала ранее при анализе учебника Колмогорова в учебнике Башмакова объясняются очень подробно и доступно, разъясняется каждый шаг.

3.6 Производные элементарных функций

Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится формула производной степени. Производные показательной и логарифмической функций рассматривается в соответствующей главе, а производные тригонометрических функций вовсе исключены из курса.

3.7 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции. Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции - они находятся в начале разделов учебников.

3.8 Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки максимума / минимума функции, Башмаков по возможности в доказательствах и рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах производной.

Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения особых точек. Это точки, в которых производная не существует, но функция может быть непрерывной.

3.9 Схема исследования функций

Исследует функцию только на монотонность.

3.10 Приложения производной. Применение производной в физике

Учебник Башмакова показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: дифференциалом функции называют произведение производной на приращение аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту.

3.11 Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Башмакова. Автор указывает на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

4 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА М.И. БАШМАКОВА (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)

4.1 Структура учебника

Учебник «Алгебра и начала анализа, 10-11» М.И. Башмакова отличается от ныне действующих учебников других авторов и от учебника данного автора 1993 года издания, прежде всего по своей структуре. Он разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач, с помощью которых вы сможете проверить, готовы ли учащиеся к овладению новым материалом. Затем коротко формулируются результаты, к которым должны стремиться ученики при изучении этой главы. Эти результаты разбиты на 3 уровня: А - минимальный, Б - основной, В - углублённый. Текст каждой главы открывается вводной беседой, подготавливающей появление новых основных понятий. В конце каждой главы помещена заключительная беседа, которая включает в себя сведения, необязательные для изучения, но которые могут быть полезны пытливому человеку. Наличие большого количества заданий, разного уровня сложности, позволяет учителю использовать данный учебник в классах с различным уровнем математической подготовки обучающихся.

4.2 Понятие производной. Определение производной

Понятие производной автор формулирует как угловой коэффициент касательной к графику функции. Также в «приложение « он иллюстрирует и механический смысл производной. Учебник Башмакова принято считать, что он более подходит для самостоятельного изучения материала. Понятия производной Башмаков излагает очень кратко, но последовательность доказательств помогает просто и понятно вникнуть в тему. Особая характерная черта - Башмаков все абстрактные математические понятия «воплощает» в жизни, предлагая конкретные примеры. Башмаков показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия.

Некоторые аспекты темы опущены.

4.3 Вычисления производной. Правила дифференцирования

Приведена таблица производных и правила дифференцирования. Он сообщает факты, не доказывая их.

4.4 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Автор указывает в каком случае функция убывает или возрастает. Очень красиво, доступно с помощью чертежей доказывает эти свойства.

4.5 Экстремумы функций

Рассматривает на примерах, приводит задачи практического применения. Много геометрических задач, на каждую задачу предоставляется готовый чертеж, благодаря этому учащиеся не отвлекаются на построении чертежа, а непосредственно работают с производными.

4.6 Схема исследования функций

Есть алгоритм исследования функции на монотонность.

4.7 Приложения производной. Применение производной в физике

На тему «Механическое движение» выделен целый урок, приведены примеры законов движения. Представлена таблица связи математики и механики. Также разбирается применение производной в задаче на вычисление потенциала электрического поля.

Учебник «Математика 10 класс» Башмакова М.И. полностью соответствует федеральному компоненту Государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (приказ Министерства Образования РФ от 05.03.2004 года № 1089) и Федеральному базисному учебному плану (приказ Министерства Образования РФ от 09.03.2004 года № 1312), включен в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в ОУ на 2008-2009 учебный год. (Приказ Министерства образования и науки РФ от 13 декабря 2007 года №349).

В учебнике в полной мере соблюдены условия доступности учебного материала для учащихся старших классов с учетом их психологических особенностей и уровня их развития.

Наличие заданий различного уровня сложности позволяет осуществлять дифференцированный подход в преподавании, достаточность теоретических обоснований делает возможным быстрый переход от объяснения нового материала к его практическому применению, что позволяет достигать высоких результатов в процессе обучения. Следует отметить четкость и точность формулировок определений и основных понятий, ясность выводов, лаконизм изложения учебных тем. Важным достоинством учебника автора М.И. Башмакова, является глубокое продумывание используемых терминов, высокое качество подбора языкового материала, его соответствие современным языковым и грамматическим нормам, высокое полиграфическое качество печати текста и иллюстраций учебника.

