Элементы теории вероятности в школьном курсе математики

35

Содержание

Введение

Раздел 1. Развитие подходов к использованию элементов теории вероятности в школьном курсе математики

1.1 Анализ учебных пособий по математике

Раздел 2. Общий подход к преподаванию элементов теории вероятностей и статистики в школе

Раздел 3. Элементы теории вероятности и статистики на уроках математики в начальной школе. Методика работы

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.

Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. С того времени теория вероятностей оформляется как математическая наука.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

Заслуживает внимания методика обучения учащихся теории вероятностей, которая основывается на понятии логико-методической модели «эксперимент».

Эксперимент - это модель опыта с конечным множеством исходов. Как и в любой модели выделено главное: множество исходов и возможность наступления каждого из них. Некоторые эксперименты доступны детям младшего школьного возраста.

Элементы теории вероятностей преподавать в начальной школе вполне реально. Она требует весьма немногого от технически формализованной математики: если овладеть действиями с дробями, можно уже весьма далеко продвинуться.

Зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде. Теорию вероятностей можно применять также непосредственно, как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.

Правильное понимание теории вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации.

Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Известна идея А. Энгеля пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности «математизацию» в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне.

Учитывая требования к современному обучению, школьная программа предусматривает сформировать у учащихся элементы математических понятий и логической структуры мышления.

Объект исследования - выявление элементов теории вероятности в школьном курсе математики.

Предметом исследования является влияние системы задач на формирование вероятностных понятий у учеников.

Цель курсовой работы: показать методику работы использования элементов теории вероятностей на уроках математики в средней школе.

Задачи курсовой работы:

- показать доступность изучения элементов теории вероятностей в школе;

- провести анализ, существующих учебных пособий, с точки зрения наличия в них элементов теории вероятности;

- показать роль задач и экспериментов в усвоении элементарных знаний о теории вероятностей;

- отразить основные подходы к изучению теории вероятности в школьном курсе математики.

Методологической и теоретической основой являются работы отечественных и зарубежных философов, педагогов, психологов, математиков.



Раздел 1. Развитие подходов к использованию элементов теории вероятности в школьном курсе математики

Элементы комбинаторики и теории вероятностей в средней школе не являются чем-то необычным для отечественной системы образования. Ещё в 1899 году в Москве обсуждали вопросы, связанные со значением теории вероятностей и комбинаторики в школе. Новое упоминание об этих вопросах было на рубеже 40-ых годов. Целесообразность введения стохастики в школьный курс математики неоднократно отмечалась в работах С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко. В качестве обоснования выступала «… необходимость систематического развития у учащихся идеи наличия в природе закономерностей более широкой природы, чем строгий классический детерминизм, а именно статистических закономерностей».

В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:

1. Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.

2. Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.

3. Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.

4. Математическое ожидание. Дисперсия и закон больших чисел (доказательство в форме теоремы Чебышева).

При этом академик А.Н. Колмогоров, возглавлявший комиссию по разработке программы, высказал надежду, что «этот материал в значительной своей части в будущем войдет в основной школьный курс математики».

Более того, первые издания учебника «Алгебра и начала анализа» для 9 класса средней школы под редакцией А.Н. Колмогорова содержат элементы комбинаторики и теории вероятностей. Изложение курса алгебры и начал анализа начинается с математической индукции, после чего даются элементы комбинаторики и некоторые понятия теории вероятностей. Степень изложения теоретического материала достаточно сложная. Так, например, формула числа перестановок выводится через рекуррентные соотношения, что сильно ухудшает и без того достаточно сложный материал. В общем, весь материал изложен относительно строгим академическим языком. Возможно, отчасти и поэтому в то время элементы комбинаторики не прижились в курсе отечественной школьной математике.

Возможность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики нашла отражение в целом ряде диссертационных исследований прошлого века.

Следующий всплеск произошёл в 1995-2000 гг. при обсуждении обязательного минимума содержания образования. В 2003 г. было опубликовано письмо 1 заместителя министра образования В.А. Болотова «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы».

В стандарт 2004-2005 гг. включены элементы комбинаторики, вероятности и статистики. Предлагается изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей начать в 5-6 классах, или в 7 классе - в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание.

Далее проведем анализ данной литературы.

1.2 Анализ учебных пособий по математике

«Концепция введения комбинаторики, теории вероятностей и статистики, предложенная авторами учебников и учебных пособий несколько различна. Авторы разных пособий по разному подходят к изучению теории вероятности: в одних учебниках на первый план выдвигаются вероятностные понятия, в других - статистические, в третьих - все понятия рассматриваются отдельно, не прибегая к перемешению.

