Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины X приняло значение , достаточно, чтобы случайная величина X приняла значение . Вероятность же этого события равна ; следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины X примет значение , также равна . Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины X. Используя это, запишем закон распределения случайной величины X:

			…
p	p1	p2	…	pn

Вычислим теперь математическое ожидание отклонения . Пользуясь свойствами математического ожидания , получаем

.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно 0:

.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения не удается определить среднее отклонение возможных значений величины X от ее математического ожидания, то есть степень рассеяния величины X. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины X.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

.

Свойства дисперсии ДСВ:

1 Дисперсия ДСВ X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

.

2 Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

3 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

4 Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

5 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательства этих свойств учащиеся могут выполнить самостоятельно с последующим их устным разбором.

Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.

Изучение непрерывной случайной величины в данном элективном курсе не рассматривается по причине трудного усвоения учащимися этой темы.

Ключевые задачи

1 Пусть случайная величина Х - число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины Х.

2 В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

3 Найдите математическое ожидание выигрыша Х в задаче 2.

4 Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными 0,4 и 0,3. найдите математическое ожидание общего числа попаданий.

5 Известны дисперсии двух независимых величин X, Y: D(X)=4, D(Y)=3. Найдите дисперсию суммы этих величин.

6 Дисперсия случайной величины X равна 5. найдите дисперсию следующих величин: а) X-1; б) -2X; в) 3X+6.

7 К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменится ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?

8 Случайная величина X принимает только два значения: 1 и -1. каждое с вероятностью 0,5. найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Проверка знаний проводится на зачетном занятии с помощью специальных карточек двух видов. В каждом виде свой уровень задач. Первый уровень - это базовые знания, которые должны усвоить все учащиеся, задачи второго уровня - это задачи с доказательствами, творческие задачи. По желанию учителя в карточку могут быть включены теоретические вопросы.

Итогом изучения данного раздела могут быть выполненные учащимися проекты на тему «Современные азартные игры».

Раздел 4. Элементы математической статистики.

В рамках данного элективного курса предполагается познакомить учащихся с элементами статистики как научного направления. Прежде всего речь идет об элементах так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления числовых характеристик для совокупности числовых данных.

Включение в курс начальных сведений из статистики направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации.

Выборочный метод.

Статистика - это научное направление, объединяющие принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. Оно включает в себя математическую статистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик (статистика промышленности, статистика финансов, статистика народонаселения и другие).

Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Для получения опытных данных необходимо провести обследование соответствующих объектов. Например, если исследователя интересует вероятность того, что диаметр валика определенного типоразмера после шлифовки окажется за пределами технического допуска, то надо знать закон распределения этого диаметра, а для этого прежде всего нужно располагать набором возможных значений диаметра. Однако обследовать все валики зачастую трудно, поскольку их количество может быть велико. Поэтому приходится из всей совокупности объектов для обследования отбирать только часть, то есть проводить выборочное обследование. В некоторых случаях обследование объектов всей совокупности практически не имеет смысла, поскольку они разрушаются в результате обследования. Таким образом, основным методом статистики является выборочный метод.

Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n=100.

Для того, чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Репрезентативность выборки означает, что объекты выборки достаточно хорошо представляют генеральную совокупность. Заметим, что при отборе объектов могут сыграть роль личные мотивы или психологические факторы, о которых исследователь, проводящий выборку, и не подозревает. При этом, как правило, выборка не будет репрезентативной.

После того как сделана выборка, то есть получена выборочная совокупность объектов, все объекты этой совокупности обследуют по отношению к определенной случайной величине или в результате этого получают наблюдаемые данные.

Задача математической статистики заключается в обработке результатов наблюдений.

Статистическая информация и способы ее представления.

Статистическая информация - это числовые данные о массовых явлениях, это значения наблюдаемых признаков объектов, составляющих статистическую совокупность, которая получена в результате статистического наблюдения. Таким образом, источником статистической информации является реальный опыт, эксперимент, наблюдение, измерение, производимые над реальными объектами и явлениями окружающего мира. Статистика начинается с реальных данных реального опыта; этим она отличается от теории вероятностей, которая изучает математические модели реальных явлений и имеет дело лишь с мысленными (воображаемыми) экспериментами.