Излагаемый учебный материал направлен в первую очередь на развитие творческих способностей учащихся, умений самообразования, на формирование стойкого интереса к математике и навыков практического применения полученных знаний. Этой цели служат глубоко продуманные системы упражнений, структурированность учебного материала, разбиение его на обязательный и дополнительный, богатая иллюстративность. Учебник предоставляет учащемуся прекрасные возможности для самостоятельной работы, чему служат как легкость ориентирования, так и вопросы для самоконтроля, указания, справочные материалы, краткие исторические экскурсы.

5 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА Ю.М. КАЛЯГИНА

Учебник «Алгебра и начала анализа» для старших классов (авторы: Ю.М. Колягин и др.) предназначен средним общеобразовательным школам различного профиля. Учебник соответствуют обязательному минимуму содержания основных образовательных программ профильного уровня.

5.1 Структура учебника

Предел функции. Непрерывность функции. Правила дифференцирования. Производная степенной функции. Таблица производных элементарных функций. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Применение производной к построению графиков функций. Наибольшее и наименьшее значения функций. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

5.2 Понятие производной. Определение производной

Понятие производной функции первоначально рассматривается как мгновенная скорость движения материальной точки, затем вводится общее определение производной через предел разностного отношения. Закреплению понятия производной способствует вывод производных отдельных функций «по определению».

5.3 Геометрический смысл производной

Усвоение геометрического смысла производной и написание уравнения касательной к графику функции в заданной точке является обязательным для всех учащихся. Прикладное значение знаний о касательной при построении фокуса параболы можно демонстрировать лишь в классах технического и физико-математического профилей.

5.4 Непрерывность функции и предельный переход

Понятия непрерывности и предела функции вводятся для учащихся всех профилей, кроме физико-математического, на наглядно-интуитивной основе.

5.5 Вычисления производной. Правила дифференцирования

В учебнике рассматриваются четыре правила нахождения производных. В классах социально-экономического и естественного профилей можно рассмотреть доказательство лишь правила нахождения производной суммы. В классах физико-математического профиля учащимся желательно предлагать выводить все правила дифференцирования. Происходит знакомство со сложной функцией и правилом нахожения ее производной. Для социально-экономического профиля это знакомство не является обязательным. При желании учитель может ограничиться рассмотрением правила нахождения производной сложной функции для случая

у = f(kх + b).

Навык нахождения производной сложной функции может отрабатываться только у учащихся технического и физико-математического профилей.

5.6 Производные элементарных функций

В учебнике предоставляются вниманию производные элементарных функций.

5.7 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

С помощью теоремы Лагранжа обосновывается достаточное условие возрастания и убывания функции. Доказательство сформулированных в учебнике теорем можно требовать лишь от учащихся классов физико-математического профиля. Вводятся понятия критических и стационарных точек. Должное внимание уделяется теореме Ферма и ее геометрическому смыслу, а также достаточному условию экстремума.

5.8 Экстремумы функций

Экстремумы функции рассматриваются автором, а также применение производной к построению графиков функций. Наибольшее и наименьшее значения функций. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

6 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА Н.Я. ВИЛЕНКИНА (ДЛЯ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ)

Книга предназначена для более глубокого изучения курса математики в 10-м классе средней школы - как самостоятельно, так и в классах и школах с углубленным теоретическим и практическим изучением математики и ее приложений. Она может быть использована при подготовке в вузы с повышенными требованиями к математическому развитию абитуриентов.

6.1 Структура учебника

Приращение функции. Дифференцируемые функции. Производная .Дифференциал функции. Производная и скорость. Касательная прямая к графику функции. Непрерывность и дифференцируемость. Техника дифференцирования. Производная и экстремумы. Отыскание наибольших и наименьших значений функции. Теорема Лагранжа. Исследование функции на возрастание и убывание. Исследование графиков на выпуклость. Точки перегиба. Построение графиков. Производная и доказательство неравенств. Бином Ньютона. Приближенные вычисления. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных.

Как видно уже из структуры учебника, это тема широко и полно рассматривается в этом учебнике, но остановлюсь на некоторых пунктах отдельно.

6.2 Понятие производной. Определение производной

Производной функции называется функция, значение которой в точке х выражается формулой:



Производная определяется как функция. Отдельного понятия «производной функции в точке» не вводится, хотя сразу после приведенного определения дается и словесная формулировка: Значение производной функции в точке равно пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2) Логика изложения такова: сначала вводится понятие функции, дифференцируемой в точке, как такой функции, приращение которой можно представить в виде

,

где к - число,

функция бесконечно мала при .

После этого доказывается теорема о том, что функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует предел (1).