1) Е.А. Бунимович, В.А. Булычев «Вероятность и статистика».

Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности. Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводятся статистическое определение вероятности, а затем и классическое.

В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.

В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

2) Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев «Алгебра для 8 класса», «Алгебра для 9 класса».

В 8 классе дана большая глава «Элементы теории множеств».

В 9 классе есть глава «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Эта глава состоит из двух параграфов. В 1 § «Основные понятия комбинаторики» рассказывается о правилах суммы и произведения, а также о размещениях, перестановках и сочетаниях. Во 2 § «Понятие вероятности события» говорится о частоте и вероятности (даётся статистическое определение вероятности события), затем об опытах с конечным числом равновозможных исходов, затем речь идёт об исходах и событиях, потом о подсчёте вероятностей в опытах с равновозможными исходами (классический подход), и заканчивается глава параграфом операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями.

3) «Математика 5 класс», «Математика 6 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ш. Шарыгина; «Математика 7 класс», «Математика 8 класс», «Математика 9 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева.

5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни

6 класс начинается с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).

Далее идут два параграфа по комбинаторике: «Логика перебора» и «Правило умножения». Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой «Вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий.

7 класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика - медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.

Рассматриваются геометрические вероятности.

В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. Рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов - полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

В учебнике рассматриваются три примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

4) Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра: Элементы стохастики и теории вероятностей»: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений.

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.

Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

В 7 классе (§1) материал объединен в параграф «Статистические характеристики», который знакомит с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

Материал, изучаемый в 8 классе (§2) также объединен в один параграф «Статистические исследования», где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований - полигонами и гистограммами.

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть два параграфа:

1. §3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

- Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.

- Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.

- Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

- Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

2. §4 «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

5) И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс»; А.Г. Мордкович «Алгебра» (Часть 1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Часть 2. Задачник для 9 класса общеобразовательных учреждений).

В 5 классе последняя глава «Введение в вероятность» содержит два параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

9 класс: Первый параграф посвящён множествам и операциям над ними. Следующий параграф посвящён комбинаторике. Начинается он с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки.

Третий параграф посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана).

В четвёртом параграфе говорится о простейших вероятностных задачах. Даются определения вероятности, случайного, достоверного и невозможного события. Вводится классическое определение вероятности.

Следующий параграф «Экспериментальные данные и вероятности событий», в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.

6) С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений».

В этом учебнике как приложение к главе 1 «Простейшие функции. Квадратные корни» даётся материал о множествах и операциях над ними.

Затем в дополнении к главе 4 «Системы рациональных уравнений» изложен материал о вероятности события (даётся определение вероятности, а также невероятных и достоверных событий), перестановках, размещениях и сочетаниях (даны определения и примеры)

7) М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова «Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы».

Это учебное пособие для 7-9 классов и оно дополняет учебники Алимова Ш. А. «Алгебра 7, 8, 9».

1 Глава «Введение в комбинаторику» (7 класс) начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и другие. Затем рассматриваются пункт различные комбинации из трех элементов, где рассматриваются сочетания, перестановки и размещения, но вводить сами термины не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы «перестановки и разбиение на две группы», «выдвижение гипотез».

2 Глава «Случайные события» (8 класс). Сначала рассматриваются события: достоверные, невозможные, случайные, совместные и несовместные, равновозможные. В следующем пункте вводится сразу классическое определение вероятности, после чего рассматривается решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Дальше как дополнительный пункт рассматривается геометрическая вероятность. Вводится понятие противоположных событий и их вероятность. Понятие относительной частоты и статистическое определение вероятности вводится уже в конце главы. И завершается дополнительным пунктом - тактика игр.

3 глава «Случайные величины» (9 класс). Вводятся понятия случайной величины - дискретной и непрерывной. Рассматриваются таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны). Далее рассматриваются такие понятия как генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. А завершается глава дополнительными параграфами, в которых рассматриваются отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм.

8) Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко «Теория вероятностей и статистика» Подходы к изучению теории вероятности в школе из данного учебного пособия будут рассмотрены подробнее в Разделе 2 данной курсовой работы.