Статистика использует методы исследования, основанные на математическом аппарате теории вероятностей, и важнейшим среди этих методов является выборочный метод. Поэтому математическая статистика и теория вероятностей неразрывно связаны между собой, постоянно взаимодействуют, и между ними не существует четкой и общепризнанной границы.

Статистическая информация о результатах наблюдений или экспериментов может быть зарегистрирована и представлена в различных формах.

1) Простой статистический ряд, или ряд данных, или выборка: х₁, х₂, х₃, …, х_n-1, х_n - запись результатов в порядке их появления (или получения), запись в ряд. Отдельные значения х_i, составляющие этот ряд, называют вариантами или просто данными, или результатами наблюдений. Количество вариант в ряду n называют объемом ряда, или объемом выборки.

Например, игральный кубик бросили 12 раз и записали выпавшие числа в порядке их появления: 3, 4, 5, 6, 6, 6, 5, 1, 4, 6, 1, 4 (п=12).

Недостатки: громоздкость и труднообозримость.

2) Вариационный ряд, или упорядоченный.

1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6.

Недостаток: громоздкость.

3) Статистическое распределение ряда:

xj	1	3	4	5	6
nj	2	1	3	2	4

Величины n_j называются частотами значений варианты х_j. Значение варианты х_j и варианты х_i - это не одно и то же: каждое значение фиксируется только один раз, а варианты с таким значением могут встречаться в ряду многократно. (j=1, 2, 3, 4, 5 ; i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12). j=1, 2, …, m, а i=1, 2, …, n, причем всегда mn (если m=n, то все варианты в ряду разные).

Наряду с частотами используются относительные частоты .

4) Интервальный ряд: весь диапазон наблюдаемых значений признака х_max-x_min разбивают на небольшое число (k=6 … 10) частичных интервалов, и подсчитывают количество вариант исходного ряда, попадающих в каждый частичный интервал.

5) Графическая форма: столбчатая диаграмма, полигон частот, гистограмма, круговая диаграмма.

Задачи:

1. Рост каждого из 50 одиннадцатиклассников занесли в таблицу:

165	170	165	165	175	160	170	170	172	170
178	170	178	174	165	165	175	175	172	160
175	172	160	170	170	178	176	176	175	172
170	170	172	170	178	176	180	174	176	181
180	170	170	174	180	175	175	174	174	172

По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины Х - роста одиннадцатиклассников: а) по частотам (М); б) по относительным частотам (W).

2. После группировки данных эксперимента получилась такая таблица их распределения:

Варианта	-3	0	4	5	9	11	12	15	20
Кратность варианты	12	9	1	64	34	56	7	8	9

а) Определите объем выборки.

б) Найдите наиболее часто встретившуюся варианту.

в) Допишите к таблице третью и четвертую строки из частот и процентных частот вариант.

г) Найдите сумму чисел в третьей и четвертой строках.

Сделайте выводы.

Большое разнообразие задач по данной теме занятия приведено в [40]. Могут быть использованы следующие задачи: С10, С14, С23, С25, С34, С36, С42, С49

Числовые характеристики статистических рядов.

Сбор и анализ статистических данных не является самоцелью; результаты статистических исследований позволяют принимать более правильные управленческие решения, выявлять закономерности и взаимозависимости, скрытые за случайными колебаниями, ошибками и искажениями.

Нередко возникает необходимость сравнить между собой две или несколько совокупностей статистических данных. Поскольку сравнение производится по какому-то определенному свойству, то для проведения сравнения нужны показатели, характеризующие то или иное свойство в совокупности данных одним числом. Такие показатели в статистике получили наименование числовых характеристик (статистических характеристик).

Простейшими числовыми характеристиками являются характеристики положения (среднее значение, мода, медиана) и характеристики рассеивания (размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение).

Среднее значение ряда наблюдений - это центр рассеивания наблюдаемых значений, это расчетное значение, сумма отклонений всех вариант от которого равна нулю.

Если варианты в ряду х_i являются значениями непосредственно наблюдаемого признака, то среднее значение ряда находят по формуле среднего арифметического:

(формула простой средней),

(формула средней взвешенной).