3) Наглядная интерпретация: дифференцируемая функция = «линейная в малом».

6.3 Геометрический смысл производной

Описывается движение материальной точки по оси с постоянной скоростью, предлагается учащимся самостоятельно построить график этого движения.

Изложено не совсем понятно для учащихся. Приходиться самостоятельно создавать рисунок с нужным масштабом. На уроке, я думаю это займет некое количество времени, которое полезнее было бы потратить на усвоение нового материала.

6.4 Непрерывность функции и предельный переход

Здесь автор особо не вдается в подробности а утверждает, что «естественно предположить», что справедлива теорема. Доказательство теоремы подробно представляется. Разбирается пример.

6.5 Вычисления производной. Правила дифференцирования

Для этого выделен целый параграф «Техника дифференцирования». Начинается он с дифференцирования линейной комбинации функций. Далее рассматривается дифференцирование степени и произведения функций. Данные пункты рассматриваются в качестве теорем и их доказательств. После теоретической части предлагается выполнить ряд упражнений.

6.6 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Рассмотрен подробный алгоритм исследования функций, представлены графики функций. В этом алгоритме задействованы все пункты исследования: на четность, нечетность, на выпуклость и т.д.

6.7 Экстремумы функций

Критические точки играют важную роль. К сожалению, определение критической точки дается в большинстве учебников в неявном виде или не дается вовсе. В учебном пособии Н.Я. Виленкина (для классов с углубленным изучением математики) в связи с исследованием функции просто говорится о необходимости найти те точки, где производная либо равна нулю, либо не существует.

6.8 Схема исследования функций

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика с осью абсцисс.

4. Найти точки разрыва функции.

5. Найти знак функции на каждом промежутке.

6. Изучить поведение функции около точек разрыва и на бесконечности.

7. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

8. Найти точки максимума и минимума.

9. Исследовать график на выпуклость и найти точки перегиба.

6.9 Приложения производной. Применение производной в физике

Встречаются упражнения связанные с физикой.

6.10 Приближенные вычисления

Использует формулу бинома Ньютона для вычисления на конкретном примере и описывает решение.

Вообщем говоря, теоретический материал изложен на очень высоком уровне, что отбивает желание учащихся самостоятельно добывать знания. Заданий на повторение очень мало.

7 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА А.Г.МОРДКОВИЧА (БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)

7.1 Структура учебника

Определение производной.

Вычисление производной.

Уравнение касательной к графику функции.

Применение производной для исследования функций.

7.2 Понятие производной. Определение производной

Начинается с задач, приводящих к понятию производной. Очень четко и ясно сформулировано определение.

7.3 Геометрический смысл производной

Именно с геометрического смысла и начинается эта тема. Представлены графики и полное описание. Сформулировано в форме задач с решениями.

7.4 Вычисления производной. Правила дифференцирования

Формулы даются как факты, не углубляясь в подробности, но правила дифференцирования разбиты на отдельные части, на каждое правило подробно разобран пример.

7.5 Производные элементарных функций

Приведены наряду с другими производными. Без доказательств.

7.6 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

В учебнике описан алгоритм исследования функций.

7.7 Экстремумы функций

Также имеется алгоритм отыскания экстремумов.

7.8 Схема исследования функций

1. Найти производную функции.

2. Найти стационарные и критические точки.

3. Определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы сделать соответствующие выводы о монотонности функции и экстремумах.

В учебнике Мордковича мне нравится изложение материала. Теория предложена на доступном уровне, ученики могут самостоятельно знакомиться с материалом, разбирать примеры, которые предложены в теории. В задачнике предложены разноуровневые задания и в достаточно большом количестве, решать которые в полном объеме просто не хватает времени.

8 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА А.Г. МОРДКОВИЧА (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)

8.1 Структура учебника

Определение производной. Задачи приводящие к определению производной. Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования. Понятие и вычисление производной n-ого порядка. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции. Уравнение касательной к графику функции. Применение производной для исследования функций. Построение графиков функций. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений.

Учебник на мой взгляд мало чем отличается от учебника Мордковича базового уровня. Разве только что уровнем изложения.

8.2 Понятие производной. Определение производной

Формулируется после рассмотрения задач, приводящих к понятию производной.

8.3 Геометрический смысл производной

Сформулирован довольно доступно, представлены графики.

8.4 Вычисления производной. Правила дифференцирования

Аналогично учебнику базового уровня. Только добавляется дифференцирование сложной и обратной функции.

8.5 Производные элементарных функций

Аналогично учебнику базового уровня.