Это пособие для учащихся 7-9 классов, в котором исследуемая линия реализуется в следующем порядке. Первые две главы посвящены таблицам и диаграммам. Рассматриваются статистические данные в таблицах, идет обучение работе с таблицами (поиск информации, вычисления в таблицах, занесение результатов подсчетов и измерений в таблицы). Рассматриваются столбиковая, круговая и диаграмма рассеивания.

В третьей главе кроме основных статистических характеристик вводятся также понятия: отклонения и дисперсии.

Четвертая глава «случайная изменчивость», содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т. п.).

А затем в 5 главе переходят к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь, как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается, и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.

После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).

Следующие несколько глав посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике. Дается определение частоты, и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.

Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу» http://festival.1september.ru/articles/512172/.



Раздел 2. Общий подход к преподаванию элементов теории вероятностей и статистики в школе

«Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов математики в самых различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило во многих развитых странах вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. В России этот вопрос начал обсуждаться еще раньше. Еще в 1914 году он рассматривался на заседании секции математики Российской академии наук, рекомендовавшей включение элементов теории вероятности и статистики в школьные программы.

В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественнонаучных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях.

Используют следующие положения при разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе:

- дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи;

- подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов;

- избегать излишнего математического формализма;

- избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр;

- иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

Изучение элементов теории вероятностей и статистики в школе должно начинаться с изучения статистики. На простом, наглядном, порой иллюстративном, но важном материале вводится одна из главных идей теории вероятности и статистики - идея случайной изменчивости. Для показа и разъяснения случайной изменчивости привлекают самые различные источники от государственной статистики до примеров из повседневной жизни учащихся, биометрические данные человека, школьные оценки, показатели физического развития и т. п.

Одновременно с идеей случайной изменчивости вводятся простейшие числовые показатели, описывающие в целом эту изменчивость:

- среднее арифметическое,

- медиана,

- отклонения от среднего,

- дисперсия.

При начале изложения этого материала следует избегать высокой степени формализма, не использовать переменные с индексами, формальные определения и доказательства.

В то же время важно показать, как может вести себя среднее арифметическое для различных наборов чисел, пояснить, когда оно дает хорошее представление о массиве наблюдений, а когда нет.

К теме среднего значения и дисперсии набора чисел обращаются еще раз, когда обсуждают числовые характеристики дискретной случайной величины - ее математическое ожидание и дисперсию, и показывают связь между этими понятиями. Другими словами, статистические характеристики, вводимые сначала на уровне здравого смысла, как числовые характеристики набора чисел, получают вторую математическую трактовку в дальнейшем, при изучении числовых характеристик случайных величин.

Знакомство с элементами теории вероятностей начинают с изложения на интуитивном уровне понятий случайного события и его вероятности. На этом этапе не связывают эти вопросы с комбинаторикой как таковой, не делают первостепенного упора на комбинаторику, как это часто делается в так называемой схеме "классической теории вероятностей". Последнее является ненужной данью истории, резко сужает круг задач и вопросов, доступных для рассмотрения, отрывает базовые понятия теории вероятностей от их действительного использования на практике. Учащиеся должны знать и понимать, что основным способом определения вероятности события в содержательных примерах на практике является частотный подход, но что порой определение вероятности события - это довольно сложная или даже неразрешимая задача.

Переходя далее к математическому описанию случайных явлений, обращают особое внимание на понятие случайного опыта и на его важности для всей последующей математической формализации случайности. Ровно так, как условие текстовой математической задачи (например, на движение) задает для учащегося тот набор условий и ограничений, в которых он будет искать решение, так и описание случайного опыта подводит нас к выбору подходящего набора (пространства) элементарных событий и заданию на нем вероятностей выбранных элементарных событий. Эта мысль важна еще и потому, что во многих внешне простых формулировках занимательных вероятностных задач четко не говорится о том, что в них следует понимать под случайным опытом. Это не раз в истории развития теории вероятностей приводило к длительным спорам и математическим парадоксам. Такого рода задачи, как показывает практика обучения, отвлекает и путает учащихся, порождает в них неуверенность в собственных силах и сомнения в применимости вероятностных моделей вообще.

На этапе первичного знакомства с основными вероятностными понятиями следует всячески избегать нечетких формулировок в вероятностных задачах, следя за тем, чтобы бы условия случайного опыта формулировались ясно и недвусмысленно.