В статистике при вычислении средних ставится задача заменить все индивидуальные наблюдаемые значения признака некоторой обобщающей уравненной величиной так, чтобы при этом не изменялась некоторая итоговая величина для всей совокупности. Этой величиной может быть сумма всех вариант (среднее арифметическое) или их произведение (среднее геометрическое), или сумма обратных величин (среднее гармоническое), или сумма квадратов вариант (среднее квадратичное) и так далее. Общая формула степенной средней:

,

при k=-1 получаем среднюю гармоническую, при k=1 - среднюю арифметическую, при k=2 - среднюю квадратичную, и так далее. Отдельно вводится понятие среднего геометрического

.

Правило мажорантности средних: _{гармгеомарифмквадр}.

Выбор формулы для вычисления среднего определяется решаемой задачей. [40]

Следующей числовой характеристикой статистических рядов является мода. Мода Мо - это значение вариант, встречающееся в ряду чаще других. В таблице распределения ряда мода - это значение х_j, которому соответствует наибольшее значение частоты n_j. Статистический ряд может иметь одну, две или несколько мод, может не иметь моды.

Медиана Ме - это срединная в вариационном ряду значение варианты. Если число членов ряда n нечетное, то

, где - целая часть числа .

Если n четное, то

.

Простейшей характеристикой рассеивания является размах: А=х_max-x_min; размах есть разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант в ряду.

Выборочная дисперсия D_выб(Х) есть среднее значение квадратов отклонений всех вариант от среднего значения ряда :

.

Для практических расчетов удобнее формула:

.

Дисперсия имеет размерность квадрата наблюдаемой величины, поэтому на практике широко используется еще один показатель рассеивания - среднее квадратичное отклонение _выб(Х):

.

Важно помнить о принципиальном отличии числовых характеристик в статистике от числовых характеристик в теории вероятностей.

Задачи:

С62, С69, С87, С 93 С95 из пособия [40].

Статистические исследования. Этапы статистического исследования.

Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводят специальные статистические исследования.

Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы (таблицы частот, таблицы относительных частот). Таким образом, второй этап - группировка и сведение данных в таблицу.

Данные нужно представить более наглядно: либо с помощью столбчатой диаграммы, либо полигона частот, либо круговой диаграммы, либо гистограммы. Третий этап - наглядное представление данных.

Далее переходят к анализу данных, используя для этого различные обобщающие показатели (статистические характеристики: среднее значение, мода, медиана, размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение).

На основании цели проведения статистического исследования и анализа данных делается вывод.

Рассмотрим такой пример. Администрация школы решила проверить математическую подготовку одиннадцатиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 6 заданий. Сделали выборочное обследование, выбрали 20 школьников, случайный отбор обеспечивает одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности. Получили следующие результаты такого выборочного обследования:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
4	2	0	6	2	3	4	3	3	0	1	5	2	6	4	3	3	2	3	1

На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определённые выводы о том, как справились школьники с работой. Чтобы удобней было анализировать информацию, в подобных случаях данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания. Ряд примет вид:

0011222233333344456

Каждая группа представляет определённый результат эксперимента:

· Не решено ни одной задачи;

· Решена 1 задача;

· Решены 2 задачи и так далее.

В нашем случае частота появления события «0 задач» - 2, относительная частота 2/20=10%. Собственная частота появления события «2 задачи» - 4, относительная частота 4/50=8% и так далее.

Составим таблицу:

Событие	0	1	2	3	4	5	6
Частота	2	4	4	6	3	1	1
%	10	8	8	14	6	2	2



С помощью ранжирования ряда, таблицы и графических иллюстраций, мы уже получили первоначальные сведения о закономерностях интересующего нас ряда данных. Если нужно знать наиболее типичный результат, то используют понятия медиана, мода, размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение.

В качестве закрепления данного материала можно предложить учащимся провести какое-либо статистическое исследование по всем этапам, проанализировать результаты и сделать выводы.

Выступая в роли дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачать различного рода фальсификации, тщательно замаскированные под личиной изощренно подобранной «правдоподобной» информации. В конкретных ситуациях учителю предстоит показывать ученикам, что тенденциозно подобранные статистические показатели могут служить основой для получения ложных выводов о происходящих событиях в политической и экономической жизни общества.