8.6 Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Алгоритм абсолютно такой же, как и в учебнике базового уровня.

8.7 Экстремумы функций

Отыскание точек экстремума вынесено в отдельный пункт и рассматривается подробно.

8.8 Схема исследования функций

1. Найти производную функции.

2. Найти стационарные и критические точки.

3. Определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы сделать соответствующие выводы о монотонности функции и экстремумах.

9 АНАЛИЗ УЧЕБНИКА АВТОРА С.М. НИКОЛЬСКОГО

Учебник рассчитан на обучение на базовом и профильном уровнях, что позволяет успешно организовать работу с учащимися различного уровня подготовки. Учебник написан доступным для учащихся языком, содержит большое количество примеров к изучаемым формулам и основным задачам. Учебник содержит материал для дополнительного повторения, который основан на материалах конкурсных экзаменов в вузы страны.

Учебник «Алгебра и начала анализа, 10» является частью учебного комплекта для 10-11 классов, включающего в настоящее время учебники для 10-11 классов. Методическое пособие «Алгебра и начала анализа, 10. Книга для учителя» готовится авторами к печати. Варианты примерного тематического планирования имеются в послесловии для учителя в каждом из учебников. В данных рекомендациях дано два варианта примерного тематического планирования для профилей, в которых математика не является профилирующим предметом (варианты I и II), и два варианта планирования для профилей, в которых математика является профилирующим предметом (варианты III и IV). В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов учитель вносит коррективы в примерное планирование, увеличивая время изучения трудных тем, увеличивая число изучаемых вопросов. Работать по учебнику можно независимо от того, по каким учебникам велось преподавание до 10 класса, так как в начале года предполагается повторение наиболее важных вопросов программы девятилетней школы.

Все темы находят свое отражение в этом учебнике.

10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ВСЕХ УЧЕБНИКОВ

Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала по производной и высокой степенью детальности. Как следствие - высокий уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву наиболее часто используется в обычных школах. Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного решения. Доказательства - слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены. В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала. Что касается учебника Калягина, мне кажется, что с помощью практических заданий, подобранных в этом учебнике нельзя подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ, поэтому я не стала бы его использовать. Учебник Никольского - хороший, позволяет работать как на базовом уровне, так и на профильном. Удачно то, что изучение программного материала заканчивается в первом полугодии, а затем идет обобщение и систематизация знаний и умений, тем самым пополняется математический багаж и идет подготовка к любому экзамену, в том числе и к ЕГЭ. Но все-таки некоторые моменты требуют доработки, материал можно было бы преподнести и проще. Что касается учебника Мордковича, то учебник помогает в дифференцированном обучении, достаточно много теоретических объяснений и примеров для самостоятельной работы учащихся. Работала по учебнику два года и считаю, что он помогает готовиться к сдаче ЕГЭ: в задачнике очень большой выбор заданий, много заданий на геометрический смысл производной.

11 ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ»

Международные исследования свидетельствуют, что российские выпускники имеют более глубокие знания, чем их зарубежные ровесники, но хуже умеют их применять.

Следовательно, нужно больше времени уделять практическим заданиям, но только так чтобы учащимся было интересно их решать.

Обязательно нужно рассказывать об истории возникновения производной, о роли понятия «производная» в науке и практике.

Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.

Вот, например. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных:

1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

х=ds/dt;

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его ц есть функция времени t:

ц=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

щ=dц/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

б=dl/dt

В школьном курсе математического анализа производная вводится без введения понятия предела. У Башмакова lim используется лишь как символ, не более того. В учебнике Виленкина теория пределов даётся напротив слишком заумно, без учёта возрастных особенностей учащихся.

Для нахождения критических точек можно использовать следующий алгоритм:

1. Ищем первую производную функции, то есть .

2. Находим критические значения аргумента x. Для этого:

а) приравниваем производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения

б) находим значения x, при которых производная терпит разрыв.

Нахождение промежутков возрастания и убывания, нахождение критических точек у учащихся вызывают некоторые затруднения, поэтому полезно использовать следующий приём (приведем его на конкретном примере): Необходимо найти промежутки возрастания и убывания функции,

найдем производную

,

,

.

Для решения подобных заданий полезно использовать схематический чертеж (рис. 21), он поможет учащимся легко определять промежутки и критические точки. Функция возрастает (;0) (2; ) и убывает (0;2), 0-точка максимума, 2 - точка минимума.

Исследование функций на мой взгляд следует проводить с использованием ЦОР, для более выразительной наглядности.