Важное место в школьном курсе элементов теории вероятностей занимает понятие равновозможности событий. Исторически оно начало формироваться при решении вероятностных задач, связанных с азартными играми. Однако понятие равновозможности не утратило своей актуальности и в настоящее время. Именно оно лежит в основе простого случайного выбора, на котором базируются все методики организации выборочных исследований, контроля качества продукции и социологических опросов. Однако было бы совершенно неверно ограничиваться в школьном курсе обсуждением только тех случайных опытов, элементарные события в которых равновозможны. Это могло бы привести к формированию у школьников устойчивого ложного представления, что интересующее его случайное событие всегда имеет вероятность, равную одной второй, так как событие либо произойдет, либо не произойдет.

Введение элементов комбинаторики должно быть подчинено вероятностным задачам, а не наоборот. Важно научить учащихся перебору различных комбинаций, подходам к этому перебору, а не доказательства комбинаторных теорем и формальным преобразованиям выражений, включающих число сочетаний или перестановок. Важно показать, что без использования комбинаторных подходов во многих вероятностных задачах трудно описать все элементарные события. Важно дать наглядное, запоминающееся представление о тех практических ситуациях, где используются комбинаторные принципы подсчета.

Тема перехода от элементарных событий к произвольным событиям и операциям с ними изложены без привлечения понятия "множества". Хотя по сути дела операции над событиями полностью аналогичны операциям над множествами. Очень полезны диаграммы Эйлера, показывающие, как соотносятся друг с другом различные события.

Схема испытаний Бернулли является не только относительно простой, полезной и распространенной на практике моделью описания однотипных повторяющихся независимых опытов с двумя возможными исходами. Она играет в теории вероятностей важную методическую роль, определяя алгоритм приближенного поиска вероятностей многих интересующих событий. Об этом говорят сначала на интуитивном уровне, обсуждая вероятности и частоты событий, а затем возвращаются к испытаниям Бернулли.

Сама по себе схема испытаний Бернулли объединяет целый ряд понятий и методов. Это представления о множестве элементарных событий, понятие независимости событий, правило умножения вероятностей, число сочетаний. Таким образом, эта важная тема дает возможность повторить и закрепить многое из уже пройденного материала.

Тема "геометрическая вероятность" включена в курс математики потому, что содержится в требованиях государственного стандарта. В ее изложении много подводных камней и трудностей, которые следует обходить. Содержательное математическое обсуждение этих трудностей на школьном уровне нецелесообразно и практически невозможно. При работе с этим материалом учитель и учащиеся получают возможность повторить материал из курса геометрии и укрепить навыки формализации текстовых вероятностных задач, используя различные геометрические объекты.

Две важные темы "Бином Ньютона" и "Треугольник Паскаля" опираются на более высокий уровень формализма в записи выражений. Обращаться к этим темам стоит лишь после того, когда завершено прохождение материала по статистике и теории вероятностей. В этом случае появляется возможность показать, как содержательно используется этот материал в теории вероятностей.

Методические приемы, играющие важную роль в преподавании материала:

1. Наглядность и простота изложения.

2. Минимальный формализм в записи выражений и определениях.

3. Подчеркивание связи вводимых понятий с реальной практикой.

4. Использование сквозных примеров и задач при обсуждении разных тем.

5. Подчеркнутая ясность и простота формулировок большинства задач.

6. Подбор примеров и задач с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся.

7. Проведение небольших практических исследований (измерений) и экспериментов для лучшего понимания природы случайной изменчивости и смысла вероятности.

8. Возможность повторения и закрепления на новом материале пройденного ранее.

Все это должно способствовать усвоению простых, но принципиально новых для учащихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире.

Подводя итоги, заметим, предложенный выше подход к преподаванию элементов статистики и теории вероятностей в школе предполагает естественнонаучное изложение указанных дисциплин. В нем наибольшую ценность представляют вводимые понятия, сложившаяся система взглядов, ее связь с окружающим миром. При таком подходе математические доказательства на этой стадии обучения отступают на второй план, а математические методы играют ту же роль, что в физике или механике. Таким образом, введение статистики и теории вероятностей в учебный план по математике разгружает его от большого числа формальных алгебраических преобразований, наполняется более простым, но мировоззренчески очень важным математическим материалом, который должен способствовать повышению интереса учащихся к математике» Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя/ Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко, 2-е изд., исправленное и дополненное. - М.: МЦНМО: МИОО, 2008. [8].



Раздел 3. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе. Методика работы

Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при одних и тех же условиях, а детям предлагают указать результат. Потом условия эксперимента изменяют.

Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве младших школьников с основными понятиями теории вероятностей.