С учащимися естественнонаучного профиля полезно рассмотреть тему «Элементы теории корреляции», а именно «Определение линии регрессии для двумерных выборок», так как корреляционный метод применяется очень широко в биологии, географии, экологии. Например, зоолог изучает многообразные связи между морфологическими признаками животных, ботаник - между различными признаками растений (между числом листьев у кукурузы и длиной вегетационного периода и т.п.). В генетике и селекции часто используют корреляционные связи между признаками родителей и потомков, в географии - влажности воздуха и атмосферного давления.

В данной работе не приводится методика изучения этой темы, но при подготовке к занятию учитель может воспользоваться пособием [41].

На обобщающем занятии предполагается защита учащимися их исследовательских проектов, заключающихся в самостоятельном сборе, обработке, представлении, интерпретации и анализе данных.

Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в средней школе №1 с углубленным изучением отдельных предметов п. Даровской.

Мною было проведено 8 занятий (по 2 часа в неделю) с учащимися 10^А класса (гуманитарного) по теме «Элементы теории вероятностей»:

1 Предмет теории вероятностей. Классификация событий.

2 Эксперименты и их исходы.

3 Классическое и статистическое определения вероятностей.

4 Основные теоремы теории вероятностей (сложения и умножения).

5 Основные теоремы теории вероятностей (следствия теорем сложения и умножения).

6 Решение задач.

7 Контрольная работа.

8 «Современные азартные игры»

Теоретический и практический материал был отобран из предложенной выше методики.

Цель проведения данного курса - способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции; способствовать развитию творческих способностей и дарований; создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

В ходе занятий учащиеся были активны. Сами приводили множество примеров из жизни. Трудности вызвали задачи на применение формулы полной вероятности. Результаты контрольной работы показали, что учащиеся довольно хорошо усвоили данный материал (из 19 человек получили оценку «5» - пять учеников, «4» - 8, «3» - 6). Итогом изучения темы стали доклады учащихся на тему «Современные азартные игры».

Таким образом, по результатам опытного преподавания выяснилось, что в процессе изучения элементов теории вероятностей у учащихся гуманитарного профиля появляется ярко выраженный интерес к математике, формируются вероятностные представления об окружающем мире.

Заключение

Современная общеобразовательная школа вместе со всем российским образованием переживает период обновления. Сегодня содержание образования рассматривается как обобщенный социальный опыт человечества. В связи с этим актуальность изучения в курсе математики материала вероятностно-статистического характера очевидна. В нашу жизнь прочно вошли референдумы, социологические опросы, кредиты, разнообразные банковские начисления и т.п. Современная математика, демография, социология, философия, весь комплекс социально-экономических наук развивается на вероятностно-статистической базе. Вероятностно-статистические законы стали и основой описания научной картины мира.

Данная выпускная квалификационная работа посвящена решению проблемы теории и методики обучения математики - формирование вероятностно-статистических представлений у учащихся и таких качеств мышления, которые необходимы для полноценного функционирования человека в современном информационном мире.

Введение в учебные программы средних школ элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей делает актуальной разработку методики их изложения, адаптированной к условиям обучения.

Именно поэтому целью данной работы является разработка методики проведения занятий элективного курса по теме «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики».

Для этого были проанализированы действующие школьные учебники, содержащие данную тему, а также различная психолого-педагогическая и методическая литература; изучены нормативные документы и, исходя из всего этого, определены структура и содержание элективного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в рамках профильной школы.

Цель данной выпускной квалификационной работы была достигнута - мною был разработан элективный курс «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» для профилей трех направлений. Методика представляет собой цели и задачи курса, изложение теоретических вопросов, методические рекомендации их введения для каждого из профилей, практические задачи по данным темам.

По результатам опытной работы можно сделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формирование вероятностно-статистических представлений учащихся.

Сделанные выводы дают основание полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментально подтверждена, все поставленные задачи исследования решены.

Разработанные материалы могут быть использованы учителями для проведения элективных курсов, факультативных занятий, как в обычных классах, так и в профильных классах.

Библиографический список

Сборники нормативных документов

1. Концепция модернизации российского образования на период до 2010г. [Текст] // Вестник образования. - 2002. - № 6. - С. 11 - 40.

2. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. - 1990. - № 1. - С. 2 - 14.

3. Сборник нормативных документов. Математика [Текст] / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. - М.: Дрофа, 2006. - 80 с.

Школьные учебники, включающие элементы стохастики

4. Виленкин, Н.Я. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. с углубл. изучением математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, И.С. Шварц-бурд. - М.: Просвещение, 1998.

5. Дорофеев, Г.В. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин [и др.]. - М.: Просвещение, 1999. - 368 с.

6. Дорофеев Г.В. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин [и др.]. - М.: Просвещение, 2000. - 416 с.

7. Зубарева, И. И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003. - 293 с.

8. Зубарева, И.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003. - 304 с.

9. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федоровна, М.И. Шабунин. - М.: Мнемозина, 2004.

10. Макарычев, Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Под редакцией С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2003.

11. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 классов / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2002.

12. Никольский, С.М. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 1999-2000.

13. Никольский, С.М. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000 - 2002.

14. Никольский С.М. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001-2002.

15. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2003.

16. Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. - М.: Просвещение, 2004.

Учебники для вузов и техникумов с этими разделами

17. Баврин, И.И. Курс высшей математики [Текст] / И.И. Баврин. - М.: Просвещение, 1992. - 400 с.

18. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. - М.: Высшая школа, 2001. - 575 с.

19. Воронов М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов [Текст] / М.В. Воронов, Г.П. Мещерякова. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. - 384 с.

20. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высшее образование, 2006. - 479 с.

21. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебное пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999. - 400 с.

22. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543 с.

23. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей [Текст]: учебное пособие / под ред. Ю.Д. Максимова. - СПб.: Специальная литература, 1999. - 191 с.

24. Солодовников, А.С. Теория вероятностей [Текст] / А. С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с.

Научная и научно-популярная литература

25. Виленкин Н.Я. Комбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.

26. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика [Текст] / Н. Я. Виленкин. - М.: Наука, 1975. - 208 с.

27. Китайгородский А.И. Невероятно - не факт [Текст] / А.И. Китайгородский. - М.: Молодая гвардия, 1972. - 256 с.

28. Райзер, Г.Дж. Комбинаторная математика [Текст] / Г.Дж. Райзер. - М.: Мир, 1966.

29. Савельев, Л.Я. Комбинаторика и вероятность [Текст] / Л.Я. Савельев. - Новосибирск: Наука, 1975. - 422 с.

30. Хургин, Я.И. Как объять необъятное [Текст] / Я.И. Хургин. - М.: Знание, 1992. - 192 с.

Методическая литература и пособия для учащихся

31. Афанасьев В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов [Текст] / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. - Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с.

32. Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл. [Текст]: пособие для общеобразоват. учеб. заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. - М.: Дрофа, 2002. - 160 с.

33. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. [Текст]: Пособие для учителей /Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1976. - 87 с.

34. Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях. Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя / М. Глеман, Т. Варга; пер. с фр. - М.: Просвещение, 1979. - 176 с.

35. Лютикас, В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей (для IX-XI кл.) [Текст] / В.С. Лютикас. - М.: Просвещение, 1990. - 160 с.

36. Маркова В.И. Формирование опыта творческой деятельности учащихся при изучении комбинаторики, статистики и теории вероятностей [Текст] / В.И. Маркова. - Киров: Издательство Кировского ИПК и ПРО, 2005. - 79 с.

37. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Общие положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии занятий [Текст] / И.Н. Данкова, Т.Е. Бондаренко, Л.Л. Емелина, О.К. Плетнева. - М.: 5 за знания, 2006. - 128 с.

38. Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы XXV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов [Текст] / Киров; М.: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - 300 с.

39. Сборник задач по математике для факультативных занятий в 9-10 классах [Текст] / под ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1971. - 208 с.

40. Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей: 7-9 классы [Текст]: / В.Н. Студенецкая. Волгоград: Учитель, 1997.

41. Шилова, З.В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие / З.В. Шилова, О.И. Шилов. - Киров: Издательство ВятГГУ, 2007. - 137 с.

42. Шихова А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова. - Киров: ИУУ, 1994 - 63 с.

43. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования» [Текст] // Математика в школе. 2002. - №4.