1. Эксперимент, помогающий подвести младших школьников к понятиям: невозможное событие, достоверное событие, а в отношении случайных событий - установить градации: более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: мешок и 9 шаров - 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара.

Описание эксперимента:

Учитель обращается к ребятам:

- Вы, конечно, знаете, что Буратино очень любит кукольные спектакли, но у него часто не бывает денег, чтобы попасть в театр. Однажды продавец билетов согласился дать Буратино билет, если он верно ответит на вопрос: “В мешке имеется 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?” Помогите Буратино дать правильный ответ.

Дети будут предлагать разные значения, но им необходимо обосновать свой выбор, проводя эксперименты.

В результате они должны прийти к следующим выводам:

- если вынуть 7, 8, 9 шаров, наверняка будут шары трех цветов;

- если вынуть 3, 4, 5 или 6 шаров, то возможно, но не обязательно будут шары трех цветов;

- если вынуть 1 или 2 шара, то невозможно получить шары трех цветов.

Целесообразно исследовать, в каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов - если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров. Можно ввести и термины более вероятно, менее вероятно.

2. Опыты с пятью монетами.

С помощью этих экспериментов можно научить ребенка навыку выводить закономерности при проведении опытов.

Оборудование: 5 одинаковых монет.

Описание эксперимента:

Учитель рассказывает детям следующую историю:

- Когда Буратино получил от Карабаса-Барабаса 5 золотых монет, он подбросил каждую монету, чтобы удостовериться, не сон ли это, и не исчезнут ли золотые. Буратино видел, что каждая монета ложилась одним из возможных способов: цифрой вверх или гербом вверх. Потом он подбросил все 5 монет сразу и подсчитал, что 2 монеты легли цифрой вверх, а 3 гербом. Буратино задумался: какие случаи еще могут получиться? Давайте поможем Буратино.

В этом и заключается задание: отметить, какие случаи возможны при бросании пяти монет. Занести данные в таблицу и заполнить ее, написав свое предположение о количестве появления каждого случая. Сравнить полученное число с результатами эксперимента, проведенного 20, 40, 60, 80 и 100 раз.



Таблица 1.

Результаты эксперимента

№ исх

При бросании пяти монет выпало:

Количество экспериментов

20

40

60

80

100

Сколько раз данный исход

цифрой

гербом

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

1

5 : 0

2

4 : 1

3

3 : 2

4

2 : 3

5

1 : 4

6

0 : 5

Можно сказать, что каждый из данных случаев называют событием, и выяснить, какое событие более возможно, менее возможно, есть ли среди данных событий равновозможные. После проведения эксперимента 20 раз и занесения данных в таблицу, следует ожидать более точного совпадения предполагаемого и экспериментально полученного чисел появления каждого из случаев в серии из 40 экспериментов и т. д.

3. Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями:

- равновозможные события,

- более вероятное событие,

- менее вероятное событие.

Оборудование: два белых и один черный шар.

Описание эксперимента:

В ящик или мешок кладут два белых и один черный шар. Требуется вытащить последовательно один за другим 2 шара. Учитель спрашивает детей: «Каким может быть результат такого опыта?».

Обнаруживается, что может быть 3 случая:

Рисунок 1. Возможные случаи эксперимента

С помощью эксперимента необходимо выяснить, какой из этих случаев более возможен, менее возможен или, может быть, среди них имеются равновозможные случаи. Затем полученные экспериментальные выводы необходимо обосновать, рассмотрев все возможные комбинации выбора двух шаров из имеющихся трех, которые можно условно обозначить Ч, Б₁, Б₂.

4. Игра «Какова сумма?».

Эта игра поможет подвести детей к понятию вероятности с точки зрения классического определения.

Нарисуем большой прямоугольник. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Очень скоро дети догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14 не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа надо выбросить. Можно сыграть несколько партий. Дети хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив детей ответить на вопрос: «Сколькими способами можно получить 2, 3, 4,..., 12 очков при бросании двух игральных костей?».

5. Игра «Сколько окажется на своем месте?».

Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.

Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра - 5 - соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:

1) Как вы думаете, насколько редким является исход

2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте?

3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте?

4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.

Таблица 2.

Результаты эксперимента

	Вопрос	Количество раз	Относительная частота
		из 10	из 20	из...	из 100
1	Сколько раз был исход 3,1,4,2,5?
2	Сколько раз был случай, когда ни одна карточка не оказалась на своем месте?
3	Сколько раз все карточки оказались на своем месте?
4	Сколько раз две карточки оказалась на своем месте?
5	Сколько раз три карточки оказалась на своем месте?
6	Сколько раз четыре карточки оказалась на своем месте?

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа - событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие. При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию «выпадание четного числа» соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию «выпадание числа больше двух» соответствует подмножество из четырех элементов.

Обозначим множество элементарных событий греческой буквой (омега). Тогда можем записать:

. (1)

Пример 1. Пусть событие A - выпадание на кубике четного числа; M(A) = 3. Здесь - множество всех возможных выпаданий; M() = 6. Значит,

.

Пример 2. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент - вынимание одного шарика (M() = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M(K) = 4), желтое (M(Ж) = 3), синее (M(С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле: . Аналогично без труда находятся вероятности P(K) и P(Ж).

Пример 3. Возьмем колоду игральных карт. Элементарное событие - вытягивание карты из колоды. Всего карт 36: . Изобразим множество в виде таблицы:



	6	7	8	9	10	В	К	Д	Т
?
?
?
?

Укажи меры следующих подмножеств:

- всех пиковых карт;

- всех дам;

- всех карт с картинками (валеты, короли, дамы).

Зная меры указанных подмножеств, определи вероятности вытянуть пиковую карту, вытянуть даму, вытянуть картинку.

По-видимому, для множеств с конечным числом элементов, где мера - число элементов, все ясно.



Заключение

«Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук простроены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе» Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы». [6].

«В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения. В программу по математике основной школы включаются элементы теории вероятностей и статистики. Принятию этого решения предшествовало почти десятилетние обсуждение в педагогической и научной среде. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики и алгебры, однако они не являются систематическими и не формируют целостного представления о данном предмете. Учителя не всегда рассматривали этот материал, так как дисциплина не была включена в государственный стандарт и программы. Теперь это произошло. Включение элементов статистики и теории вероятностей в государственный стандарт основной школы потребовало более тщательного осмысления методики преподавания этих разделов математики» Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя/ Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко, 2-е изд., исправленное и дополненное. - М.: МЦНМО: МИОО, 2008. [8].

«Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5-6 классах, или в 7 классе - в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени n, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняются в ряде учебников и в практике работы учителей» Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы». [6].



Список использованных источников

1. Бычкова Л.О. Об изучении вероятности и статистики в школе/Л.О. Бычкова, В.Д. Сенютин//Математика в школе. - 1991. - № 6.

2. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Книга для учителя/В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь. Под ред. С.И. Шварцбурда. - М.: Просвещение, 1984.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика/О.С. Ивашев-Мусатов. - М.: Наука, 1979.

4. Каменкова Н.Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие / Н.Г. Каменкова. - СПб, 1993.

5. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе / А.В. Юркевич, А.И. Шербаф, В.В. Жовнерко//Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.

6. Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы».

7. Полякова Т.А. Элементы теории вероятности и математической статистики в цикле естественнонаучных дисциплин школьного курса / Т.А. Полякова//Образовательные технологии. Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского. Омский научный вестник. - 2007. - № 2 (57), 3 (61).

8. Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя/ Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко, 2-е изд., исправленное и дополненное. - М.: МЦНМО: МИОО, 2008.

9. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача / Г. Фройденталь, часть 2. - М.: Просвещение, 1983.

10. Юркевич А.В. Теория вероятностей в задачах. Учебное пособие / А.В. Юркевич, А.И. Шербаф. - Мн., 1994.

11. http://www.naukapro.ru/ot2007/3_008.htm

12. http://festival.1september.ru/articles/512172/



Приложение

Учебники, включающие элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы».

5-6 классы

1. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Просвещение, Дрофа, 2000-2003.

Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, Просвещение, 2000-2003.

2. Арифметика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 1999-2002.

Арифметика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000-2002.

3. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2002.

Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.

4. Математика: Учебник-собеседник для 5 класса общеобразовательных учреждений / Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. - М.: Просвещение, 2000-2002.

5. Математика: Учебник-собеседник для 6 класса общеобразовательных учреждений / Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. - М.: Просвещение, 2000-2002.

7-9 классы

6. Математика: Арифметика, алгебра, анализ данных: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000-2003.

7. Математика: Алгебра, функции, анализ данных: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000-2003.

8. Математика: Алгебра, функции, анализ данных: Учебнк для 9 класса общеобразовательных учреждений/Под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000-2003.

9. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 1999-2002.

10. Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000-2002.

11. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001-2002.